Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
1
5.
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
5.1. Działanie sił zewnętrznych
Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym na rys. 5.1.
EJ
5.0
8kN
0,3EJ
3.0
4.0
1.0
q = 6 kN/m
[m]
0
1
2
3
Rys. 5.1. Rama płaska statycznie niewyznaczalna
Zanim przyjmiemy układ podstawowy metody przemieszczeń, zauważmy, że pręt
1-3 jest elementem
statycznie wyznaczalnym. Możemy zatem wyciąć ten pręt myślowo, a następnie obciążyć pozostałą część
ramy siłami, które powstaną w utwierdzeniu tego pręta.
8kN
1.0
q = 6 kN/m
[m]
M = 8 ·1 + 6 ·1· = 11 [kNm]
1
2
R = 8 + 6 ·1 = 14 [kN]
Rys. 5.2. Statycznie wyznaczalna część ramy
Teraz przyjmujemy układ podstawowy
EJ
14 kN
0,3EJ
Δ
q = 6 kN/m
11 kNm
φ
Rys. 5.3. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
2
oraz związany z nim układ równań kanonicznych:
{
r
11
r
12
r
1 P
=0
r
21
r
22
r
2 P
=0
(5.1)
Konstrukcja wykonana jest z profili dwuteowych o następujących wielkościach charakterystycznych
przekrojów:
EJ
I140HEB
h
=0,14 m
J
x
=1510 cm
4
0,3 EJ
I100HEB
h
=0,10 m
J
x
=453 cm
4
Wartości momentów w poszczególnych stanach, od jednostkowych przemieszczeń obliczamy ze wzorów
transformacyjnych.
•
Stan
φ = 1:
4·0,3EJ
φ=1
M
1
5
3·EJ
5
r
11
2·0,3EJ
5
r
21
Rys. 5.4. Wykres momentów w układzie podstawowym powstały od obrotu φ
1
= 1 (stan I)
W stanie
D = 1 trzeba najpierw znaleźć kąty obrotu cięciw prętów ψ. W tym celu tworzymy łańcuch
kinematyczny
5.0
3.0
4.0
[m]
Ψ
01
0
1
Δ=1
0
1
2
Ψ
12
Rys. 5.5. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku
D = 1
Z równań łańcucha wyznaczamy kąty obrotu cięciw prętów:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
3
012
01
⋅3
12
⋅5=0
012
01
⋅4
12
⋅0=1
01
=
1
4
12
=−
3
5
⋅
01
=−
3
20
a następnie rysujemy wykresy momentów:
•
Stan
Δ = 1:
M
2
Δ=1
6·0,3EJ
20
3·3EJ
100
6·0,3EJ
20
r
12
r
22
Rys. 5.6. Wykres momentów w układzie podstawowym powstały od przesuwu
D = 1 (stan II)
Na podstawie powyższych wielkości możemy wyznaczyć reakcje po kierunkach wprowadzonych zmiennych:
–
z równowagi węzłów:
r
11
=
3
5
EJ
4
⋅0,3
5
EJ
=0,84 EJ
r
12
=
6
⋅0,3
20
−
3
⋅3
100
EJ
=
0,09
−0,09
EJ
=0
–
z równania pracy wirtualnej:
r
22
⋅1−2⋅
6
⋅0,3
5
⋅4
EJ
⋅
1
4
3
⋅3 EJ
5
⋅20
⋅
−
3
20
=0
r
22
=0,045 EJ 0,0135 EJ =0,0585 EJ
Na tym etapie obliczeń warto skontrolować wartości obliczonych współczynników
r
ik
. Jeżeli zyskamy
pewność, że są one prawidłowe, unikniemy powtórnego rozwiązywania układu równań kanonicznych.
Sprawdzenia współczynników
r
ik
dokonamy, korzystając z równania pracy wirtualnej (5.2). W tym celu
wykorzystamy narysowane wcześniej wykresy momentów w stanach jednostkowych.
