Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

1

5.



5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY

5.1. Działanie sił zewnętrznych

Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym na rys. 5.1.

EJ

5.0

8kN

0,3EJ

3.0

4.0

1.0

q = 6 kN/m

[m]

0

1

2

3

Rys. 5.1. Rama płaska statycznie niewyznaczalna

Zanim przyjmiemy układ podstawowy metody przemieszczeń, zauważmy, że pręt

1-3 jest elementem

statycznie wyznaczalnym. Możemy zatem wyciąć ten pręt myślowo, a następnie obciążyć pozostałą część
ramy siłami, które powstaną w utwierdzeniu tego pręta.

8kN

1.0

q = 6 kN/m

[m]

M = 8 ·1 + 6 ·1· = 11 [kNm]

1
2

R = 8 + 6 ·1 = 14 [kN]

Rys. 5.2. Statycznie wyznaczalna część ramy

Teraz przyjmujemy układ podstawowy

EJ

14 kN

0,3EJ

Δ

q = 6 kN/m

11 kNm

φ

Rys. 5.3. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

2

oraz związany z nim układ równań kanonicznych:

{

r

11

r

12

r

1 P

=0

r

21

r

22

r

2 P

=0

(5.1)

Konstrukcja wykonana jest z profili dwuteowych o następujących wielkościach charakterystycznych

przekrojów:

EJ

 I140HEB

h

=0,14 m

J

x

=1510 cm

4

0,3 EJ

 I100HEB

h

=0,10 m

J

x

=453 cm

4

Wartości momentów w poszczególnych stanach, od jednostkowych przemieszczeń obliczamy ze wzorów

transformacyjnych.

•

Stan

φ = 1:

4·0,3EJ

φ=1

M

1

5

3·EJ

5

r

11

2·0,3EJ

5

r

21

Rys. 5.4. Wykres momentów w układzie podstawowym powstały od obrotu φ

1

= 1 (stan I)

W stanie

D = 1 trzeba najpierw znaleźć kąty obrotu cięciw prętów ψ. W tym celu tworzymy łańcuch

kinematyczny

5.0

3.0

4.0

[m]

Ψ

01

0

1

Δ=1

0

1

2

Ψ

12

Rys. 5.5. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku

D = 1

Z równań łańcucha wyznaczamy kąty obrotu cięciw prętów:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

3

012





01

⋅3

12

⋅5=0

012





01

⋅4

12

⋅0=1



01

=

1
4



12

=−

3
5

⋅

01

=−

3

20

a następnie rysujemy wykresy momentów:

•

Stan

Δ = 1:

M

2

Δ=1

6·0,3EJ

20

3·3EJ

100

6·0,3EJ

20

r

12

r

22

Rys. 5.6. Wykres momentów w układzie podstawowym powstały od przesuwu

D = 1 (stan II)

Na podstawie powyższych wielkości możemy wyznaczyć reakcje po kierunkach wprowadzonych zmiennych:

–

z równowagi węzłów:

r

11

=

3
5

EJ



4

⋅0,3

5

EJ

=0,84 EJ

r

12

=



6

⋅0,3

20

−

3

⋅3

100



EJ

=



0,09

−0,09



EJ

=0

–

z równania pracy wirtualnej:

r

22

⋅1−2⋅

6

⋅0,3

5

⋅4

EJ

⋅

1
4



3

⋅3 EJ
5

⋅20

⋅



−

3

20



=0

r

22

=0,045 EJ 0,0135 EJ =0,0585 EJ

Na tym etapie obliczeń warto skontrolować wartości obliczonych współczynników

r

ik

. Jeżeli zyskamy

pewność, że są one prawidłowe, unikniemy powtórnego rozwiązywania układu równań kanonicznych.

Sprawdzenia współczynników

r

ik

dokonamy, korzystając z równania pracy wirtualnej (5.2). W tym celu

wykorzystamy narysowane wcześniej wykresy momentów w stanach jednostkowych.

