Zestaw zadań powtórzeniowych do egzaminu maturalnego z matematyki

PLANIMETRIA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

Zadanie 1. Punkty A=(1,3) i B=(-3,6) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym AB=AC. Podstawa BC trójkąta zawarta jest w prostej o równaniu x + y – 3 = 0. Wyznacz współrzędne wierzchołka C oraz oblicz pole trójkąta ABC. Wyznacz cos kąta CAB.

Zadanie 2. W trójkącie ABC dane są długości boków AB= 2,AC=10 oraz cos ∠ABC =

1. Oblicz odległość wierzchołka A od prostej BC.

2. Oblicz sumę długości promieni okręgu opisanego na trójkącie ABC i wpisanego w trójkąt ABC.

Zadanie 3. W trapezie równoramiennym ABCD ( ABCD), w którym kąt ostry jest równy 45⁰, przekątna AC o długości 2 tworzy z podstawą AB kąt 30⁰.

1. Oblicz pole i obwód trapezu.

2. Wykaż, że długości promieni okręgów opisanych na trójkątach ABC i ACD są równe długości ramienia trapezu.

Zadanie 4. Dany jest trapez równoramienny ABCD o polu 5, w którym AB CD i AB>CD. Trapez jest opisany na okręgu o promieniu 1.

1. Oblicz długości boków trapezu oraz długość jego przekątnej.

2. Oblicz długości promieni okręgów opisanego i wpisanego w trójkąt ABC.

Zadanie 5. W trapezie równoramiennym ABCD dane są: BC=AD= a, długość dłuższej podstawy AB= 3a oraz miara kąta ostrego równa 30⁰.

1. Oblicz długość przekątnej trapezu oraz wyznacz stosunek pola trójkąta BCD do pola trójkąta ABD.

2. Dla jakiej wartości a pole trapezu jest równe ?

Zadanie 6. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, gdzie AC=BC=. Wysokość opuszczona na podstawę trójkąta jest równa odcinkowi łączącemu środek podstawy ze środkiem ramienia.

1. Oblicz różnicę między długością promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC a długością promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt ABC.

2. Do okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono styczną równoległą do podstawy, przecinającą ramiona trójkąta w punktach M i N. Znajdź długość odcinka MN.

Zadanie 7. W trójkącie równobocznym ABC o polu na boku BC obrano punkt M tak, że BM=MC.

1. Oblicz sinus kąta MAB oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt MAB.

2. Jakie długości mają odcinki, na które symetralna odcinka AM dzieli bok AB?

Zadanie 8. W trójkącie ABC dane są długości boków: AB=18, BC=15, AC = 12.

Wyznacz długość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka C oraz oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

Zadanie 9. Dany jest trójkąt ABC w którym: AC= 8 cm, ∠BCA=120⁰. Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równa długości boku AC.

Wyznacz długość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka A oraz oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

Zadanie 10. W trapezie równoramiennym ABCD ( ABCD ) kąty ostre mają miarę 30⁰. Stosunek długości dłuższej podstawy do krótszej wynosi 5: 3. Przekątne trapezu tworzą z jego ramionami kąt 135⁰.

1. Oblicz pole i obwód trapezu jeżeli długość ramienia BC=2.

2. Wyznacz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie ABD do promienia okręgu opisanego na trójkącie BCD.

Zadanie 11. Punkty B = (0,-6) i C = (4,1) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD. Środkiem podstawy CD trapezu jest punkt S = ( 3, ). Wyznacz współrzędne wierzchołków D i A oraz napisz równanie okręgu opisanego na tym trapezie.

Zadanie 12. W trójkącie ABC wysokość CD, której długość wynosi 12, dzieli podstawę AB na dwa odcinki o długościach 16 i 5.

1. Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

2. Przez środek okręgu opisanego na trójkącie ABC poprowadzono prostą równoległą do odcinka AB. Oblicz pole powstałego trapezu.

Zadanie 13. W trapezie prostokątnym ABCD, gdzie AB CD, dane są: BD=, CD=, ∠DAB = 90⁰, ∠ABD = 30⁰.

1. Oblicz pole trapezu ABCD oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt BDA

2. Wyznacz sumę kwadratów sinusów wszystkich kątów wewnętrznych trapezu ABCD.

Zadanie 14. W trójkącie ABC dane są długości boków: AB= 6, BC= 2.

Przyjmując, że AC= wyznacz miarę kąta ABC oraz oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC do długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz sumę kwadratów sinusów kątów wewnętrznych trójkąta ABC.

Zadanie 15. Miara kąta ostrego w rombie wynosi 30⁰, a promień okręgu wpisanego w ten romb ma długość 4. Oblicz pole rombu i długość jego przekątnych.

Zadanie 16. Dany jest trójkąt ABC, w którym długości boków są równe:BC= 4,CA= 8, AB=.

