1

Odpowiedzi i schematy oceniania

Arkusz 3

Zadania zamknięte

Numer

zadania

Poprawna

odpowiedź

Wskazówki do rozwiązania zadania

1.

B.

3

5

+

n

– ponieważ pierwszy składnik sumy jest podzielny przez 5 i

pozostaje reszta 3 .

2.

B.

9

12

21

6

2

3

18

5

5

5

)

5

(

5

5

=

=

3.

B.

( )

3

8

4

2

3

3

3

81

1

3

3

81

1

log

4

2

3

3

3

−

=

⇔

−

=

⇔

=

⇔

=

⇔

=

−

x

x

x

x

4.

C.

7

7

7

>

∨

−

<

⇔

>

x

x

x

5.

D.

2

11

11

2

6

2

5

2

3

5

=

⇒

=

⇒

−

=

⇒

=

−

x

x

x

x

6.

A.

(

) (

)

8

2

5

3

5

3

−

=

−

+

−

=

+

−

−

−

=

x

x

x

x

x

W

7.

C.

Pierwiastkami równania są liczby

( )

5

−

i 1. Liczba 4 nie jest

pierwiastkiem, gdyż nie należy do dziedziny równania.

8.

C.

(

)

3

,

3

9

2

−

∈

⇔

<

x

x

, zatem

(

)

3

,

3

10

−

∉

−

9.

D.

(

) (

) (

)

(

)

(

)(

)(

)

3

3

5

9

5

5

9

5

2

2

+

−

+

=

−

+

=

+

−

+

=

x

x

x

x

x

x

x

x

W

10.

D.

17

1

4

)

4

(

2

=

+

=

f

11.

C.

3

3

3

1

1

3

0

3

1

>

⇒

>

⇒

−

<

−

⇒

<

−

m

m

m

m

12.

B.

Funkcja jest malejąca i przecina oś

OY powyżej osi OX .

13.

B.

Parabola ma ramiona skierowane w dół i

4

=

W

y

.

14.

A.

5

,

4

3

∉

=

W

x

, zatem najmniejsza wartość to

0

)

4

(

=

f

(ponieważ

)

3

)

5

(

=

f

.

15.

B.

Proste

5

,

0

−

=

=

y

x

to asymptoty wykresu, a prosta

5

−

−

=

x

y

leży

w innych ćwiartkach niż hiperbola.

16.

A.

+

∈

∧

<

⇒

<

+

N

n

n

n

2

47

50

3

2

, zatem są 23 ujemne wyrazy ciągu.

2

17.

B.

40

180

2

20

20

20

=

⇒

=

+

+

+

+

r

r

r

18.

C.

4

2

8

1

2

1

4

1

2

=

⇒

=

⇒

⋅

=

x

x

x

(ujemny wynik odrzucamy, gdyż

ciąg miał być rosnący).

19.

C.

6

5

cos

cos

sin

5

2

cos

sin

2

2

=

⇒

+

∧

=

α

α

α

α

α

20.

B.

2

5

4

2

2

a

AE

a

a

AE

=

⇒

+

=

,

5

5

5

1

2

5

2

sin

=

=

=

a

a

α

21.

B.

2

10

5

2

=

⇒

=

a

a

22.

D.

2

49

98

2

=

⇒

=

k

k

23.

D.

Ś

rodek okręgu

(

)

5

)

3

(

,

5

,

3

=

−

−

=

f

S

dla czwartej funkcji liniowej.

Zadania otwarte

Numer

zadania

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

punktów

Zapisanie liczby pod pierwiastkiem jako kwadratu różnicy:

(

)

2

2

1

2

−

−

.

1

24.

Wyciągnięcie pierwiastka i zredukowanie wyrazów podobnych,

co wykazuje tezę zadania:

=

−

−

2

2

1

2

1

2

−

−

1

−

=

.

1

Zapisanie równania z niewiadomą

x

– cena płaszcza przed

obniżką:

510

15

,

0

=

−

x

x

.

1

25

Rozwiązanie równania:

600

=

x

(zł).

1

26.

Wprowadzenie oznaczeń i wyznaczenie pól wymienionych kół:

c

b

a

,

,

– odpowiednio dwie przyprostokątne i

przeciwprostokątna,

2

3

2

2

2

1

4

1

,

4

1

,

4

1

c

P

b

P

a

P

π

π

π

=

=

=

.

1

3

Wykazanie tezy zadania:

(

)

3

2

2

2

2

1

4

1

4

1

P

c

b

a

P

P

=

=

+

=

+

π

π

.

1

Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych:

89

90

⋅

=

Ω

=

.

1

27.

Wyznaczenie liczebności zdarzeń elementarnych sprzyjających

zdarzeniu

44

45

:

⋅

=

=

A

A

i prawdopodobieństwa zdarzenia

89

22

)

(

:

=

A

P

A

.

1

Zapisanie warunku w postaci iloczynowej:

(

)

(

)

0

7

2

2

≠

−

−

x

x

.

1

28.

Rozwiązanie warunku i zapisanie odpowiedzi:

{

}

7

,

2

,

2

\

−

=

R

D

.

1

Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:

3

,

5

2

1

=

−

=

x

x

.

1

29.

Rozwiązanie nierówności:

(

)

∞

+

∪

−

∞

−

∈

.

3

5

,

x

.

1

Wyznaczenie pola trójkąta:

30

=

P

.

1

Wyznaczenie przeciwprostokątnej trójkąta:

13

=

c

.

1

Zapisanie równania z niewiadomą r – promień okręgu

wpisanego w trójkąt:

(

)

30

13

12

5

2

1

=

+

+

r

.

1

30.

Rozwiązanie równania:

2

=

r

.

1

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie

precyzyjnych oznaczeń, np.:

h

a

,

12

=

– krawędź podstawy i wysokość, prostopadłościanu

'

'

'

'

,

D

C

B

A

ABCD

– dolna i górna podstawa prostopadłościanu,

60

'

=

∠

D

BC

,

β

– kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny

podstawy prostopadłościanu.

1

Wyznaczenie przekątnej ściany bocznej:

2

12

.

1

Wyznaczenie wysokości prostopadłościanu:

12

=

h

.

1

31.

Obliczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu:

864

=

c

P

.

1

4

Obliczenie kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do

płaszczyzny podstawy prostopadłościanu:

45

=

β

.

1

Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka A równoległoboku:

(

)

1

,

2

−

=

A

.

1

Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka przeciwległego:

( )

5

,

8

=

C

.

1

Wyznaczenie równania prostej, w której zawarty jest bok

11

2

:

−

=

x

y

CB

.

2 (1 punkt za

współczynnik

kierunkowy

i 1 za pozostałe

obliczenia)

32.

Wyznaczenie współrzędnych punktu

( )

1

,

6

:

=

B

B

.

2 (1 punkt za

zapisanie

odpowiedniego

układu równań

i 1 za

rozwiązanie)

ERRATA

Jest:

29.

Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
𝑥

1

= −5, 𝑥

2

= 3

1

Rozwiązanie nierówności: 𝑥 ∈ −∞, −5 ∪ 3, + ∞

1

Powinno być:

29.

Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
𝑥

1

= −5, 𝑥

2

= 3

1

Rozwiązanie nierówności: 𝑥 ∈ −5, 3

1