L

Z

= 

L

W

L

Z

=

∑

i

P

i





i

L

W

=

∫

s

M 

M

EJ

ds

(5.2)

Obliczamy pracę sił układu

I (stan φ = 1) na przemieszczeniach układu II (stan Δ = 1)

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

4

L

Z

=r

21

⋅1r

11

⋅0

L

W

=

∑

M

1

⋅ 

M

2

EJ

ds

(5.3)



L

W

=

1
2

⋅0,6 EJ⋅5⋅

2
3

⋅0,09 EJ⋅1⋅

1

EJ



1
2

⋅0,24 EJ⋅5⋅



−

2
3

⋅0,09 EJ 

1
3

⋅0,09 EJ



⋅

1

0,3 EJ





1
2

⋅0,12 EJ⋅5⋅



−

2
3

⋅0,09 EJ 

1
3

⋅0,09 EJ



⋅

1

0,3 EJ

=0,09 EJ −

0,018

⋅EJ

0,3

−

0,09

⋅EJ

0,3

=0

Po porównaniu pracy sił zewnętrznych do pracy sił wewnętrznych otrzymujemy:

r

21

=0

Traktując stan

φ jako rzeczywisty, a zarazem wirtualny układ otrzymujemy:

L

Z

=r

11

⋅1r

21

⋅0

L

W

=

∑

M

1

⋅ 

M

1

EJ

ds

(5.4)

L

W

=

1

EJ

⋅

1
2

⋅0,6 EJ⋅5⋅

2
3

⋅0,06 EJ⋅1

1

0,3 EJ

⋅

[

1
2

⋅0,24 EJ⋅5⋅



2
3

⋅0,24 EJ −

1
3

⋅0,12 EJ



⋅1



1
2

⋅0,12 EJ⋅5⋅



2
3

⋅0,12 EJ −

1
3

⋅0,24 EJ



⋅1

]

=0,6 EJ 0,24 EJ ⋅1=0,84 EJ⋅1

Po wyeliminowaniu 1 i podstawieniu obliczonych wartości do równania (5.2):

r

11

=0,84 EJ

Na koniec stan

Δ = 1 przyjmujemy raz jako układ I (siły) a raz jako układ II (przemieszczenia):

L

Z

=r

22

⋅1r

12

⋅0

L

W

=

∑

M

2

⋅ 

M

2

EJ

ds

(5.5)



L

W

=

1

EJ

⋅

1
2

⋅0,09 EJ⋅5⋅

2
3

⋅0,09 EJ⋅1

1

0,3 EJ

⋅

[

1
2

⋅0,09 EJ⋅5⋅



2
3

⋅0,09 EJ −

1
3

⋅0,09 EJ



⋅1



1
2

⋅0,09 EJ⋅5⋅



2
3

⋅0,09 EJ −

1
3

⋅0,09 EJ



⋅1

]

=0,0135 EJ 0,0225 EJ 0,0225 EJ ⋅1=0,0585 EJ⋅1

Po wyeliminowaniu 1 i podstawieniu obliczonych wartości do równania (5.2):

r

22

=0,0585 EJ

Wartości współczynników macierzy sztywności pokrywają się z wyznaczonymi wcześniej, możemy przejść

zatem do dalszych obliczeń.

Kolejnym etapem w rozwiązywaniu zadania jest wyznaczenie reakcji od obciążeń zewnętrznych

(stan

P). W tym celu rysujemy wykres momentów od obciążenia zewnętrznego w układzie kinematycznie

wyznaczalnym.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

5

6·4

2

14kN

24kN

M

p

o

12

6·4

2

12

11kNm

r

1P

r

2P

Rys. 5.7. Wykres momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego

i korzystając z równania równowagi w węźle, oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy brakujące reakcje:

r

1 P

=

6

⋅4

2

12

−11=−3[kNm]

W równaniu pracy wirtualnej oprócz momentów pracujących na kątach

ψ trzeba uwzględnić obciążenie

pracujące na przemieszczeniach:

r

2 P

⋅124⋅

1
2

14⋅1=0

r

2 P

=−26 [kN ]

Mając wszystkie współczynniki możemy wyznaczyć szukane przemieszczenia węzłów z układu równań

kanonicznych:

{

0,84 EJ

⋅=3

0,0585 EJ

⋅=26

→

{

=

3,5714286

EJ

=

444,4444444

EJ

Korzystając ze wzoru superpozycyjnego

M

P

n

=M

P

M

1

⋅M

2

⋅

(5.6)

możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w poszczególnych węzłach analizowanej
ramy.

M

01

=−

6

⋅4

2

12



2

⋅0,3 EJ

5

⋅

3,57143

EJ

−

6

⋅0,3 EJ

20

⋅

444,44444

EJ

=−80,42857−40=−47,57143 [kNm]

M

10

=82⋅0,42857−40=−31,14286 [kNm]

M

12

=

3
5

EJ

⋅

3,57143

EJ



3
5

EJ

⋅

3

20

⋅

444,44444

EJ

=42,14286 [kNm]

W wykresie ostatecznym (rys. 5.8) nie wolno zapomnieć o statycznie wyznaczalnej części ramy.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

6

3

0

1

2

31,143

47,571

42,143

M

p

(n)

11

[kNm]

Rys. 5.8. Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym

Obciążając poszczególne pręty wyznaczonymi momentami określamy wartości sił tnących.

