WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA

POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ

Zakład Teorii Maszyn i Robotów

Laboratorium Podstaw Automatyki i Sterowania IV

Instrukcja do ćwiczenie nr 4A

Badanie regulacji dwupołożeniowej

1.

Cel ćwiczenia

Cel

em ćwiczenia jest analiza działania układu regulacji dwupołożeniowej. Obiektem

regulacji jest tu typowe

żelazko elektryczne do prasowania z termostatem. Ćwiczenie składa

się z dwóch części - doświadczalnej i obliczeniowej.

Pierwsza cześć polega na rejestracji przebiegu zmian temperatur stopy i grzałki

żelazka, dla ustalonych nastaw termostatu i warunków chłodzenia. Pomiary dokonywane są
od chwili włączenia do osiągnięcia cyklu granicznego a następnie w trakcie schładzania
wyłączonego żelazka do temperatury około 50°C.

Na podstawie uzyskanych wyników

oblicza się nieznane parametry przyjętego modelu

matematycznego wymiany ciepła w żelazku. Parametry te umożliwiają wyznaczenie np.
analitycznej postaci charakterystyk schładzania stopy i grzałki. Weryfikacja modelu polega na

porównaniu charakterystyk d

oświadczalnych i teoretycznych.

2.

Opis układu i modelu

Schemat stanowiska pomiarowego, przeznaczonego do identyfikacji parametrów

cieplnych układu regulacji dwupołożeniowej, pokazano na rys. 1.

W korpusie metalowy

m żelazka 1 jest umieszczona grzałka elektryczna 2, która styka się

bezpośrednio ze stopą żelazka 3 wykonaną ze stopu aluminiowego. W korpusie mieści się
także bimetalowy przełącznik dwupołożeniowy 4, reagujący na temperaturę stopy, nastawia
się go pokrętłem termoregulatora wycechowanym rodzajem prasowanej tkaniny. Lampka

kontrolna 5

sygnalizuje włączenie grzałki.

Do pomiaru temperatur grzałki T

1

i stopy T

2

zastosowano termopary 6 i 7

, będące

uniwersalnymi sondami temperatury typu K. Termopary

podłączone są do przenośnego

cyfrowego miernika temperatury 8 (typ CHY506R)

, który umożliwia odczyt chwilowych

wartości temperatur na wyświetlaczu ciekłokrystalicznym. Rejestracja całego przebiegu

temperatur jest realizowana przez eksport danych z miernika 8 do mikrokomputera klasy PC

9. W tym celu,

miernik należy podłączyć specjalnym przewodem 10 z wejściem szeregowym

RS232 komputera. Zainstalowany w komputerze program T506R.VI, który

obsługuje miernik,

zapisuje czytane dane

(w formacie XLS) i jednocześnie wizualizuje na bieżąco aktualizowane

przebiegi T

1

(t), T

2

Wentylator 11

ma za zadanie zmieniać warunki chłodzenia poprzez zadawanie różnej

odległości A wentylatora od stopy żelazka. Zmiana wartości A oraz nastawy termoregulatora
umożliwia łatwa realizację wariantowości ćwiczenia. Poza wymienionymi elementami w

(t).

Częstotliwość odczytu danych jest opcjonalna. Zadawalającą

dokładność uzyskuje się dla dwusekundowych interwałów czasowych Δt.

1

skład stanowiska wchodzi cyfrowy watomierz 12 (typ IAN53138) do pomiaru mocy

pobieranej

przez grzałkę.

Ustawienie pokrętła termoregulatora, przy danych warunkach chłodzenia, wyznacza dwie

charakterystyczne temperatury stopy:

T

za

T

–

temperaturę załączenia,

wy

Różnica (T

–

temperaturę wyłączenia.

wy

-T

za

) jest małą liczbą dodatnią wynikającą z histerezy termostatu. Gdy

temperatura stopy wzrasta powyżej T

wy

,

to grzałka i lampka kontrolna wyłączają się.

Natomiast, gdy

temperatura spada poniżej T

za

, to grzałka i lampka kontrolna włączają się.