L
Z
=
L
W
L
Z
=
∑
i
P
i
i
L
W
=
∫
s
M
M
EJ
ds
(5.2)
Obliczamy pracę sił układu
I (stan φ = 1) na przemieszczeniach układu II (stan Δ = 1)
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
4
L
Z
=r
21
⋅1r
11
⋅0
L
W
=
∑
M
1
⋅
M
2
EJ
ds
(5.3)
L
W
=
1
2
⋅0,6 EJ⋅5⋅
2
3
⋅0,09 EJ⋅1⋅
1
EJ
1
2
⋅0,24 EJ⋅5⋅
−
2
3
⋅0,09 EJ
1
3
⋅0,09 EJ
⋅
1
0,3 EJ
1
2
⋅0,12 EJ⋅5⋅
−
2
3
⋅0,09 EJ
1
3
⋅0,09 EJ
⋅
1
0,3 EJ
=0,09 EJ −
0,018
⋅EJ
0,3
−
0,09
⋅EJ
0,3
=0
Po porównaniu pracy sił zewnętrznych do pracy sił wewnętrznych otrzymujemy:
r
21
=0
Traktując stan
φ jako rzeczywisty, a zarazem wirtualny układ otrzymujemy:
L
Z
=r
11
⋅1r
21
⋅0
L
W
=
∑
M
1
⋅
M
1
EJ
ds
(5.4)
L
W
=
1
EJ
⋅
1
2
⋅0,6 EJ⋅5⋅
2
3
⋅0,06 EJ⋅1
1
0,3 EJ
⋅
[
1
2
⋅0,24 EJ⋅5⋅
2
3
⋅0,24 EJ −
1
3
⋅0,12 EJ
⋅1
1
2
⋅0,12 EJ⋅5⋅
2
3
⋅0,12 EJ −
1
3
⋅0,24 EJ
⋅1
]
=0,6 EJ 0,24 EJ ⋅1=0,84 EJ⋅1
Po wyeliminowaniu 1 i podstawieniu obliczonych wartości do równania (5.2):
r
11
=0,84 EJ
Na koniec stan
Δ = 1 przyjmujemy raz jako układ I (siły) a raz jako układ II (przemieszczenia):
L
Z
=r
22
⋅1r
12
⋅0
L
W
=
∑
M
2
⋅
M
2
EJ
ds
(5.5)
L
W
=
1
EJ
⋅
1
2
⋅0,09 EJ⋅5⋅
2
3
⋅0,09 EJ⋅1
1
0,3 EJ
⋅
[
1
2
⋅0,09 EJ⋅5⋅
2
3
⋅0,09 EJ −
1
3
⋅0,09 EJ
⋅1
1
2
⋅0,09 EJ⋅5⋅
2
3
⋅0,09 EJ −
1
3
⋅0,09 EJ
⋅1
]
=0,0135 EJ 0,0225 EJ 0,0225 EJ ⋅1=0,0585 EJ⋅1
Po wyeliminowaniu 1 i podstawieniu obliczonych wartości do równania (5.2):
r
22
=0,0585 EJ
Wartości współczynników macierzy sztywności pokrywają się z wyznaczonymi wcześniej, możemy przejść
zatem do dalszych obliczeń.
Kolejnym etapem w rozwiązywaniu zadania jest wyznaczenie reakcji od obciążeń zewnętrznych
(stan
P). W tym celu rysujemy wykres momentów od obciążenia zewnętrznego w układzie kinematycznie
wyznaczalnym.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
5
6·4
2
14kN
24kN
M
p
o
12
6·4
2
12
11kNm
r
1P
r
2P
Rys. 5.7. Wykres momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego
i korzystając z równania równowagi w węźle, oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy brakujące reakcje:
r
1 P
=
6
⋅4
2
12
−11=−3[kNm]
W równaniu pracy wirtualnej oprócz momentów pracujących na kątach
ψ trzeba uwzględnić obciążenie
pracujące na przemieszczeniach:
r
2 P
⋅124⋅
1
2
14⋅1=0
r
2 P
=−26 [kN ]
Mając wszystkie współczynniki możemy wyznaczyć szukane przemieszczenia węzłów z układu równań
kanonicznych:
{
0,84 EJ
⋅=3
0,0585 EJ
⋅=26
→
{
=
3,5714286
EJ
=
444,4444444
EJ
Korzystając ze wzoru superpozycyjnego
M
P
n
=M
P
M
1
⋅M
2
⋅
(5.6)
możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w poszczególnych węzłach analizowanej
ramy.
M
01
=−
6
⋅4
2
12
2
⋅0,3 EJ
5
⋅
3,57143
EJ
−
6
⋅0,3 EJ
20
⋅
444,44444
EJ
=−80,42857−40=−47,57143 [kNm]
M
10
=82⋅0,42857−40=−31,14286 [kNm]
M
12
=
3
5
EJ
⋅
3,57143
EJ
3
5
EJ
⋅
3
20
⋅
444,44444
EJ
=42,14286 [kNm]
W wykresie ostatecznym (rys. 5.8) nie wolno zapomnieć o statycznie wyznaczalnej części ramy.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
6
3
0
1
2
31,143
47,571
42,143
M
p
(n)
11
[kNm]
Rys. 5.8. Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym
Obciążając poszczególne pręty wyznaczonymi momentami określamy wartości sił tnących.
R
12
42,1429 kNm
1
2
Rys. 5.9. Przęsło 1-2
Najpierw poddamy analizie przęsło
1-2. Z sumy momentów względem punktu 2 (rys. 5.9) możemy wyznaczyć
reakcje
R
12
.
∑
M
2
=0
R
12
=
42,1429
5,0
=8,42857 [kN ]
Wynik ten pozwala nam na bezpośrednie wyznaczenie siły tnącej na przęśle
1-2, gdyż jest ona na tym odcinku
stała (brak obciążenia ciągłego).
Teraz zajmijmy się przęsłem
1-0. Aby uzyskać wynik w postaci sił tnących należy wyliczyć obie reakcje R
10
i
R
01
.
q = 6 kN/m
31,1429 kNm
47,5714 kNm
R
01
R
10
1
0
4,0
3,0
[m]
5,
0
α
Rys. 5.10. Przęsło 0 -1
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
7
∑
M
0
:
0
−47,5714−31,1429−R
10
⋅56⋅4⋅2=0
R
10
=−6,14286 [kN ]
∑
M
1
:
0
−47,5714−31,1429R
01
⋅5−6⋅4⋅2=0
R
01
=25,34289 [kN ]
Odcinek
1-3 ramy jak zauważyliśmy wcześniej jest statycznie wyznaczalny.
q = 6 kN/m
3
1
8 kN
y
α
1
-α
1
α
Rys. 5.11. Przęsło 1-3
Do wyznaczenia sił wewnętrznych potrzebne na będą funkcje sinus i cosinus kąta nachylenia wspornika
względem poziomu. Z rysunku 5.10 odczytujemy:
sin
=
4
5
cos
=
3
5
Zapiszmy równanie tnącej rzutując wszystkie siły wewnętrzne na kierunek prostopadły do osi belki.
T
=8⋅sin 6⋅y⋅sin
Z tego równania, podstawiając odpowiednio za
y najpierw 0, a potem 1 uzyskujemy wartości siły tnącej na
końcach przęsła.
T
31
=8⋅
4
5
=6,4 [kN ]
T
13
=8⋅
4
5
6⋅1⋅
4
5
=11,2[kN ]
Z uzyskanych wyników możemy narysować wykres sił tnących dla całej ramy.
25,343
T
p
(n)
6,143
8,4286
6,4
11,2
+
[kN]
+
-
Rys. 5.12. Wykres sił tnących w układzie statycznie niewyznaczalnym
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
8
Na koniec wyznaczamy rozkład sił normalnych:
–
dla pręta
1-3 suma rzutów wszystkich sił wewnętrznych na kierunek osi pręta (rys. 5.11) prowadzi do
równania:
N
=8⋅cos 6⋅y⋅cos
po podstawieniu za zmienną
y punktów końcowych:
N
31
y=0=4,8 [kN ]
N
13
y=1=8,4 [kN ]
–
z równowagi węzła
2 na podstawie rys. 5.13 wyznaczamy N
21
:
N
21
=0
N
21
8,4286
2
Rys. 5.13. Siły działające na węzeł 2
–
z równowagi węzła
1 (suma rzutów sił na kierunek 0-1-3):
8,4
11,4
8,4286
0
6,1429
N
10
1
Rys. 5.14. Siły działające na węzeł 1
N
10
=8,48,42857⋅sin=15,14286 [kN ]
–
z warunku równowagi pręta
0-1:
15,1429
N
01
q = 6 kN/m
Rys. 5.15. Rozkład sił normalnych na pręcie 0-1
N
01
=15,14296⋅4⋅cos =29,543[kN ]
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
9
Na podstawie tych wyników narysujmy wykres sił normalnych.