R

12

42,1429 kNm

1

2

Rys. 5.9. Przęsło 1-2

Najpierw poddamy analizie przęsło

1-2. Z sumy momentów względem punktu 2 (rys. 5.9) możemy wyznaczyć

reakcje

R

12

.

∑

M

2

=0

R

12

=

42,1429

5,0

=8,42857 [kN ]

Wynik ten pozwala nam na bezpośrednie wyznaczenie siły tnącej na przęśle

1-2, gdyż jest ona na tym odcinku

stała (brak obciążenia ciągłego).

Teraz zajmijmy się przęsłem

1-0. Aby uzyskać wynik w postaci sił tnących należy wyliczyć obie reakcje R

10

i

R

01

.

q = 6 kN/m

31,1429 kNm

47,5714 kNm

R

01

R

10

1

0

4,0

3,0

[m]

5,

0

α

Rys. 5.10. Przęsło 0 -1

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

7

∑

M

0

:

0

−47,5714−31,1429−R

10

⋅56⋅4⋅2=0

R

10

=−6,14286 [kN ]

∑

M

1

:

0

−47,5714−31,1429R

01

⋅5−6⋅4⋅2=0

R

01

=25,34289 [kN ]

Odcinek

1-3 ramy jak zauważyliśmy wcześniej jest statycznie wyznaczalny.

q = 6 kN/m

3

1

8 kN

y

α

1

-α

1

α

Rys. 5.11. Przęsło 1-3

Do wyznaczenia sił wewnętrznych potrzebne na będą funkcje sinus i cosinus kąta nachylenia wspornika
względem poziomu. Z rysunku 5.10 odczytujemy:

sin

=

4
5

cos

=

3
5

Zapiszmy równanie tnącej rzutując wszystkie siły wewnętrzne na kierunek prostopadły do osi belki.

T



=8⋅sin 6⋅y⋅sin 

Z tego równania, podstawiając odpowiednio za

y najpierw 0, a potem 1 uzyskujemy wartości siły tnącej na

końcach przęsła.

T

31

=8⋅

4
5

=6,4 [kN ]

T

13

=8⋅

4
5

6⋅1⋅

4
5

=11,2[kN ]

Z uzyskanych wyników możemy narysować wykres sił tnących dla całej ramy.

25,343

T

p

(n)

6,143

8,4286

6,4

11,2

+

[kN]

+

-

Rys. 5.12. Wykres sił tnących w układzie statycznie niewyznaczalnym

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

8

Na koniec wyznaczamy rozkład sił normalnych:

–

dla pręta

1-3 suma rzutów wszystkich sił wewnętrznych na kierunek osi pręta (rys. 5.11) prowadzi do

równania:

N



=8⋅cos 6⋅y⋅cos 

po podstawieniu za zmienną

y punktów końcowych:

N

31

 y=0=4,8 [kN ]

N

13

 y=1=8,4 [kN ]

–

z równowagi węzła

2 na podstawie rys. 5.13 wyznaczamy N

21

:

N

21

=0

N

21

8,4286

2

Rys. 5.13. Siły działające na węzeł 2

–

z równowagi węzła

1 (suma rzutów sił na kierunek 0-1-3):

8,4

11,4

8,4286

0

6,1429

N

10

1

Rys. 5.14. Siły działające na węzeł 1

N

10

=8,48,42857⋅sin=15,14286 [kN ]

–

z warunku równowagi pręta

0-1:

15,1429

N

01

q = 6 kN/m

Rys. 5.15. Rozkład sił normalnych na pręcie 0-1

N

01

=15,14296⋅4⋅cos =29,543[kN ]

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

9

Na podstawie tych wyników narysujmy wykres sił normalnych.

