Mateusz Tocha
13.12.2014
Podstawowe transformacje w układach trójfazowych, oraz
ich zastosowanie w napędzie.
Zadanie 1. Zadanie polegało na zaprojektowaniu układu symulacyjnego w pakiecie Simulinku, przy
użyciu biblioteki Simscape. Biblioteka ta posiada szereg gotowych elementów użytecznych przy
symulacji obwodów energoelektronicznych, oraz napędowych.
Tabela 1.1 Założenia projektu obwodu
Moc czynna odbiornika 3 fazowego
𝑃
𝑜𝑑𝑏𝑖𝑜𝑟𝑛𝑖𝑘𝑎
[𝑊]
5000[𝑊]
Współczynnik mocy, przy założeniu przebiegów sinusoidalnych
cos(𝜙)
0.8
Napięcie fazowe
𝑈
𝑓
[V]
√2 ∗ 230[𝑉]
Rys 1.1 Podstawowy układ połączeń źródło-pomiary-odbiornik
Aby obliczyć moc odbiornika, należy przyjrzeć się topologii układu, przede wszystkim zakładam że
odbiornik jest odbiornikiem symetrycznym, zatem wszystkie odbiorniki fazowe R-L posiadają takie
same wartości dla każdej z faz.
Przy naszych założeniach moc czynna równa się:
𝑃 = 5000 [𝑊]
Aby obliczyć moc pozorną S oraz bierną Q, należy skorzystać z równania:
𝑃 = cos(𝜙) ∗ |𝑆|
Po przekształceniach:
|𝑆| =
P
cos(ϕ)
|𝑆| =
5000
0.8
= 6250 [𝑉𝐴]
Następnie obliczamy moc bierną:
|𝑆| = √𝑃
2
+ 𝑄
2
|𝑆|
2
= 𝑃
2
+ 𝑄
2
|𝑆|
2
− 𝑃
2
= 𝑄
2
𝑄 = √|𝑆|
2
− 𝑃
2
𝑄 = √6250
2
− 5000
2
= 3750 [𝑣𝑎𝑟]
Układ połączony jest w gwiazdę, z obciążeniem symetrycznym zatem możemy zapisać moce dla
jednej fazy:
|𝑆
𝑓
| =
|𝑆|
3
= 2083[𝑉𝐴]
𝑃
𝑓
=
𝑃
𝑓
3
= 1666[𝑊]
𝑄
𝑓
=
𝑄
𝑓
3
= 1250[𝑣𝑎𝑟]
𝑆⃗ = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 1666 + 𝑗1250
Impedancja odbiornika w jednej fazie równa się:
𝑍⃗ = 𝑅 + 𝑗𝑋
𝐿
𝑍⃗ =
𝑈⃗⃗⃗
𝐼⃗
Moc odbiornika jednofazowego:
𝑆
𝑓
⃗⃗⃗⃗ = 𝑈⃗⃗⃗ ∗ 𝐼⃗
𝑆
𝑓
⃗⃗⃗⃗ = 𝑈⃗⃗⃗ ∗ 𝐼⃗
𝑍⃗ =
𝑈⃗⃗⃗
𝐼⃗
= > 𝐼⃗ =
𝑈⃗⃗⃗
𝑍⃗
Ze wzoru możemy wyprowadzić impedancje
𝑆
𝑓
⃗⃗⃗⃗ = 𝑈⃗⃗⃗ ∗
𝑈⃗⃗⃗
𝑍⃗
𝑆
𝑓
⃗⃗⃗⃗ =
𝑈⃗⃗⃗
2
𝑍⃗
=> 𝑍⃗ =
𝑈⃗⃗⃗
2
𝑆
𝑓
⃗⃗⃗⃗
𝑍⃗ =
230
2
∗ 𝑒
𝑗0
∗ 𝑒
𝑗
2083𝑒
𝑗𝜙
= 20.3136 − 15.2352𝑖
Impedancja składa się z rezystancji oraz reaktancji indukcyjnej.
