WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA
POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
Zakład Teorii Maszyn i Robotów
Laboratorium Podstaw Automatyki i Sterowania IV
Instrukcja do ćwiczenie nr 4A
Badanie regulacji dwupołożeniowej
WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA
POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
Zakład Teorii Maszyn i Robotów
Laboratorium Podstaw Automatyki i Sterowania IV
Instrukcja do ćwiczenie nr 4A
Badanie regulacji dwupołożeniowej
1.
Cel ćwiczenia
Cel
em ćwiczenia jest analiza działania układu regulacji dwupołożeniowej. Obiektem
regulacji jest tu typowe
żelazko elektryczne do prasowania z termostatem. Ćwiczenie składa
się z dwóch części - doświadczalnej i obliczeniowej.
Pierwsza cześć polega na rejestracji przebiegu zmian temperatur stopy i grzałki
żelazka, dla ustalonych nastaw termostatu i warunków chłodzenia. Pomiary dokonywane są
od chwili włączenia do osiągnięcia cyklu granicznego a następnie w trakcie schładzania
wyłączonego żelazka do temperatury około 50°C.
Na podstawie uzyskanych wyników
oblicza się nieznane parametry przyjętego modelu
matematycznego wymiany ciepła w żelazku. Parametry te umożliwiają wyznaczenie np.
analitycznej postaci charakterystyk schładzania stopy i grzałki. Weryfikacja modelu polega na
porównaniu charakterystyk d
oświadczalnych i teoretycznych.
2.
Opis układu i modelu
Schemat stanowiska pomiarowego, przeznaczonego do identyfikacji parametrów
cieplnych układu regulacji dwupołożeniowej, pokazano na rys. 1.
W korpusie metalowy
m żelazka 1 jest umieszczona grzałka elektryczna 2, która styka się
bezpośrednio ze stopą żelazka 3 wykonaną ze stopu aluminiowego. W korpusie mieści się
także bimetalowy przełącznik dwupołożeniowy 4, reagujący na temperaturę stopy, nastawia
się go pokrętłem termoregulatora wycechowanym rodzajem prasowanej tkaniny. Lampka
kontrolna 5
sygnalizuje włączenie grzałki.
Do pomiaru temperatur grzałki T
1
i stopy T
2
zastosowano termopary 6 i 7
, będące
uniwersalnymi sondami temperatury typu K. Termopary
podłączone są do przenośnego
cyfrowego miernika temperatury 8 (typ CHY506R)
, który umożliwia odczyt chwilowych
wartości temperatur na wyświetlaczu ciekłokrystalicznym. Rejestracja całego przebiegu
temperatur jest realizowana przez eksport danych z miernika 8 do mikrokomputera klasy PC
9. W tym celu,
miernik należy podłączyć specjalnym przewodem 10 z wejściem szeregowym
RS232 komputera. Zainstalowany w komputerze program T506R.VI, który
obsługuje miernik,
zapisuje czytane dane
(w formacie XLS) i jednocześnie wizualizuje na bieżąco aktualizowane
przebiegi T
1
(t), T
2
Wentylator 11
ma za zadanie zmieniać warunki chłodzenia poprzez zadawanie różnej
odległości A wentylatora od stopy żelazka. Zmiana wartości A oraz nastawy termoregulatora
umożliwia łatwa realizację wariantowości ćwiczenia. Poza wymienionymi elementami w
(t).
Częstotliwość odczytu danych jest opcjonalna. Zadawalającą
dokładność uzyskuje się dla dwusekundowych interwałów czasowych Δt.
1
skład stanowiska wchodzi cyfrowy watomierz 12 (typ IAN53138) do pomiaru mocy
pobieranej
przez grzałkę.
Ustawienie pokrętła termoregulatora, przy danych warunkach chłodzenia, wyznacza dwie
charakterystyczne temperatury stopy:
T
za
T
–
temperaturę załączenia,
wy
Różnica (T
–
temperaturę wyłączenia.
wy
-T
za
) jest małą liczbą dodatnią wynikającą z histerezy termostatu. Gdy
temperatura stopy wzrasta powyżej T
wy
,
to grzałka i lampka kontrolna wyłączają się.