29,543

N

p

(n)

15,143

8,4

4,8

+

+

[kN]

0

Rys. 5.16. Wykres sił normalnych w układzie statycznie niewyznaczalnym

W celu kontroli poprawności obliczeń dokonamy sprawdzenia statycznego.

q = 6 kN/m

25,3429

29,5429

11,2

8,4286

8,4

11

47,5714

1

Rys. 5.17. Sprawdzenie statyczne

Zapisujemy trzy równania równowagi dla części konstrukcji (rys. 5.17) obciążonej siłami zewnętrznymi i

siłami wewnętrznymi:

∑

M

1

=0

11

−8,42857⋅5−47,5714325,34286⋅5−6⋅4⋅2=−0,8⋅10

−6

[kNm]≈0

∑

X

=0

6

⋅48,4⋅cos 11,2⋅sin −29,54286⋅cos −25,34286⋅sin=−0,036⋅10

−6

[kN ]≈0

∑

Y

=0

8,4

⋅sin −11,2⋅cos 8,4285725,34286⋅cos −29,54286⋅sin =0,072⋅10

−6

[kN ]≈0

Ponieważ równania są spełnione, możemy stwierdzić, że statyczna niezmienność jest zapewniona.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

10

5.2. Wpływ osiadań podpór

Przeanalizujmy tę samą ramę w przypadku kiedy podpory doznają przemieszczeń.

5.0

3.0

4.0

[m]

EJ

0,3EJ

0,03 m

0,006 rad

0

1

2

3

Rys. 5.18. Rama płaska statycznie niewyznaczalna doznająca przemieszczeń w podporach

Ponieważ pręt

1-3 jest elementem statycznie wyznaczalnym, osiadania podpór nie wywołają w nim sił

wewnętrznych. Dlatego pominiemy go w dalszych obliczeniach i wykorzystamy wcześniejszy układ
podstawowy

EJ

0,3EJ

0,03 m

0,006 rad

φ

Δ

Rys. 5.19. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą

oraz wyznaczoną dla niego macierz sztywności. W układzie równań kanonicznych trzeba jedynie uwzględnić
inne wyrazy wolne:

{

0,84 EJ

⋅r

1



=0

0,0585 EJ

⋅r

2



=0

W celu ich wyznaczenia obliczamy kąty obrotów cięciw prętów powstałe na skutek osiadania podpór:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

11

5.0

3.0

[m]

0,006 rad

0,03 m

0

1

2

ψ

12

(Δ)

ψ

01

(Δ)

4.0

Rys. 5.20. Kąty obrotu cięciw prętów od osiadania podpór

012





01



⋅4

12



⋅0=0





01



=0

012





01



⋅3

12



⋅5=0,03





12



=0,006 [rad ]

oraz



0



=0,006 [rad ]

Obliczone wartości podstawiamy do wzorów transformacyjnych i rysujemy wykres momentów od osiadań
podpór,

M

Δ

3·0,006·EJ

2·0,3·0,006·EJ

4·0,3·0,006·EJ

r

1Δ

r

2Δ

5

5

5

Rys. 5.21. Wykres momentów w układzie podstawowym od osiadania podpór

a następnie, korzystając z równowagi sił w węźle oraz z zasady pracy wirtualnej określamy szukane reakcje:

r

1



=−

3
5

EJ

⋅0,006

2
5

⋅0,3 EJ⋅0,006=−0,00432 EJ

r

2



⋅1−

6

⋅0,3 EJ

5

⋅0,006⋅

1
4

−

3
5

EJ

⋅0,006⋅



−

3

20

⋅1



=0

r

2



=0

Znając wartości reakcji

r

iΔ

możemy wyznaczyć przemieszczenia węzłów z układu równań kanonicznych:

{

0,84 EJ

⋅−0,00432 EJ =0

0,0585 EJ

⋅0=0

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

12

Wynoszą one:

{

=5,142851⋅10

−3

=0

Korzystając ze wzoru superpozycyjnego możemy wyliczyć wartości momentów w układzie niewyznaczalnym
w poszczególnych węzłach ramy. Ponieważ jedno z przemieszczeń jest równe zero wzór superpozycyjny
upraszcza się:

M



n

=M



M

1

⋅

(5.7)

M

Δ

(n)

5,1429

8,2286

·10

-4

EJ

Rys. 5.22. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór

Wartości sił tnących wyznaczamy, podobnie jak poprzednio, analizując oddzielnie każdy pręt obciążony
wyznaczonymi momentami.

1,02857

0,61714

T

Δ

(n)

+

+

·10

-4

EJ

Rys. 5.23. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór

Siłę normalną

N

10

wyliczymy na podstawie warunku równowagi sił w węźle

1 (rys. 5.24).

1,0285714

0

0,617143

N

10

1

Rys. 5.24. Siły działające w węźle 1

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

13

Po zrzutowaniu wszystkich sił na kierunek pręta

0-1 otrzymujemy:

N

10

=−1,02857⋅sin=−0,82286 [kN ]

a normalna w przęśle

1-2 jest, tak jak poprzednio, równa zeru.

