WPROWADZENIE

         Ogólnie równaniem różniczkowym nazywamy związek między funkcją a jej pochodną. Gdy funkcja jest funkcją jednej zmiennej mówimy o równaniu różniczkowym zwyczajnym. Równania różniczkowe w zagadnieniach technicznych stosuje się na ogół w przypadkach:

a)     przedstawienia praw fizyki w postaci matematyczno-analitycznej

b)    przedstawienia związków geometrycznych w postaci analitycznej

c)     wyliczania parametrów z n-parametrowej rodziny funkcji i n równości

Trzymając się formalizmu matematycznego równaniem różniczkowym będziemy nazywali związek postaci:

jeżeli lewa strona równania istotnie zależy od x⁽ⁿ⁾, gdzie górny indeks w nawiasie oznacza rząd pochodnej.

RÓWNANIA O ZMIENNYCH

ROZDZIELONYCH

I.                Równania różniczkowe rzędu pierwszego

Równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci:

F(x,y,y')=0

w którym lewa strona równania istotnie zależy od y', x oraz y mogą występować lecz nie muszą.

        

         Rozwiązaniem (całką) równania różniczkowego nazywamy wszystkie funkcję różniczkowalne postaci y=f(x) spełniające dane równanie dla każdej wartości x z pewnego przedziału.

         Linią (krzywą) całkową równania różniczkowego nazywamy wykres każdej funkcji, która jest rozwiązaniem równania.

         Rozwiązaniem ogólnym (całka ogólną) równania różniczkowego nazywamy każdą funkcję postaci: y=f(x;C), która dla każdej wartości C należącej do pewnego przedziału jest rozwiązaniem równania; jest to więc jednoparametrowa rodzina linii. Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego otrzymujemy nadając parametrowi C pewną stałą wartość.

         W wielu zagadnieniach (szczególnie fizycznych i technicznych) często wynika potrzeba wyznaczania rozwiązania szczególnego, spełniającego tzw. warunki początkowe. Polegają one na wyznaczeniu spomiędzy linii całkowych danego równania różniczkowego takiej linii, która przechodzi przez z góry dany punkt (x₀, y₀). Zagadnienie to sprowadza się do wyznaczenia wartości C₀ parametru C z równania y=f(x;C₀).

         Rozwiązaniem osobliwym równania różniczkowego nazywamy takie rozwiązanie tego równania, którego nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przy żadnej wartości parametru C.

         Równaniem różniczkowym rzędu pierwszego rozwiązanym względem y' nazywamy równanie postaci y' = f(x,y). Dla równań tego typu zachodzi następujące twierdzenie:

         Jeżeli funkcja f(x,y) wraz z pochodną f'(x,y) jest ciągła w pewnym otoczeniu punku (x₀,y₀), to istnieje takie otoczenie (x₀ - , x₀ + ) punktu x₀, w którym jest określona dokładnie jedna funkcja y=φ(x) o następujących własnościach:

1.     y₀=φ(x₀),

2.     φ'(x)=f(x,φ(x)),

czyli istnieje dokładnie jedna linia całkowa y=φ(x) równania różniczkowego przechodząca przez punkt (x₀,y₀).

II.           Rozdzielanie zmiennych

         Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego postaci:

         Zachodzi następujące twierdzenie:

1.     Jeżeli p(y) jest funkcją ciągłą w otoczeniu punktu y=y₀, przy czym p(y₀)≠0, a q(x) jest funkcją ciągłą w otoczeniu punktu x=x₀, to istnieje na płaszczyźnie Oxy takie otoczenie punktu (x₀,y₀), że przez każdy punkt (x₁,y₁) tego otoczenia, w szczególności także przez punkt (x₀,y₀), przechodzi dokładnie jedna linia całkowa równania różniczkowego określona równaniem y=f(x) przy czym funkcja f(x) ma ciągłą pochodną.