𝑍⃗ = 𝑅 + 𝑗𝑋
𝐿
𝑅𝑒{𝑍⃗} = 𝑅 = 20.3136 [Ω]
𝐼𝑚𝑔{𝑍⃗} = 𝑋
𝐿
= 15.235 [Ω]
Aby wyprowadzić wartość indukcyjności należy skorzystać z zależności:
𝑋
𝐿
= 2𝜋𝑓𝐿
𝐿 =
𝑋
𝐿
2𝜋𝑓
=
15.235
2 ∗ 3.14 ∗ 50
= 0.0485 [H]
Prąd płynący w pierwszej fazie:
𝐼⃗ =
𝑈⃗⃗⃗
𝑍⃗
= 7.2435 + 5.2174𝑖 [𝐴]
𝐼(𝑡) = 8.9269 ∗ √2(𝜔𝑡 + 35.76[𝑑𝑒𝑔])
𝜔 = 50 [ℎ𝑧]
𝑇 =
1
𝜔
= 0.02 [𝑠]
𝑇
𝑡
𝜙
=
0.02𝑠
𝑥
=
360
35.76
deg => x =
35.76 ∗ 0.02
360
= 0.0020 [𝑠]
Podstawiając wartości wyliczone na początku zadania otrzymujemy następujące przebiegi:
Rys 1.2 Przebiegi napięcia oraz prądu dla jednej fazy.
Obliczenia zgadzają się z symulacjami, na Rys 1.2 widzimy przebiegi i napięcia o częstotliwości 50
hz, przy czym prąd jest przesunięty o kąt
35.76.
Rys 1.3 Przebiegi napięcia oraz prądu , wyznaczanie czasu przesunięcia fazowego.
Obwód 3 fazowy wraz z odbiornikiem posłuży, nam do badania układu 3 fazowego w rożnych
układach współrzędnych stosowanych w energoelektronice.
Zadanie 2. Transformacja alfa – beta (Clarka)
Jedno z najczęściej stosowanych w energoelektronice przekształceń polega na przedstawieniu
wartości chwilowych x
A
, x
B,
x
C
, tworzących system trójfazowy za pomocą jednego wektora, zwanego
wektorem przestrzennym, którego moduł fazowy są funkcjami czasu. Wykorzystanie tego typu
transformacji pozwala przede wszystkim zmniejszyć liczbę przetwarzanych sygnałów w układach
sterowania przekształtników trójfazowych, z trzech, odpowiadających chwilowym wielkością
trójfazowym, zwykle do dwóch, określających aktualne położenie hodografu wektora przestrzennego.
Upraszcza to realizację układu sterownia przekształtnika, szczególnie wtedy, gdy modele odniesienia
są rozpoznane i mogą być zapisane również jak wektor przestrzenny.
Rys 2.1 Poglądowe przedstawienie idei transformacji układów współrzędnych.
[
𝐴
𝐵
𝐶
] = [
𝑥
𝑎
(𝑡) = cos(2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓)
𝑥
𝑏
(𝑡) = cos(2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 − 120)
𝑥
𝑐
(𝑡) = cos(2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑓 − 240)
]
W przypadku
transformacji
wielkości x
A
, x
B
, x
C
, tworzących układ trójfazowy, w
którym nie występują składowe symetryczne o kolejności zerowej (np. napięcia przewodowe,
prądy fazowe odbiornika połączonego w trójkąt, prądy fazowe odbiornika połączonego w
gwiazdę bez przewodu neutralnego, sinusoidalne prądy i napięcia trójfazowego
symetrycznego odbiornika połączonego w gwiazdę z przewodem neutralnym) mogą być
odwzorowane za pomocą wektora przestrzennego.
𝑋
𝑎𝛽
= 𝑘
𝑇
(1 ∗ 𝑥
𝐴
+ 𝑎𝑥
𝐵
+ 𝑎
2
𝑥
𝐶
)
Dla k
T
=2/3 – otrzymuje się równość wartości chwilowych ( po transformacji odwrotnej),
a dla
𝒌
𝑻
= √
𝟐
𝟑
– równość mocy chwilowych.
A
B
C
α
β
𝑋⃗𝑒
−𝑗𝜙
𝑋⃗𝑒
−𝑗𝜙
Transformacja ABC→αβ
Wersory: 1,a,a
2
wyznaczają kierunki osi układu trójfazowego o kolejności faz A,B,C przy
czym są one wzajemnie przesunięte o kąt 2π/3, licząc w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara.
Oś A pokrywa się z wersorem jednostkowym 1. Współrzędne ABC, określane są mianem
stacjonarnego układu współrzędnych naturalnych.
