Relacje porządku

Definicje

Relację R nazywamy częściowo porządkującą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy

jest ona zwrotna, przechodnia i na wpół antysymetryczna.

Zbiór, w którym określono relację częściowego porządku nazywamy zbiorem częścio-

wo uporządkowanym.

Przykłady

Relacja mniejszy lub równy (

≤

) określona w zbiorze liczb jest częściowym porządkiem,

gdyż:

a) dla każdej liczby a mamy a

≤

a , relacja

≤

jest zwrotna,

b) jeśli tylko a

≤

b oraz b

≤

c, to oczywiście a

≤

c , relacja

≤

jest przechodnia,

c) jeśli tylko a

≤

b i b

≤

a, to oczywiście a = b, relacja

≤

jest na wpół antysymetryczna.

Relacja podzielności (tzn zdefiniowana warunkiem a | b

⇔

a jest dzielnikiem b ) określo-

na w zbiorze liczb naturalnych jest częściowym porządkiem, gdyż:

a) dla każdej liczby a mamy a | a , relacja | jest zwrotna,

b) jeśli a jest dzielnikiem b oraz b jest dzielnikiem c, to oczywiście a jest dzielnikiem

liczby c, czyli relacja | jest przechodnia,

c) jeśli tylko a jest dzielnikiem b i b jest dzielnikiem a, to oczywiście a = b, relacja | jest

na wpół antysymetryczna.

Relacja S określona warunkiem x S y

⇔

x – y jest liczbą parzystą określona w zbiorze

liczb całkowitych nie jest częściowym porządkiem, gdyż

a) dla każdej liczby a mamy aSa, bo a – a = 0 , czyli różnica jest liczbą parzystą, a to

znaczy, że S jest relacją zwrotną,

b) S jest relacją przechodnią, bo jeśli tylko a S b (czyli różnica a - b jest liczbą parzystą)

oraz b S c, (czyli różnica b – c jest liczbą parzystą), to oczywiście a S c , bo suma

(a – b) + (b – c) = a – c jako suma liczb parzystych jest liczbą parzystą. Zatem relacja S

jest przechodnia.

c) S nie jest relacją na wpół antysymetryczną, bo jeśli 6 – 2 jest liczbą parzystą oraz 2 – 4

jest liczbą parzystą, ale nie prawda, że 6 = 6.

Odniesienia do nauczania

W praktyce szkolnej z zagadnieniami porządkowania zbiorów (konkretnych przedmio-

tów, wyrazów, liczb, dzieci) uczniowie spotykają się bardzo często. Pojawiają się one w sytu-

acjach zabawowych, gdy pojawia się potrzeba ustawienia dzieci w różny sposób, m.in. wg

wzrostu, alfabetycznie bądź losowo, gdy wskazuje się mu miejsce w szeregu. Porządkuje się

również litery, wyrazy (lista alfabetyczna), wytwory (np. prace plastyczne).

Pełne ukształtowanie pojęcia liczby naturalnej wymaga rozumienia jej aspektu porząd-

kowego, który wyraźnie ujawnia się, gdy należy określić „z którym z kolei elementem mamy

do czynienia”. Dziecko obiera kolejność przeliczania elementów (ustala konkretny porządek)

i stwierdza, który liczebnik wypowie jako ostatni podczas liczenia.

Jeden i ten sam zbiór można porządkować rozmaicie, tzn. można w nim zdefiniować

porządek na wiele różnych sposobów. Fakt ten nie jest jednak tak oczywisty dla dzieci.

Literatura

T. Sawicki, R. Reclik, J. Nowik, Matematyka, Wydawnictwo Nowik, Opole 1997;

s. 57.

Ćwiczenia

1.

Uzasadnij, że relacja zawierania się zbiorów (

⊂

) jest relacją częściowo porządkującą

zbiór podzbiorów zbioru {1, 3, 5, 7}.

2.

Zbadaj, czy zbiór uczniów pewnej klasy wraz z relacją:

a) … nie jest starszy niż … ,

b) miesiąc urodzenia ucznia A jest wcześniejszy niż miesiąc urodzenia B

jest zbiorem częściowo uporządkowanym.

3.

Wiemy, że zbiór { 2, 3, 4, 6} jest zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację

R, której niepełny graf przedstawia rysunek. Dorysuj brakujące strzałki.

2

6

3

4

4.

Osoby o inicjałach: Marek B., Jakub N., Jan C., Wojciech A., Wanda S., Krystyna A.,

Monika B. stoją:

a) w jednej kolejce zgodnie z zasadą: najpierw alfabetycznie kobiety, potem alfabe-

tycznie mężczyźni, b) w dwóch kolejkach, w jednej alfabetycznie kobiety, w drugiej

alfabetycznie mężczyźni, c) wszyscy w jednej kolejce wg porządku alfabetycznego.

W którym przypadku uporządkowano częściowo zbiór tych osób ?

5.

Zaproponuj sposób uporządkowania:

a) zestawu kart jednej tali,

b) domów jednej ulicy wybranego miasta,

c) ulic miasta Kielc, wykorzystaj plan miasta,

d) zestawu klocków logicznych Dienesa,

e) uczniów pewnej klasy spożywających obiad w stołówce, w której są stoliki cztero-

osobowe.