Materiały 

przygotowane 

w 

ramach 

projektu 

„Uruchomienie 

unikatowego  kierunku  studiów  Informatyka  Stosowana  odpowiedzią 
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego 
Kapitał  Ludzki  współfinansowanego  ze  środków  Europejskiego 
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00 

 
 
 

 
 
 
 
 
 

Analiza matematyczna i algebra liniowa 

 
 
 
 

Materiały pomocnicze dla studentów – do wykładów 

 
 

Równania różniczkowe. 

 
 
 
 
 

•

 

Równanie różniczkowe zwyczajne. 

•

 

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. 

•

 

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego. 

 
 
 
 
 
 

Materiały pomocnicze dla studentów  

Analiza matematyczna i algebra liniowa  

 

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie  

 

2 

Temat 5: Równania różniczkowe

 

 

Celem  wykładu  jest  zaznajomienie  studentów  z  podstawowymi  pojęciami  teorii 

równań  różniczkowych.  Wykład  dotyczy  niektórych  typów  równań  różniczkowych 
zwyczajnych pierwszego rzędu. 
 
1.

 

Równania różniczkowe zwyczajne – definicja i podstawowe pojęcia. 

 

 

 

•

 

równanie różniczkowe zwyczajne 

•

 

równanie o pochodnych cząstkowych 

•

 

rząd równania różniczkowego 

•

 

równanie różniczkowe rzędu pierwszego  

•

 

rozwiązanie (całka) równania różniczkowego 

•

 

rozwiązanie ogólne  

•

 

rozwiązania (całki) szczególne 

•

 

warunek początkowy  

•

 

zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy’ego) 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
Przykład.  
Równanie różniczkowe  

0

1

=

+

−

−

′

x

y

y

 

Twierdzenie.  

Jeżeli  funkcja  f  wraz  z  pochodną 

'

y

f

jest  ciągła  w  obszarze  D,  to  przez  każdy  punkt  tego 

obszaru przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.  

Równaniem  różniczkowym  nazywamy  równanie  opisujące  zależność  między  szukaną 
funkcją i jej pochodnymi.  

Materiały pomocnicze dla studentów  

Analiza matematyczna i algebra liniowa  

 

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie  

 

3 

2.

 

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Przykład.  
Wyznaczyć rozwiązanie równania  

y

x

xy

y

′

−

=

′

2

2

2

 

spełniające warunek początkowy 

( )

1

0

=

y

. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci 

( ) ( )

y

g

x

h

y

=

′

, 

gdzie 

( )

R

→

b

a

h

,

:

, 

( )

R

→

d

c

g

,

:

 są danymi funkcjami ciągłymi. 

Materiały pomocnicze dla studentów  

Analiza matematyczna i algebra liniowa  

 

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie  

 

4 

3.

 

Równanie różniczkowe postaci 

(

)

c

by

ax

h

y

+

+

=

′

. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Przykład.  
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania 

(

)

2

1

−

+

=

′

y

x

y

. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Materiały pomocnicze dla studentów  

Analiza matematyczna i algebra liniowa  

 

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie  

 

5 

4.

 

Równanie jednorodne względem x i y. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Przykład.  
Rozwiązać zagadnienie początkowe 

( )

0

1

,

2

=

+

=

′

y

x

y

x

y

. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Materiały pomocnicze dla studentów  

Analiza matematyczna i algebra liniowa  

 

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie  

 

6 

5.

 

Równanie liniowe. 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Znane  są  dwie  metody  wyznaczania  rozwiązania  szczególnego  równania 

niejednorodnego: 

•

 

metoda uzmienniania stałej  

•

 

metoda przewidywania 

 
Przykład.  
Rozwiązać zagadnienie początkowe  

( )

1

1

,

2

3

3

=

+

−

=

′

y

x

y

x

y

. 

 

 

 

 

 

 

  (n) 

 
Przykład.  
Wykorzystując metodę przewidywania rozwiązać równanie 

x

e

y

y

3

2

+

=

′

. 

Równaniem liniowym niejednorodnym (n) nazywamy równanie postaci 

( )

( )

x

g

y

x

h

y

+

=

′

, 

 

 

 

 

 

 

 

(n) 

gdzie 

( )

R

→

b

a

g

h

,

:

,

 są zadanymi funkcjami ciągłymi, 

( )

0

≠

x

g

 przynajmniej dla jednego x 

z przedziału 

( )

b

a,

. 

Wraz z równaniem (n) rozważane będzie skojarzone z nim równanie liniowe jednorodne 
(j) postaci 

( )

y

x

h

y

=

′

. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 (j)