EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ II (st. zaoczne) - zestaw przyk adowy
Test wielokrotnego wyboru:
2
1. Zbi r {(x, y) " : x2 + y2 d" 1 '" y > x} jest zbiorem
A. otwartym.
B. ograniczonym i sp jnym.
C. regularnym.
2. R wnanie z = x2 + y2 opisuje
A. powierzchnie stożkowa.
B. p lsfere.
C. paraboloide.
2
3. Jeśli f ma ciagle wszystkie pochodne czastkowe II rzedu w otoczeniu punktu p0 " i "f(p0) = [0, 0], to funkcja f
posiada w punkcie p0
fxx(p0) fxy(p0)
A. maksimum lokalne, gdy < 0.
fyx(p0) fyy(p0)
fxx(p0) fxy(p0)
B. ekstremum lokalne, gdy > 0.
fyx(p0) fyy(p0)
fxx(p0) fxy(p0)
C. minimum lokalne, gdy fxx(p0) < 0 i > 0.
fyx(p0) fyy(p0)
4. Istnieje dokladnie jedna funkcja zmiennej x uwiklana r wnaniem
x2 - y2 + exy = 1,
kt rej wykres przechodzi przez punkt
A. (0, 0).
B. (0, 1).
C. (1, 0).
x
5. R wnanie r żniczkowe y = jest
y
A. r wnaniem o zmiennych rozdzielonych.
B. r wnaniem jednorodnym wzgledem x i y.
C. r wnaniem liniowym.
6. Rozważmy r wnanie (*): y - y = xex. W wczas rozwiazanie szczeg lne r wnania (*) wyznaczone metoda przewidy-
wania jest postaci:
A. Õ1(x) = axex.
B. Õ2(x) = (ax + b)ex.
C. Õ3(x) = (ax + b)xex.
7. Rozważmy r wnanie (*): y - y = 0. W wczas
A. Õ1(x) = x jest rozwiazaniem szczeg lnym r wnania (*).
B. Õ2(x) = 2ex jest rozwiazaniem szczeg lnym r wnania (*).
C. Õ3(x) = Cex, gdzie C " , jest rozwiazaniem og lnym r wnania (*).
8. Niech D = [0, 1] [1, 2] oraz I = dxdy. W wczas
D
1 2
A. I = dxdy.
0 1
1 2
B. I = dydx.
0 1
C. I = 1.
Pytania otwarte:
"
9. Wyznaczyć gradient "f(1, 1) oraz pochodna kierunkowa f[-2,1](1, 0), jeśli f(x, y) = x + 2y. Podać warunek konieczny
istnienia ekstremum lokalnego funkcji trzech zmiennych.
10. Uzasadnić, że zagadnienie
x
y =
y
y(1) = 1
posiada dokladnie jedno rozwiazanie. Wyznaczyć to rozwiazanie.
1 1
11. Obliczyć calke (x-yx)dxdy, gdy D jest oszarem ograniczonym krzywymi o r wnaniach: y = , y = -x, y = 1, y = 2;
x
D
12. Naszkicować bryle V ograniczona powierzchniami z = 8 - x2 - y2 i z = x2 + y2. Obliczyć objetość bryly V.