Odpowiedzi i schematy oceniania

Arkusz 2

Zadania zamknięte

Numer

Poprawna

Wskazówki do rozwiązania zadania

zadania odpowiedź

1.

D.

1

150

1

−

150

149

⋅3 = 3 ⋅ 3 = 3

3

2.

D.

5 , ponieważ każda z pozostałych liczb ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe lub skończone.

3.

A.

4 ,

8 6

,

0 045 x = 4 ,

8 6 ⇒ x =

⇒ x = 1080

,

0 045

4.

B.

Przedział domknięty obustronnie, gdyż liczba 0 nie należy do przedziału ( ,

0 20).

5.

C.

Nie mniejsza oznacza większa lub równa.

6.

B.

Jedynie w wyrażeniu B dla x = 3 otrzymujemy 0 w mianowniku.

7.

B.

3

x + 9 x = 0 ⇒ x( 2

x + 9) = 0 ⇒ x = 0

2

∨ x = −9. Drugie z równań jest

sprzeczne.

8.

D.

1

Odwrotność liczby a to

, zatem liczbą przeciwną do podwojonej

a

2

odwrotności liczby a jest liczba −

.

a

9.

D.

(54 − x)− 2 x( x − 4) = (54 − x)+ 2 x(4 − x) = (4 − x)(5+ 2 x) 10.

C.

A : ∆ = 3

− ,

6

B : ∆ = 3 ,

6

C : ∆ = ,

0

D : ∆ = 81

11.

D.

2

2

x < x ⇒ x − x < 0 ⇒ x( x − ) 1 < 0 ⇒ x ∈ ( ,

0 )

1

12.

C.

1

f (2) =

2

13.

D.

 y = −2 x + 4

 x = 6



⇒ 

, zatem punkt należy do czwartej ćwiartki

 y = − x − 2

 y = −8

układu współrzędnych.

14.

D.

n 1

−

n 1

−

9

2 ⋅ 3

= 9 ⇒ 3

= – równanie sprzeczne w zbiorze liczb

2

naturalnych dodatnich.

1

15.

A.

r = (2 7 − )

1 − ( 7 − 5)⇒ r = 7 + 4

16.

B.

Parabola musi mieć ramiona skierowane do dołu i x

.

W = −3

17.

C.

Wykres funkcji

x

y = 2 został przesunięty o 3 jednostki w górę.

18.

A.

∠ BAO = 20 ⇒ ∠ AOB = 140 ⇒ ACB = 70 , gdyż kąty AOB i ACB są kątami opartymi na tym samym łuku, zaś pierwszy z nich jest środkowy, a drugi wpisany w okrąg.

19.

A.

180 − 80

∠ ABC =

= 50 ⇒ ∠ DAB = 25 ⇒ ∠ ADB = 180 − 75

2

⇒ ∠ ADB = 105

20.

D.

2

 

2

3

2

40

2 10

cos α = 1 −   ⇒ cos α =

⇒ cosα =

 7 

49

7

21.

A.

a 3 + 2 = a ⇒ a(2 − 3) 4

= 4 ⇒ a =

⇒ a = 4(2 + 3)

2

2 − 3

22.

D.

4

6

4

l : −5 y = −4 x − 6 ⇒ y =

x +

⇒ a

, zatem prosta prostopadła

l =

5

5

5

 5 

ma współczynnik kierunkowy  −  .

 4 

23.

A.

 9 − 3 3 − 5 



,

 = ( ,

3 − )

1

 2

2 

24.

C.

Okrąg o środku S = ( a, b) i promieniu r ma równanie ( x − a)2 + ( y − b)2

2

= r .

25.

C.

6

r = ,

6 h = 8 ⇒ tgα =

8

Zadania otwarte

Numer

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

Liczba

zadania

punktów

26.

Podstawienie argumentu do wzoru funkcji:

1

2

f 3

(

2 − 2) = −(3 2 − 2) − 4(3 2 − 2)+1 i zastosowanie wzoru 2

skróconego mnożenia:

f 3

(

2 − 2) = −(18 −12 2 + 4)− 4(3 2 − 2)+1.

Opuszczenie nawiasów i zredukowanie wyrazów podobnych: 1

f 3

(

2 − 2) = −13 .

27.

5

12

1

Zapisanie proporcji:

=

.

4

4 + AB

28

1

Wyznaczenie długości AB : AB =

.

5

28.

Wprowadzenie oznaczeń:

1

a, 4 a – przyprostokątne,

x, y – odpowiednie odcinki, na jakie wysokość trójkąta dzieli

 x

a

 =

 a

x + y

przeciwprostokątną, oraz zapisanie proporcji: 

.

 y = 4 a

4 a x + y

Przekształcenie układu do postaci wykazującej tezę zadania: 1

y = 16 x .

29.

Zapisanie równania w postaci: ( 2

x + )

1 ( x + )

3 = 0 .

1

Rozwiązanie równania: x = −3 (równanie 2

x + 1 = 0 jest

1

sprzeczne).

30.

Wyznaczenie wyróżnika i stwierdzenie, że trójmian kwadratowy nie 1

ma pierwiastków.

Rozwiązanie nierówności: x ∈ R .

1

31.

Zapisanie zależności między prędkością x i czasem y : xy = 120 .

1

 xy = 120

1

Zapisanie układu równań: (

.

 x + 5)( y − 2) = 120

Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y : 1

( x + )120 

5 

− 2 = 120 .

 x



Wyznaczenie niewiadomych: x = 1 ,

5 y = 8 i zapisanie odpowiedzi:

1

Marcin jechał 8 godzin z prędkością 15 km/godz.

32.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnych 1

3

oznaczeń:

a, h – odpowiednio krawędź podstawy i wysokość ostrosłupa,

60 – kąt między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa,

'

ABC, S, S – odpowiednio podstawa, wierzchołek i spodek wysokości ostrosłupa,

d ( '

S , AS ) = 4 .

1

'

8 3

Wyznaczenie długości odcinka AS :

'

AS =

.

3

Wyznaczenie krawędzi podstawy: a = 8 .

1

Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: h = 8 .

1

128 3

1

Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V =

.

3

=

33.

1

Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych: Ω = 36 .

Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych 1

=

sprzyjających zdarzeniu A : A = 9 .

Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych 1

=

sprzyjających zdarzeniu B : B = 15 .

Wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych 1

=

sprzyjających zdarzeniu A ∩ B : A ∩ B = 3 .

Wyznaczenie prawdopodobieństw:

1

P( A)

9

=

P( B) 15

,

=

P( A ∩ B)

3

,

=

.

36

36

36

Wykorzystanie twierdzenia o prawdopodobieństwie sumy zdarzeń 1

7

do obliczenia P( A ∪ B): P( A ∪ B) =

.

12

4