Rys. 1. Schemat ideowy stanowiska pomiarowego.

Typowe przebiegi czasowe temperatur, które

są analizowane w ćwiczeniu, pokazano

na rys. 2. Przez x

oznaczono tu nadwyżkę temperatury grzałki ponad temperaturę otoczenia, a

przez y

nadwyżkę temperatury stopy ponad temperaturę otoczenia. Wykres składa się z cykli,

a każdy z nich z fazy nagrzewania i fazy stygnięcia.

Maksima y(t)

są opóźnione w czasie względem maksimów x(t). To samo dotyczy

minimów. Powodem tego są pojemności cieplne grzałki i stopy. Na przykład w chwili
wyłączenia grzałki jej temperatura jest wyższa niż temperatura stopy, dlatego jeszcze przez
pewien czas ciepło płynie od grzałki do stopy i temperatura stopy rośnie. W pierwszym cyklu
grzałka jest włączona dłużej niż w cyklach następnych, więc maksima x oraz y są wyższe.

Bardzo szybko

wytwarza się cykl graniczny, dlatego też producent zaleca by rozpocząć

prasowanie dopiero po drugim zaświeceniu się lampki kontrolnej.

2

Rys. 2

. Typowy przebieg temperatury w funkcji czasu dla grzałki (x) i stopy (y).

Na rys. 3 przedstawiono schemat najpr

ostszego modelu wymiany ciepła w żelazku, który

wyjaśnia przebiegi temperatur z rys. 2.

Rys. 3. Schemat

wymiany ciepła w modelu żelazka.

Na rysunku tym oznaczono:

w –

moc grzałki, W;

k

1

, k

2

–

współczynniki oddawania ciepła dla grzałki i stopy, W

⋅

K

-1

m

;

1

, m

2

c

–

masy grzałki, stopy, kg;

1

, c

2

–

ciepła właściwe grzałki, stopy, J

⋅

kg

-1

⋅

K

-1

p

;

1

= m

1

·c

1

, p

2

= m

2

·c

2

–

pojemności cieplne grzałki, stopy, J

⋅

K

-1

x, y –

nadwyżki temperatur grzałki i stopy ponad temperaturę otoczenia, K.

;

k

2

⋅

y

k

1

⋅

(x-y)

w

y, m

2

, c

2

, p

2

x, m

1

, c

1

, p

1

Grzałka

Stopa

3

W czasie nagrzewania

energia elektryczna dochodząca do grzałki bilansuje się z

energią akumulowaną w grzałce i oddawaną do stopy, czyli:

(

)

1

1

dt

y

x

k

dx

p

dt

w

⋅

−

⋅

+

⋅

=

⋅

,

natomiast energia dochodząca do stopy bilansuje się z energią akumulowaną w stopie i
oddawaną na zewnątrz:

)

(

2

2

1

dt

y

k

dy

p

dt

y

x

k

⋅

⋅

+

⋅

=

−

⋅

.

Stąd otrzymuje się układ równań (1) opisujący model, gdy grzałka jest czynna. W czasie
stygnięcia - gdy grzałka jest wyłączona, w=0. Zapis (1) wskazuje, że temperatury x, i y są

szczególnym przypadkiem zmiennych stanu.







⋅

+

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

+

⋅

)

(

)

(

2

2

1

1

1

y

k

y

p

y

x

k

w

y

x

k

x

p





(1)

Opisany model jest dość grubym przybliżeniem rzeczywistości:

•

Grzałkę traktuje się tu, jako element jednorodny, scharakteryzowany przez trzy stałe

parametry p

1

, k

1

, w

. W rzeczywistości grzałka jest układem złożonym, wewnątrz którego

niewątpliwie występuje przepływ ciepła, a tego model nie uwzględnia.

Parametry p

1

, k

1

•

mało zależą od temperatury, podobnie parametr w – pod warunkiem, że

użyto właściwego materiału rezystancyjnego, jednak parametr w silnie zależy od napięcia

sieci.