Funkcja ta dana jest wtedy jednoznacznie w formie uwikłanej zależnością:

2.     Jeżeli p(y) jest funkcją ciągłą i różną od zera w przedziale c<y<d, a q(x) jest funkcją ciągłą w przedziale a<x<b, to przez każdy punkt prostokąta określonego tymi nierównościami przechodzi dokładnie jedna linia całkowa równania różniczkowego postaci y=f(x)

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

ROZWIĄZYWALNE METODĄ PODSTAWIANIA

I.                   Równania różniczkowe postaci y'=f(ax+by+c)

         Równania różniczkowe typu

gdzie a≠0 i b≠0, a f(u) jest funkcją ciągła, rozwiązujemy wprowadzając przez podstawienie nową zmienną zależną (funkcję) u(x) daną związkiem u=ax+by+c, gdzie y uważamy za funkcję zmiennej x.

         Różniczkujemy

skąd

Po podstawieniu do danego równania otrzymujemy

Następnie przy założeniu, że bf(u)+a≠0 badamy równanie

które po przyjętym założeniu oraz ze względu na ciągłość funkcji f(u) jest równoważne równaniu

Stąd x=g(u), gdzie

Funkcja g(u) jest różniczkowalna, przy czym pochodna jej jest w badanym punkcie różna od zera, wobec czego także równanie

wyznacza y jako funkcję uwikłaną x w otoczeniu badanego punktu.

 

II.               Równania różniczkowe jednorodne względem x i y

         Równanie różniczkowe jednorodne względem x i y  jest to równanie typu

.

        

         Często spotykanym przypadkiem jest równanie postaci

gdzie P i Q są wielomianami jednorodnymi względem x i y tego samego stopnia n; przez podzielenie licznika i mianownika przez xⁿ otrzymujemy równanie poprzedniej postaci.

         Równanie różniczkowe tego typu rozwiązujemy wprowadzając nową zmienną zależną przez podstawienie

Po zróżniczkowaniu

i podstawieniu do wcześniejszego równania otrzymujemy:

stąd zakładając, że x≠0 oraz f(u)-u≠0, otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

 

RÓWNANIA LINIOWE

RZĘDU PIERWSZEGO

I.                  Podstawowe definicje

Równanie różniczkowe postaci

liniowe względem y i y' nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego. W dalszym ciągu zakładamy ciągłość funkcji p(x) i q(x) w pewnym wspólnym przedziale.

         Jeżeli w równaniu jest q(x)=0, to równanie nazywamy równaniem jednorodnym względem y i y'; w przypadku przeciwnym - równaniem niejednorodnym.

II.               Równania różniczkowe liniowe jednorodne

         Równanie różniczkowe dane postacią:

nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym. Widać od razu, że jedną z linii całkowych tego równania jest y=0.

         Załóżmy teraz, że y≠0. Wtedy zmienne dają się rodzielić; mamy

Równanie to spełnia twierdzenie dla równań o rozdzielnych zmiennych. Całkowanie daje

Po prawej stronie mamy całkę funkcji ciągłej, a więc ta całka istnieje. Oznaczamy krótko

Otrzymujemy wtedy:

Podstawiamy C=ln|C₁|, C₁≠0 i uwalniamy się od logarytmów; mamy

Całkę tę zapiszemy w postaci

Całka ta spełnia warunek początkowy, że dla x=x₀ jest y=y₀.

III.           Równania różniczkowe liniowe niejednorodne

         Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne

rozwiązujemy tzw. metodą uzmienniania stałej. W tym celu rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne, czyli:

Całką tego równania jest y=Ce^-P(x)_, gdzie P(x) jest całka funkcji p(x) od x₀ do x.

Teraz stałą C zastępujemy funkcją tak dobraną, żeby funkcja

była całką naszego równania; powyższy krok tłumaczy nazwę: metoda uzmienniania stałej.

         Obliczamy pochodną

przy czym uwzględniamy fakt iż p(x) jest pochodną P(x). Po uporządkowaniu mamy

Dokonując podstawienia otrzymujemy i redukcji wyrażenia

Funkcja stojąca po prawej stronie równania jest ciągła, ponieważ funkcja P(x), jako całka nieoznaczona, jest różniczkowalna; podobnie e^P(x), funkcja q(x) jest z założenia ciągła. Tym samym funkcja po prawej stronie równania jest całkowalna. Możemy zapisać u(x)=Q(x)+C₁ gdzie

Wartość u(x) podstawiamy do wcześniejszego równania i otrzymujemy

 

RÓWNANIA BERNOULLIEGO

I RICCATIEGO

I.                  Równania różniczkowe Bernoulliego

         Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie postaci

gdzie funkcje p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale a<x<b, a n jest dowolną liczbą rzeczywistą.

         Dla n=0 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe. Dla n=1 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe jednorodne względem y i y', a więc równanie, w którym zmienne dadzą się rozdzielić. Przypadki takie poniżej zostaną pominięte. Zauważmy, że przy n>0 całką równania jest zawsze y=0.

         Równanie Bernoulliego przez podstawienie

jest sprowadzane do równania różniczkowego liniowego.

II.               Równanie różniczkowe Riccatiego

Równaniem różniczkowym Riccatiego nazywamy równanie różniczkowe postaci

w którym p(x), q(x), r(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym wspólnym przedziale a<x<b.

W przypadku p(x)=0 otrzymalibyśmy równanie różniczkowe liniowe, w przypadku r(x)=0 - równanie Bernoulliego. Można wykazać, że w ogólnym przypadku rozwiązanie równania Riccatiego nie daje się sprowadzić do obliczenia pewnej (skończonej) liczby całek nieoznaczonych.

         Jeżeli jednak znamy jedną całkę szczególną y₁(x) tego równania, to przez podstawienie

gdzie u jest nową zmienną zależną, równanie Riccatiego przekształca się w równanie liniowe. Po zróżniczkowaniu danego wyrażenia, podstawieniu do równania i uwzględnieniu, że

otrzymujemy równanie liniowe

w którym funkcja r(x) jawnie nie występuje.

RÓWNANIA CLAIRUTA

I LAGRANGE'A

I.                  Równania Clairuta

Równaniem różniczkowym Clairuta nazywamy równanie postaci

w którym o funkcjach y' oraz f zakładamy różniczkowalność w pewnych przedziałach (pierwszej względem x, drugiej względem y').

        

Różniczkując równanie stronami względem x, otrzymujemy

skąd

Należy rozpatrzyć więc dwa przypadki y''=0 lub x+f'(y')=0.

Jeżeli y''=0  to y'=C.

Poszukiwana całka powinna spełniać równanie Clairuta; z podstawienia ostatniej wartości do wyjściowego równania otrzymujemy całkę ogólną równania:

Jest to jednoparametrowa rodzina linii prostych.

Drugi przypadek gdy x+f'(y')=0.

Jeśli to równanie ma całkę spełniającą również równanie, to równanie linii całkowej odpowiadającej tej całce otrzymamy w postaci równań parametrycznych traktując y' jako parametr. Linia ta jest obwiednią rodziny linii prostych i jest całką osobliwą równania Clairuta.

II.               Równania Lagrange'a

         Równaniem różniczkowym Lagrange'a  nazywamy równanie postaci

w którym o funkcjach f i g zakładamy, że są danymi funkcjami klasy C¹ w pewnym przedziale oraz f(y')≠y' (tzn. że równanie to nie jest równaniem Clairuta). Poszukujemy rozwiązań równania różniczkowego posiadających drugie pochodne ciągłe.

         Po zróżniczkowaniu stronami względem x mamy

Podstawiając y'=p, y''=dp/dx, przy założeniu, że xf'(p)+g'(p)≠0, otrzymujemy

         Jeżeli licznik p - f(p) jest równy zeru przy wartościach p₁,p₂,...,p_k, to przedział zmienności p rozbijamy na rozłączne przedziały nie zawierające punktów p_i (i=1,2,...,k). W każdym z nich pochodna dp/dx zachowuje stały znak, co oznacza, że p jest funkcją ściśle monotoniczną zmiennej x. Istnieje więc funkcja odwrotna x=x(p) różniczkowalna w odpowiednim przedziale; ponieważ

przy założeniu że dp/dx≠0, które jest spełnione, więc traktujemy w równaniu x jako zmienną zależną, a p jako zmienną niezależną otrzymujemy równanie

które jest liniowe. Z rozwiązania tego równania otrzymujemy x jako jawną funkcję p i stałej dowolnej C ,tzn. x=h(p,C).