29,543
N
p
(n)
15,143
8,4
4,8
+
+
[kN]
0
Rys. 5.16. Wykres sił normalnych w układzie statycznie niewyznaczalnym
W celu kontroli poprawności obliczeń dokonamy sprawdzenia statycznego.
q = 6 kN/m
25,3429
29,5429
11,2
8,4286
8,4
11
47,5714
1
Rys. 5.17. Sprawdzenie statyczne
Zapisujemy trzy równania równowagi dla części konstrukcji (rys. 5.17) obciążonej siłami zewnętrznymi i
siłami wewnętrznymi:
∑
M
1
=0
11
−8,42857⋅5−47,5714325,34286⋅5−6⋅4⋅2=−0,8⋅10
−6
[kNm]≈0
∑
X
=0
6
⋅48,4⋅cos 11,2⋅sin −29,54286⋅cos −25,34286⋅sin=−0,036⋅10
−6
[kN ]≈0
∑
Y
=0
8,4
⋅sin −11,2⋅cos 8,4285725,34286⋅cos −29,54286⋅sin =0,072⋅10
−6
[kN ]≈0
Ponieważ równania są spełnione, możemy stwierdzić, że statyczna niezmienność jest zapewniona.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
10
5.2. Wpływ osiadań podpór
Przeanalizujmy tę samą ramę w przypadku kiedy podpory doznają przemieszczeń.
5.0
3.0
4.0
[m]
EJ
0,3EJ
0,03 m
0,006 rad
0
1
2
3
Rys. 5.18. Rama płaska statycznie niewyznaczalna doznająca przemieszczeń w podporach
Ponieważ pręt
1-3 jest elementem statycznie wyznaczalnym, osiadania podpór nie wywołają w nim sił
wewnętrznych. Dlatego pominiemy go w dalszych obliczeniach i wykorzystamy wcześniejszy układ
podstawowy
EJ
0,3EJ
0,03 m
0,006 rad
φ
Δ
Rys. 5.19. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą
oraz wyznaczoną dla niego macierz sztywności. W układzie równań kanonicznych trzeba jedynie uwzględnić
inne wyrazy wolne:
{
0,84 EJ
⋅r
1
=0
0,0585 EJ
⋅r
2
=0
W celu ich wyznaczenia obliczamy kąty obrotów cięciw prętów powstałe na skutek osiadania podpór:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
11
5.0
3.0
[m]
0,006 rad
0,03 m
0
1
2
ψ
12
(Δ)
ψ
01
(Δ)
4.0
Rys. 5.20. Kąty obrotu cięciw prętów od osiadania podpór
012
01
⋅4
12
⋅0=0
01
=0
012
01
⋅3
12
⋅5=0,03
12
=0,006 [rad ]
oraz
0
=0,006 [rad ]
Obliczone wartości podstawiamy do wzorów transformacyjnych i rysujemy wykres momentów od osiadań
podpór,
M
Δ
3·0,006·EJ
2·0,3·0,006·EJ
4·0,3·0,006·EJ
r
1Δ
r
2Δ
5
5
5
Rys. 5.21. Wykres momentów w układzie podstawowym od osiadania podpór
a następnie, korzystając z równowagi sił w węźle oraz z zasady pracy wirtualnej określamy szukane reakcje:
r
1
=−
3
5
EJ
⋅0,006
2
5
⋅0,3 EJ⋅0,006=−0,00432 EJ
r
2
⋅1−
6
⋅0,3 EJ
5
⋅0,006⋅
1
4
−
3
5
EJ
⋅0,006⋅
−
3
20
⋅1
=0
r
2
=0
Znając wartości reakcji
r
iΔ
możemy wyznaczyć przemieszczenia węzłów z układu równań kanonicznych:
{
0,84 EJ
⋅−0,00432 EJ =0
0,0585 EJ
⋅0=0
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
12
Wynoszą one:
{
=5,142851⋅10
−3
=0
Korzystając ze wzoru superpozycyjnego możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym
w poszczególnych węzłach ramy. Ponieważ jedno z przemieszczeń jest równe zero wzór superpozycyjny
upraszcza się:
M
n
=M
M
1
⋅
(5.7)
M
Δ
(n)
5,1429
8,2286
·10
-4
EJ
Rys. 5.22. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór
Wartości sił tnących wyznaczamy, podobnie jak poprzednio, analizując oddzielnie każdy pręt obciążony
wyznaczonymi momentami.
1,02857
0,61714
T
Δ
(n)
+
+
·10
-4
EJ
Rys. 5.23. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór
Siłę normalną
N
10
wyliczymy na podstawie warunku równowagi sił w węźle
1 (rys. 5.24).
