Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

Wyznaczyć wartości ciężaru krążka

min

G

i

max

G

w punktach

równowagi granicznej.

Dane: Q ,

R

,

R

f

05

,

0



,

5

,

0



μ

,

2

,

0

1





,

5

3

sin



β

,

5

4

cos



β

Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

Wyznaczmy graniczną wartości ciężaru krążka

min

G

.

Bloczek o ciężarze Q zsuwa się w dół, natomiast krążek
porusza się do góry

Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

:

0

Σ



ix

P

0

sin

1







H

β

G

S

(1)

:

0

Σ



iy

P

0

cos

1





β

G

N

(2)

:

0

Σ

O



i

M

0

2

1

1













R

H

f

N

R

S

(3)

Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

2

1

S

S 

φ

μ

S

S

1

e

2

1





(4)

1

μ

— współczynnik tarcia cięgna o krążek

φ — kąt opasania [rad], w naszym przypadku

rad

2

90

π

φ







Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

:

0

Σ



ix

P

0

cos

2







S

T

β

Q

(5)

:

0

Σ



iy

P

0

sin

2





β

Q

N

(6)

2

N

μ

T 

(7)

Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

0

sin

1







H

β

G

S

(1)

0

cos

1





β

G

N

(2)

0

2

1

1













R

H

f

N

R

S

(3)

φ

μ

S

S

1

e

2

1





(4)

0

cos

2







S

T

β

Q

(5)

0

sin

2





β

Q

N

(6)

2

N

μ

T 

(7)

z (2)

β

G

N

cos

1



(8)

(8) do (3)/R

0

2

cos

1







H

β

R

f

G

S

(9)

(1)·2

0

2

sin

2

2

1







H

β

G

S

(10)

(9) + (10)

0

cos

sin

2

3

1







β

R

f

G

β

G

S

(11)

Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

0

sin

1







H

β

G

S

(1)

0

cos

1





β

G

N

(2)

0

2

1

1













R

H

f

N

R

S

(3)

φ

μ

S

S

1

e

2

1





(4)

0

cos

2







S

T

β

Q

(5)

0

sin

2





β

Q

N

(6)

2

N

μ

T 

(7)

z (11)

















β

R

f

β

G

S

cos

sin

2

3

1

(12)

z (6)

β

Q

N

sin

2



(13)

(13) do (7):

β

Q

μ

T

sin



(14)

(14) do (5):

)

sin

(cos

2

β

μ

β

Q

S





(15)

Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

(12) i (15) do (4):

φ

μ

β

μ

β

Q

β

R

f

β

G

1

e

)

sin

(cos

cos

sin

2

3





















φ

μ

β

R

f

β

β

μ

β

Q

G

G

1

e

cos

sin

2

sin

cos

3

min











po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy

Q

R

R

Q

G

π

8836

,

0

e

5

4

05

,

0

5

3

2

5

3

5

,

0

5

4

3

2

2

,

0

min



































Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

Analogicznie wyznaczamy graniczną wartości ciężaru krążka

max

G

.

Bloczek o ciężarze Q porusza się do góry, natomiast krążek
stacza się w dół

Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

0

sin

1







H

β

G

S

(1)

0

cos

1





β

G

N

(2)

0

2

1

1













R

H

f

N

R

S

(3)

φ

μ

S

S

1

e

2

1





(4)

0

cos

2







S

T

β

Q

(5)

0

sin

2





β

Q

N

(6)

2

N

μ

T 

(7)

zaznaczono znaki, które zmieniły się w porównaniu

z wariantem poprzednim

φ

μ

β

R

f

β

β

μ

β

Q

G

G

1

e

cos

sin

2

sin

cos

3

max









Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy

Q

R

R

Q

G

π

8949

,

3

e

5

4

05

,

0

5

3

2

5

3

5

,

0

5

4

3

2

2

,

0

max

































Rozwiązanie końcowe można zapisać w następujący sposób:

φ

μ

β

R

f

β

β

μ

β

Q

G

G

1

e

cos

sin

2

sin

cos

3

max

min











Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

układ będzie pozostawał w równowadze, jeśli spełnione będzie

Q

G

Q

8949

,

3

8836

,

0





Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

układ będzie poruszał się „w prawo”, jeśli spełnione będzie

Q

G

8836

,

0



Równowaga graniczna układów płaskich z tarciem

mechanika techniczna — statyka

2

układ będzie poruszał się „w lewo”, jeśli spełnione będzie

Q

G

8949

,

3

