Temat 1: Działania na wektorach

1. Przedstawić wektor z rysunku jako sumę dwu wektorów:
jednego w kierunku osi OX i drugiego w kierunku osi OY. Wprowadzić
wektory jednostkowe

ˆ

ˆ

oraz

i

j

. Zapisać wektor w postaci

ˆ

ˆ

x

y

A

A i

A j





.

2. Dla każdej pary wektorów przedstawionych na powyższym rysunku wyznacz wektory

.

B

A

D

oraz

B

A

C





















3. Dane są dwa wektory:

ˆ

ˆ

ˆ

3

4

5

a

i

j

k

 



oraz

ˆ

ˆ

ˆ

2

6

b

i

j

k

  



. Wyznaczyć : a)długość

każdego wektora, b)iloczyn skalarny

a b



, c)kat pomiędzy wektorami





a

b



oraz





a

b



.

4. Wektory

a

i

b

spełniają relacje:

ˆ

ˆ

ˆ

a

b

11i

j

5k





 

;

ˆ

ˆ

ˆ

5

11

9

a

b

i

j

k

   



.

Wyznaczyć wektory te wektory i sprawdź czy są do siebie równoległe lub prostopadłe?

5. Dany jest wektor

ˆ

ˆ

a

7i 11j





.Wyznaczyć wektor jednostkowy prostopadły do wektora

a

.

6. Dane są dwa wektory

ˆ

ˆ

a

3i

4j

 

oraz

ˆ

ˆ

b

6i 16j

 

. Rozłożyć wektor

b

na składową

równoległą do wektora

a

oraz do niego prostopadłą.

7. W punktach o współrzędnych (2,2) oraz ( 3,7) kartezjańskiego wkładu współrzędnych

umieszczono po jednej cząstce. Wyznaczyć kąt jaki tworzą wektory wodzące tych cząstek.

8. Krawędzie równoległościanu wyznaczone są przez wektory :

ˆ

ˆ

a

i

2j

 

,

ˆ

b

4j



oraz

ˆ

ˆ

c

j 3k

 

wychodzące z początku wkładu współrzędnych. Wyznaczyć pole powierzchni

podstawy oraz objętość tego równoległościanu.

9. W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są dwa punkty M

1

(2,10) oraz M

2

(5,6). Jaki

kąt z osią OX tworzy prosta łącząca oba punkty ?

10.Poruszająca się po podłodze z prędkością o wartości v

1

kula uderza w ścianę pod kątem



i

odbija się pod kątem



. Nowa wartość prędkości wynosi v

2

. Wyznaczyć wektor zmiany

prędkości.

11.Dany jest wektor

ˆ

ˆ

3

5

A

i

j





. Wyznaczyć jego długość i kąt jaki tworzy on z osią OX.

(Skorzystać z własności iloczynu skalarnego wektorów).

12.Wektory

b

oraz

a





spełniają relacje:

0





b

a





. Co możemy powiedzieć o tych wektorach ?

13.Długość wektora

A



wynosi 5 jednostek, a wektora

B



7 jednostek. Jaka może być

największa i najmniejsza długość wektora

B

A

R











?

30

o

5

x

y