2 Arkusz
Zad. 4 Obliczyć granice podw jne:
"
"
x - y
x2 - y2 x3 - 8y3
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
x0 x2
x0+ - y
x + y x - 2y x
y0 y1
y0+
x2 + y2 + 4 - 2 - x ln(x2 + y2) 1
d) lim ; e) lim ; f) lim(x2 + y2) ln ;
x0 x0 x0
y2 x2 + y2 + 4 x2 + y2
y0 y0 y0
2
e-(x +y2) - 1 sin(x2 + y2) sin xy
g) lim ; h) lim ; i) lim ;
x0 x0 x0
x2 + y2 x2 + y2 x
y0 y0 y0
sin(xy)2 xy2 x2(y - 1)2
j) lim ; k) lim ; l) lim .
x0 x0 x0
x2 + y2 x2 + y2 4x2 + (y - 1)4
y0 y0 y1
Zad. 5 Wykazać, że nie istnieja nastepujace granice:
xy x + y (x - 1)y2
a) lim ; b) lim ; c) lim ;
x0 x0 x1
x2 + y2 x - y (x - 1)2 + y4
y0 y0 y0
Ä„ sin xy xy
d) lim sin ; e) lim ; f) lim .
x0 x0 x0
x2 + y2 x2 + y2 y2 - z
y0 y0 y-1
z1
Zad. 6 Zbadać istnienie granic podw jnych i iterowanych funkcji f w punkcie p:
x2 - y2 1 1
a) f(x, y) = , p = (0, 0); b) f(x, y) = (x + y) sin cos , p = (0, 0);
x2 + y2 x y
x2
2
c) f(x, y) = (x2 + y2)-x -y2, p = (0, 0); d) f(x, y) = , p = (0, 0).
x2 + y2
Zad. 7 Zbadać funkcji f w punkcie p:
ńłciaglość
Å„Å‚
ôÅ‚
x3y2 x4
ôÅ‚ ôÅ‚ - y4
òÅ‚ òÅ‚
(x, y) = (0, 1), (x, y) = (0, 0),

x2 + (y - 1)4 x4 + y4
a) f(x, y) = b) f(x, y) =
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ół
ół
0 (x, y) = (0, 1), 0 (x, y) = (0, 0),
p = (0, 0);Å„Å‚
p = (0, 1);Å„Å‚
ôÅ‚ x2 + y2 - |x| ôÅ‚
1 - cos(x2 + y2)
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
(x, y) = (0, 0),

(x, y) = (0, 0),

2y2
(x2 + y2)2
c) f(x, y) = d) f(x, y) =
ôÅ‚ ôÅ‚
1
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
(x, y) = (0, 0),
1 (x, y) = (0, 0),
2
p = (0, 0);
p = (0, 0);Å„Å‚
Å„Å‚
x4
ôÅ‚ - y4 sin(xy2)
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
(x, y) = (0, 0), (x, y) = (0, 0),

x2 + y2 xy
e) f(x, y) = f) f(x, y) =
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
1 (x, y) = (0, 0), 0 (x, y) = (0, 0),
p = (2, 0); p = (0, 0);