0,822857

N

Δ

(n)

-

·10

-4

EJ

Rys. 5.25. Wykres sił normalnych w układzie niewyznaczalnym od osiadania podpór

Ponownie jak w poprzednim przypadku w celu sprawdzenia poprawności obliczeń dokonamy

sprawdzenia statycznego:

0,617143

0,822857

1,0285714

0

8,22857

0

Rys. 5.26. Sprawdzenie statyczne w ramie obciążonej osiadaniami podpór

Trzy równania ułożone dla części ramy obciążonej tylko siłami wewnętrznymi:

∑

M

0

=0

8,22857

−8⋅1,02857 =1,2⋅10

−6

[kNm]≈0

∑

X

=0

0,822857

⋅cos −0,6171426⋅sin =1,2⋅10

−7

[kN ]≈0

∑

Y

=0

0,822857

⋅sin0,6171426⋅cos −1,0285714=−2,4⋅10

−7

[kN ]≈0

są spełnione, co świadczy o poprawności obliczeń.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

14

5.3. Wpływ temperatury

Ponownie poddajmy analizie tę samą ramę, tym razem obciążając ją termicznie.

EJ

0,3EJ

20˚C

-20˚C

40˚C

0

1

2

3

Rys. 5.27. Rama płaska statycznie niewyznaczalna obciążona temperaturą

Podobnie jak w przypadku osiadań, temperatura nie wywoła sił przekrojowych w statycznie

wyznaczalnym pręcie

1-3. Dlatego, aby wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych, powstałych na skutek działania

temperatury, ponownie wykorzystamy wcześniej przyjęty układ podstawowy i związaną z nim macierz
sztywności.

EJ

0,3EJ

20˚C

-20˚C

40˚C

φ

Δ

Rys. 5.28. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą

Działanie temperatury należy rozdzielić na dwa przypadki: nierównomiernego i równomiernego ogrzania.

Aby wyznaczyć reakcje od nierównomiernego ogrzania trzeba znaleźć zależności temperaturowe na

poszczególnych prętach układu:

 t=

∣

t

g

−t

d

∣

 t

01

=40 C

o

 t

12

=20 C

o

(5.8)

Dalej tworzymy wykres momentów odkładając po stronie “zimniejszej” na poszczególnych prętach momenty o

wartości EJ



t

t

h

dla pręta obustronnie utwierdzonego i

3
2

EJ



t

t

h

dla pręta z przegubem (tabela 4.1).

Zakładamy, że konstrukcja wykonana jest ze stali, dla której współczynnik rozszerzalności termicznej wynosi:



t

=1,2⋅10

−5

[

1

C

o

]

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

15

0

1

2

0,3·40·EJ·α

t

1,5·20·EJ·α

t

M

Δt

r

1Δt

r

2Δt

-0,3·40·EJ·α

t

0,1

0,14

0,1

Rys. 5.29. Wykres momentów w układzie podstawowym od różnicy temperatur

Dt

Korzystając z równowagi w węźle oraz z zasady pracy wirtualnej wyznaczamy reakcje:

r

1

 t

=

0,3

⋅40

0,1

EJ

⋅

t



3
2

⋅

20

0,14

EJ

⋅

t

=334,285714 EJ⋅

t

r

2

t

⋅10⋅

1
4



3
2

⋅

20

0,14

EJ

⋅

t

⋅



−

3

20

⋅1



=0

r

2

t

=32,142857 EJ⋅

t

Drugim przypadkiem obciążenia jest równomierne działanie temperatury. Temperaturę w prętach

układu obliczamy jako różnicę pomiędzy temperaturą średnią i temperaturą montażu:

t

=

t

g

t

d

2

−t

m

(5.9)

Przyjmując

t

m

=10 C

o

otrzymujemy:

EJ

0,3EJ

t

10

=-10˚C

2

1

0

t

12

=20˚C

φ

Δ

Rys. 5.30. Układ podstawowy obciążony temperaturą t

W celu wyznaczenia kątów obrotów cięciw prętów tworzymy łańcuch kinematyczny uwzględniający
wydłużenia prętów na wskutek równomiernego ogrzania konstrukcji:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

16

5.0

3.0

4.0

[m]

0

1

2

ψ

12

(t)

ψ

01

(t)

