Dydaktyka Nauk Stosowanych, Szczecin 2006, Tom 2, s. 101 – 104

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Piotr Stanisław FRĄCZAK

Uniwersytet Szczeciński, Wydział Matematyczno-Fizyczny
Katedra Edukacji Informatycznej i Technicznej

MATEMATYCZNE MODELOWANIE MOMENTU OBROTOWEGO

SILNIKA ASYNCHRONICZNEGO W PROGRAMIE MATHCAD

Streszczenie

Silnik asynchroniczne trójfazowe ze względu na prostą budowę oraz stosunkowo dobry rozruch,
regulację prędkości obrotowej oraz możliwość hamowania są powszechnie stosowane. Wielkością
charakterystyczną silników asynchronicznych jest poślizg. Na podstawie poślizgu określa się moment
obrotowy silnika i inne charakterystyczne wielkości. W pracy niniejszej moment obrotowy silnika
ujęto równaniem analitycznym w zależności od zmian poślizgu, napięcia oraz częstotliwości. Wyniki
symulacji momentu obrotowego przedstawiono w układzie 3D za pomocą procedur obliczeniowych
programu MathCAD.
Słowa kluczowe: Silnik asynchroniczny, wzór Klossa, symulacja komputerowa.

1. Wprowadzenie

Silniki

asynchroniczne

trójfazowe z uwagi na prostą budowę oraz możliwości regulacji

prędkości obrotowej, różnym sposobom rozruch i różnym sposobom sterowania pracą oraz
hamowania jest powszechnie stosowany.
W silnikach tego typu pole elektromagnetyczne wirując jest wytwarzane w uzwojeniach
stojana , którego prędkość n

1

jest determinowana ilością par biegunów oraz częstotliwością

napięcia zasilającego. Wirnik silnika obraca się zawsze z prędkością n mniejszą od wspo-
mnianego pola wirującego.
W wyniku tego w wirniku powstaje SEM oraz zaczyna płynąć prąd i powstaje moment
obrotowy. Wielkością charakterystyczną silnika asynchronicznego jest poślizg. Poślizg defi-
niuje się równaniem [1]:

1

1

n

n

s

n

−

=

(1)

gdzie n

1

–

to prędkość synchroniczna pola wirującego stojana w [obr./s], n

–

prędkość zna-

mionowa wirnika [obr./s].
W oparciu o poślizg określa się moment obrotowy silnika oraz inne wielkości charaktery-
styczne wirnika. W celu ułatwienia analizy zjawiska elektrycznych występujących w silniku,
wykonuje się jego schemat zastępczy (jedna faza) (Rys.1) [1], [4], [5].

Rys. 1. Schemat zastępczy silnika indukcyjnego (jedna faza)

101

© P.S. Frączak, 2006

P.S. Frączak

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Na rysunku 1 symbole R

1

, R

΄

2

– to rezystancje uzwojeń stojana i wirnika w [

Ω], X

1

, X

΄

20

–

reaktancje uzwojeń stojana i wirnika w [

Ω], I

1

, I

΄

2

– prądy stojana i wirnika w [A], R

Fe

, – re-

zystancja zastępcza (straty w żelazie) w [

Ω], X

μ

– opór magnetyczny w [

Ω], I

0

– prąd biegu

jałowego silnika w [A], I

Fe

– prąd w elemencie (R

Fe

) w [A], I

μ

– prąd magnesujący w [A], U

n

– napięcie zasilania stojanu silnika w [V], f

n

– częstotliwość napięcia zasilania w [1/s]=[Hz].

Ponadto zjawiska elektryczne występujące w obracającym się wirniku, sprowadza się na dro-
dze analitycznej do postaci liniowej.

2. Analityczne ujęcie momentu obrotowego silnika asynchronicznego

Moment krytyczny M

k

w [Nm] silnika asynchronicznego definiuje się równaniem [1]:

(

)

2
n

k

n

n

1

1

20

U

1

M (U )

,

f

2 X

c X

2

p

=

⋅

′

⋅

+

⋅ π⋅

(2)

gdzie p – ilość par biegunów uzwojenia stojana, c

1

– bezwymiarowa stała [4].

Charakterystykę mechaniczną M

1

w [Nm] wspomnianego silnika określa wzór Klossa:

k

n

1

n

k

k

2 M (U )

M (s, U )

,

s

s

s

s

⋅

=

+

(3)

gdzie s

k

oznacza bezwymiarowy poślizg krytyczny, który ujmuje się równaniem:

(

)

1

2

k

2

2

1

1

1

20

c

s

,

X

c X

′

⋅

=

′

+

+ ⋅

R

R

(4)

gdzie s

–

poślizg określony wzorem (1). Ponadto charakterystykę mechaniczną silnika asyn-

chronicznego opisuje się w zależności od poślizgu s i częstotliwości f napięcia zasilającego
relacją M

2

w [Nm]:

(

)

2

1

2

n

n

2

2

2

1

2

1

1

2

f

c

U

f

M (s,f )

.

c

2 f

s X

c X

s

p

s

⎛

⎞

′

⋅

⋅

⋅

⎜

⎟

⎝

⎠

=

⎡

⎤

′

⋅

π

⎛

⎞

′

⋅

+ ⋅

+ ⋅

⎢

⎥

⎜

⎟

⎝

⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

R

R

(5)

gdzie f

– częstotliwość w [1/s]=[Hz]. Z kolei charakterystykę prądową I

2

w [A] wirnika silni-

ka asynchronicznego w zależności od napięci znamionowego i poślizgu s (1) określa wzór
[1], [4], [5]:

n

2

n

2

2

1

2

1

1

20

U

I (s, U )

.

c

3 (X

c X )

s

=

′

⋅

⎛

⎞

′

+ ⋅

+ ⎜

⎟

⎝

⎠

R

(6)

Przeliczenie jednostek dla M

2

wykonuje się następująco:

[ ]

[ ]

[ ]

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

W

s

V

V s

m kg

kg m

A

M

Ws

s

1

W

s

s

s

A

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎡

⎤

⎡

⎤

Ω

⋅

⎡

⎤

=

=

=

=

=

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

Ω

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎢

⎥

⎢

⎥

Ω

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

m

Nm .

102

Matematyczne modelowanie momentu obrotowego silnika asynchronicznego w programie MathCAD

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

3. Symulacja momentu obrotowego silnika asynchronicznego w pakiecie MathCAD

• Dane znamionowe silnika asynchronicznego użyte do symulacji

Rezystancja R

1

w [

Ω] i reaktancja X

1

w [

Ω] stojana:

R

1

: = 0.25 , X

1

: = 0.65.

(7)

Rezystancja R

2

w [

Ω] i reaktancja wirnika X

΄

1

w [

Ω] przeliczona na stronę stojana:

2

20

: 0.45, X : 1.0 .

′

′

=

=

R

(8)

Napięcie znamionowe U

n

w [V] i częstotliwość znamionowa f w [Hz] zasilania silnika:

U

n

: = 380, f

n

: = 50.

(9)

Liczba par biegunów p i stała c

1

:

p : = 2, c

1

:= 1.03.

(10)

• Dyskretyzacja napięcia, poślizgu oraz częstotliwości w pakiecie MathCAD [2]

Dyskretyzacja napięcia U

m

w [V]:

m : = 1 … 10, U

m

: = 10 + 45

⋅m.

(11)

Dyskretyzacja częstotliwości f

m

w [Hz]:

m : = 1 … 10, f

m

: = 10 + 5

⋅m.

(12)

Dyskretyzacja poślizgu s

k

:

(

)

k

1

N : 10, k : 1...4 N, s

0.001

k 20 .

N

=

=

⋅

=

+

−

(13)

4. Prezentacja symulacji momentu obrotowego silnika asynchronicznego
w

układzie trójwymiarowym (3D) pakietu MathCAD

Z równań (3) i (5) momentów obrotowych M

1

i M

2

silnika asynchronicznego i dyskretyza-

cję napięcia i poślizgu otrzymano diagramy w programie MathCAD (Rys.2-3) [3].

M 1

M 2

Rys. 2. Diagram momentu obrotowego silnika

asynchronicznego jako funkcja poślizgu

i napięcia M

1

= f(s, U

n

)

Rys. 3. Diagram momentu obrotowego silnika

asynchronicznego jako funkcja poślizgu

i częstotliwości M

2

= f(s, f)

Charakterystykę prądową wirnika silnika asynchronicznego w zależności od napięci zna-

mionowego U

n

i poślizgu s w pakiecie MathCAD zamieszczono na rysunku 4 [3].

103

P.S. Frączak

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

I 2

I 2

Rys. 4. Charakterystyka prądowa wirnika silnika asynchronicznego w funkcji poślizgu

i napięcia I

2

= f(s,U

n

) w układzie trójwymiarowym (3D) i wektorowym pakietu MathCAD

4. Wnioski

Na podstawie przeprowadzonych symulacji momentu obrotowego silnika asynchroniczne-
go w zależności od zmian napięcia, poślizgu i częstotliwości stwierdzono, że:
• symulacja momentu obrotowego silnika asynchronicznego dokonana w układzie 3D pro-

gramu MathCAD, pozwala dokonać weryfikacji teorii opisującej sterowanie i regulację
omawianych maszyn.

• symulacje komputerowe w programie MathCAD można wykorzystywać do projektowania

i testowania nowych modeli silników asynchronicznych,

• symulacja momentu obrotowego silnika asynchronicznego może być pomocą dydaktyczną

w zakresie nauczania maszyn asynchronicznych.

Literatura

[1]

Bajorek Z.: Teoria maszyn elektrycznych, PWN, Warszawa 1982.

[2]

Frączak P.S.: Układy elektryczne w ujęciu procedur obliczeniowych programu MathCAD,

Wyd. OKP Zachodniopomorskiego Centrum Edukacji, Szczecin, 2005.

[3]

MathCAD 2000. User’s Guide. MathSoft, Inc., USA, 1999.

[4]

Latek W.: Zarys maszyn elektrycznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1974.

[5]

Plamitzer A .J.: Maszyny elektryczne, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982.

MATHEMATICAL MODELING OF TORQUE FOR ASYNCHRONOUS MOTOR

IN MATHCAD PROGRAM

Abstract

The motors, which are generally apply, are the three-phase asynchronous ones. These engines are
in common use because they have simple construction, rather good starting, regulation of rotational
speed and also possibility of braking. A slip is the special value of engine. Using this parameter has
been defined a torque of engine, which depend on slip, voltage and frequency. The results of torque
simulation were presented in three-dimension co-ordinates (3D) using the numerical procedures of
MathCAD program.
Keywords: Asynchronous motor, Kloss formula, computer simulation.

104