         Równanie zapisać teraz możemy w postaci y=xf(p)+g(p), a po uwzględnieniu istniejących związków w postaci

         Równania te określają rozwiązanie naszego równania w postaci parametrycznej (parametrem jest p).

         Rozpatrzmy na koniec wartości p_i, przy których zachodzi równość p_i-f(p_i)=0; wówczas równanie ma całkę

której wykresem jest prosta.

 

RÓWNANIA ZUPEŁNE

I CZYNNIK CAŁKUJĄCY

I.                Równania różniczkowe zupełne

         Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzędu pierwszego danym postacią

w którym funkcje P(x,y) i Q(x,y) są ciągłe w pewnym obszarze D i takie że wyrażenie

jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych F(x,y) określonej w obszarze D. Oznacza to, że w obszarze D istnieje taka różniczkowalna funkcja F(x,y), że zachodzą związki:

w każdym punkcie tego obszaru.

         Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C¹ w obszarze jednospójnym D, to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie było różniczką zupełną w tym obszarze, jest spełnienie równości

w każdym punkcie obszaru D.

         Jeżeli wyrażenie

jest przy danych założeniach różniczką zupełną funkcji to równanie

gdzie C jest stałą dowolną, a punkty (x,y) należą do obszaru D, określa wszystkie rozwiązania równania zypełnego.

II.               Czynnik całkujący

Wróćmy do równania różniczkowego postaci

gdzie P i Q są klasy C¹ w badanym obszarze.

         Jeżeli nie jest spełniony warunek

to nasze równanie nie jest równaniem zupełnym. Może jednak istnieć taka funkcja m(x,y)≠0 w rozpatrywanym obszarze, że jeżeli pomnożymy przez nią obie strony równania różniczkowego, to otrzymane w ten sposób równanie

jest już równaniem zupełnym, tzn. spełniony jest warunek dla równania

w obszarze D. Taką funkcje m(x,y) nazywamy czynnikiem całkującym równania. Można wykazać, że dla każdego równania różniczkowanego danego w tej postaci istnieje nieskończenie wiele czynników całkujących; znalezienie ich jednak w ogólnym przypadku prowadzi do rozwiązania równania różniczkowego rzędu pierwszego o pochodnych cząstkowych, z funkcją niewiadomą m(x,y), które jest na ogół trudniejsze do rozwiązania niż proste równanie wyjściowe.

         Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C¹ w obszarze jednospójnym D, Q(x,y)≠0 oraz wyrażenie

jest funkcją tylko zmiennej x, to istnieje czynnik całkujący m(x) równania, który jest funkcją tylko zmiennej x określony równością:

         Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C¹w obszarze jednospójnym D, P(x,y)≠0≠ oraz wyrażenie

jest funkcją tylko zmiennej y, to istnieje czynnik całkujący m(y) równania, który jest funkcją tylko zmiennejy, określony równością

         Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C¹ w obszarze jednospójnym D oraz istnieją takie dwie funkcje f(x) i g(y) spełniające tożsamościowo równość

to istnieje czynnik całkujący m(x,y) będący iloczynem funkcji φ(x) oraz ψ(x) określonych

 

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE O WSPÓŁCZYNNIKACH STAŁYCH

I.                Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego

Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego o współczynnikach stałych ma postać

 dla a≠0.

Równanie to jest liniowe względem y i jej pochodnych, natomiast funkcja f zmiennej x może być dowolnej postaci, a litery a, b oraz c oznaczają dowolne stałe.

         Jeżeli w równaniu jest f(x)=0, czyli równanie ma postać

to równanie nazywamy równaniem jednorodnym; w przypadku przeciwnym nazywamy równaniem niejednorodnym.

         Jeżeli znamy rozwiązanie ogólne y₁(x; C₁, C₂) równania jednorodnego oraz jakieś rozwiązanie szczególne y₂(x) równania niejednorodnego, to rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego wyraża się wzorem

         Jeżeli znamy dwa rozwiązania szczególne u₁(x) i u₂(x) równania jednorodnego to rozwiązanie ogólne tego równania wyraża się wzorem

przy założeniu, że funkcje u₁(x) oraz u₂(x) są liniowo niezależne.

II.           Równanie liniowe jednorodne

         Jak już stwierdziliśmy równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego o współczynnikach stałych ma postać

przy a≠0.

Dla równań tej postaci zachodzi następujące twierdzenie:

         Przez każdy punkt (x₀,y₀) płaszczyzny Oxy przechodzi dokładnie jedna linia całkowa o równaniu y=g(x) taka, że styczna do niej w tym punkcie tworzy z dodatnim zwrotem osi Ox dany z góry kąt φ≠0.5.

         Mówiąc inaczej, rozwiązanie równania otrzymujemy zawsze w postaci funkcji jawnej y=g(x), spełniającej przy dowolnych wartościach x₀, y₀, y₁ warunki początkowe

         Jeżeli w równaniu podstawimy

to po podzieleniu przez e^rx otrzymamy równanie

zwane równaniem charakterystycznym równania.

         Jeżeli b²-4ac>0, czyli równanie to ma dwa różne pierwiastki r₁, r₂, to równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne postaci

         Jeżeli b²-4ac=0, czyli równanie ma jeden pierwiastek podwójny r₁=r₂, to równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne postaci

         Jeżeli zaś b²-4ac<0, czyli równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki zespolone r₁=-βi, r₂=+βi, to równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne postaci

gdzie

III.      Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne

         Jak wiemy równanie liniowe niejednorodne rzędu drugiego o współczynnikach stałych ma postać

Dla równań tej postaci zachodzi następujące twierdzenie:

         Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale <x<β, to przez każdy punkt (x₀,y₀), gdzie <x₀<β, płaszczyzny Oxy przechodzi dokładnie jedna linia całkowa o równaniu y=g(x) taka, że styczna do niej tworzy z dodatnim zwrotem osi Ox dany z góry kąt φ≠0.5.

         Mówiąc inaczej, rozwiązanie równania niejednorodnego, gdzie f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale <x<β, otrzymujemy w postaci jawnej funkcji y=g(x) spełniającej przy dowolnych wartościach x₀, y₀, y₁ warunki początkowe

Jak było podane wcześniej całkę ogólną równania otrzymujemy jako sumę

gdzie y₁ jest całką ogólną równania jednorodnego, a y₂ jakimś rozwiązaniem szczególnym naszego równania. Rozwiązanie y₂ znajdujemy zazwyczaj bądź metodą przewidywania bądź metodą uzmienniania stałej.

RÓWNANIA RZĘDU DRUGIEGO

SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU PIERWSZEGO

I.                  Równania różniczkowe typu F(x,y',y'')=0

         Równania różniczkowe rzędu drugiego, w którym y nie występuje w sposób wyraźny rozwiązujemy przez podstawienie

tzn. traktując pochodną y' jako funkcję x. Wówczas y''=p' i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego

II.               Równanie różniczkowe typu F(y,y',y'')=0

Równanie różniczkowe typu

tzn. równanie różniczkowe rzędu drugiego, w którym x nie występuje jawnie, rozwiązujemy przez podstawienie

tzn. traktując pochodną y' jako funkcję zmiennej y. Wówczas jest

a równanie przekształca się w równanie rzędu pierwszego.

III.      Równania różniczkowe jednorodne względem y, y',y''

         Równanie różniczkowe rzędu drugiego, jednorodne względem y, y',y'', rozwiązujemy przez podstawienie

gdzie u jest funkcją x, skąd

  

         Podstawienie to sprowadza dane równanie do równania rzędu drugiego, którego zmienna zależna nie występuje w sposób wyraźny.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE

RZĘDU N

RÓWNANIA EULERA

I.                Równania różniczkowe liniowe rzędu n

         Równaniem różniczkowym liniowym rzędu n o współczynnikach stałych nazywamy równanie postaci

Równanie to, będące bezpośrednim uogólnieniem równania rzędu drugiego jest liniowe względem y i wszystkich jej pochodnych; występuje w równaniu współczynniki a₀, a₁,...,a_n są stałe, a f(x) jest dowolną funkcja. Jeżeli f(x)=0, równanie to, zazwyczaj postaci

nazywamy równaniem jednorodnym, a w przypadku przeciwnym - równaniem niejednorodnym.

