Relacje równoważności

Definicja

Relację R nazywamy równoważnością w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona

zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Przykłady

Relacja równości (być równym) określona w zbiorze liczb jest równoważnością, gdyż:

a) dla każdej liczby a mamy a = a,

b) jeśli tylko a = b, to oczywiście b = a,

c) jeśli tylko a = b oraz b = c, to oczywiście c = a.

Relacja

≤

(czyli definiowana warunkiem x

≤

y) określona w zbiorze liczb nie jest

równoważnością, bo chociaż jest zwrotna ( gdyż a

≤

a dla dowolnej liczby rzeczywistej a) i

przechodnia (gdyż jeśli a

≤

b oraz b

≤

c, to a

≤

c dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c),

ale nie jest symetryczna, gdyż jest 5

≤

8 , ale nie jest prawdą, że 8

≤

5.

Relacja mieć ten sam kształt określona w zbiorze klocków logicznych Dienesa jest relacją

równoważnościową. Na przykład w tej relacji z klockiem niebieskim trójkątnym małym są

klocki trójkątne niebieskie, czerwone, żółte, małe i duże, cienkie i grube. Zbiór ten liczy 12

klocków trójkątnych.

Rozważmy zbiór dzieci przebywających na placu zabaw oraz relację mieć to samo imię.

Jest to relacja równoważnościowa, co nie trudno uzasadnić. Rysunek przedstawia punkty

symbolizujące dzieci, ich imiona i inicjały nazwisk.

Anna W.

Monika S

.

Marta W.

Karol A.

Monika K.

Karol B

.

Karol C.

Karol D.

Marta S.

Rysujemy strzałki reprezentujące relację mieć to samo imię.

Zauważ, że zbiór dzieci rozpadł się na cztery rozłączne niepuste podzbiory. Dwie osoby

należą do tego samego podzbioru wtedy i tylko wtedy, gdy są ze sobą w relacji mają to samo

imię.

Tak się stało, ponieważ relacja była równoważnościowa.

Definicja

Niech A będzie dowolnym zbiorem. Podziałem (klasyfikacją) zbioru A na

podzbiory nazywamy każdą rodzinę jego podzbiorów rozłącznych i niepustych i taką,

Anna W.

Monika S.

Marta W.

Karol A

.

Monika K.

Karol B

.

Karol C.

Karol D.

Marta S

.

Anna W.

Monika S.

Marta W.

Karol A

.

Monika K.

Karol B

.

Karol C.

Karol D.

Marta S

.

ż

e każdy element zbioru A należy do jakiegoś podzbioru tej rodziny.

Każdy podzbiór tej rodziny nazywamy klasą podziału.

Klasyfikacji (podziału) zbioru dokonuje się w praktyce zazwyczaj na jeden z dwu

zasadniczych sposobów.

Sposób pierwszy: Np.: zbiór klocków logicznych Dienesa dzielimy na zbiory: trójkątów,

kwadratów, prostokątów i kół. Zatem wyróżniamy pewne własności elementów klasyfikowa-

nego zbioru (kształt) i każdą klasę (podzbiór) tworzymy z tych elementów, które mają

wspólne wyróżnione własności.

Ogólnie: dzielimy zbiór na niepuste rozłączne podzbiory, przy czym każdy element zbioru

musi znaleźć się w którymś podzbiorze.

Klasyfikacją rozważanego zbioru dzieci {Anna W., Monika S., Monika K., Karol A.,

Karol B., Karol C., Karol D., Marta S., Marta W.} jest rodzina podzbiorów: {Anna W.},

{Monika S., Monika K.}, {Karol A., Karol B., Karol C., Karol D.}, {Marta S., Marta W.}.

Sposób drugi: W klasyfikowanym zbiorze Z wyróżniamy pewną relację równoważności

R. Relacja ta dzieli zbiór Z na rozłączne niepuste podzbiory. Przy czym element x zaliczamy

do tego samego podzbioru co element y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w relacji R z y.

