Centralna Komisja Egzaminacyjna
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu.
WPISUJE ZDAJĄCY
KOD PESEL
Miejsce
na naklejkę
z kodem
Uk
ład gr
af
iczny © CKE
2010
EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
POZIOM ROZSZERZONY
1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron
(zadania 1–12). Ewentualny brak zgłoś
przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to
przeznaczonym.
3. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych
obliczeń w
rozwiązaniu zadania otwartego może
spowodować, że za to rozwiązanie nie będziesz mógł
dostać pełnej liczby punktów.
4. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra
z czarnym tuszem lub atramentem.
5. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.
6. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.
7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
8. Na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej
naklejkę z kodem.
9. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej
dla egzaminatora.
CZERWIEC 2011
Czas pracy:
180 minut
Liczba punktów
do uzyskania: 50
MMA-R1_1P-113
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
2
Zadanie 1. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
4
5 12
− + − ≥
x
x
.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
3
Zadanie 2. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(
)
0
3
2
2
2
=
−
−
−
m
x
m
x
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
1
x
,
2
x
, spełniające warunek
2
2
1
2
1 2
2
25
+
−
≤
x
x
x x
.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
4
Zadanie 3. (5 pkt)
Ciąg
(
)
, ,
a b c
jest geometryczny. Ciąg
(3
3, 2 ,
12)
a
b c
+
−
jest arytmetyczny i suma jego
dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz
a
,
b
,
c
.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
5
Zadanie 4. (4 pkt)
Rozwiąż równanie
2
6sin
7cos
1 0
+
− =
x
x
dla
0, 2
∈
x
π
.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
6
Zadanie 5. (4 pkt)
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC o bokach długości a, b, c i kątach
α ,
β
,
γ
(zobacz
rysunek). Wykaż, że
2
2
2
2
2
2
tg
tg
+ −
=
+ −
b
c
a
a
c
b
β
α
.
A
B
C
a
b
c
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
7
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
8
Zadanie 6. (3 pkt)
Wykaż, że nie istnieje wielomian
( )
x
W
stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych,
który spełnia warunki:
( )
3
2
=
W
i
( )
2
2
=
−
W
.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
9
Zadanie 7. (4 pkt)
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym
5
AC
=
i
8
AB
=
. Pole tego trójkąta jest
równe 10 3 . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
10
Zadanie 8. (5 pkt)
Punkty
(
)
5, 5
= −
A
,
( )
8, 6
=
C
są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego
ABCD, w którym
&
AB CD . Prosta o równaniu
2
y
x
=
jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz
współrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
11
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
12
Zadanie 9. (3 pkt)
Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie P. Prosta równoległa do podstaw trapezu,
przechodząca przez punkt P, przecina ramiona AD i BC odpowiednio w punktach M i N.
Wykaż, że
MP
NP
=
.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
13
Zadanie 10. (5 pkt)
Dany jest kwadrat ABCD o boku równym 2. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio
punkty E i F, różne od wierzchołków kwadratu, takie że
CE
DF
x
=
=
. Oblicz wartość x,
dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze i oblicz to pole.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
14
Zadanie 11. (4 pkt)
Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru
{
}
1, 2, 3
losujemy jedną.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr
wylosowanej liczby jest równa 7.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
15
Zadanie 12. (4 pkt)
W ostrosłupie trójkątnym ABCS o podstawie ABC i wierzchołku S dane są:
9
=
=
=
=
AB
AC
SB
SC
i
8
=
= BC
AS
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Egzamin maturalny z matematyki
Poziom rozszerzony
16
BRUDNOPIS
MMA-R1_1P-113
PESEL
WYPE£NIA ZDAJ¥CY
WYPE£NIA EGZAMINATOR
Suma punktów
0
21
31
41
22
32
42
23
33
43
24
34
44
25
35
45
26
36
46
27
37
47
28
38
48
29
39
49
1
11
2
12
13
3
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20
30
40
50
KOD EGZAMINATORA
Czytelny podpis egzaminatora
KOD ZDAJ¥CEGO
Miejsce na naklejkê
z nr PESEL