Praw a zach owania 1
PRAWA ZACHOWANIA
Podstawowe terminy
Cia»a tworzce uk»ad mechaniczny oddzia»ywuj midzy sob i z cia»ami nie
naleócymi do uk»adu za pomoc
a) si» wewntrznych -
si» dzia»ajcych na dane cia»o ze strony innych
cia» tego samego uk»adu,
b) si» zewntrznych -
si» dzia»ajcych na dane cia»o ze strony cia» nie
naleócych do rozpatrywanego uk»adu.
Uk»ad zamknity
- uk»ad w którym nie wystpuj si»y zewntrzne.
Energia kinetyczna czstki
- wypadkowa si» dzia»ajcych na czstk
- energia kinetyczna czstki
Dla uk»adu zamknitego
, a
pozostaje sta»a.
Dla
dA - praca wykonana przez si» na drodze
Praw a zach owania 2
Energia kinetyczna czstki, cd
-
Praca si»y wypadkowej zamienia si na
przyrost energii kinetycznej czstki
Si»y zachowawcze
Jeóeli w kaódym punkcie przestrzeni czstka jest poddana dzia»aniu innych
cia», to mówimy, óe czstka znajduje si w polu si».
Pole stacjonarne - pole, które nie zmienia si w czasie.
Pole zachowawcze - pole stacjonarne, w którym praca wykonana nad
czstk przez si»y pola zaleóy tylko od pocztkowego
i ko½cowego po»oóenia czstki, nie zaleóy natomiast
od drogi, po której porusza si czstka.
Praca si» zachowawczych na drodze zamknitej jest równa zeru.
Praw a zach owania 3
ZachowawczoÑ si»y ciókoÑci
Si»a ciókoÑci jest si» zachowawcz. Si»a ta ma w dowolnym punkcie t
sam wartoÑ, ten sam kierunek i ten sam zwrot.
nie zaleóy od kszta»tu toru
»czcego punkt 1 i 2, a wic jest
si» zachowawcz.
Moóna pokaza, óe si» zachowawcz jest równieó si»a centralna
.
Energia potencjalna czstki w zewntrznym polu si»
W zachowawczym polu si» kaódemu punktowi pola moóna przypisa wartoÑ
pewnej funkcji
, tak, óe praca si» pola przy przejÑciu od punktu
1 do punktu 2 równa jest ubytkowi tej funkcji (przyrostowi ze znakiem
minus):
Std
Energia potencjalna okreÑlona jest z dok»adnoÑci do pewnej sta»ej
addytywnej (tutaj
).
Praw a zach owania 4
Zwizek energii potencjalnej z si»ami pola
Znajc posta funkcji
moóna okreÑli si», która dzia»a na czstk
w kaódym punkcie pola.
Poniewaó dla dowolnych dwóch punktów 1 i 2 mamy
wic zachodzi
lub inaczej
czyli
Znajc sk»adowe, moóna okreÑli wektor si»y
Wektor o sk»adowych
gdzie jest skalarn funkcj
wspó»rzdnych
nazywamy gradientem funkcji i oznaczamy
symbolem
- operator nabla,
czytamy „gradient fi”
Si»a zachowawcza jest równa gradientowi energii potencjalnej ze
znakiem minus.
Praw a zach owania 5
Prawo zachowania energii mechanicznej
PokazaliÑmy, óe praca si»y zachowawczej wióe si ze zmian energii
potencjalnej cia»a
oraz, óe praca dowolnej si»y (zachowawczej lub niezachowawczej) powoduje
zmian energii kinetycznej cia»a
Porównujc te dwa wyraóenia otrzymujemy
Widzimy wic, óe w polu si» zachowawczych ca»kowita energia mechaniczna
cia»a zdefiniowana jako
jest taka sama w kaódym punkcie tego pola.
Podobny wniosek moóemy wysnu dla uk»adu N cia», na które dzia»aj tylko
si»y zachowawcze.
Prawo zachowania energii mechanicznej
Ca»kowita energia mechaniczna uk»adu cia», na które dzia»aj tylko si»y
zachowawcze, jest sta»a.
Dla uk»adu zamknitego (w nieobecnoÑci si» zewntrznych)
Ca»kowita energia mechaniczna uk»adu zamknitego, wewntrz którego
dzia»aj tylko si»y zachowawcze, jest wielkoÑci sta».
Praw a zach owania 6
Prawo zachowania pdu
Rozwaómy uk»ad N wzajemnie oddzia»ywujcych ze sob czstek
si»y wewntrzne dzia»ajce na i-t czstk
wypadkowa si» zewntrznych dzia»ajcych na i-t czstk
Równanie ruchu dla i-tej czstki ma posta
Sumujc wszystkie powyósze N równa½ stronami otrzymujemy
Wprowadzajc pd uk»adu
Otrzymujemy
Przy braku si» zewntrznych
, czyli pd uk»adu zamknitego jest
sta»y
Prawo zachowania pdu
Pd zamknitego uk»adu punktów materialnych jest sta»y
Pd jest sta»y równieó w przypadku uk»adu nie zamknitego, o ile
wypadkowa si» zewntrznych jest równa zeru.
Praw a zach owania 7
Moment pdu wzgldem punktu O, rami wektora pdu wzgldem punktu
O, moment pdu wzgldem osi
-
moment pdu masy m.
wzgldem punktu O
-
r a m i w ek t ora pdu
wzgldem punktu O
moment pdu i-tej czstki wzgldem punktu O
moment pdu uk»adu N czstek wzgldem punktu O
Rzut wektora na pewn oÑ z przechodzc przez punkt O, wzgldem
którego jest okreÑlony wektor nazywamy momentem pdu czstki
wzgldem tej osi
- moment pdu i-tej czstki wzgldem osi z
- moment pdu uk»adu N punktów materialnych
wzgldem osi z
Praw a zach owania 8
Moment si»y wzgldem punktu O, rami wektora si»y wzgldem punktu O,
moment si»y wzgldem osi
- moment si»y
wzgl-
dem punktu O
- rami wektora si»y
wzgldem punktu O
moment si»y
wzgldem punktu O
wypadkowy moment N si» wzgldem punktu O
Rzut wektora
na pewn oÑ z przechodzc przez punkt O, wzgldem
którego jest okreÑlony wektor
nazywamy momentem si»y wzgldem tej
osi
- moment si»y
wzgldem osi z
wypadkowy moment si» dzia»ajcych na uk»ad
wzgldem osi z
Moment si»y wzgldem osi charakteryzuje zdolnoÑ si»y do obracania cia»a
wzgldem tej osi.
Praw a zach owania 9
Prawo zachowania momentu pdu
Moóna pokaza, óe
Pochodna po czasie momentu pdu jest równa sumie momentów si»
zewntrznych.
Przy braku si» zewntrznych
Zasada zachowania momentu pdu
Moment pdu zamknitego uk»adu czstek jest sta»y.
Moment pdu jest sta»y równieó dla uk»adu niezamknitego, o ile ca»kowity
moment si» zewntrznych jest równy zeru.
Moment pary si»
Para si» - dwie równe co do wartoÑci i o
ró wn oleg»ym
k i e r u n k u s i » y o
przeciwnych zwrotach, nie dzia»ajce
wzd»uó jednej prostej.
l - rami pary si»
Moment pary si» nie zaleóy od wyboru
punktu O
Moment pary si» jest liczbowo równy iloczynowi wartoÑci jednej z si» i
ramienia pary si»