Transformacja ABC do alfa beta (Clarka) polega na wykorzystaniu faktu ze wektor może być
zapisany w układzie kartezjańskim na płaszczyźnie zespolonej za pomocą dwóch składowych.
𝑥
𝛼𝛽
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥
𝛼
+ 𝑗𝑥
𝛽
Zostanie wprowadzony współczynnik „a” o module jednostkowym pozwalający wyrazić
wektor.
𝑎 = 𝑒
−𝑗∗
2
3∗𝜋
= cos (
2
3
𝜋) − 𝑗𝑠𝑖𝑛 (
2
3
𝜋) = −
1
2
− 𝑗
√3
2
Zatem możemy nasz układ zapisać w układzie alfa beta w następujący sposób:
𝑘⃗⃗ =
2
3
(𝑥
𝑎
(𝑡) ∗ 1 + 𝑥
𝑏
(𝑡) ∗ 𝑎 + 𝑥
𝑐
(𝑡) ∗ 𝑎
2
)
𝑘⃗⃗ =
2
3
(𝑥
𝑎
(𝑡) ∗ 1 + 𝑥
𝑏
(𝑡) ∗ (−
1
2
− 𝑗
√3
2
) + 𝑥
𝑐
(𝑡) ∗ (−
1
2
+ 𝑗
√3
2
))
𝑘⃗⃗ = 𝑘
𝑎𝑙𝑓𝑎
+ 𝑗 ∗ 𝑘
𝑏𝑒𝑡𝑎
𝑘
𝑎𝑙𝑓𝑎
=
2
3
∗ (𝑥
𝑎
(𝑡) −
1
2
𝑥
𝑏
(𝑡) −
1
2
𝑥
𝑐
(𝑡)) = 𝒙
𝒂
𝑘
𝑏𝑒𝑡𝑎
=
2
3
∗ (
√3
2
∗ 𝑥
𝑏
(𝑡) −
√3
2
∗ 𝑥
𝑐
(𝑡))
Jeżeli uwzględnimy (
𝑥
𝑎
(𝑡) + 𝑥
𝑏
(𝑡) + 𝑥
𝑐
(𝑡) = 0)
𝑘
𝑏𝑒𝑡𝑎
=
2
3
∗ (
√3
2
∗ 𝑥
𝑏
(𝑡) −
√3
2
∗ 𝑥
𝑐
(𝑡)) =
√𝟑
𝟑
∗ (𝒙
𝒂
+ 𝟐 ∗ 𝒙
𝒃
)
Co w zapisie macierzowym możemy przestawić następująco
[
𝑘
𝛼
𝑘
𝛽
] = [
1
0
√3
2
2√3
2
] ∗ [
𝑥
𝑎
𝑥
𝑏
𝑥
𝑐
]
Rys 2.2 Blok transformacji alfa-beta w simulinku.
Na wejście bloku transformacji podane zostały dwa przebiegi sinusoidalnie zmiennych wartościach,
przesunięte względem siebie o kąt 120
0
.
Rys 2.3 Przebiegi wejściowe bloku alfa-beta- przebiegi wartości chwilowe prądów.
W bloku zastosowano transformacje z układu naturalnego ABC do układu stacjonarnego αβ przy
czym zastosowano współczynniki k
T
=2/3 aby zachować równość amplitud po dokonaniu odwrotnej
transformaty.
Rys 2.4 Przebiegi wyjściowe bloku alfa-beta – przebiegi wartości chwilowych dla składowych αβ.
Tabela 2.1 Porównanie wielkości charakterystycznych dla wejścia oraz wyjścia układu.
Nazwa
Jednostka Wejście Wyjście
Okres przebiegów
[s]
0.02
0.02
Częstotliwość przebiegów
[hz]
50
50
Amplituda przebiegów
[A]
12.81
12.81
Przesunięcie względem początku układu
[s]
0.002
0.002
Przesunięcie względem początku układu
[deg]
36
o
36
o
Przesunięcie względem własnych przebiegów
[s]
0.0067
0.005
Przesunięcie względem własnych przebiegów
[deg]
120
o
90
o
Porównując blok wyjściowy z wejściowym możemy dość do następujących wniosków:
- częstotliwość po przejściu przez blok transformacji pozostaje taka sam
- przy współczynniku k
T
=2/3 zachowana jest równość amplitud
- przesunięcie względem początku układu współrzędnych jest takie same, zatem przebiegi mogą
zachować swój charakter obciążenia.
