Matematyka A, kolokwium, 14 stycznia 2012, 9:05 – 10:55

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musi wy la

,

czy´

c i schowa´

c!

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (6 pt.) Wykaza´c, ˙ze niezale˙znie od wyboru liczb a, b ∈ R r´ownanie tg x = ax + b ma

w przedziale (−

π

2

,

π

2

) co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty i co nawy˙zej trzy

r´o˙zne pierwiastki rzeczywiste.

(1 pt.) Wskaza´c pare

,

liczb a, b ∈ R , dla kt´orych r´ownanie tg x = ax + b ma w przedziale

(−

π

2

,

π

2

) dok ladnie jeden pierwiastek rzeczywisty.

(1 pt.) Wskaza´c pare

,

liczb a, b ∈ R , dla kt´orych r´ownanie tg x = ax + b ma w przedziale

(−

π

2

,

π

2

) dok ladnie trzy pierwiastki rzeczywiste.

(2 pt.) Wskaza´c pare

,

liczb a, b ∈ R , dla kt´orych r´ownanie tg x = ax + b ma w przedziale

(−

π

2

,

π

2

) dok ladnie dwa pierwiastki rzeczywiste.

2. (10 pt.) Znale´z´c granice

,

lim

x→0

ln(1 + sin x)(tg x − x)e

arctg x

√

1 + x

2

+ cos x − 2 cos(x

2012

)

.

3. Wykaza´c, ˙ze istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze z nier´owno´sci 0 < x < δ wynika nier´owno´s´c

x ·

3

q

1 −

x

2

2

< sin x .

4. Niech ϕ(x) = x(2x

2

−1)

9/7

(x

2

−1)

−9/7

dla x 6= ±1 . Wiadomo, ˙ze je´sli x

2

/

∈ {1,

1
2

} , to zachodza

,

wzory ϕ

0

(x) =

1
7

(2x

2

− 1)

2/7

(x

2

− 1)

−16/7

(14x

4

− 39x

2

+ 7) oraz

ϕ

00

(x) =

18
49

x(14x

4

+ 39x

2

− 21)(x

2

− 1)

−23/7

(2x

2

− 1)

−5/7

.

Wiadomo te˙z, ˙ze 14x

4

− 39x

2

+ 7 = 0 ⇔ x = x

1

≈ −1,610, x = x

2

≈ −0,439, x = x

3

≈ 0,439

lub x = x

4

≈ 1,610

i

14x

4

+ 39x

2

− 21 = 0 ⇔ x = x

5

≈ −0,680 albo x = x

6

≈ 0,680 .

(1 pt.) Znale´z´c ϕ

0

(−

1

√

2

) oraz ϕ

0

(

1

√

2

) lub wykaza´c, ˙ze te pochodne nie istnieja

,

.

(2 pt.) Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja ϕ ro´snie i te, na kt´orych maleje.

(2 pt.) Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja ϕ jest wypuk la i te, na kt´orych jest wkle

,

s la,

znale´z´c punkty przegie

,

cia funkcji ϕ .

(1 pt.) Wykaza´c, ˙ze je´sli 13 < s < t , to ϕ

4
7

s +

3
7

t

<

4
7

ϕ(s) +

3
7

ϕ(t) .

(4 pt.) W oparciu o uzyskane informacje naszkicowa´c wykres funkcji ϕ .

5. (10 pt.) Na wykresie funkcji y =

1
9

x

3

− 3x znale´z´c punkt le˙za

,

cy najbli˙zej punktu (−15, −5) .

Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie

,

mo˙ze przyda´c): (1 + x)

a

= 1 + ax +

a
2

x

2

+

a
3

x

3

+ · · · =

P

∞
n=0

a

n

x

n

,

sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+ · · · =

P

∞
n=0

(−1)

n x

2n+1

(2n+1)!

,

cos x

0

= − sin x ,

tg x = x +

1
3

x

3

+

2

15

x

5

+

17

315

x

7

+ · · · .