Relacje równowaŜności
Definicja
Relację R nazywamy równowaŜnością w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona
zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Przykłady
Relacja równości (być równym) określona w zbiorze liczb jest równowaŜnością, gdyŜ:
a) dla kaŜdej liczby a mamy a = a,
b) jeśli tylko a = b, to oczywiście b = a,
c) jeśli tylko a = b oraz b = c, to oczywiście c = a.
Relacja
≤
(czyli definiowana warunkiem x
≤
y) określona w zbiorze liczb nie jest
równowaŜnością, bo chociaŜ jest zwrotna ( gdyŜ a
≤
a dla dowolnej liczby rzeczywistej a) i
przechodnia (gdyŜ jeśli a
≤
b oraz b
≤
c, to a
≤
c dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c),
ale nie jest symetryczna, gdyŜ jest 5
≤
8 , ale nie jest prawdą, Ŝe 8
≤
5.
Relacja mieć ten sam kształt określona w zbiorze klocków logicznych Dienesa jest relacją
równowaŜnościową. Na przykład w tej relacji z klockiem niebieskim trójkątnym małym są
klocki trójkątne niebieskie, czerwone, Ŝółte, małe i duŜe, cienkie i grube. Zbiór ten liczy 12
klocków trójkątnych.
RozwaŜmy zbiór dzieci przebywających na placu zabaw oraz relację mieć to samo imię.
Jest to relacja równowaŜnościowa, co nie trudno uzasadnić. Rysunek przedstawia punkty
symbolizujące dzieci, ich imiona i inicjały nazwisk.
Anna W.
Monika S
.
Marta W.
Karol A.
Monika K.
Karol B
.
Karol C.
Karol D.
Marta S.
Rysujemy strzałki reprezentujące relację mieć to samo imię.
ZauwaŜ, Ŝe zbiór dzieci rozpadł się na cztery rozłączne niepuste podzbiory. Dwie osoby
naleŜą do tego samego podzbioru wtedy i tylko wtedy, gdy są ze sobą w relacji mają to samo
imię.
Tak się stało, poniewaŜ relacja była równowaŜnościowa.
Definicja
Niech A będzie dowolnym zbiorem. Podziałem (klasyfikacją) zbioru A na
podzbiory nazywamy kaŜdą rodzinę jego podzbiorów rozłącznych i niepustych i taką,
Anna W.
Monika S.
Marta W.
Karol A
.
Monika K.
Karol B
.
Karol C.
Karol D.
Marta S
.
Anna W.
Monika S.
Marta W.
Karol A
.
Monika K.
Karol B
.
Karol C.
Karol D.
Marta S
.
Ŝ
e kaŜdy element zbioru A naleŜy do jakiegoś podzbioru tej rodziny.
KaŜdy podzbiór tej rodziny nazywamy klasą podziału.
Klasyfikacji (podziału) zbioru dokonuje się w praktyce zazwyczaj na jeden z dwu
zasadniczych sposobów.
Sposób pierwszy: Np.: zbiór klocków logicznych Dienesa dzielimy na zbiory: trójkątów,
kwadratów, prostokątów i kół. Zatem wyróŜniamy pewne własności elementów klasyfikowa-
nego zbioru (kształt) i kaŜdą klasę (podzbiór) tworzymy z tych elementów, które mają
wspólne wyróŜnione własności.
Ogólnie: dzielimy zbiór na niepuste rozłączne podzbiory, przy czym kaŜdy element zbioru
musi znaleźć się w którymś podzbiorze.
Klasyfikacją rozwaŜanego zbioru dzieci {Anna W., Monika S., Monika K., Karol A.,
Karol B., Karol C., Karol D., Marta S., Marta W.} jest rodzina podzbiorów: {Anna W.},
{Monika S., Monika K.}, {Karol A., Karol B., Karol C., Karol D.}, {Marta S., Marta W.}.
Sposób drugi: W klasyfikowanym zbiorze Z wyróŜniamy pewną relację równowaŜności
R. Relacja ta dzieli zbiór Z na rozłączne niepuste podzbiory. Przy czym element x zaliczamy
do tego samego podzbioru co element y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w relacji R z y.