Ten sposób ilustrowaliśmy dzieląc zbiór dzieci przebywających na placu zabaw rozważając

relację mieć to samo imię.

Podstawę teoretyczną dla takiego sposobu podziału dają twierdzenia:

Twierdzenie 1

Każda relacja równoważnościowa wyznacza pewną podział zbioru, w którym jest ona

określona. Klasy podziału są utworzone z elementów będących w tej relacji.

Twierdzenie 2

Każdy podział wyznacza relację określoną następująco: elementy a, b są w relacji

wtedy i tylko wtedy, gdy należą do tego samego podzbioru z danego podziału.

Odniesienia do nauczania

Ć

wiczenia związane z klasyfikowaniem zestawów przedmiotów (klocków, guzików,

przyborów szkolnych, owoców itp.) należą do typowych zadań rozwiązywanych przez dzieci.

Te klasyfikacje mogą być organizowane w oparciu o oba teoretyczne podejścia opisanej

wyżej, a mianowicie dokonując podziału zbioru na podzbiory bądź wykorzystując własności

relacji równoważnościowej. Niezależnie od przyjętej koncepcji teoretycznej stopniowe

wprowadzanie dzieci w te zagadnienia i przyzwyczajanie ich do posługiwania się językiem

mnogościowym powinno być naturalnym rozszerzeniem doświadczeń dzieci oraz języka

dziecka. Niewłaściwe jest narzucanie dzieciom reguł typu: zamiast guzik mówimy element

zbioru guzików, zamiast klocki czerwone mówimy podzbiór klocków czerwonych, zamiast

dzielimy klocki na duże i małe mówimy dzielimy zbiór klocków na dwie klasy klocków dużych

i klocków małych.

Terminologią mnogościową posługujemy się tylko wtedy, gdy jest ona rzeczywiście nam

użyteczna.

Literatura

Z. Semadeni, Matematyka współczesna w nauczaniu dzieci, PWN. Warszawa 1977; s.

142 – 144.

Ćwiczenia

1.

Wyjaśnij, wykorzystując własności odpowiedniej relacji dlaczego:

a) możemy mówić klocki a i b mają ten sam kształt zamiast klocek a ma taki sam

kształt jak klocek b,

b) nie możemy powiedzieć, że liczby 8 i 4 są podzielne, zamiast liczba 8 jest podzielna

przez 4,

c) mówimy krótko proste są prostopadłe, figury są przystające, liczby są naturalne,

ale nie możemy powiedzieć liczby są mniejsze.

2.

Uzupełnij tabelkę relacji wpisując możliwie najmniej * tak, aby była ona tabelką

relacji równoważnościowej. Po uzupełnieniu tabelki narysuj graf strzałkowy tej

relacji.

1

2

3

4

1

*

2

3

*

*

4

*

3.

Zbadaj własności relacji być rówieśnikiem określonej w zbiorze uczniów danej szkoły.

4.

W zbiorze liczb całkowitych określamy relację S warunkiem: a S b

⇔

a – b jest liczbą

parzystą. Zbadaj własności tej relacji. Napisz tabelkę częściową tej relacji.

5.

W zbiorze prostokątów określamy relację warunkiem: x R y wtedy i tylko wtedy, gdy

prostokąty x, y mają równe obwody. Przedstaw na rysunku kilka prostokątów

będących w relacji R z prostokątem o obwodzie 10.

6.

Dokonaj podziału (klasyfikacji) zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} na cztery klasy.

7.

Zbadaj, czy podana rodzina zbiorów jest klasyfikacją zbioru (wskaż go):

a) {1, 2}, {3},

∅

, {4, 5, 8, 9}.

b) {1, 2, 3}, {2, 4}, {5}, {6}, { 9}.

8.

Określ na podanych zbiorach relacje równoważności. W każdym przypadku podaj

odpowiadający danej relacji podział zbioru na podzbiory.

a) zbiór uczniów danej klasy,

b) zbiór mieszkańców jednego bloku mieszkalnego w dużym mieście,

c) zbiór klocków logicznych Dienesa,

d) zbiór trójkątów.