1
Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 3
Zadania zamknięte
Numer
zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania zadania
1.
B.
3
5
+
n
– poniewaŜ pierwszy składnik sumy jest podzielny przez 5 i
pozostaje reszta 3 .
2.
B.
9
12
21
6
2
3
18
5
5
5
)
5
(
5
5
=
=
3.
B.
( )
3
8
4
2
3
3
3
81
1
3
3
81
1
log
4
2
3
3
3
−
=
⇔
−
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
−
x
x
x
x
4.
C.
7
7
7
>
∨
−
<
⇔
>
x
x
x
5.
D.
2
11
11
2
6
2
5
2
3
5
=
⇒
=
⇒
−
=
⇒
=
−
x
x
x
x
6.
A.
(
) (
)
8
2
5
3
5
3
−
=
−
+
−
=
+
−
−
−
=
x
x
x
x
x
W
7.
C.
Pierwiastkami równania są liczby
( )
5
−
i 1. Liczba 4 nie jest
pierwiastkiem, gdyŜ nie naleŜy do dziedziny równania.
8.
C.
(
)
3
,
3
9
2
−
∈
⇔
<
x
x
, zatem
(
)
3
,
3
10
−
∉
−
9.
D.
(
) (
) (
)
(
)
(
)(
)(
)
3
3
5
9
5
5
9
5
2
2
+
−
+
=
−
+
=
+
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
W
10.
D.
17
1
4
)
4
(
2
=
+
=
f
11.
C.
3
3
3
1
1
3
0
3
1
>
⇒
>
⇒
−
<
−
⇒
<
−
m
m
m
m
12.
B.
Funkcja jest malejąca i przecina oś
OY powyŜej osi OX .
13.
B.
Parabola ma ramiona skierowane w dół i
4
=
W
y
.
14.
A.
5
,
4
3
∉
=
W
x
, zatem najmniejsza wartość to
0
)
4
(
=
f
(poniewaŜ
)
3
)
5
(
=
f
.
15.
B.
Proste
5
,
0
−
=
=
y
x
to asymptoty wykresu, a prosta
5
−
−
=
x
y
leŜy
w innych ćwiartkach niŜ hiperbola.
16.
A.
+
∈
∧
<
⇒
<
+
N
n
n
n
2
47
50
3
2
, zatem są 23 ujemne wyrazy ciągu.
2
17.
B.
40
180
2
20
20
20
=
⇒
=
+
+
+
+
r
r
r
18.
C.
4
2
8
1
2
1
4
1
2
=
⇒
=
⇒
⋅
=
x
x
x
(ujemny wynik odrzucamy, gdyŜ
ciąg miał być rosnący).
19.
C.
6
5
cos
cos
sin
5
2
cos
sin
2
2
=
⇒
+
∧
=
α
α
α
α
α
20.
B.
2
5
4
2
2
a
AE
a
a
AE
=
⇒
+
=
,
5
5
5
1
2
5
2
sin
=
=
=
a
a
α
21.
B.
2
10
5
2
=
⇒
=
a
a
22.
D.
2
49
98
2
=
⇒
=
k
k
23.
D.
Ś
rodek okręgu
(
)
5
)
3
(
,
5
,
3
=
−
−
=
f
S
dla czwartej funkcji liniowej.
Zadania otwarte
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
Zapisanie liczby pod pierwiastkiem jako kwadratu róŜnicy:
(
)
2
2
1
2
−
−
.
1
24.
Wyciągnięcie pierwiastka i zredukowanie wyrazów podobnych,
co wykazuje tezę zadania:
=
−
−
2
2
1
2
1
2
−
−
1
−
=
.
1
Zapisanie równania z niewiadomą
x
– cena płaszcza przed
obniŜką:
510
15
,
0
=
−
x
x
.
1
25
Rozwiązanie równania:
600
=
x
(zł).
1
26.
Wprowadzenie oznaczeń i wyznaczenie pól wymienionych kół:
c
b
a
,
,
– odpowiednio dwie przyprostokątne i
przeciwprostokątna,
2
3
2
2
2
1
4
1
,
4
1
,
4
1
c
P
b
P
a
P
π
π
π
=
=
=
.
1
3
Wykazanie tezy zadania:
(
)
3
2
2
2
2
1
4
1
4
1
P
c
b
a
P
P
=
=
+
=
+
π
π
.
1
Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych:
89
90
⋅
=
Ω
=
.
1
27.
Wyznaczenie liczebności zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu
44
45
:
⋅
=
=
A
A
i prawdopodobieństwa zdarzenia
89
22
)
(
:
=
A
P
A
.
1
Zapisanie warunku w postaci iloczynowej:
(
)
(
)
0
7
2
2
≠
−
−
x
x
.
1
28.
Rozwiązanie warunku i zapisanie odpowiedzi:
{
}
7
,
2
,
2
\
−
=
R
D
.
1
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
3
,
5
2
1
=
−
=
x
x
.
1
29.
Rozwiązanie nierówności:
(
)
∞
+
∪
−
∞
−
∈
.
3
5
,
x
.
1
Wyznaczenie pola trójkąta:
30
=
P
.
1
Wyznaczenie przeciwprostokątnej trójkąta:
13
=
c
.
1
Zapisanie równania z niewiadomą r – promień okręgu
wpisanego w trójkąt:
(
)
30
13
12
5
2
1
=
+
+
r
.
1
30.
Rozwiązanie równania:
2
=
r
.
1
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie
precyzyjnych oznaczeń, np.:
h
a
,
12
=
– krawędź podstawy i wysokość, prostopadłościanu
'
'
'
'
,
D
C
B
A
ABCD
– dolna i górna podstawa prostopadłościanu,
60
'
=
∠
D
BC
,
β
– kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny
podstawy prostopadłościanu.
1
Wyznaczenie przekątnej ściany bocznej:
2
12
.
1
Wyznaczenie wysokości prostopadłościanu:
12
=
h
.
1
31.
Obliczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
864
=
c
P
.
1
4
Obliczenie kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do
płaszczyzny podstawy prostopadłościanu:
45
=
β
.
1
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka A równoległoboku:
(
)
1
,
2
−
=
A
.
1
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka przeciwległego:
( )
5
,
8
=
C
.
1
Wyznaczenie równania prostej, w której zawarty jest bok
11
2
:
−
=
x
y
CB
.
2 (1 punkt za
współczynnik
kierunkowy
i 1 za pozostałe
obliczenia)
32.
Wyznaczenie współrzędnych punktu
( )
1
,
6
:
=
B
B
.
2 (1 punkt za
zapisanie
odpowiedniego
układu równań
i 1 za
rozwiązanie)
ERRATA
Jest:
29.
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
𝑥
1
= −5, 𝑥
2
= 3
1
Rozwiązanie nierówności: 𝑥 ∈ −∞, −5 ∪ 3, + ∞
1
Powinno być:
29.
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
𝑥
1
= −5, 𝑥
2
= 3
1
Rozwiązanie nierówności: 𝑥 ∈ −5, 3
1