Rys. 5.31. Kąty obrotu cięciw prętów od równomiernego ogrzania

012





01

t 

⋅4

t

⋅



−10 C

o



⋅3

12

t 

⋅0

t

⋅



20 C

o



⋅5=0





01

t 

=−17,5⋅

t

012





01

t 

⋅3−

t

⋅



−10 C

o



⋅4

12

t 

⋅5=0





12

t 

=2,5⋅

t

Dysponując kątami



ik

t 

możemy narysować wykres momentów (rys. 5.32)

6·0,3·17,5·EJ·α

t

M

t

r

1t

r

2t

6·0,3·17,5·EJ·α

t

3·2,5·EJ·α

t

5

5

5

0

1

2

Rys. 5.32. Wykres momentów w układzie podstawowym od temperatury t

o

a następnie wyznaczyć reakcje powstałe przy równomiernym ogrzaniu:

r

1 t

=

6

⋅0,3⋅17,5⋅EJ⋅

t

5

−

3
5

⋅2,5⋅EJ⋅

t

=



6,3

−1,5



⋅EJ⋅

t

=4,8 EJ⋅

t

r

2 t

⋅12⋅6,3⋅EJ⋅

t

⋅

1
4

−1,5⋅EJ⋅

t

⋅



−

3

20



=0

r

2 t

=−3,375 EJ⋅

t

Po zsumowaniu otrzymanych reakcji od

t i Δt tworzymy układu równań kanonicznych:

{

0,84 EJ

⋅



334,285714

4,8



EJ

⋅

t

=0

0,0585 EJ

⋅



32,142857

−3,375



EJ

⋅

t

=0

i wyznaczamy wartości przemieszczeń w ramie obciążonej temperaturą:

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

17

{

=−4,844081633⋅10

−3

=−5,901098901⋅10

−3

Korzystając z wzoru superpozycyjnego (5.10) wyliczamy wartości momentów w układzie niewyznaczalnym w
poszczególnych węzłach ramy.

M

T

n

=M

t

M

t

M

1

⋅M

2

⋅

(5.10)

M

10

=

4
5

⋅0,3 EJ⋅−

6

⋅0,3 EJ

5

⋅4

⋅

0,3

⋅40

0,1

EJ

⋅

t



6

⋅0,3

5

⋅17,5 EJ⋅

t

M

10

=−3,59876511,644016654,457520,2340198=2,73679135 [kNm]

M

01

=

2

⋅0,3

5

EJ

⋅−

6

⋅0,3 EJ

5

⋅4

⋅−

0,3

⋅40

0,1

EJ

⋅

t



6

⋅0,3

5

⋅17,5 EJ⋅

t

M

01

=−1,79938256 1,64401665−4,457520,2340198=−4,37886611 [kNm]

M

12

=

3
5

EJ

⋅

3
5

EJ

⋅

3

20

⋅

3
2

⋅

20

0,14

EJ

⋅

t

−

3
5

⋅2,5 EJ⋅

t

M

12

=−8,9969128−1,6440166 7,9598571−0,055719=−2,7367913 [kNm]

M

T

(n)

-4,379

-2,737

2,737

[kNm]

Rys. 5.33. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym od temperatury

Podobnie jak poprzednio tworzymy wykres sił tnących

0,547359

0,328415

T

T

(n)

+

+

[kN]

Rys. 5.34. Wykres sił tnących w układzie niewyznaczalnym

oraz sił normalnych (równoważąc węzeł

1):

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater

Część 2

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ – PRZYKŁAD LICZBOWY

18

0,5473583

0

0,32841496

N

10

1

Rys. 5.35. Siły działające w węźle 1

N

10

=−0,5473583⋅sin =−0,43789 [kN ]

0,479867

N

t

(n)

-

[kN]

Rys. 5.36. Wykres sił normalnych w układzie niewyznaczalnym

I w tym przypadku w celu kontroli poprawności obliczeń dokonamy sprawdzenia statycznego.

0,329415

4,37887

0,547359

0

0,437887

0

Rys. 5.37. Sprawdzenie statyczne

Zapisujemy trzy równania, które powinny zapewnić statyczną niezmienność:

∑

M

0

=0

4,37886611

−8⋅0,54735826=3⋅10

−8

[kNm]≈0

∑

X

=0

0,437886611

⋅cos −0,32841495⋅sin =6⋅10

−9

[kN ]≈0

∑

Y

=0

0,437886611

⋅sin 0,32841495⋅cos −0,54735826 =−2⋅10

−9

[kN ]≈0

Jak widać wszystkie sprawdzenia są spełnione, co świadczy o poprawności obliczeń w przyjętym

algorytmie rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

AlmaMater