Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 59 – [e-mail]

13. Metoda

sił – belki ciągłe, równanie trzech momentów

1

13.1. Belki ciągłe, równanie trzech momentów – podstawy teoretyczne
Metoda sił jest metodą ogólną pozwalającą rozwiązywać różnego typu układy
statycznie niewyznaczalne.

łe.

ne.

owo.

odpartych.

Można ją zmodyfikować tak by w prosty (schematyczny) sposób, oparty na

pewnych cechach metody, rozwiązywać statycznie niewyznaczalne belki ciąg

Belką ciągłą nazywamy belkę wspartą więcej niż dwu podporach, przy czym

zakłada się, że jedna z podpór jest nieprzesuwna a pozostałe przesuw

Belka taka jest zwykle pozioma a siły zewnętrzne i związane z nimi reakcje

skierowane są pion

Układ podstawowy metody sił (UPMS) belki ciągłej tworzymy usuwając więzy

wewnętrzne – zakładając przeguby nad podporami wewnętrznymi oraz w utwierdzeniu,
jeżeli występuje taki warunek brzegowy.

W powyższy sposób otrzymujemy bardzo korzystny z ekonomicznego punktu

widzenia (prostota schematycznego podejścia oraz mały nakładu pracy przy
całkowaniu) układ złożony z belek swobodnie p

W wyniku tego zabiegu otrzymuje się niewiadome – nadliczbowe metody sił

i

X

,

które są momentami zginającymi w przekrojach podporowych (nad podporami), są to
tzw. momenty podporowe.

Adaptacja metody sił do analizy belek ciągłych prowadzi do bardzo prostego układu

równań kanonicznych. Równanie odniesionej d k -tej podpory można zapisać w
następującej post

o

aci

1

1

1

1

1

1

1

0

6

3

6

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

l

l

l

l

X

X

X

EI

EI

EI

EI

δ

+

+

−

+

+

+

⎛

⎞

+

+

+

+

⎜

⎟

⎝

⎠

0

=

(13.1)

1

Rysunki zaczerpnięto z książki: Cywiński Z.: Mechanika budowli w zadaniach

Tom II, PWN, 1984.

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 60 – [e-mail]

gdzie:

1

k

X

−

,

k

X

,

1

k

X

+

– nadliczbowe (momenty zginające w przekrojach) odpowiednio nad

kolejnymi podporami

1

k

− , ,

k

1

k

+ ;

k

l

,

– rozpiętości przęseł;

1

k

l

+

k

I

,

1

k

I

+

– momenty bezwładności przekroju prętów położonych z lewej i

prawej strony podpory ;

k

E

– moduł sprężystości materiału;

0

k

δ

– przemieszczenie, zmianę kąta obrotu osi pręta, w przekroju nad

podporą , od przyczyny zewnętrznej.

k

Przyjmując oznaczenia:

c

k

k

k

I

l

l

I

′ =

i

1

1

1

c

k

k

k

I

l

l

I

+

+

+

′ =

, (13.2)

gdzie

c

I

jest porównawczym momentem bezwładności przekroju

oraz

0

k

c

0

6

k

N

EI

δ

= −

, (13.3)

wzór (13.1) można wyrazić w formie równania trzech momentów.

Wielkość

daną wzorem (13.3) określa się szczegółowo w zależności od rodzaju

obciążenia (oddziaływania) zewnętrznego na poszczególne pręty (przęsła belki ciągłej –
belki swobodnie podparte).

0

k

N

Rys. 13.1 Belka ciągła - układ wyjściowy

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 61 – [e-mail]

Równanie trzech momentów (równanie (13.1) po podstawieniu (13.2) i (13.3) przybiera
poniższą postać)

(

)

1

1

1

2

k

k

k

k

k

k

k

k

1

0

X

l

X

l

l

X

l

N

−

+

+

′

′

′

′

⋅ + ⋅

⋅

+

+

⋅

=

+

. (13.4)

1

k

X

−

,

k

X

,

1

k

X

+

– nadliczbowe nad kolejnymi podporami

1

k

−

, ,

k

1

k

+

.

