Jak Zbiór liczb rzeczywistych

Zakres podstawowy

Zadanie 1.
Oblicz:
a) [8∙3

4

∙3

11

– 9∙(3

4

)

3

]:9

7

;

b)

3

1

5

1

3

2

32

125

,

0









⋅

−

–

2

2

5

12

+

.

Zadanie 2.

Aby wyrazić prędkość 20

s

m

w

h

km

możemy postąpić następująco:

1m =

1000

1

km, 1s =

3600

1

h. Zatem: 20

s

m

=

h

3600

1

km

1000

1

20

⋅

=

h

km

1000

3600

20

⋅

= 72

h

km

.

Postępując podobnie, wyraź prędkość 5

s

cm

w

h

m

.

Zadanie 3.
Dane są liczby: x =

72

80

−

i y =

72

80

+

. Usuń niewymierność z mianownika

wyrażenia

y

x

. Podaj przybliżoną wartość tego wyrażenia, przyjmując, że 10

≈

3,15.

Zadanie 4.
Dane są zbiory: A – zbiór liczb naturalnych nieparzystych, B – zbiór liczb całkowitych
podzielnych przez 3, C – zbiór liczb całkowitych i W – zbiór liczb wymiernych.
a) Wypisz elementy zbioru A i elementy zbioru B.
b) Wypisz wszystkie liczby pierwsze jednocyfrowe należące do zbioru A

∪

B.

c) Sprawdź, czy do zbioru (C

∩

W) – B należy liczba przeciwna do

4

81 .

Zadanie 5.
Dana jest liczba x = 2,(45).
a) Przedstaw tę liczbę w postaci ilorazu dwóch liczb naturalnych.
b) Podaj przykład liczby niewymiernej, większej od 3x.

Zadanie 6.
Pierwszy tokarz wykonałby zamówienie w ciągu 8 godzin, drugi – o pół godziny krócej, a
trzeci potrzebowałby na to tylko 6 godzin 40 minut. Oblicz, jaką część całego zamówienia

wykonają trzej tokarze, pracując równocześnie przez 2

5

2

godziny.

Zadanie 7.***
Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych, których największy wspólny dzielnik jest równy
8, a najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 144

Zadanie 8.

Zapisz liczbę a =

2

,

1

:

96

,

0

4

3

21

:

21

11

33

28

3

35

45

,

0

5

2

125

,

2













−

⋅

−

⋅

w najprostszej postaci, następnie

znajdź liczbę przeciwną do a i odwrotność liczby a.

Zadanie 9.
Uprość wyrażenie: 27(2m – 1) – (2m – 3)

3

– (7m + 2)(7m – 2) + 8m

3

, a następnie oblicz jego

wartość dla m = 2 3 + 1.

Zadanie 10.
Pan Jan i pan Adam chodzą regularnie o tej same porze do tej samej restauracji: pan Jan co 12
dni, a pan Adam co 15 dni.
a) Ile dni upływa między kolejnymi spotkaniami obu panów w tej restauracji?
b) Jeśli ostatnio panowie spotkali się w restauracji w środę, to w jaki dzień tygodnia nastąpi
kolejne spotkanie?

Zadanie 11.
Zbiór A oznacza zbiór liczb naturalnych mniejszych od 10; B oznacza zbiór liczb całkowitych
parzystych, których odległość od 0 na osi liczbowej jest niewiększa od 8.
a) Wypisz elementy zbioru A i elementy zbioru B.
b) Wskaż liczby pierwsze należące do zbioru A.
c) Znajdź zbiory A

∪

B, A

∩

B.

d) Wypisz elementy zbioru A – B i opisz ten zbiór za pomocą symboli.

Zadanie 12.

Prostokątną bibułkę grubości

8

1

mm składamy na pół, potem znów na pół itd. Załóżmy, że

bibułkę udało się złożyć 25 razy. Jaka jest, w przybliżeniu, grubość tak złożonej bibułki?
Wynik podaj w kilometrach, bez użycia potęg. W obliczeniach przyjmij, że 2

10

≈

1000.

Zadanie 13.

