Relacje porządku 

 

Definicje 

Relację R nazywamy częściowo porządkującą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy 

jest ona zwrotna, przechodnia i na wpół antysymetryczna. 

Zbiór, w którym określono relację częściowego porządku nazywamy zbiorem częścio-

wo uporządkowanym.  

 

Przykłady 

Relacja mniejszy lub równy (

≤

  ) określona w zbiorze liczb jest częściowym porządkiem, 

gdyŜ:  

   a)  dla kaŜdej liczby a mamy a 

≤

 a , relacja 

≤

 jest zwrotna, 

   b)  jeśli tylko a 

≤

 b oraz b 

≤

 c,  to oczywiście a 

≤

 c , relacja 

≤

 jest przechodnia, 

   c)   jeśli tylko a 

≤

  b i  b 

≤

 a, to oczywiście a = b, relacja 

≤

 jest na wpół antysymetryczna.  

Relacja podzielności (tzn zdefiniowana warunkiem a | b 

⇔

 a jest dzielnikiem b ) określo-

na w zbiorze liczb naturalnych jest częściowym porządkiem, gdyŜ: 

   a)  dla kaŜdej liczby a mamy a | a , relacja | jest zwrotna, 

   b)  jeśli a jest dzielnikiem b oraz b jest dzielnikiem c,  to oczywiście  a jest dzielnikiem  

        liczby c, czyli relacja | jest przechodnia, 

   c)   jeśli tylko a jest dzielnikiem b i  b jest dzielnikiem a, to oczywiście a = b, relacja | jest  

       na wpół antysymetryczna.  

Relacja S określona warunkiem  x S y 

⇔

 x – y jest liczbą parzystą określona w zbiorze 

liczb całkowitych nie jest częściowym porządkiem, gdyŜ  

    a)  dla kaŜdej liczby a mamy aSa, bo a – a = 0 , czyli róŜnica jest liczbą parzystą, a to  

      znaczy, Ŝe S jest relacją zwrotną, 

   b) S jest relacją przechodnią, bo jeśli tylko a S b (czyli róŜnica a - b jest liczbą parzystą)  

       oraz b S c,  (czyli róŜnica b – c jest liczbą parzystą), to oczywiście a S c , bo suma  

       (a – b) + (b – c) = a – c jako suma liczb parzystych jest liczbą parzystą. Zatem relacja S  

       jest przechodnia. 

   c)  S nie jest relacją na wpół antysymetryczną, bo jeśli 6 – 2 jest liczbą parzystą oraz 2 – 4  

        jest liczbą parzystą, ale nie prawda, Ŝe 6 = 6.     

 

 

Odniesienia do nauczania 

 

W praktyce szkolnej z zagadnieniami porządkowania zbiorów (konkretnych przedmio-

tów, wyrazów, liczb, dzieci) uczniowie spotykają się bardzo często. Pojawiają się one w sytu-

acjach zabawowych, gdy pojawia się potrzeba ustawienia dzieci w róŜny sposób, m.in. wg 

wzrostu, alfabetycznie bądź losowo, gdy wskazuje się mu miejsce w szeregu. Porządkuje się 

równieŜ litery, wyrazy (lista alfabetyczna), wytwory (np. prace plastyczne).  

Pełne ukształtowanie pojęcia liczby naturalnej wymaga rozumienia jej aspektu porząd-

kowego, który wyraźnie ujawnia się, gdy naleŜy określić „z którym z kolei elementem mamy 

do czynienia”. Dziecko obiera kolejność przeliczania elementów (ustala konkretny porządek) 

i stwierdza, który liczebnik wypowie jako ostatni podczas liczenia. 

 Jeden i ten sam zbiór moŜna porządkować rozmaicie, tzn. moŜna w nim zdefiniować 

porządek na wiele róŜnych sposobów. Fakt ten nie jest jednak tak oczywisty dla dzieci.  

 

 Literatura 

T. Sawicki, R. Reclik, J. Nowik, Matematyka, Wydawnictwo Nowik, Opole 1997; 

 s. 57. 

 

Ćwiczenia 

1.

 

Uzasadnij, Ŝe relacja zawierania się zbiorów ( 

⊂

 ) jest relacją częściowo porządkującą 

zbiór podzbiorów zbioru {1, 3, 5, 7}. 

2.

 

Zbadaj, czy zbiór uczniów pewnej klasy wraz z relacją: 

 a) … nie jest starszy niŜ … , 

 b) miesiąc urodzenia ucznia A jest wcześniejszy niŜ miesiąc urodzenia B 

jest zbiorem częściowo uporządkowanym. 

3.

 

Wiemy, Ŝe zbiór { 2, 3, 4, 6} jest zbiorem częściowo uporządkowanym przez relację 

R, której niepełny graf przedstawia rysunek. Dorysuj brakujące strzałki.  

 
 
 
 
 
 
 
   

2

6

3

4

4.

 

Osoby o inicjałach: Marek B., Jakub N., Jan C., Wojciech A., Wanda S., Krystyna A., 

Monika B. stoją:  

a) w jednej kolejce zgodnie z zasadą: najpierw alfabetycznie kobiety, potem alfabe-

tycznie męŜczyźni, b) w dwóch kolejkach, w jednej alfabetycznie kobiety, w drugiej 

alfabetycznie męŜczyźni, c) wszyscy w jednej kolejce wg porządku alfabetycznego.   

W którym przypadku uporządkowano częściowo zbiór tych osób ?  

5.

 

Zaproponuj sposób uporządkowania: 

a) zestawu kart jednej tali, 

b) domów jednej ulicy wybranego miasta, 

c) ulic miasta Kielc, wykorzystaj plan miasta, 

d)  zestawu klocków logicznych Dienesa, 

e) uczniów pewnej klasy spoŜywających obiad w stołówce, w której są stoliki cztero-

osobowe.