- przesunięcie względem własnych przebiegów zmieniło się na wejściu podajemy wartości chwilowe
przesunięte względem siebie o kąt 120
0
natomiast na wyjściu otrzymujemy przebiegi sinusoidalne
przesunięte względem siebie o 90
0
Wnioskując transformacja z układu naturalnego ABC do stacjonarnego αβ polega na zmianie opisu
składowych tego samego wektora wirującego z tą samą prędkością, z 3 składowych przesuniętych o
120
0
do 2 składowych przesuniętych o 90
0
, przy zachowaniu jego modułu (amplitudy) oraz charakteru
(przesunięcia fazowego względem początku układu współrzędnych).
Składowa U
α
jest równa przebiegowi U
A.
Jest to wydatne zmniejszenie stopnia złożoności torów przetwarzania sygnałów w systemach
sterowania przekształtników energoelektronicznych, a także opisów analitycznych odnoszących się do
modeli samych przekształtników jak i współpracujących z nimi obiektów.
Zadanie 2.1 Transformacja alfa – beta (Clarka) – między fazowe wielkości fazowe
W niektórych układach konfiguracji sieci nie posiadamy wyprowadzonego przewodu neutralnego, np.
na statku najczęściej spotykaną konfiguracją sieci jest sieć IT, która ma 3 przewody fazowe bez
połączonego przewodu zerowego, lub połączony z bardzo dużą rezystancją do kadłuba.
W takim przypadku również jest możliwa transformacja z układu naturalnego AB-BC-AC do αβ ale
należy posłużyć się odmienną transformacją .
𝑈
𝛼
=
3
3
𝑈
𝐴
=
1
3
(2 ∗ 𝑈
𝐴
+ 𝑈
𝐴
)
0 = 𝑈
𝐴
− 𝑈
𝐵
− 𝑈
𝐶
𝑈
𝐴
= −𝑈
𝐵
− 𝑈
𝐶
− 𝑈
𝐵
+ 𝑈
𝐵
𝑈
𝛼
=
3
3
𝑈
𝐴
=
1
3
(2 ∗ 𝑈
𝐴
+
−𝑈
𝐵
− 𝑈
𝐶
− 𝑈
𝐵
+ 𝑈
𝐵
)
𝑈
𝛼
=
3
3
𝑈
𝐴
=
1
3
(
2 ∗ 𝑈
𝐴
+
−2𝑈
𝐵
− 𝑈
𝐶
+ 𝑈
𝐵
)
𝑈
𝛼
=
3
3
𝑈
𝐴
=
1
3
(
2𝑈
𝐴𝐵
+ 𝑈
𝐵𝐶
)
𝑼
𝜶
=
𝟏
𝟑
(
𝟐𝑼
𝑨𝑩
+ 𝑼
𝑩𝑪
)
𝑈
𝛽
=
2
3
∗
(
√
3
2
∗ 𝑈
𝐴
−
√
3
2
∗ 𝑈
𝐶
)
𝑈
𝛽
=
2
3
∗
√
3
2
(
𝑈
𝐵
− 𝑈
𝐶
)
𝑈
𝛽
=
√
3
3
(
𝑈
𝐵
− 𝑈
𝐶
)
/∗
√
3
√
3
𝑈
𝛽
=
1
√
3
(
𝑈
𝐵
− 𝑈
𝐶
)
𝑼
𝜷
=
𝟏
√
𝟑
(
𝑼
𝑩𝑪
)
Rys 2.5 Interpretacja graficzna wyznaczania składowych αβ.
-U
BC
U
A
U
B
U
C
U
CA
-U
AB
𝟏
𝟑
(𝟐𝑼
𝑨𝑩
+ 𝑼
𝑩𝑪
) = 𝑼
𝑨
= 𝑼
𝜶
-U
BC
-U
AB
U
CB
𝑼
𝜷
=
𝟏
√𝟑
(𝑼
𝑪𝑩
)
Rys 2.6 Blok transformacji alfa-beta w simulinka. Dla wartości między fazowych.
Dla przypomnienia zostaną wyprowadzone zależności oraz porównanie przebiegów międzyfazowych
oraz fazowych.
𝑈
𝐴
(𝑡) = 𝑈
𝑓𝐴
∗ √2 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙 ) − 𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ść 𝑐ℎ𝑤𝑖𝑙𝑜𝑤𝑎 𝑛𝑎𝑝𝑖ę𝑐𝑖𝑎
𝑈
𝑓𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑈
𝑓𝐴
𝑒
𝑗𝑎𝑟𝑔(𝜙)
= 𝑈
𝑓𝐴
(𝑐𝑜𝑠(𝜙) + 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜙)) − 𝑤𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑤𝑠𝑘𝑎𝑧𝑢
𝑈
𝑓𝐴
∗ √2 − 𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ść 𝑠𝑧𝑐𝑧𝑦𝑡𝑜𝑤𝑎 𝑐ℎ𝑤𝑖𝑙𝑜𝑤𝑒𝑗 𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ść𝑖 𝑛𝑎𝑝𝑖ę𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑎𝑧𝑦
𝑈
𝑓𝐴
− 𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ść 𝑠𝑘𝑢𝑡𝑒𝑐𝑧𝑛𝑎
𝑈
𝐴𝐵
= 𝑈
𝑓𝐴
∗ √3 − 𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ść 𝑚𝑖𝑒𝑑𝑧𝑦𝑓𝑎𝑧𝑜𝑤𝑎 𝑠𝑘𝑢𝑡𝑒𝑐𝑧𝑛𝑎 𝑛𝑎𝑝𝑖ę𝑐𝑖𝑎
𝑈
𝐴𝐵
(𝑡) = 𝑈
𝑓𝐴
(𝑡) − 𝑈
𝑓𝐵
(𝑡) = 𝑈
𝐴𝐵
(𝑡) = 𝑈
𝑓𝐴
∗ √2√3 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙 − 30 ) − 𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ść 𝑚𝑖𝑒𝑑𝑧𝑦𝑓𝑎𝑧𝑜𝑤𝑎 𝑐ℎ𝑤𝑖𝑙𝑜𝑤𝑎 𝑛𝑎𝑝𝑖ę𝑐𝑖𝑎
𝑈
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑈
𝐴𝐵
𝑒
𝑗𝑎𝑟𝑔(𝜙−30)
= 𝑈
𝐴𝐵
(𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 30) + 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝜙 − 30))
𝑈
𝑓𝐴
∗ √2√3 = 𝑈
𝐴𝐵
√2 − 𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ść 𝑠𝑧𝑐𝑧𝑦𝑡𝑜𝑤𝑎 𝑐ℎ𝑤𝑖𝑙𝑜𝑤𝑒𝑗 𝑤𝑎𝑟𝑡𝑜ś𝑐𝑖 𝑛𝑎𝑝𝑖ę𝑐𝑖𝑎 𝑚𝑖𝑒𝑑𝑧𝑦𝑓𝑎𝑧𝑜𝑤𝑒𝑔𝑜
Rys 2.7 Przebiegi wartości chwilowych napięcia międzyfazowego oraz fazowego
Rys 2.8 Przebiegi napięcia międzyfazowego układu trójfazowego. Napięcia U
AB
oraz U
BC
podwane są
na wejście układu transformacji
Na wejście układu bloku transformacji napięcia z układu międzyfazowego naturalnego tj. U
AB→BC→CA
do U
αβ
podajemy wartości 2 napięć miedzyfazowych gdyż podobnie jak w przypadku prądów w
symetrycznym układzie współrzędnych istnieje możliwość obliczenia trzeciej wartości mierząc tylko
dwie.
Rys 2.9 Przebiegi napięcia w układzie αβ. Wyjście układu transformacji napięć między fazowych.
Tabela 2.2 Porównanie wielkości charakterystycznych dla wejścia oraz wyjścia układu oraz napięcia
wazowego.
Nazwa
Jednostka
Wejście
Wyjście
Napięcie
Międzyfazowe
Napięcie
Fazowego
Okres przebiegów
[s]
0.02
0.02
0.02
Częstotliwość przebiegów
[hz]
50
50
50
Amplituda przebiegów
[V]
𝑈
𝑓𝐴
√3√2 = 563
𝑈
𝑓𝐴
√2 = 325
325
Przesunięcie względem początku
układu
[s]
-0.0017
0
0
Przesunięcie względem początku
układu
[deg]
-30
o
0
o
0
o
Przesunięcie względem własnych
przebiegów (faz)
[s]
0.0067
0.0067
0.005
Przesunięcie względem własnych
przebiegów (faz)
[deg]
120
o
120
o
90
o
Na podstawie przebiegów z Rys 2.7 , 2.8, 2.9 możemy wyznaczyć wielkości charakterystyczne.
Zebrane one zostały w Tabela 2.2 w celu łatwiejszego ich zobrazowania i porównania. Na wejście
układu transformacji układu naturalnego międzyfazowego U
AB→BC→CA
do układu αβ podajemy dwie
wielkości międzyfazowe U
AB
U
BC
o częstotliwości 50 hz oraz o amplitudzie 563 V przesunięte
względem siebie o 0.0067 s czyli 120
o
względem długości okresu. Napięcie pierwsze tj. U
AB
przesunięte jest o -0.0017s (-30
o
) względem przyjętego początku układu współrzędnych. Jako
początek układu współrzędnych przyjęto położenie wersora 1, który posiada takie samo położenie co
wartość fazowa napięcia oraz prądu w fazie A.
Na wyjściu układu transformacji otrzymujemy przebiegi sinusoidalnie zmienne o amplitudzie
składowych równych 325 V czyli tyle samo co wartość amplitudy napięcia fazowego. Czyli i w tym
przypadku została zachowana równość amplitud. Wielkości wyjściowe przesunięte są względem
siebie o 90
o
czyli tworzą układ kartezjański, należy również zwrócić uwagę że składowa U
α
pokrywa
się z fazą napięcia U
A
które pomimo tego że nie zostało wyprowadzone fizycznie może zostać
zmierzone. Przebiegi na wyjściu posiadają taką samą częstotliwość.
Resumując ten sam wektor opisany w układzie 3 fazowym z wielkościami międzyfazowymi może być
również opisany przez dwie składowe U
αβ
w rzeczywistości odpowiadający wielkością fazowym 3
fazowego układu współrzędnych.
Zadanie 3. Moce w układzie stacjonarnym naturalnym.
Istnieje możliwość zdefiniowania mocy trójfazowych za pomocą wektora przestrzennego w 1993
wprowadzona została tz. Teoria mocy chwilowych przez Akagi, H., Nabae, A. Wyprowadzone moce
pozwalają na skuteczne sterowanie przekształtnikami w taki sposób aby mogły działać jako układy
PFC (power factory correction) oraz APF (active power filter). W pierwszej metodzie steruje się tak
falownikiem aby składową prądu I
q
poprzez sprzężenie zwrotne oraz regulator posiadała jak
najmniejszą wartość – bliską zero, oznacza to brak składowej biernej, zatem brak przesunięć fazowych
pomiędzy prądem a napięciem. Z kolei w Aktywnym filtrze mocy każdą ze składowej mocy P, oraz Q
możliwe jest rozdzielenie ich na składowe stałe oraz zmienne
𝑃 = 𝑃̅ + 𝑗𝑃̃ oraz 𝑄 = 𝑄̅ + 𝑗𝑄̃. Strategia
sterowania polega na takim generowaniu składowych zmiennych oraz całej mocy biernej, aby nie
musiała być pobierana ze źródła.
W Zadaniu 2 wyprowadziliśmy wzory na składową X
α
oraz składową X
β
:
𝑘
𝑎𝑙𝑓𝑎
=
2
3
∗ (𝑥
𝑎
(𝑡) −
1
2
𝑥
𝑏
(𝑡) −
1
2
𝑥
𝑐
(𝑡)) = 𝒙
𝒂
Jednak jest to transformacja przy zachowaniu inwariantności amplitud, należy teraz
przekształcić w równanie do następującej postaci:
𝑘
𝑎𝑙𝑓𝑎
= √
2
3
∗ (𝑥
𝑎
(𝑡) −
1
2
𝑥
𝑏
(𝑡) −
1
2
𝑥
𝑐
(𝑡)) = 𝒙
𝒂
Możemy zapisać pierwsze wyrażenie w następujący sposób:
𝑘
𝑎𝑙𝑓𝑎
= √
2
3
∗
3
2
∗
2
3
∗ (𝑥
𝑎
(𝑡) −
1
2
𝑥
𝑏
(𝑡) −
1
2
𝑥
𝑐
(𝑡)) = √
2
3
∗
3
2
𝒙
𝒂
𝑘
𝑎𝑙𝑓𝑎
= √
2
3
∗
3
2
𝒙
𝒂
| ∗ √3
𝑘
𝑎𝑙𝑓𝑎
= √
2
3
∗
3
2
𝒙
𝒂
| ∗
√3
√3
𝑘
𝑎𝑙𝑓𝑎
=
√6
2
𝒙
𝒂
Moc możemy obliczyć z wyrażenia:
𝑆⃗ = 𝑈
𝑓
⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝐼
𝑓
∗
⃗⃗⃗⃗ = (𝑈
𝛼
+ 𝑗𝑈
𝛽
)(𝐼
𝛼
− 𝑗𝐼
𝛽
)
𝑆⃗ = 𝑈
𝑓
⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝐼
𝑓
∗
⃗⃗⃗⃗ = 𝑈
𝛼
𝐼
𝛼
+ 𝑗𝐼
𝛽
𝑈
𝛼
+ 𝑗𝑈
𝛽
𝐼
𝛼
− 𝑗
2
𝐼
𝛽
𝑈
𝛽
𝑆⃗ = 𝑈
𝑓
⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝐼
𝑓
∗
⃗⃗⃗⃗ = 𝑈
𝛼
𝐼
𝛼
+ 𝐼
𝛽
𝑈
𝛽
+ 𝑗(𝑈
𝛽
𝐼
𝛼
− 𝑈
𝛼
𝐼
𝛽
)
𝑆⃗ = 𝑃 + 𝑗𝑄
𝑃 = 𝑈
𝛼
𝐼
𝛼
+ 𝐼
𝛽
𝑈
𝛽
𝑄 = 𝑗(𝑈
𝛽
𝐼
𝛼
− 𝑈
𝛼
𝐼
𝛽
)
Uwzględniając że wartości składowej αβ nie uwzględniają inwariantności mocy należy
pomnożyć każdą wartość prze wcześniej obliczony współczynnik.
𝑃 =
√6
2
𝑈
𝛼
√6
2
𝐼
𝛼
+
√6
2
𝐼
𝛽
√6
2
𝑈
𝛽
𝑃 =
6
4
𝑈
𝛼
𝐼
𝛼
+
6
4
𝐼
𝛽
𝑈
𝛽
𝑃 =
3
2
𝑈
𝛼
𝐼
𝛼
+
3
2
𝐼
𝛽
𝑈
𝛽
=
3
2
(𝑈
𝛼
𝐼
𝛼
+ 𝐼
𝛽
𝑈
𝛽
)
𝑄 = 𝑗(
√6
2
𝑈
𝛽
√6
2
𝐼
𝛼
−
√6
2
𝑈
𝛼
√6
2
𝐼
𝛽
)
𝑄 = 𝑗(
6
4
𝑈
𝛽
𝐼
𝛼
−
6
4
𝑈
𝛼
𝐼
𝛽
)
𝑄 = 𝑗(
3
2
𝑈
𝛽
𝐼
𝛼
−
3
2
𝑈
𝛼
𝐼
𝛽
) =
3
2
(𝑈
𝛽
𝐼
𝛼
− 𝑈
𝛼
𝐼
𝛽
)
Rys 3.1 Schemat bloku wyznaczający moc w układzie stacjonarnym.
Blok składa się z 4 wejść na które zostaną podane składowe αβ napięcia oraz prądu.
Na wyjściu układu otrzymujemy składowe mocy pozornej – moc czynną układu
trójfazowego, oraz moc bierną.
Rys 3.2 Przebiegi składowych mocy chwilowej P oraz Q
Rys 3.3 Wektor przestrzenny mocy.
Zadanie 4 Transformacja dq (Parka) – transformacja układu stacjonarnego do wirującego z dowolną
prędkością.
𝑥
𝑑𝑞
= 𝑋
𝛼𝛽
𝑒
−𝑗𝜔𝑡
𝑥
𝑑𝑞
= 𝑘𝑒
𝑗(𝜔𝑡+𝜃)
𝑒
−𝑗𝜔𝑡
𝑥
𝑑𝑞
= 𝑘𝑒
𝑗(𝜔𝑡+𝜃)
(cos(𝜔𝑡) − 𝑗 sin(𝜔𝑡))
𝑥
𝑑𝑞
= (𝑥
𝛼
+ 𝑗𝑥
𝛽
)(cos(𝜔𝑡) − 𝑗 sin(𝜔𝑡))
= 𝑥
𝛼
cos(𝜔𝑡) + 𝑥
𝛽
sin(𝜔𝑡) + 𝑗 (𝑥
𝛽
cos(𝜔𝑡) − 𝑥
𝛼
sin(𝜔𝑡))
{
𝑥
𝑑
= 𝑥
𝛼
cos(𝜔𝑡) + 𝑥
𝛽
sin(𝜔𝑡)
𝑥
𝑞
= 𝑥
𝛽
cos(𝜔𝑡) − 𝑥
𝛼
sin(𝜔𝑡)
Transformacje można tą wyobrazić sobie w następujący sposób:
W układzie stacjonarnym obserwator który obserwuje ruch wektora zauważy że kręci on się
przeciwnie do wskazówek zegara, z pewną prędkością zależną od częstotliwości. Jeżeli teraz
obserwator znalazłby się w środku układu współrzędnych i obracał również z pewną
prędkością to obserwowany przez niego wektor będzie obracał się z prędkością pomniejszoną
o prędkość w której znajduje się obserwator. Istnieje zatem możliwość ustawienia takiej
prędkości układu, która będzie śledziła położenie wektora nie poruszał się względem niego –
tzn posiadał stałe położenie w układzie obserwującym.
Rys 4.1 Schemat dla transformacji napięć oraz prądów.
Rys 4.1 Wnętrze bloku transformacji z układu stacjonarnego αβ
do wirującego z dowolną
prędkością.
Przypadek 1. Układ wiruje z prędkością 50 hz – częstotliwością sieci, napięcia fazowe wyrażone są
następująco.
[
𝑈
𝐴
𝑈
𝐵
𝑈
𝐶
] =
[
𝑥
𝑎
(𝑡) = 230 ∗ √2 cos(2 ∗ 𝜋 ∗ 50)
𝑥
𝑏
(𝑡) = 230 ∗ √2 cos (2 ∗ 𝜋 ∗ 50 − 120 ∗
𝜋
180
)
𝑥
𝑐
(𝑡) = 230 ∗ √2 cos (2 ∗ 𝜋 ∗ 50 − 240 ∗
𝜋
180
)]
Odbiornik trójfazowy taki sam jak w Zadaniu 1.
Rys 4.2 Wejście na układ bloku transformacji Parka(dq)- prądy fazowe w układzie
stacjonarnym.
Rys 4.3Wejście na układ bloku transformacji Parka(dq)- napięcia fazowe w układzie
stacjonarnym
Rys 4.4 Przebiegi wartości chwilowej kąta bieżącego
𝜃 .
𝜃 = ∫ 𝜔 𝑑𝑡
Δ𝜃
Δ𝑡
= 𝜔 = 2𝜋𝑓
Rys 4.5 Przebiegi wartości chwilowych składowej d i q wektora prądy w wirującym układzie
współrzędnym z prędkością 50hz
Rys 4.6 Przebiegi wartości chwilowych składowej d i q wektora napięcia w wirującym
układzie współrzędnym z prędkością 50hz
Przypadek 2. Układ wiruje z prędkością 100 hz –, napięcia fazowe wyrażone są następująco.
[
𝑈
𝐴
𝑈
𝐵
𝑈
𝐶
] =
[
𝑥
𝑎
(𝑡) = 230 ∗ √2 cos(2 ∗ 𝜋 ∗ 50)
𝑥
𝑏
(𝑡) = 230 ∗ √2 cos (2 ∗ 𝜋 ∗ 50 − 120 ∗
𝜋
180
)
𝑥
𝑐
(𝑡) = 230 ∗ √2 cos (2 ∗ 𝜋 ∗ 50 − 240 ∗
𝜋
180
)]
Zatem transformacja do układu stacjonarnego wygląda tak samo jak na rysunku Rys 4.2 dla
prądów oraz Rys 4.3 dla napięć.
Zmieniona omega ma następujący przebieg:
Rys 4.6 Przebiegi wartości chwilowej kąta bieżącego
𝜃 .
Rys 4.5 Przebiegi wartości chwilowych składowej d i q wektora prądy w wirującym układzie
współrzędnym z prędkością 100hz