Stopa jest scharakteryzowana przez dwa parametry p

2

, k

2

• Uproszczeniem jest

również operowanie tylko dwiema temperaturami x, y.

W rzeczywistości na powierzchniach styku grzałki ze stopą i na powierzchni zewnętrznej
stopy istnieją złożone pola temperatur.

. Pierwszy z nich mało zależy od

temperatury stopy, ale drugi bardziej, bo ta temperatura jest z kolei związana nie tylko z
nastawieniem przełącznika bimetalicznego, ale również z rodzajem chłodzenia, na
przykład przez wilgotną tkaninę, przez suche powietrze nieruchome lub ruchome itd.

• W modelu

nie uwzględnia się (stosunkowo małych) strat ciepła przez korpus.

Czy mimo tych zastrzeżeń model jest dostatecznie dobry? To może wyjaśnić tylko

weryfikacja. Aby ją przeprowadzić, trzeba uprzednio znaleźć wartości liczbowe pięciu
wymienionych stałych. Proces ten, nazywany identyfikacją, jest przedmiotem tego ćwiczenia.
W ćwiczeniu wyznacza się moc w przez bezpośredni pomiar, a parametry k

1

, k

2

, p

1

, p

2

,

wykorzyst

ując szczególne właściwości cyklu granicznego.

4

3.

Wyznaczenie parametrów układu

Jeśli rozwiązanie układu równań (1) dąży asymptotycznie do postaci

)

(

)

(

)

(

)

(

t

y

mT

t

y

t

x

mT

t

x

=

+

=

+

dla m=1, 2, 3 ,..., to oznacza

, że istnieje cykl graniczny z okresem T. Empirycznym dowodem,

że w przypadku żelazka zbliżono się do cyklu granicznego, jest obserwacja kolejnych cykli na

wykresach podobnych do rys.2. Energia cieplna zakumulowana

w grzałce w cyklu

granicznym równa się zeru, to samo dotyczy stopy. Można to zapisać formalnie w postaci
układu równań (2):

∫

∫

=

=

T

T

dt

y

dt

x

0

0





(2)

3.1 Wyznaczenie

współczynników oddawania ciepła k

1

, k

Całkując stronami pierwsze równanie układu równań (1) otrzymujemy:

2

)

(

1

1

∫

∫

∫

=

−

+

T

T

T

dt

w

dt

y

x

k

dt

x

p



(3)

Biorąc pod uwagę (2), jedyną niewiadomą w równaniu (3) jest k

1

1

)

(

J

dt

y

x

T

=

−

∫

. Podstawiając za

oraz

τ

=

∫

T

dt

, gdzie

τ

oznacza czas załączenia grzałki, k

1

przyjmie

1

1

J

w

k

τ

⋅

=

postać (4).

(4)

P

ostępując podobnie z drugim równaniem układu równań (1) otrzymamy wyrażenie na k

2

2

2

J

w

k

τ

⋅

=

.

(5)

gdzie:

∫

=

T

dt

y

J

2

.

3.2 Wyznaczenie

pojemności cieplnych p

1

, p

Pojemności cieplne p

2

1

, p

2

wyznacza się na postawie przebiegów x(t) i y(t) w fazie

stygnięcia cyklu granicznego żelazka. W tym celu należy wybrać możliwie duży, ze względu

na do

kładność obliczeń, przedział czasu <t

u

, t

v

> (rys.2), w którym x(t) i y(t) nie zawiera

ją

punktów osobliwych (maksima, minima). W tym wyborze pomocne są zarejestrowane dane

pomiarowe.

5

Równanie pierwsze układu (1) dla stygnięcia (w=0) ma postać:

0

)

(

1

1

=

−

⋅

+

⋅

y

x

k

x

p



Po scałkowaniu stronami od t=t

u

do t=t

(

)

0

)

(

1

1

=

−

+

−

⋅

∫

v

u

t

t

u

v

dt

y

x

k

x

x

p

v

Podstawiając

∫

=

−

v

u

t

t

J

dt

y

x

3

)

(

otrzymujemy:

(

)

3

1

1

u

v

x

x

J

k

p

−

⋅

−

=

(6)

Wyznaczenie p

2

jest analogiczne.

Drugie równanie układu (1) dla w=0 ma postać:

0

2

2

1

=

⋅

+

⋅

+

⋅

y

k

y

p

x

p





Po scałkowaniu stronami od t=t

u

do t=t

v

0

)

(

)

(

2

2

1

=

+

−

⋅

+

−

⋅

∫

v

u

t

t

u

v

u

v

dt

y

k

y

y

p

x

x

p

stąd

(

)

(

)

u

v

u

v

y

y

x

x

p

J

k

p

−

−

⋅

−

⋅

−

=

1

4

2

2

(7)

gdzie:

∫

=

v

u

t

t

dt

y

J

4

.

Czas załączenia grzałki

τ

oblicza

się na podstawie zarejestrowanych danych, jako czas

między minimum a maksimum x(t) dla fazy grzania w cyklu granicznym.

C

ałki J

1

, J

2

, oraz J

3

, J

4

można obliczyć w sposób przybliżony np. metodą trapezów.

Z

nając okres próbkowania Dt oraz (dla cyklu granicznego) wartości x

i

, y

i

J

, gdzie i=0, 1, 2,...,

n:

1

=

Δt[0.5(x

0

-y

0

) + (x

1

-y

1

) +...+ (x

n-1

-y

n-1

) + 0.5(x

n

-y

n

J

)];

2

=

Δt[0.5y

0

+ y

1

+...+ y

n-1

+ 0.5y

n

podobnie

];

J

3

=

Δt[0.5(x-y)

u

+ (x-y)

u+1

+...+ (x-y)

v-1

+ 0.5(x-y)

v

J

];

4

=

Δt[0.5y

u

+ y

u+1

+...+ y

v-1

+ 0.5y

v

].

4. Weryfikacja modelu

Po wyznaczeniu wartości liczbowych parametrów k

1

, k

2

, p

1

, p

2

oraz w

należy dokonać

weryfikacji modelu. Polega to na porównaniu, zmierzonych przebiegów czasowych x(t) i y(t)

6

schładzania żelazka po wyłączeniu zasilania grzałki z analogicznymi przebiegami

teoretycznymi uzyskanymi z

rozwiązania równań różniczkowych (1) dla w=0.

Przebiegi teoretyczne x(t) i y(t)

można wyznaczyć w sposób analityczny lub numeryczny.

W obydwu przypadkach równania (1) przekształca się do postaci (8):







−

=

+

=

y

a

x

a

y

y

a

x

a

x

22

21

12

11





(8)

gdzie: a

11,

…, a

22,

są stałymi współczynnikami zależnymi od k

1

, k

2

, p

1

, p

2

.

W podejściu analitycznym







=

=

rt

rt

e

y

e

x

2

1

α

α

przewiduje

się szczególne postaci rozwiązania:

(9)

Po podstawieniu (9) do (8) uzyskuje się układ równań liniowych (10)







=

−

−

=

+

−

0

)

(

0

)

(

2

22

1

21

2

12

1

11

α

α

α

α

r

a

a

a

r

a

(10)

Układ ten ma niezerowe rozwiązania α

1

,

α

2

0

)

(

22

21

12

11

=

−

−

=

r

a

a

a

r

a

r

F

, tylko wtedy, gdy wyznacznik (11), F(r)=0:

(11)

Po rozwiązaniu (11) uzyskuje się dwie wartości r

1

, r

2







=

=

=

=

t

r

t

r

t

r

t

r

e

y

e

x

e

y

e

x

2

2

1

1

)

2

(

2

)

2

(

1

)

1

(

2

)

1

(

1

α

α

α

α

. Można wykazać, że istnieją

następujące rozwiązania układu (8):

(12)

Stąd rozwiązanie zagadnienia:







+

=

+

=

t

r

t

r

t

r

t

r

e

C

e

C

x

e

C

e

C

x

2

1

2

1

)

2

(

2

2

)

1

(

2

1

)

2

(

1

2

)

1

(

1

1

α

α

α

α

(13)

gdzie: C

1

i C

2

,

są stałymi zależącymi od warunków początkowych.

