Odpowiedzi i schematy oceniania

Arkusz 5

Zadania zamknięte

Numer

Poprawna

Wskazówki do rozwiązania zadania

zadania odpowiedź

1.

B.

W = 3 16 − 2 50 + 4 32 − 3 250 ⇒

⇒ W = 23 2 −10 2 +16 2 − 52 2 = −33 2 + 6 2

2.

C.

x + 5

,

0 x = 120 ⇒ x = 80

3.

D.

log 56 = log 7 ⋅ 8 = log 7 + log 8 = a + 3

2

2

2

2

4.

A.

9 2

x −16 2

y

(3 x − 4 y)(3 x + 4 y)

= 25 ⇒

= 25 ⇒ 3 x + 4 y = 25

3 x − 4 y

3 x − 4 y

5.

B.

(

3

2 + 3) = 8 + 3⋅ 4 3 + 3⋅ 2 ⋅ 3 + 3 3 = 15 3 + 26

6.

A.

m godzin – k stron,

m + 5 godzin – x stron, k ( m + 5)

x =

.

m

7.

C.

2 x − 3 x = −1 + 5 ⇒ x(2 − 3) 4

= 4 ⇒ x =

2 − 3

8.

D.

(2 x + 3)2

1

W = (

⇒ W =

2 x + 3)2 (2 x − 3)2

(2 x − 3)2

9.

A.

∆ < 0 ⇒ 36 − 4 c < 0 ⇒ c > 9

10.

C.

x − ,

4 x = 4 , ramiona paraboli są skierowane do dołu.

1

2

11.

B.

a = S = ,

9 S = 2 ,

4 a = 24 − 9 = 15

1

1

2

2

12.

D.

15

r = log 15 − log 3 = log

= log 5 = 1

5

5

5

3

5

13.

D.

2

1

x = − log

2

⇒ x = log 16

2

⇒ x = 4 ⇒ x = 2

− ∨ x = 2

2 16

2

14.

C.

Funkcja y = cos x jest funkcją malejącą, zatem przy mniejszym argumencie większa jest wartość funkcji.

15.

A.

3

tgα =

⇒ α = 30

3

1

16.

D.

2 a, a

3 – odpowiednio podstawa i ramię trójkąta, h = 2 2 a – wysokość trójkąta, 2 2

sin α =

.

3

17.

B.

α, α 20

+

, α

3 – kąty trójkąta,

α + α + 20 + 3α =180 ⇒ α = 32 .

18.

B.

CD, CE – odpowiednio dwusieczna i wysokość trójkąta, D ∈ AB ,

∠ EDC = 75 ⇒ ∠ BDC = 105,

∠ ABC = 180 − (105 + 400 )⇒ ∠ ABC = 35.

19.

D.

a – krótsza przyprostokątna trójkąta, c – przeciwprostokątna trójkąta, 2

2 5

a = 16 + 4 ⇒ a = 2 5 ,

=

⇒ c = 10.

2 5

c

20.

D.

1

1

Pole połowy otrzymanej figury to π −

, zatem pole całej figury

4

2

1

1

jest równe π −1 =

(π − 2).

2

2

21.

D.

180 ( n − 2) = 1800 ⇒ n − 2 = 10 ⇒ n = 12

Zadania otwarte

Numer

Liczba

Modelowe etapy rozwiązywania zadania

zadania

punktów

22.

5

1

Wyznaczenie długości wysokości trójkąta: h =

.

2

15

1

Wyznaczenie długości boku trójkąta: a =

.

3

23

Wyznaczenie długości boku kwadratu: AC = 2 10 .

1

Wyznaczenie obwodu kwadratu: L = 8 5 .

1

24.

Przekształcenie równania okręgu do postaci: 1

2

( x − 2)2 + ( y + 6)2 = 9.

Wyznaczenie środka i promienia okręgu: S = ( , 2 6

− ), r = 3 .

1

25.

Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej: 1

1

a =

.

4

1

1

Wyznaczenie równania prostej prostopadłej: y =

x −11.

4

26.

Wyznaczenie krawędzi prostopadłościanu: a = 3 .

1

Wyznaczenie pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu: 1

P

.

c = 30

27.

Wyznaczenie sumy liczb a, b, c : a + b + c = 45 .

1

Wyznaczenie średniej arytmetycznej liczb

1

−

a + ,

7 b + ,

3 c + 8 : x = 21.

28.

Wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń

1

2

3

,

A B : P( )

A =

, P( B) =

.

3

5

31

1

Obliczenie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń: P( A ∪ B) =

.

60

29.

Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie równania: x ⋅ y = 72 , gdzie 1

x – liczba kilogramów truskawek zbieranych jednego dnia, y – liczba dni, x > , 0 y > 0 .

 xy = 72

1

Zapisanie układu równań: (

.

 x + 2)⋅ ( y − 3) = 72

Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą: 1

− 3 2

x − 6 x + 144 = 0 .

Rozwiązanie układu i podanie odpowiedzi z uwzględnieniem 1

 x = 6

dziedziny: 

.

 y = 12

30.

Wyznaczenie przeciwprostokątnej: AB = 24 .

1

Wyznaczenie odcinka: CM : CM = 2 .

1

Wyznaczenie mniejszej podstawy trapezu: MN = 4 .

1

3

Wyznaczenie wysokości trapezu: h = 5 3 .

1

Wyznaczenie pola trapezu: P = 70 3 .

1

31.

Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie 1

dokładnych oznaczeń:

r, h – odpowiednio promień podstawy i wysokość stożka, α – kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy,

V = V .

k

s

1

2 (1 punkt za

Wyznaczenie tangensa kąta α : tgα =

.

2

wyznaczenie

cosinusa

i 1 za

wyznaczenie

tangensa)

4 π

1

⋅ 3 = 1

3

2

r

π h

3

3

Zapisanie układu równań: 

.

 h

1

 =

 r

2

Przekształcenie układu do równania z jedną niewiadomą: 1

1 2 1

36 =

r

r .

3

2

Rozwiązanie równania: r = 6 .

1

4