1,0285714
0
0,617143
N
10
1
Rys. 5.24. Siły działające w węźle 1
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
13
Po zrzutowaniu wszystkich sił na kierunek pręta
0-1 otrzymujemy:
N
10
=−1,02857⋅sin=−0,82286 [kN ]
a normalna w przęśle
1-2 jest, tak jak poprzednio, równa zeru.
0,822857
N
Δ
(n)
-
·10
-4
EJ
Rys. 5.25. Wykres sił normalnych w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór
Ponownie jak w poprzednim przypadku w celu sprawdzenia poprawności obliczeń dokonamy
sprawdzenia statycznego:
0,617143
0,822857
1,0285714
0
8,22857
0
Rys. 5.26. Sprawdzenie statyczne w ramie obciążonej osiadaniami podpór
Trzy równania ułożone dla części ramy obciążonej tylko siłami wewnętrznymi:
∑
M
0
=0
8,22857
−8⋅1,02857 =1,2⋅10
−6
[kNm]≈0
∑
X
=0
0,822857
⋅cos −0,6171426⋅sin =1,2⋅10
−7
[kN ]≈0
∑
Y
=0
0,822857
⋅sin0,6171426⋅cos −1,0285714=−2,4⋅10
−7
[kN ]≈0
są spełnione, co świadczy o poprawności obliczeń.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
14
5.3. Wpływ temperatury
Ponownie poddajmy analizie tę samą ramę, tym razem obciążając ją termicznie.
EJ
0,3EJ
20˚C
-20˚C
40˚C
0
1
2
3
Rys. 5.27. Rama płaska statycznie niewyznaczalna obciążona temperaturą
Podobnie jak w przypadku osiadań, temperatura nie wywoła sił przekrojowych w statycznie
wyznaczalnym pręcie
1-3. Dlatego, aby wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych, powstałych na skutek działania
temperatury, ponownie wykorzystamy wcześniej przyjęty układ podstawowy i związaną z nim macierz
sztywności.
EJ
0,3EJ
20˚C
-20˚C
40˚C
φ
Δ
Rys. 5.28. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą
Działanie temperatury należy rozdzielić na dwa przypadki: nierównomiernego i równomiernego ogrzania.
Aby wyznaczyć reakcje od nierównomiernego ogrzania trzeba znaleźć zależności temperaturowe na
poszczególnych prętach układu:
t=
∣
t
g
−t
d
∣
t
01
=40 C
o
t
12
=20 C
o
(5.8)
Dalej tworzymy wykres momentów odkładając po stronie “zimniejszej” na poszczególnych prętach momenty o
wartości EJ
t
t
h
dla pręta obustronnie utwierdzonego i
3
2
EJ
t
t
h
dla pręta z przegubem (tabela 4.1).
Zakładamy, że konstrukcja wykonana jest ze stali, dla której współczynnik rozszerzalności termicznej wynosi:
t
=1,2⋅10
−5
[
1
C
o
]
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
15
0
1
2
0,3·40·EJ·α
t
1,5·20·EJ·α
t
M
Δt
r
1Δt
r
2Δt
-0,3·40·EJ·α
t
0,1
0,14
0,1
Rys. 5.29. Wykres momentów w układzie podstawowym od różnicy temperatur
Dt
Korzystając z równowagi w węźle oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy reakcje:
r
1
t
=
0,3
⋅40
0,1
EJ
⋅
t
3
2
⋅
20
0,14
EJ
⋅
t
=334,285714 EJ⋅
t
r
2
t
⋅10⋅
1
4
3
2
⋅
20
0,14
EJ
⋅
t
⋅
−
3
20
⋅1
=0
r
2
t
=32,142857 EJ⋅
t
Drugim przypadkiem obciążenia jest równomierne działanie temperatury. Temperaturę w prętach
układu obliczamy jako różnicę pomiędzy temperaturą średnią i temperaturą montażu:
t
=
t
g
t
d
2
−t
m
(5.9)
Przyjmując
t
m
=10 C
o
otrzymujemy:
EJ
0,3EJ
t
10
=-10˚C
2
1
0
t
12
=20˚C
φ
Δ