Rozwiązanie numeryczne

Analityczne oszacowanie błędu rozwiązania, będącego źródłem uproszczeń modelowych

oraz

oparcie się w obliczeniach na cyklu granicznym, który być może jeszcze się nie

zrealizował, jest niemożliwe. Dobrym sposobem empirycznym byłoby kilkakrotne wykonanie
ćwiczenia dla znacząco różniących się warunków chłodzenia i nastaw termoregulatora.

można uzyskać w programie Matlab używając standardowej

procedury ode45

przeznaczonej do rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych

zwyczajnych.

Podobnie jak w przypadku rozwiązania analitycznego, niezbędne jest

zadeklarowanie warunków

początkowych oraz przedziału czasu, dla którego mają być

wyznaczone zależności x(t) i y(t).

7

5.

Przebieg ćwiczenia - rejestracja danych

1.

Sprawdzić czy termopary grzałki i stopy są podłączone odpowiednio do wejść T

1

i T

2

2.

Ustawić pokrętło regulatora temperatury oraz odległość A wentylatora od stopy wg zaleceń

asystenta.

miernika temperatury (zamiana

wejść może utrudnić wykorzystanie wyników pomiarów).

3.

Włączyć miernik i zanotować temperaturę otoczenia (porównać wskazania T

1

i T

2

4.

Uruchomić programu T506R.VI i zainicjować odczyt temperatury przyciskiem START.

).

5.

Wybrać zmienne do zapisu, poprzez aktywacje ich okien: (T

1

INPUT, T

2

6.

Wybrać okno RECORD i ustawić parametry zapisu (nazwa pliku wyników wraz ze ścieżką
dostępu oraz okres próbkowania Δt).

INPUT).

7. U

ruchomić zapis temperatur (RECORDING ON).

8.

Włączyć od sieci jednocześnie żelazko i wentylator.

9.

Obserwować rejestrację temperatur - możliwa jest wizualizacja zapisywanych danych po
wywołaniu okna GRAPH dla każdego wejścia. Zaleca się rejestracje minimum 4 pełnych

cy

kli wraz z ostatnią wydłużoną fazą stygnięcia (wyłączone zasilanie żelazka, wentylator

pracuje).

10.

Zakończyć zapis (RECORDING OFF), gdy temperatura stopy osiągnie około 60°C.

11.

Wyłączyć wentylator i miernik CHY506R.

12.

Zgrać zarejestrowane dane w celu opracowania wyników w sprawozdaniu.

6.

Treść sprawozdania

6.1 Krótki opis zadania, modelu i

przyjętych nastaw.

6.2

Wyniki pomiaru mocy żelazka w.

6.3 Wykresy zarejestrowanych pomiarów temperatur

grzałki i stopy T

grz

(t), T

st

6.4 Tabelaryczne zestawienie x(t) i y(t)

obejmujące analizowany cykl graniczny i fazę

sch

ładzania żelazka do osiągnięcia T

(t).

st

6.4 Wykresy x(t) i y(t) wg punktu 6.4

. Nanieść na rysunek charakterystyczne wielkości:

y

≈60°C.

Wyróżnić w tabeli fazy grzania.

za

, y

wy

, t

u

, t

v

,

τ

oraz oznaczyć pola odpowiadające całkom, J

1

, J

2

, J

3

, J

4

6.5 Obliczenia

wartości liczbowych parametrów k

.

1

, k

2

, p

1

, p

2

6.6 Obliczenia modelowych przebiegów

schładzania x

.

m

(t) i y

m

(t)

wykonać jednym z

proponowanych sposobów.

Przyjąć dane początkowe x

m

(0)=x(t

u

) i y

m

(0)=y(t

u

6.7

Weryfikacja przyjętego modelu – porównać na jednym wykresie przebiegi modelowe i
doświadczalne (uzgodnić skalę czasu).

).

6.8

Wnioski

.