3 Arkusz
Zad. 8 Korzystajac z definicji zbadać istnienie pochodnych czastkowych funkcji f w punkcie p :
x
a) f(x, y) = x3 + y2 + x, p = (1, 2); b) f(x, y) = , p = (1, -1);
y
"
3
c) f(x, y) = ln(xy), p = (1, 1); d) f(x, y) = x + y, p = (0, 0);
e) f(x, y, z) = xyz, p = (1, -1, 1); f) f(x, y) = ex+2y-z, p = (0, 0, 0).
Zad. 9 Obliczyć pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h:
x2 y2
a) f (x, y) = x3 - 3x2y + 3xy2, p = (3, 1) , h = (3, -4); b) f (x, y) = + , p = (2, 3), h = (2, 3);
4 9
c) f (x, y) = ln (ex + ey) , p = (0, 0) , h - dowolny; d) f (x, y) = 2 |x| + |y| , p = (0, 0), h = (-1, 2);
e) f (x, y) = ln(x2 + y2), p = (1, 1) , h = (1, 1); f) f (x, y) = x2 + y4, p = (0, 1), h = (1, 1);
g) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2, p = (1, -1, 1) , h = (1, 1, 1); h) f (x, y, z) = xyz, p = (1, 1, 1) , h = (-1, 1, -1).
Zad. 10 Obliczyć pochodne czastkowe pierwszego rzedu funkcji f:
Å„Å‚
x3 + y3
ôÅ‚
òÅ‚
(x, y) = (0, 0),

1
x2 + y2
a) f(x, y) = x2 + y3; b) f(x, y) = ; c) f(x, y) =
ôÅ‚
x2 + y2
ół
0 (x, y) = (0, 0);
"
d) f (x, y) = ln (x - y) ; e) f (s, t) = ln s2 + t2; f) f (x, y) = yx-1;
"
x2+y
g) f (x, y) = tg3 (x2 - y) ; h) f (x, y) = e ; i) f (x, y) = (ln y)sin x;
r - s x + y
j) f (r, s) = ; k) f (p, q) = p + qep q; l) f (x, y) = arctg ;
r + s 1 - xy
3
m) f (x, y) = logy x; n) f (x, z) = ; o) f (x, z) = x arc sin(xz2);
x + z - 1
"
sin2 (x - y)
z
p) f (x, y, z) = arctg xz; q) f (x, y, z) = xy ; r) f (x, y, z) = .
2 z
Zad. 11 Wyznaczyć jakobian funkcji f:
a) f(x, y) = (x + 2, y - 3); b) f(x, y) = (xy, x2 - y2);
c) f(r, Õ) = (r cos Õ, r sin Õ); d) f(r, Õ) = (r cos2 Õ, sin 2Õ);
e) f(z, y, z) = (x2 + 2z, xy, -yz); f) f(z, y, z) = (z sin x, z cos y, z2).
2
Zad. 12 Udowodnić, że funkcja f : dana wzorem
Å„Å‚
xy
ôÅ‚
òÅ‚
(x, y) = (0, 0) ,

x2 + y2
f (x, y) =
ôÅ‚
ół
0 (x, y) = (0, 0)
ma pochodne czastkowe w punkcie (0, 0), mimo że nie jest ciagla w tym punkcie.
Zad. 13 Korzystajac z definicji zbadać r żniczkowalność funkcji f w punkcie p:
"
3
a) f (x, y) = x y3, p = (1, 0); b) f (x, y) = xy, p = (0, 0);
Å„Å‚+
x3
ôÅ‚
òÅ‚
(x, y) = (0, 0) ,

3
x2 + y2
c) f (x, y) = d) f (x, y) = x3 + y3, p = (0, 0);
ôÅ‚
ół
0 (x, y) = (0, 0) = p;
x + y
e) f(x, y, z) = xyz, p = (1, 0, 1); f) f(x, y, z) = , p = (1, 0, 1).
z
2
Zad. 14 Wykazać, że funkcje f : określone wzorami
Å„Å‚ Å„Å‚
xy2 x3y
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
(x, y) = (0, 0) , x + y + (x, y) = (0, 0) ,

x2 + y2 x4 + y2
a) f (x, y) = b) f (x, y) =
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
0 (x, y) = (0, 0) ; 0 (x, y) = (0, 0)
maja w punkcie (0, 0) pochodna kierunkowa w dowolnym kierunku, ale nie sa r żniczkowalne w tym punkcie.
" 2
Zad. 15 Dla jakich ą, > 0 funkcja f : określona wzorem
Å„Å‚
xÄ…y²
ôÅ‚
òÅ‚
(x, y) = (0, 0) ,