Rys. 5.30. Układ podstawowy obciążony temperaturą t
W celu wyznaczenia kątów obrotów cięciw prętów tworzymy łańcuch kinematyczny uwzględniający
wydłużenia prętów na wskutek równomiernego ogrzania konstrukcji:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
16
5.0
3.0
4.0
[m]
0
1
2
ψ
12
(t)
ψ
01
(t)
Rys. 5.31. Kąty obrotu cięciw prętów od równomiernego ogrzania
012
01
t
⋅4
t
⋅
−10 C
o
⋅3
12
t
⋅0
t
⋅
20 C
o
⋅5=0
01
t
=−17,5⋅
t
012
01
t
⋅3−
t
⋅
−10 C
o
⋅4
12
t
⋅5=0
12
t
=2,5⋅
t
Dysponując kątami
ik
t
możemy narysować wykres momentów (rys. 5.32)
6·0,3·17,5·EJ·α
t
M
t
r
1t
r
2t
6·0,3·17,5·EJ·α
t
3·2,5·EJ·α
t
5
5
5
0
1
2
Rys. 5.32. Wykres momentów w układzie podstawowym od temperatury t
o
a następnie wyznaczyć reakcje powstałe przy równomiernym ogrzaniu:
r
1 t
=
6
⋅0,3⋅17,5⋅EJ⋅
t
5
−
3
5
⋅2,5⋅EJ⋅
t
=
6,3
−1,5
⋅EJ⋅
t
=4,8 EJ⋅
t
r
2 t
⋅12⋅6,3⋅EJ⋅
t
⋅
1
4
−1,5⋅EJ⋅
t
⋅
−
3
20
=0
r
2 t
=−3,375 EJ⋅
t
Po zsumowaniu otrzymanych reakcji od
t i Δt tworzymy układu równań kanonicznych:
{
0,84 EJ
⋅
334,285714
4,8
EJ
⋅
t
=0
0,0585 EJ
⋅
32,142857
−3,375
EJ
⋅
t
=0
i wyznaczamy wartości przemieszczeń w ramie obciążonej temperaturą:
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
17
{
=−4,844081633⋅10
−3
=−5,901098901⋅10
−3
Korzystając z wzoru superpozycyjnego (5.10) wyliczamy wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w
poszczególnych węzłach ramy.
M
T
n
=M
t
M
t
M
1
⋅M
2
⋅
(5.10)
M
10
=
4
5
⋅0,3 EJ⋅−
6
⋅0,3 EJ
5
⋅4
⋅
0,3
⋅40
0,1
EJ
⋅
t
6
⋅0,3
5
⋅17,5 EJ⋅
t
M
10
=−3,59876511,644016654,457520,2340198=2,73679135 [kNm]
M
01
=
2
⋅0,3
5
EJ
⋅−
6
⋅0,3 EJ
5
⋅4
⋅−
0,3
⋅40
0,1
EJ
⋅
t
6
⋅0,3
5
⋅17,5 EJ⋅
t
M
01
=−1,79938256 1,64401665−4,457520,2340198=−4,37886611 [kNm]
M
12
=
3
5
EJ
⋅
3
5
EJ
⋅
3
20
⋅
3
2
⋅
20
0,14
EJ
⋅
t
−
3
5
⋅2,5 EJ⋅
t
M
12
=−8,9969128−1,6440166 7,9598571−0,055719=−2,7367913 [kNm]
M
T
(n)
-4,379
-2,737
2,737
[kNm]
Rys. 5.33. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od temperatury
Podobnie jak poprzednio tworzymy wykres sił tnących
0,547359
0,328415
T
T
(n)
+
+
[kN]
Rys. 5.34. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym
oraz sił normalnych (równoważąc węzeł
1):
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY
18
0,5473583
0
0,32841496
N
10
1
Rys. 5.35. Siły działające w węźle 1
N
10
=−0,5473583⋅sin =−0,43789 [kN ]
0,479867
N
t
(n)
-
[kN]
Rys. 5.36. Wykres sił normalnych w układzie niewyznaczalnym
I w tym przypadku w celu kontroli poprawności obliczeń dokonamy sprawdzenia statycznego.
0,329415
4,37887
0,547359
0
0,437887
0
Rys. 5.37. Sprawdzenie statyczne
Zapisujemy trzy równania, które powinny zapewnić statyczną niezmienność:
∑
M
0
=0
4,37886611
−8⋅0,54735826=3⋅10
−8
[kNm]≈0
∑
X
=0
0,437886611
⋅cos −0,32841495⋅sin =6⋅10
−9
[kN ]≈0
∑
Y
=0
0,437886611
⋅sin 0,32841495⋅cos −0,54735826 =−2⋅10
−9
[kN ]≈0
Jak widać wszystkie sprawdzenia są spełnione, co świadczy o poprawności obliczeń w przyjętym
algorytmie rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater