Klasa 3c

Geometria analityczna

Powtórzenie

 
1. Dany jest odcinek o końcach

( )

(

)

5, 3 ,

5, 2

A

B

=

= −

. Wyznacz punkt dzielący ten odcinek w stosunku 2:5 licząc

od punktu A.

2. Napisz równanie okręgu o promieniu

40

r

=

stycznego do prostej

3

5

y

x

=

− w punkcie

(

)

1, 2

A

=

−

.

3. Dla jakich wartości parametru m okrąg

2

2

4

0

x

x

y

−

+

= ma dwa punkty wspólne z prostą y mx m

=

− ?

4. Wyznacz równanie okręgu o średnicy AB, jeśli

(

)

(

)

4, 1 ,

5, 3

A

B

= −

=

− .

5. Dany jest okrąg o równaniu

(

) (

)

2

2

2

4

16

x

y

−

+

−

=

. W ten okrąg wpisano trójkąt równoboczny o jednym

wierzchołku

(

)

6, 4

A

=

. Wyznacz pozostałe wierzchołki tego trójkąta.

6. Wykaż, że środek odcinka o końcach

(

)

(

)

1

1

2

2

,

,

,

A

x y

B

x

y

=

=

ma współrzędne

1

2

1

2

,

2

2

x

x

y

y

S

+

+

⎛

⎞

= ⎜

⎟

⎝

⎠

.

7. Wyznacz równanie stycznej do okręgu

2

2

9

x

y

+

= prostopadłej do prostej

1

5

2

y

x

=

+ .

8. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, jeśli

(

)

(

)

(

)

0, 8 ,

6, 0 ,

7, 1

A

B

C

=

−

=

=

− .

9. Dane są dwa wierzchołki trójkąta

(

)

(

)

4, 5 ,

1, 1

A

B

=

−

=

− i jego pole P = 20. Wyznacz współrzędne wierzchołka

C wiedząc, że leży na prostej

2

y

x

= − .

10. Naszkicuj w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ

2

2

2

2

6

16

6

0

x

y

y

x

y

y

⎧ +

−

≤

⎪

⎨

+

−

≥

⎪⎩

.

Oblicz pole tej figury.

11. Oblicz długość cięciwy AB okręgu

2

2

2

4

5

x

x

y

y

−

+

+

= zawartej w prostej

1

y

x

= − .

12. Punkty

(

)

(

)

(

)

0, 6 ,

2, 5 ,

1, 4

A

B

C

=

−

=

−

= −

są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz czwarty

wierzchołek tego równoległoboku.

13. Dla jakich wartości parametru m prosta o równaniu y mx

=

ma jeden punkt wspólny z okręgiem

2

2

6

1 0

x

x

y

+

+

+ = ?

14. Jeśli

α

jest miarą kąta skierowanego pary wektorów niezerowych o współrzędnych

[

]

1

2

,

u

a a

=

G

i

[

]

1

2

,

v

b b

=

G

, to

1 1

2 2

cos

a b

a b

u

v

α

+

=

⋅

G G

. Korzystając z tego wzoru oblicz miarę kąta między wektorami

,

AB CD

JJJG JJJG

, jeśli

(

)

(

)

(

)

(

)

3, 3 ,

3, 3 ,

3, 5 ,

2 3, 5

A

B

C

D

=

−

= −

= −

=

.

15. Na prostej :

1

l y

x

= + znajdź punkt P odległy o 3 od prostej : 3

4

2 0

k

x

y

+

− = .

16. Jeśli punkt P′ jest obrazem punktu

(

)

,

P

x y

=

w przesunięciu o wektor

[ ]

,

u

a b

=

G

, to ma współrzędne

(

)

,

P

x

a y

b

′ =

+

+ . Korzystając z tych wzorów wykaż, że odcinek AB i jego obraz w przesunięciu o wektor

[ ]

,

u

a b

=

G

mają równe długości.

17. Wyznacz równanie stycznej do okręgu

2

2

8

6

0

x

x

y

y

−

+

+

= nachylonej do osi OX pod kątem 135

D

.

