Egzamin

– teoria

rok 2012/2013

Zadanie 1 :

Podać kryterium całkowe zbieżności szeregu. Korzystając z tego kryterium wykazać zbieżność

szeregu

Rozwiązanie:

Kryterium całkowe zbieżności szeregu:
Niech n

0

ЄN. Jeżeli funkcja f, określona w przedziale [n

0

;+

∞), jest nieujemna, ciągła i rosnąca, to całka

oraz szereg

są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.

Udo

wadnianie zbieżności szeregu:

Przyjmuję f(x)=

i dziedzinę xϵ[1,∞]

1. Czy f(x)>0? tak, bo x

≥1

2. czy

f(x) jest ciągła? tak, bo funkcje 1,x

2

są ciągłe

3. czy

f(x) jest nierosnąca? tak, bo f(x)=

│

1

A

=

ЄR

całka jest zbieżna więc szereg też jest zbieżny

Zadanie 2 :

Podać twierdzenie Greena. Korzystając z tego twierdzenia obliczyć

gdzie łuk L jest okręgiem zorientowanym ujemnie o równaniu (x-1)

2

+(y+1)

2

=4.

Rozwiązanie:

Twierdzenie Greena:

Jeżeli:

1. Obszar

domknięty DᴄR

2

jest normalny względem obu osi układu.

2. Brzeg L obszaru D jest

łukiem zorientowanym dodatnio.

3. Pole F

=[P,Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na D.

Wówczas

Obliczanie całki:

1. Czy obszar D jest

domknięty i normalny względem obu osi? Tak, jest to koło o r=2.

2.

Aby brzeg L był dodatnio zorientowany: K=-L

3. P

x

=2x+y

– jest to funkcja ciągła

Q

y=

-x-2y

– jest to funkcja ciągła

P

y

=1

Q

x

=-1

2

= 2*(pole koła o promieniu 2) =

2*

π*2

2

= 8

π.

Zadanie 3 :

Podać definicję punktu wyprostowania krzywej. Czy krzywa, dla której dla dowolnego t:ϰ(t)=

ma punkty wyprostowania?

Rozwiązanie :

Punkt wyprostowania krzywej-jest to punkt krzywej L:

=

, dla których krzywizna krzywej ϰ(t) jest

równa 0, gdzie:

ϰ(t)=

ϰ(t)=0

W zadanym przykładzie:

=0

→ sprzeczność → brak punktów wyprostowania

Zadanie 4 :

Zmienna losowa X

ma rozkład Bernoulliego, gdzie n=20, p=0,2. Obliczyć EX, D

2

X. Podać wzór

(

nie obliczać) na P (X=2).

Rozwiązanie :

n=20
p=0,2
q=1-p=1-0,2=0,8
EX=n*p
EX=20*0,2=4
D

2

X=n*p*q

D

2

X=20*0,2*0,8=3,2

P(X=k)=

P(X=2)=

*0,2

2

*0,8

18

Zadanie 5 :

Zmienna losowa X ma rozkład N(2,2). Za pomocą tablic obliczyć P(-1<X<3).

Rozwiązanie:

P(-1<X<3) = P(

<

)=

(zmienna losowa

ma

rozkład normalny N(0,1) i możemy skorzystać z

tabeli)

= P(-1,5<U<0,5)=

ϕ(0,5)-ϕ(-1,5)= ϕ(0,5) – (1- ϕ(1,5)) =0,6915 – (1-0,9333)=0,0,6258

Autor:

Weronika Rozłonkowska

grupa

10