Rys. 13.2 Belka ciągła - układ podstawowy metody sił

0

0

l

k

k

0

p

k

δ

δ

δ

=

+

– sumaryczna (z lewej i prawej strony podpory), zmiana kąta obrotu osi

belki w przekroju nad podporą od przyczyny zewnętrznej.

k

Rys. 13.3 Belka ciągła – UPMS – zmiana kąta obrotu osi belki w przekroju nad podporą

k

Rys. 13.4 Belka ciągła – UPMS – wykresy momentów od obciążenia zewnętrznego

k

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 62 – [e-mail]

Rys. 13.5 Belka ciągła – UPMS – wykresy momentów od obciążenia

1

1

k

X

−

=

Rys. 13.6 Belka ciągła – UPMS – wykresy momentów od obciążenia

1

k

X

=

Rys. 13.7 Belka ciągła – UPMS – wykresy momentów od obciążenia

1

1

k

X

+

=

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 63 – [e-mail]

Przykładowe wyznaczenie wielkości współczynnika prawej strony

0

k

N

p

obcią-

żeniu siłą skupioną.

rzy

Rys. 13.8 UPMS – wyznaczenie

0

k

N

N

kP

=

– stan obciążenia zewnętrznego

p

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 64 – [e-mail]

13.2. Belka ciągła, rozwiązanie z zastosowaniem równania trzech momen-

tów

Dana jest belka ciągła przedstawiona na poniższym rysunku, sporządzić wykresy sił
wewnętrznych. Należy przyjąć, że we wszystkich prętach

const

E

=

.

Rys. 13.9 Belka ciągła

Stosując równanie trzech momentów w zasadzie nie ma konieczności przyjmowania
układu podstawowego metody sił, zbędne jest także rysowanie i całkowanie wykresów
momentów zginających w UPMS od obciążenia zewnętrznego i od jednostkowych
stanów nadliczbowych.

W niniejszym rozwiązaniu, jedynie w celu poglądowym, przyjmiemy układ

podstawowy metody sił pokazany na rys. 13.10.

Rys. 13.10 Belka ciągła - układ podstawowy metody sił

Równanie trzech momentów zapisujemy poniżej w poznanej wcześniej postaci (13.4).

(

)

1

1

1

2

k

k

k

k

k

k

k

k

1

0

X

l

X

l

l

X

l

N

−

+

+

′

′

′

′

⋅ + ⋅

⋅

+

+

⋅

=

+

.

W analizowanym zadaniu (stopień statycznej niewyznaczalności

2

n

= ) mamy dwie

niewiadome nadliczbowe

1

X

i

2

X

(lub zapisane w po

1, 2

k

staci

,

k

X

=

), są to

momenty zginające w przekrojach nad kolejnymi podpora i

m

1

i

2

.

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 65 – [e-mail]

Zatem w niniejszym rozwiązaniu równanie trzech momentów (13.4) zapiszemy

dwukrotnie, przyjmując kolejno

1

k

= i

2

k

= .

Ze wzglądu na to, że moment bezwładności przekrojów poszczególnych prętów (w
poszczególnych przęsłach) jest różny, przyjmujemy porównawczy moment bezwładno-
ści

c

I

I

= . (13.5)

Stosując oznaczenia (13.2) zgodne z zasadami obowiązującymi przy tej metodzie

rozwiązania przyjmujemy:

(

1)

1

A

c

I

I

I

I

−

=

= = ,

(1 2)

2

2

2

c

I

I

I

I

−

=

=

=

(2

)

3

,

B

c

I

I

I

I

−

=

= = (13.6)

Na podstawie zależności (13.6) wyznaczymy zgodnie z (13.2) długości

i

l ′

:

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

6 [m]

4 [m]

2

2

4 [m]

c

c

c

I

I

l

l

l

l

I

I

I

l

I

l

l

l

I

I

I

I

l

l

l

l

I

I

′ =

=

= =

′ =

=

=

=

′ =

=

= =

(13.7)

Celem zapisania równania (13.4) dla

1

k

= i

2

k

= należy wyznaczyć współczynniki

prawej strony równania, czyli wielkości

0

,

1,

k

N

k

2

=

.

10

N

i

określa się kolejno (sumując) zgodnie z poniższą zależnością:

20

N

(13.8)

10

10

10

20

20

20

l

p

l

N

N

N

N

N

N

=

+

=

+

p

Przyjmując zależności dane w tabelach współczynników

można zapisać:

0

k

N

- przyjmując

1

k

=

2

2

10

1 1

2

10

2 2

7

7

4 6 6

94,5 [kNm ]

64

64

3

3

8 8 4

96 [kNm ]

8

8

l

p

N

ql l

N

Pl l

′

= −

= −

⋅ ⋅ = −

′

= −

= −

⋅ ⋅ = −

2

(13.9)

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

http://www.okno.pg.gda.pl

– 66 – [e-mail]

otrzymujemy

; (13.10)

2

10

10

10

( 94,5) ( 96)

190,5 [kNm ]

l

p

N

N

N

=

+

= −

+ −

= −

- przyjmując

2

k

=

2

20

2 2

2

20

3

3

8 8 4

96 [kNm ]

8

8

0 [kNm ]

l

p

N

Pl l

N

′

= −

= −

⋅ ⋅ = −

=

(13.11)

otrzymujemy

. (13.12)

2

20

20

20

96 [kNm ]

l

p

N

N

N

=

+

= −

Po podstawieniu (13.7) (13.10) i (13.12) do (13.4) otrzymujemy poniższy układ rów-
nań:

(

)

(

)

1

1

2

2

2

10

1

2

2

2

3

3

3

20

0 2

2

X

l

l

X l

N

X l

X

l

l

X l

N

′ ′

′

+ ⋅

⋅

+

+

⋅ =

′

′

′

′

⋅ + ⋅

⋅

+

+

⋅ =

(13.13)

Wstawienie do (13.13) wartości liczbowych (przy uwzględnieniu momentu skupionego

) prowadzi do postaci:

2

3

12 [kNm ]

B

X

M

= −

=

(

)

(

)

1

2

1

2

1

2

1

2

2

6 4

4 20

4

190,

4 2

4 4

12 4 4

16

144

X

X

X

X

X

X

X

X

⋅

+

+

⋅ =

⋅

+ ⋅

= −

⋅ + ⋅

+

+ ⋅ = ⋅

+ ⋅

= −

5

(13.14)

Po rozwiązaniu układu równań (13.14) otrzymujemy nadliczbowe metody sił, które są
poszukiwanymi momentami zginającymi w przekrojach podporowych:

1

8,13 [kNm]

X

= −

,

2

6,96 [kNm]

X

= −

,

co pozwala narysować ostateczne wykresy sił wewnętrznych.

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 67 – [e-mail]

Stosując metodę sił wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych

M

, ,

, przy zada-

nym obciążeniu zewnętrznym:

T

N

I) obciążenie statyczne,
II) obciążenie temperaturą (nierównomierne ogrzanie),
III) obciążenie przemieszczeniem (osiadaniem) podpór.

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 68 – [e-mail]

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 69 – [e-mail]

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 70 – [e-mail]

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 71 – [e-mail]

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 72 – [e-mail]

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 73 – [e-mail]

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 74 – [e-mail]

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 75 – [e-mail]

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 76 – [e-mail]

Mechanika Budowli (C16)

Wykład

Marek Krzysztof Jasina

14. Metoda sił – obciążenie: statyczne, temperaturą, przemieszczeniem podpór

http://www.okno.pg.gda.pl

– 77 – [e-mail]