1. Wyznacz miarę kąta rozwartego w trójkącie ABC oraz oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego kąta.

2. Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zadanie 17. W trapezie równoramiennym dane są długości podstaw a i b ( a > b ) i kąt ostry α = 60⁰. Środki sąsiednich boków danego trapezu połączono odcinkami. Oblicz pole czworokąta, którego bokami są te odcinki oraz wyznacz stosunek pola trapezu do pola powstałego czworokąta.

Zadanie 18. Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt BCA= 90⁰ a kąt CAB jest dwa razy mniejszy od kąta CBA. Obwód okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi 2π. Prosta przechodząca przez wierzchołek C danego trójkąta tworzy z krótszą przyprostokątną kąt o mierze 30⁰ i przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D.

1. Oblicz pole koła opisanego na danym trójkącie oraz wyznacz stosunek długości odcinka DB do długości odcinka DA.

2. Oblicz odległość punktu D od środka okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

Zadanie 19. W trójkącie ABC dane są współrzędne wierzchołków A i B, gdzie A = (-1,-1) i B = (7,1) oraz równanie symetralnej boku BC: x – 4y + 14 = 0. Wyznacz współrzędne wierzchołka C oraz wykaż, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Zadanie 20. Środkowe trójkąta prostokątnego poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych mają długości 5 i . Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim. Oblicz długość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.

Zadanie 21. Promień koła opisanego na trójkącie prostokątnym jest 2,5 razy większy od promienia koła wpisanego w ten trójkąt.

1. Wyznacz cosinusy kątów ostrych w tym trójkącie.

2. Określ w procentach, jaką część pola trójkąta ABC zajmuje koło wpisane w ten trójkąt.

Zadanie 22. Punkt A = (-2, -3) jest wierzchołkiem rombu, którego jeden bok zawiera się w prostej o równaniu x –2y – 4 = 0. Środkiem symetrii rombu jest punkt S = (1,1).

1. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.

2. Napisz równanie okręgu wpisanego w ten romb.

Zadanie 23. Na okręgu o promieniu 6 opisano trapez prostokątny, którego dłuższa podstawa ma długość 24. Wyznacz pole trapezu oraz cosinus kąta rozwartego tego trapezu.

Zadanie 24. Znajdź współrzędne wierzchołków trójkąta, jeżeli boki trójkąta zawierają się w prostych o równaniach: x + 2y – 2 = 0, 2x – y – 4 = 0, x – y + 4 = 0.

1. Wykaż, że trójkąt jest prostokątny i napisz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

2. Oblicz stosunek pola koła opisanego na tym trójkącie do pola tego trójkąta.

Zadanie 25. Dane są punkty A = (4,0) i B = (8,2) oraz prosta l o równaniu x – y + 1 = 0.

1. Wyznacz współrzędne punktu P należącego do prostej l takiego, by suma kwadratów odległości punktu P od punktów A i B była najmniejsza.

2. Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie AOB, gdzie O to początek układu współrzędnych.

3. Sprawdź, czy punkt P należy do tego okręgu.

Zadanie 26. W trapezie ABCD dane są: AB= 10 cm, BC= 10 cm, ∠BAD=∠ADC= i AC = . Wyznacz pole trapezu ABCD i wartość jednej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego tego trapezu. Czy w ten trapez można wpisać okrąg? Czy można na nim opisać okrąg?

Zadanie 27. Prosta: x – 2y + 2 = 0 przecina okrąg: x² + y² – 6x – 16 = 0 w punktach A i B.

1. Oblicz długość cięciwy okręgu zawartej w danej prostej.

2. Oblicz pole trójkąta ABS, gdzie S jest środkiem danego okręgu.

Zadanie 28. Na kole o promieniu r = 2 opisano trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD i polu równym 20.

1. Oblicz długość przekątnej trapezu ABCD oraz pole koła opisanego na tym trapezie.

2. Wyznacz skalę podobieństwa trójkątów ABS i CDS, gdzie S jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD.

Zadanie 29. W trójkącie ABC dane są długości boków: AB= 4, AC= 6 i długość środkowej AA’=.

1. Oblicz długość trzeciego boku trójkąta.

2. Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zadanie 30. W trójkącie ABC dane są: AB= 7, BC+AC= 13 oraz iloczyn skalarny wektorów . Oblicz długości boków BC i AC oraz miarę kąta ACB.

Zadanie 31. Na kole opisano romb, którego jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 150⁰.

1. Oblicz stosunek pola rombu do pola koła.

2. Wiedząc, że pole rombu jest o 4 większe od pola koła oblicz długość boku rombu.

3. Zbadaj i uzasadnij, jaki ciąg tworzą: krótsza przekątna, bok i dłuższa przekątna rombu w podanej kolejności.

Zadanie 32. Punkty A = (-1,-2), B = (7,2) i C = (1,4) są kolejnymi wierzchołkami trapezu ABCD, w którym ∠CDA=∠DAB= 90⁰. Wyznacz współrzędne wierzchołka D.

1. Oblicz pole trapezu ABCD oraz długość odcinka łączącego środki jego podstaw.

2. Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC.