3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1.

:LDGRPR *H $ % L & V WU]HPD ]GDU]HQLDPL ORVRZ\PL WDNLPL *H

( )

5

2

Pr

=

A

,

( )

4

1

Pr

=

A

B

,

(

)

2

1

Pr

=

∩

B

A

C

,

(

)

10

6

Pr

=

∪

B

A

,

( )

3

1

Pr

=

B

C

.

Ile wynosi

(

)

C

B

A

∩

Pr

?

(A)

3

2

(B)

5

3

(C)

2

1

(D)

10

3

(E)

3RGDQH LQIRUPDFMH QLH Z\VWDUF]DM GR XG]LHOHQLD RGSRZLHG]L

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2. Niech

n

U

U

U

,

,

,

2

1



E G]LH SUyE ] UR]NáDGX MHGQRVWDMQHJR QD SU]HG]LDOH

( )

b

a,

 5R]ZD*P\ ]PLHQQH ORVRZH

{

}

n

U

U

U

X

,

,

,

min

2

1



=

oraz

{

}

n

U

U

U

Y

,

,

,

max

2

1



=

 :VSyáF]\QQLN NRUHODFML OLQLRZHM

(

)

Y

X

Corr

,

wynosi:

(A)

n

1

−

(B)

n

1

(C)

1

1

−

n

(D)

(

)

1

2

−

−

n

a

b

(E)

0

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3. Niech

(

)

1

1

, Y

X

, ... ,

(

)

n

n

Y

X ,

E G]LH SUyE QLH]DOH*Q\FK UHDOL]DFML ]

GZXZ\PLDURZHJR UR]NáDGX QRUPDOQHJR R ZHNWRU]H ZDUWRFL RF]HNLZDQ\FK

(

)

Y

X

µ

µ

,

i macierzy kowariancji













1

1

ρ

ρ

.

Statystyka













⋅

⋅

∑

∑

=

=

n

i

n

i

i

i

Y

n

X

n

1

1

1

,

1

min

MHVW QLHREFL*RQ\P HVW\PDWRUHP SDUDPHWUX

{

}

Y

X

µ

µ

,

min

:

(A)

GOD ND*GHJR

ρ

(B)

W\ONR MHOL

0

=

ρ

(C)

W\ONR MHOL

1

=

ρ

(D)

W\ONR MHOL

1

=

ρ

(E)

nigdy

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4. Zmienna losowa X

PD UR]NáDG ORJDU\WPLF]QRQRUPDOQ\ R J VWRFL

SUDZGRSRGRELHVWZD

(

)









>









−

⋅

−

⋅

=

tym

poza

0

0

dla

ln

2

1

exp

2

1

)

(

2

x

x

x

x

f

X

µ

π

:LDGRPR *H

(

)

6

.

0

Pr

=

≤

q

X

oraz

(

)

4

.

0

Pr

=

≤

r

X

 :\QLND VWG *H

(A)

( )

e

r

q

X

E

⋅

⋅

=

(B)

(

)

r

q

X

E

⋅

=

ln

(C)

3RGDQH LQIRUPDFMH V VSU]HF]QH

(D)

( )

2

r

q

X

E

+

=

(E)

( )

r

q

X

E

⋅

=

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5. Zmienne losowe

n

X

X

X

,

,

,

2

1



V QLH]DOH*QH L PDM MHGQDNRZ\ UR]NáDG

Z\NáDGQLF]\ R J VWRFL







>

=

−

tym

poza

0

0

dla

)

(

x

e

x

f

x

Zmienna losowa N

MHVW QLH]DOH*QD RG QLFK L PD UR]NáDG JHRPHWU\F]Q\

(

) (

)

k

q

q

k

N

⋅

−

=

=

1

Pr



,

1

,

0

=

k

Niech

∑

=

=

N

i

i

X

S

1

E G]LH VXP ORVRZHM OLF]E\ ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK  SU]\MPXMHP\ *H

0

0

1

=

∑

=

i

i

X

).

'OD ND*GHJR

0

>

s

SUDZG MHVW *H

(A)

(

) (

)

1

−

=

=

=

s

S

N

E

s

S

N

Var

(B)

(

) (

)

s

S

N

E

s

S

N

Var

=

=

=

(C)

(

)

( )

(

)

[

]

2

s

S

N

E

N

Var

s

S

N

Var

=

−

=

=

(D)

(

)

2

q

s

s

S

N

Var

⋅

=

=

(E)

(

)

q

s

s

S

N

Var

⋅

=

=

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6. Zmienne losowe

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

V QLH]DOH*QH L PDM MHGQDNRZ\ UR]NáDG

normalny

(

)

2

,

0

σ

N

 3UDZGRSRGRELHVWZR

(

)

2

4

2

3

2

2

2

1

5

5

Pr

X

X

X

X

−

⋅

<

⋅

−

wynosi:

(A)

5

4

(B)











 −

⋅

2

1

1

5

4

σ

(C)

6

5

(D)

2

1

(E)

2

2

6

5

σ

σ

+

+

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7. Niech

100

2

1

,

,

,

X

X

X



E G]LH SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX Z\NáDGQLF]HJR R

QLH]QDQHM ZDUWRFL RF]HNLZDQHM

µ

. Estymujemy

µ

QD SRGVWDZLH F] FLRZHM LQIRUPDFML

R SUyEFH D PLDQRZLFLH QD SRGVWDZLH WHJR L*

•

 ]PLHQQ\FK VSRUyG ZV]\VWNLFK  ] SUyENL SU]\EUDáR ZDUWRFL SRQL*HM 

•

UHGQLD DU\WPHW\F]QD ] W\FK FLX ZDUWRFL Z\QRVL 

2SDUW\ QD WHM LQIRUPDFML HVW\PDWRU 1DMZL NV]HM :LDU\JRGQRFL SDUDPHWUX

µ

przybiera

ZDUWRü

(A)

4

11

(B)

2

(C)

2

5

(D)

3

(E)

QLH PR*QD VWRVRZDü PHWRG\ 1: JG\* F] FLRZR REVHUZRZDOQH ]PLHQQH QLH

PDM J VWRFL SUDZGRSRGRELHVWZD

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8. Niech

n

X

X

X

,

,

,

2

1



E G]LH SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX *DPPD R J VWRFL

( )









>

⋅

⋅

Γ

=

⋅

−

−

tym

poza

0

0

dla

)

(

1

x

e

x

p

x

f

x

p

p

λ

λ

0

,

>

λ

p

=DNáDGDP\ *H SDUDPHWU

λ

MHVW ]QDQ\ ]D p jest nieznane. Jednostajnie najmocniejszy

test hipotezy

2

:

0

=

p

H

przeciw hipotezie alternatywnej:

2

:

1

>

p

H

QD SR]LRPLH LVWRWQRFL

α

(A)

ma obszar krytyczny postaci

k

X

X

X

n

>

+

+

+



2

1

(B)

ma obszar krytyczny postaci

k

X

X

X

n

>

+

+

+

ln

ln

ln

2

1



, gdzie k

]DOH*\ RG

parametru

λ

i liczby

α

(C)

ma obszar krytyczny postaci

k

X

X

X

n

>

+

+

+

ln

ln

ln

2

1



, gdzie k

]DOH*\ RG

liczby

α

DOH QLH ]DOH*\ RG SDUDPHWUX

λ

(D)

ma obszar krytyczny postaci

k

X

X

X

n

>

+

+

+

2

2

2

2

1



(E)

nie istnieje

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9. Niech

n

X

X

X

,

,

,

2

1



E G]LH SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX MHGQRVWDMQHJR QD

odcinku

( )

b

a,

, gdzie

b

a

<

≤

0

 5R]ZD*DP\ ]DJDGQLHQLH ZHU\ILNDFML KLSRWH]\

0

:

0

=

a

H

przeciw hipotezie alternatywnej:

0

:

1

>

a

H

.

7HVW LORUD]X ZLDU\JRGQRFL PD REV]DU NU\W\F]Q\ R SRVWDFL

(A)

k

s

X

>

2

2

, gdzie:

∑

=

⋅

=

n

i

i

X

n

X

1

1

,

(

)

∑

=

−

⋅

−

=

n

i

i

X

X

n

s

1

2

2

1

1

(B)

k

s

M

>

, gdzie:

(

)

n

X

X

X

M

,

,

,

max

2

1



=

,

2

s

s

=

(C)

k

X

m

>

, gdzie:

(

)

n

X

X

X

m

,

,

,

min

2

1



=

(D)

k

M

m

>

, gdzie m oraz M

MDN Z\*HM

(E)

k

m

m

M

>

−

, gdzie m oraz M

MDN Z\*HM

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10.

àDFXFK 0DUNRZD PD SU]HVWU]H VWDQyZ

{

}

,

,

,

,

4

3

2

1

e

e

e

e

i macierz

SUDZGRSRGRELHVWZ SU]HMFLD

























0

0

1

0

3

.

0

0

2

.

0

5

.

0

0

0

0

1

1

0

0

0

.

5R]NáDG SRF]WNRZ\ Z FKZLOL  MHVW ZHNWRUHP

[

]

0

5

.

0

0

5

.

0

. Z jakim

SUDZGRSRGRELHVWZHP áDFXFK ]QDMGXMH VL Z FKZLOL  SR VWX SU]HMFLDFK Z VWDQLH

4

e ?

(A)

0.7

(B)

0.8

(C)

0.9

(D)

0.65

(E)

0

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

16.11.1996 r.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

Arkusz odpowiedzi

*

,PL L QD]ZLVNR   ./8&= 2'32:,('=, 

Pesel ...........................................

Zadanie nr

2GSRZLHG( Punktacja

♦

1

C

2

B

3

D

4

A

5

A

6

C

7

A

8

B

9

D

10

D

*

2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.

♦

:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD