4 Arkusz: Ekstrema lokalne i globalne
Zad. 25 Zbadać (korzystajac z definicji) czy funkcja f posiada ekstremum lokalne (globalne) w punkcie p?
a) f (x, y) = 2 |x| + 3 |y| , p = (0, 0); b) f (x, y) = 3(x - 1)2 + (y + 2)2, p = (1, -2);
c) f (x, y) = 1 - x2 + y2, p = (0, 0); d) f(x, y) = 5 - |xy|, p = (a, 0), a " ;
e) f(x, y) = x(y - 1), p = (0, 1); f) f(x, y) = x2 - y2, p = (0, 0).
Zad. 26 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f:
"
a) f (x, y) = y x - y2 - x + 6y; b) f (x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2;
c) f (x, y) = x2 - xy + y2 + 9x - 6y + 20; d) f (x, y) = x3 + 3xy2 - 6xy + 1;
e) f (x, y) = x3 + y3 - 3xy + 1; f) f (x, y) = x2 + xy + y2 - 4 ln x - 10y;
g) f (x, y) = x4 + y4 - x2 - y2 - 2xy; h) f (x, y) = x3y3(6 - x - y);
1
i) f (x, y) = xy + ; j) f (x, y) = xy ln(x2 + y2);
2(x + y)
2
k) f (x, y) = (x2 + y2)e-x -y2; l) f (x, y) = (y - x2)e-y;
m) f (x, y) = 9 - y2; n) f (x, y) = (x, y) = 2 + 3x2 + y2;
2
o) f (x, y) = + ln(x - y2); p) f (x, y) = y + ln(4 - y - x2).
x
Zad. 27 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f:
a) f(x, y, z) = y3 + 2x2 + z2 - xy + 2xz - y; b) f(x, y, z) = x2 + 2y2 + z2 - 2x + 4y - 6z + 2;
8
c) f(x, y, z) = x3 + y2 + z2 - 2xy - x + 4z; d) f(x, y, z) = xyz(1 - x - y - z);
3
x2 y2
2
e) f(x, y, z) = 2 + + 2z2 - 4x; f) f(x, y, z) = (x + y + 2z)e-(x +y2+z2);
y z
1 1 1
g) f (x , x , . . . , xn) = x + x + · · · + xn + + + · · · + ;
1 2 1 2
x1 x2 xn
h) f (x , x , . . . , xn) = x3 + x3 + · · · + x3 - 3(x + x + · · · + xn).
1 2 n 1 2
1 2
2
Zad. 28 Wyznaczyć najwieksza i najmniejsza wartość funkcji f : na zbiorze D:
a) f (x, y) = x2y (4 - x - y) , D jest tr jkatem o wierzcholkach (0, 0) , (6, 0) , (0, 6) ;
b) f (x, y) = x2 - xy2 + x, D jest tr jkatem o wierzcholkach (0, 2) , (-2, 0), (2, 0);
2
c) f (x, y) = 2x2 - y2 - 6x, D = {(x, y) " ; x2 + y2 d" 9 '" x e" 0} ;
d) f (x, y) = 2x3 - y3 - 6x + 3y, D = [-2 ; 0] [0 ; 2] ;
2
e) f (x, y) = (1 - y) (x + y + 2) , D = {(x, y) " ; 0 d" x d" 1 '" 0 d" y d" 1 - x} ;
2
f) f(x, y) = x2 + y2, D = {(x, y) " ; |x| + |y| d" 1} ;
2
g) f (x, y) = x4 + y4, D = {(x, y) " ; x2 + y2 d" 9} ;
h) f (x, y) = xy2 + 4xy - 4x, D = [-3 ; 3] [-3 ; 0] .
3 2
i) f (x, y) = (x2 + y2 - 1)2 + x, D = {(x, y) " ; x2 + y2 d" 1} ;
2
2
j) f (x, y) = 2 ln(x + y + 2) - x - y2, D = {(x, y) " ; 0 d" y d" 1 '" y - 1 d" x d" 1 - y} ;
k) f (x, y) = sin x sin y, D = [0; 2Ä„] [0; Ä„].
Zad. 29
a) Znalez
ć wymiary akwarium majacego najmniejsza powierzchnie, jeżeli jego objetość r wna sie V ;
b) Znalez
ć odleglość punktu P = (0, 0, 4) od powierzchni z = xy;
c) Znalez
ć odleglość punktu P = (1, 0, -1) od plaszczyzny z = 2x - y + 2;
d) W tr jkacie o wierzcholkach (-1, 5), (1, 4), (2, -3) znalez
ć punkt M, dla kt rego suma kwadrat w jego
odleglości od wierzcholk w jest najmniejsza;
e) Spośr d wszystkich tr jkat w o danym obwodzie 2p znalez
ć ten, kt rego pole jest najwieksze;
f) Na elipsoidzie x2 + y2 + 4z2 = 8 znalez
ć punkt najdalej odlegly od punktu (0, 0, 3);
g) Znalez
ć r wnanie prostej, dla kt rej suma kwadrat w odleglości od punkt w (0, 0), (2, 3), (4, 3) jest na-
jmniejsza.