Ten sposób ilustrowaliśmy dzieląc zbiór dzieci przebywających na placu zabaw rozwaŜając
relację mieć to samo imię.
Podstawę teoretyczną dla takiego sposobu podziału dają twierdzenia:
Twierdzenie 1
KaŜda relacja równowaŜnościowa wyznacza pewną podział zbioru, w którym jest ona
określona. Klasy podziału są utworzone z elementów będących w tej relacji.
Twierdzenie 2
KaŜdy podział wyznacza relację określoną następująco: elementy a, b są w relacji
wtedy i tylko wtedy, gdy naleŜą do tego samego podzbioru z danego podziału.
Odniesienia do nauczania
Ć
wiczenia związane z klasyfikowaniem zestawów przedmiotów (klocków, guzików,
przyborów szkolnych, owoców itp.) naleŜą do typowych zadań rozwiązywanych przez dzieci.
Te klasyfikacje mogą być organizowane w oparciu o oba teoretyczne podejścia opisanej
wyŜej, a mianowicie dokonując podziału zbioru na podzbiory bądź wykorzystując własności
relacji równowaŜnościowej. NiezaleŜnie od przyjętej koncepcji teoretycznej stopniowe
wprowadzanie dzieci w te zagadnienia i przyzwyczajanie ich do posługiwania się językiem
mnogościowym powinno być naturalnym rozszerzeniem doświadczeń dzieci oraz języka
dziecka. Niewłaściwe jest narzucanie dzieciom reguł typu: zamiast guzik mówimy element
zbioru guzików, zamiast klocki czerwone mówimy podzbiór klocków czerwonych, zamiast
dzielimy klocki na duŜe i małe mówimy dzielimy zbiór klocków na dwie klasy klocków duŜych
i klocków małych.
Terminologią mnogościową posługujemy się tylko wtedy, gdy jest ona rzeczywiście nam
uŜyteczna.
Literatura
Z. Semadeni, Matematyka współczesna w nauczaniu dzieci, PWN. Warszawa 1977; s.
142 – 144.
Ćwiczenia
1.
Wyjaśnij, wykorzystując własności odpowiedniej relacji dlaczego:
a) moŜemy mówić klocki a i b mają ten sam kształt zamiast klocek a ma taki sam
kształt jak klocek b,
b) nie moŜemy powiedzieć, Ŝe liczby 8 i 4 są podzielne, zamiast liczba 8 jest podzielna
przez 4,
c) mówimy krótko proste są prostopadłe, figury są przystające, liczby są naturalne,
ale nie moŜemy powiedzieć liczby są mniejsze.
2.
Uzupełnij tabelkę relacji wpisując moŜliwie najmniej * tak, aby była ona tabelką
relacji równowaŜnościowej. Po uzupełnieniu tabelki narysuj graf strzałkowy tej
relacji.
1
2
3
4
1
*
2
3
*
*
4
*
3.
Zbadaj własności relacji być rówieśnikiem określonej w zbiorze uczniów danej szkoły.
4.
W zbiorze liczb całkowitych określamy relację S warunkiem: a S b
⇔
a – b jest liczbą
parzystą. Zbadaj własności tej relacji. Napisz tabelkę częściową tej relacji.
5.
W zbiorze prostokątów określamy relację warunkiem: x R y wtedy i tylko wtedy, gdy
prostokąty x, y mają równe obwody. Przedstaw na rysunku kilka prostokątów
będących w relacji R z prostokątem o obwodzie 10.
6.
Dokonaj podziału (klasyfikacji) zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} na cztery klasy.
7.
Zbadaj, czy podana rodzina zbiorów jest klasyfikacją zbioru (wskaŜ go):
a) {1, 2}, {3},
∅
, {4, 5, 8, 9}.
b) {1, 2, 3}, {2, 4}, {5}, {6}, { 9}.
8.
Określ na podanych zbiorach relacje równowaŜności. W kaŜdym przypadku podaj
odpowiadający danej relacji podział zbioru na podzbiory.
a) zbiór uczniów danej klasy,
b) zbiór mieszkańców jednego bloku mieszkalnego w duŜym mieście,
c) zbiór klocków logicznych Dienesa,
d) zbiór trójkątów.