18. Naszkicuj w układzie współrzędnych figurę f określoną układem

2

4

2

4

y

x

y

x

⎧ ≤ −

+

⎪

⎨

≥

−

⎪⎩

. Napisz równanie okręgu

wpisanego w tę figurę.

19. Dane są punkty

(

)

(

)

2, 4 ,

6, 4

A

B

= −

= −

. Wyznacz taki punkt

(

)

,

C

x y

=

, gdzie

(

)

2; 2

x

∈ −

leżący na paraboli o

równaniu

2

y

x

= , aby pole trójkąta ABC było największe.

Klasa 3c

Geometria analityczna

Powtórzenie

 
20. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty

(

)

(

)

4, 2 ,

2, 5

A

B

=

−

= −

jeśli wiesz, że jego środek należy

do prostej

1

y

x

= + .

21. Dane są okręgi

(

)

2

2

4

9

x

y

−

+

= i

(

)

2

2

4

x

m

y

−

+

= . Dla jakich wartości parametru m te okręgi mają dokładnie

jeden punkt wspólny?

22. Wykaż, że trójkąt, którego wierzchołkami są punkty

(

)

(

)

(

)

5, 4 ,

1, 2 ,

2, 0

A

B

C

=

= −

=

, jest rozwartokątny.

Wyznacz taki punkt D aby czworokąt ABCD był równoległobokiem.

23. Figura

1

F opisana jest nierównością

(

)

2

2

2

4

x

y

+

−

≤ , a figura

2

F – nierównością

(

)

2

2

4

4

x

y

+

−

≤ . Oblicz pole

części wspólnej tych figur.

24. Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do okręgu

2

2

6

4

3

x

x

y

y

+

+

+

= :

a) Względem punktu

(

)

0, 2

A

=

,

b) Względem prostej

3

1

y

x

= − − .

25. Wykaż, że równanie

2

2

0

x

y

ax by

c

+

+

+

+ = określa okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

2

2

4

a

b

c

+

>

.

26. Dla jakich wartości parametru k długość wektora

2

w

k a

b

=

+

JG

G

G

jest równa 2, jeśli

2,

1

a

b

=

=

G

G

oraz kąt między

wektorami a

G

i b

G

jest równy

2

3

π

?

27. Dwa wektory u

G

i v

G

mają długości

4,

2

u

v

=

=

G

G

, a kąt między nimi ma miarę 60

D

. Oblicz długość wektora

2

3

w

u

v

=

+

JG

G

G

.

28. Dla jakich wartości parametru

α

odległość punktu

( )

1, 2

P

=

od prostej

sin

y

x

α

= +

jest równa

1

2

?

29. W układzie współrzędnych dane są punkty

(

)

9, 2

A

= − −

oraz

(

)

4, 2

B

=

. Wyznacz współrzędne punktu C

leżącego na osi OY tak, że kąt ACB jest kątem prostym.

30. W trójkącie ABC znane są współrzędne wierzchołków

(

)

1, 1

A

=

− ,

(

)

5, 7

B

=

oraz punktu przecięcia jego

środkowych

(

)

2, 4

S

=

. Wyznacz współrzędne wierzchołka C.

31. Spośród trójkątów o wierzchołkach

(

)

(

)

(

)

2,

2 ,

6, 1 ,

9,

4

A

m

m

B

m

C

m

=

−

−

=

+

=

+ wybierz ten, w którym

cosinus kąta wewnętrznego przy wierzchołku A wynosi

4
5

, a długość okręgu na nim opisanego jest równa 10

π

.

Napisz równanie okręgu wpisanego w wybrany trójkąt.

32. Odcinek o końcach

( )

(

)

3, 2 ,

2, 1

A

B

=

=

− jest mniejszą podstawą trapezu. Większa podstawa tego trapezu jest

dwa razy dłuższa od mniejszej, a jej środkiem jest punkt

( )

1, 1

M

=

. Oblicz współrzędne pozostałych

wierzchołków trapezu.

33. Dane są okręgi

2

2

4

6

12 0

x

y

x

y

+

−

+

+

= oraz

(

) (

)

2

2

2

5

10

x

y

+

+

−

=

. Napisz równanie symetralnej odcinka

łączącego środki tych okręgów.

34. Dane są zbiory

sin

:

0

;

x

A

x

x

x

π π

⎧

⎫

=

∈

> ∧ ∈ −

⎨

⎬

⎩

⎭

R

,

{

}

1

2

: 2

2

2

56

x

x

x

B

x

+

+

=

∈

+

+

<

R

,

(

)

{

}

2

: log 10 3

1

B

x

x

x

= ∈

−

−

≤

R

. Wyznacz zbiór A

B

C

∩ ∩ .

35. Dane są zbiory A i B. Wyznacz zbiór B A

− , jeśli zbiór A jest dziedziną funkcji

( )

(

)

2

2

5

log

1

2

x

x

f x

x

x

−

+

=

+

+

−

,

a zbiór

(

)

(

)

{

}

: 2log 2

2

log 2

10

log 2

x

x

B

x

= ∈

−

≤

+

+

R

.

Klasa 3c

Geometria analityczna

Powtórzenie

 
36. Dane są punkty

(

)

(

)

4, 5 ,

4, 1

A

B

=

= − − i prosta k o równaniu

3

9 0

x

y

−

− = .

a) Na prostej k znajdź punkt C jednakowo oddalony od punktów A i B.
b) Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A i nachylonej do osi OX pod kątem dwa razy

większym niż prosta k.

37. Dany jest punkt

(

)

1, 2

A

= −

.

a) Znajdź równanie tej prostej, na której osie układu współrzędnych ograniczają odcinek o środku w punkcie

A.

b) Znajdź równanie takiej prostej przechodzącej przez punkt A, że odległość początku układu współrzędnych

od tej prostej wynosi 1.

38. Punkt

(

)

2, 1

S

=

− jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wierzchołek A ma współrzędne

(

)

3, 1

− − , a

bok BC jest zawarty w prostej

7

20 0

x

y

+

−

= . Oblicz:

a) Współrzędne wierzchołków B i C.
b) Pole trójkąta ABC.

39. Punkt

( )

7, 3

A

=

jest wierzchołkiem, zaś punkt

( )

3, 2

S

=

środkiem symetrii kwadratu ABCD. Wyznacz pozostałe

wierzchołki kwadratu ABCD i napisz równanie okręgu wpisanego w ten kwadrat.

40. W prostej o równaniu 2

6 0

x

y

+ − = zawiera się bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu

2

2

2

4 0

x

y

y

+

−

− = . Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu.

41. Punkty przecięcia paraboli

2

2

8

y

x

x

=

−

− z prostą 2

1 0

x

y

+ − = są końcami przekątnej rombu, którego pole jest

równe 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu oraz długość jego boku.

42. Punkt

(

)

0, 0

S

=

jest środkiem boku AD równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołków tego

równoległoboku oraz jego pole wiedząc, że

[ ]

4, 3

AB

=

JJJG

i

[ ]

6, 2

BC

=

JJJG

.

43. Punkty

(

)

( )

(

)

0, 5 ,

4, 3 ,

1, 3

A

B

C

=

−

=

= −

są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD o podstawach AB

i CD. Wyznacz wierzchołek D i pole trapezu.

44. Zbadaj, dla jakich wartości parametru m układ równań

2

2

2

2

2

2

2

1

4

8

2

19

x

y

x

m

x

y

x

y

m

m

⎧ +

+

=

−

⎪

⎨

+

−

−

=

+

−

⎪⎩

ma dokładnie jedno

rozwiązanie.

45. Dla jakich wartości parametru p pierwiastki równania

2

2

2 2

1 0

x

x

p

−

+

+ = są współrzędnymi punktów

należących do koła o środku w punkcie

(

)

0, 0

S

=

i promieniu

5

r

=

?