Dany jest zbiór A =





























π

−

)

34

(

,

1

;

3

;

16

9

;

8

3

3

;

0

;

2

;

8

3

1

2

1

3

.

a) Wypisz liczby niewymierne, które należą do zbioru A.
b) Ustaw liczby wymierne należące do zbioru A w kolejności od najmniejszej do największej.

c) Podaj przykład liczby rzeczywistej x, która spełnia warunek:

11

7

x

11

3

11

6

<

+

<

.

Zadanie 14.***
Dane są dwie kolejne liczby naturalne, które nie dzielą się przez 3. Wyznacz resztę z dzielenia
sumy kwadratów tych liczb przez 9.

Zadanie 15.
Zaznacz na osi liczbowej przedziały: A = (–

∞

, 3

〉

i B =

〈

–4, 7).

a) Wyznacz zbiory A

∪

B oraz A – B.

b) Zapisz za pomocą sumy przedziałów zbiór X = {x: x

∈

R – A

∧

x

≠

1

∧

x

≠

5}.

Zadanie 16.
a) Korzystając z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej, rozwiąż równanie:
|2 + x| – 3 = 0.
b) Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności: 0

≤

|x| – 1.

c) Wyznacz wszystkie możliwe wartości wyrażenia: |3 – |x||, jeśli x

∈

(–5, –1)

∩

C.

Zadanie 17.
Miesięczna składka członkowska pewnego stowarzyszenia w 2005 roku wynosiła 25 zł.
Poniższa tabela przedstawia faktyczne wpłaty wszystkich członków z tego tytułu do końca
2005 roku.

Całkowita kwota składek
wpłacona przez 1 osobę (zł)

100

125

150

200

225

275

300

Liczba osób, które wpłaciły
określoną kwotę składek

5

3

10

8

1

9

12

a) Oblicz średnią wpłaconych składek za 2005 r. przypadającą na jednego członka
stowarzyszenia z dokładnością do 1 grosza.
b) Ile procent wszystkich osób wpłaciło więcej, niż 150 zł?
c) O ile procent mniej (z dokładnością do 0,5%) zebrano składek w 2005 roku niż
planowano?

Zadanie 18.
Oblicz:
a) średnią geometryczną liczb: 7, 8, 14, 49;

b) średnią harmoniczną liczb:

3

4

,

4

1

,

2

5

2

1

1

























−

, 2.

Zadanie 19.
Ustal zbiór rozwiązań nierówności: (x + 3)

2

≥

(x + 2)(x – 2) + 6x.

Zadanie 20.***
Uzasadnij, że liczba

2

6

11

+

–

2

2

3

−

jest liczbą naturalną.

Zadanie 21.

Rozwiąż równanie:

2

3

x

+

=

3

2

i zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań.

Zadanie 22.
Napisz taką nierówność z wartością bezwzględną, aby jej zbiorem rozwiązań był zbiór:
(–

∞

, –7)

∪

(3, +

∞

).

Zadanie 23.
Dane są zbiory: A = {x: x

∈

R

∧

x < 2}, B = {x: x

∈

R

∧

|x|

≤

3}.

a) Wyznacz zbiory A – B i B

∩

A.

b) Wypisz wszystkie liczby naturalne, które należą do zbioru A

∪

B.

Zadanie 24.
Pan Rafał postanowił wpłacić do banku na rok 3000 zł. Bank A oferuje, przy rocznej lokacie,
oprocentowanie 4% w stosunku rocznym, z kapitalizacją odsetek co pół roku. Bank B po roku
dopisuje 4,5% odsetek. W którym banku pan Rafał uzyska więcej odsetek, i o ile więcej?

Zadanie 25.
Cenę pewnego towaru obniżono najpierw o 10%, a następnie podniesiono o 20%. O ile
procent należałoby jednorazowo podnieść cenę początkową tego towaru, aby uzyskać ten sam
efekt?

Zadanie 26.
Średni wiek uczestników wycieczki jest równy 18 lat. Najstarszy uczestnik ma 50 lat, a średni
wiek pozostałych jest równy 17 lat. Ile osób jest na wycieczce?

Zadanie 27.***
W trójkącie prostokątnym o polu 12 2 cm

2

poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta

prostego, która dzieli przeciwprostokątną w stosunku 1:2. Oblicz długość tej wysokości.