         Jeżeli u₁, u₂, ..., u_n są dowolnymi, lecz niezależnymi liniowo rozwiązanymi równaniami jednorodnego, to rozwiązanie ogólne tego równania ma postać

         Rozwiązanie ogólne y(x; C₁,C₂, ..., C_n) równania niejednorodnego otrzymujemy jako sumę rozwiązania ogólnego y₁(x; C₁,C₂,..., C_n) równania jednorodnego i jakiegoś rozwiązania szczególnego y₂(x) równania niejednorodnego, czyli

         Rozwiązanie szczególne y₂(x) znajdujemy zazwyczaj bądź metodą przewidywania, bądź metodą uzmienniania stałych.

         Zajmiemy się rozwiązywaniem równani jednorodnego. Przewidujemy, że równanie to ma rozwiązanie szczególne postaci

         Po podstawieniu tych wartości do równania i po przedzieleniu przez e^rx≠0 otrzymujemy równanie charakterystyczne:

Pierwiastki tego równania nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi wyjściowego równania.

         Jeżeli równanie ma n różnych rzeczywistych pierwiastków r₁,r₂,...,r_n to równanie ma rozwiązanie ogólne postaci

         Jeżeli równanie ma charakterystyczne ma k różnych pierwiastków rzeczywistych r₁,r₂,...,r_k oraz n-k różnych parami sprzężonych pierwiastków zespolonych r_i=_i+iβ₁, r_j=_i-iβ₁, to rozwiązanie ogólne równania równa się sumie wyrażeń

oraz wyrażeń

         Jest to możliwe wówczas, gdy n-k jest liczbą parzystą. Rozwiązanie to możemy zapisać więc w postaci

         Jeżeli wreszcie równanie charakterystyczne ma pierwiastki jednokrotne i wielokrotne (zarówno rzeczywiste jak i zespolone), to rozwiązanie ogólne równania składa się z sumy wyrażeń postaci (dla jednokrotnych pierwiastków rzeczywistych), wyrażeń postaci (dla jednokrotnych pierwiastków zespolonych), wyrażeń postaci

oraz  wyrażeń postaci

dla k-krotnych pierwiastków zespolonych parami sprzężonych.

II.           Równania Eulera

       Uogólnieniem równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach rzędu drugiego jest równanie różniczkowe postaci

zwane równaniem różniczkowym Eulera. W równaniu tym a, b, c są stałe, a równanie jest liniowe względem y i jej pochodnych.

         Jeżeli f(x)=0, czyli równanie Eulera ma postać

nazywamy go równaniem jednorodnym, w przeciwnym przypadku równaniem niejednorodnym.

         Jeżeli u₁(x) i u₂(x) są dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami szczególnymi równania jednorodnego, to rozwiązanie ogólne y₁(x; C₁, C₂) otrzymujemy jako sumę

         Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego otrzymujemy w postaci

gdzie y₂ jest jakimś rozwiązaniem szczególnym. Rozwiązanie szczególne znajdujemy zazwyczaj metodę przewidywań lub metodą uzmienniania stałych.

         Rozwiązanie równania jednorodnego przewidujemy w postaci funkcji potęgowej

Przy założeniu, że x_r≠0, po podstawieniu do równania i po uproszczeniu otrzymujemy równanie charakterystyczne

czyli

Jeżeli delta (a-b)²-4ac>0, to równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r₁ i r₂, a równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne w postaci

Jeżeli delta jest równa zero, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny r₁=r₂, a równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne w postaci

Jeżeli zaś delta jest ujemna, to równanie ma dwa różne pierwiastki zespolone sprzężone r₁=-βi, r₂=+βi a równanie jednorodne ma rozwiązanie ogólne w postaci

---