x2 + y2
f (x, y) =
ôÅ‚
ół
0 (x, y) = (0, 0)
jest r żniczkowalna w punkcie (0, 0).
Zad. 16 Czy ciaglość pochodnych czastkowych pierwszego rzedu funkcji f w punkcie jest warunkiem koniecznym
2
r żniczkowalności funkcji w tym punkcie? Uzasadnić odpowiedz
wykorzystujac funkcje f : określona
wzorem
Å„Å‚
1
ôÅ‚
òÅ‚
(x2 + y2) sin (x, y) = (0, 0) ,

x2 + y2
f (x, y) =
ôÅ‚
ół
0 (x, y) = (0, 0)
Zad. 17 Zbadać r żniczkowalność funkcji f w dowolnym punkcie dziedziny:
a) f (x, y) = x2 - 3y3; b) f (x, y) = x4 + y4;
2
c) f (x, y) = + y3; d) f (x, y) =Å„Å‚ + y3);
ln(x2
Å„Å‚x
xy(x + y)
ôÅ‚ ôÅ‚ sin(xy2)
òÅ‚ òÅ‚
(x, y) = (0, 0) ,

x = 0,

x2 + y2
x
e) f (x, y) = f) f (x, y) =
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
0 x = 0;
0 (x, y) = (0, 0) ;
Å„Å‚ Å„Å‚
x4 + y4 x3 + y3
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
(x, y) = (0, 0) , (x, y) = (0, 0) ,

x2 + y2 x2 + y2
g) f (x, y) = h) f (x, y) =
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
0 (x, y) = (0, 0) ; 0 (x, y) = (0, 0) ;
z4
i) f (x, y, z) = ; j) f (x, y, z) = sin(xyz).
x2 + y2
Zad. 18 Oszacować blad bezwzgledny i wzgledny powstaly przy obliczaniu:
a) objetości kuli, jeśli średnica kuli wynosi d = 3, 7 ą 0, 05, a Ą = 3.14;
b) objetości stożka, przyjmujac promień podstawy r = 3ą0, 02, wysokośc stożka h = 2, 2ą0, 1 oraz Ą = 3.14;
c) objetości prostopadlościanu o bokach a = b = 10 ą 0.1 oraz c = 35 ą 0.1.
Zad. 19
a) Przy pomocy menzurki można zmierzyć objetość ciala z dokladnościa "V = 0.1 cm3, a przy pomocy wagi
spre żynowej można ustalić jego mase z dokladnościa "m = 1 g. Objetość ciala zmierzona w ten spos b
wynosi V = 25 cm3, a masa m = 200 g. Z jaka w przybliżeniu dokladnoÅ›cia można obliczyć gestość Á
tego ciala?
b) Wsp lczynniki r wnania kwadratowego 0.5x2 +ax+b = 0, podane z dokladościami "a = 0.01 i "b = 0.1,
wynosza a = -3 i b = 2. Z jaka w przybliżeniu dokladnościa można podać pierwiastki x1, x2 tego
r wnania?
2
Zad. 20 Zbadać, czy dla funkcji f : pochodne mieszane fxy(0,ńł i fyx (0, 0) sa r wne:
0)
Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ x3y òÅ‚ x2y3
(x, y) = (0, 0) , (x, y) = (0, 0) ,

x2+y2 x2+y2
a) f (x, y) = b) f (x, y) =
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
0 (x, y) = (0, 0) ; 0 (x, y) = (0, 0) ;
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
2
òÅ‚ x2-y3 òÅ‚ -y3
(x, y) = (0, 0) , xyx (x, y) = (0, 0) ,

x2+y2 x2+y2
c) f (x, y) = d) f (x, y) =
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
0 (x, y) = (0, 0) ; 0 (x, y) = (0, 0) .
2
Zad. 21 Wykzać, że funkcja u : dana wzorem u (r, s) = arctg (2r - s) spelnia r wnanie
"2u "2u
+ 2 = 0.
"r2 "r "s
Zad. 22 Obliczyć pochodne czastkowe drugiego rzedu funkcji f:
a) f(x, y) = sin(x2 + y2); b) f(x, y) = xexy; c) f(x, z) = arctg(x + 2y);
"
d) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 1; e) f(x, y, z) = ln(x + y2 + z3); f) f(x, y, z) = arc sin xyz.
Zad. 23 Obliczyć pochodna funkcji f:
a) f(t) = F(x(t), y(t)), gdzie x(t) = sin t, y(t) = cos t; b) f(t) = F(2t, t2, t3);
c) f(t) = F(t, y(t)), gdzie y(t) = e-2t; d) f(t) = F(x(t), t), gdzie x(t) = t ln t.
Zad. 24 Wyznaczyć pochodne czastkowe pierwszego i drugiego rzedu funkcji zlożonej f:
a) f(u, v) = F(x(u, v)), x(u, v) = u2 - v2;
b) f(u, v) = F(x(u, v), y(u, v)), x(u, v) = uv, y(u, v) = u + v;
c) f(u, v) = F(x(u, v), u)), x(u, v) = eu-v;
d) f(u, v) = F(x(u), y(v)), x(u) = u3, y(v) = ln v.