Natomiast, gdy
temperatura spada poniżej T
za
, to grzałka i lampka kontrolna włączają się.
Rys. 1. Schemat ideowy stanowiska pomiarowego.
Typowe przebiegi czasowe temperatur, które
są analizowane w ćwiczeniu, pokazano
na rys. 2. Przez x
oznaczono tu nadwyżkę temperatury grzałki ponad temperaturę otoczenia, a
przez y
nadwyżkę temperatury stopy ponad temperaturę otoczenia. Wykres składa się z cykli,
a każdy z nich z fazy nagrzewania i fazy stygnięcia.
Maksima y(t)
są opóźnione w czasie względem maksimów x(t). To samo dotyczy
minimów. Powodem tego są pojemności cieplne grzałki i stopy. Na przykład w chwili
wyłączenia grzałki jej temperatura jest wyższa niż temperatura stopy, dlatego jeszcze przez
pewien czas ciepło płynie od grzałki do stopy i temperatura stopy rośnie. W pierwszym cyklu
grzałka jest włączona dłużej niż w cyklach następnych, więc maksima x oraz y są wyższe.
Bardzo szybko
wytwarza się cykl graniczny, dlatego też producent zaleca by rozpocząć
prasowanie dopiero po drugim zaświeceniu się lampki kontrolnej.
2
Rys. 2
. Typowy przebieg temperatury w funkcji czasu dla grzałki (x) i stopy (y).
Na rys. 3 przedstawiono schemat najpr
ostszego modelu wymiany ciepła w żelazku, który
wyjaśnia przebiegi temperatur z rys. 2.
Rys. 3. Schemat
wymiany ciepła w modelu żelazka.
Na rysunku tym oznaczono:
w –
moc grzałki, W;
k
1
, k
2
–
współczynniki oddawania ciepła dla grzałki i stopy, W
⋅
K
-1
m
;
1
, m
2
c
–
masy grzałki, stopy, kg;
1
, c
2
–
ciepła właściwe grzałki, stopy, J
⋅
kg
-1
⋅
K
-1
p
;
1
= m
1
·c
1
, p
2
= m
2
·c
2
–
pojemności cieplne grzałki, stopy, J
⋅
K
-1
x, y –
nadwyżki temperatur grzałki i stopy ponad temperaturę otoczenia, K.
;
k
2
⋅
y
k
1
⋅
(x-y)
w
y, m
2
, c
2
, p
2
x, m
1
, c
1
, p
1
Grzałka
Stopa
3
W czasie nagrzewania
energia elektryczna dochodząca do grzałki bilansuje się z
energią akumulowaną w grzałce i oddawaną do stopy, czyli:
(
)
1
1
dt
y
x
k
dx
p
dt
w
⋅
−
⋅
+
⋅
=
⋅
,
natomiast energia dochodząca do stopy bilansuje się z energią akumulowaną w stopie i
oddawaną na zewnątrz:
)
(
2
2
1
dt
y
k
dy
p
dt
y
x
k
⋅
⋅
+
⋅
=
−
⋅
.
Stąd otrzymuje się układ równań (1) opisujący model, gdy grzałka jest czynna. W czasie
stygnięcia - gdy grzałka jest wyłączona, w=0. Zapis (1) wskazuje, że temperatury x, i y są
szczególnym przypadkiem zmiennych stanu.
⋅
+
⋅
=
−
⋅
=
−
⋅
+
⋅
)
(
)
(
2
2
1
1
1
y
k
y
p
y
x
k
w
y
x
k
x
p
(1)
Opisany model jest dość grubym przybliżeniem rzeczywistości:
•
Grzałkę traktuje się tu, jako element jednorodny, scharakteryzowany przez trzy stałe
parametry p
1
, k
1
, w
. W rzeczywistości grzałka jest układem złożonym, wewnątrz którego
niewątpliwie występuje przepływ ciepła, a tego model nie uwzględnia.
Parametry p
1
, k
1
•
mało zależą od temperatury, podobnie parametr w – pod warunkiem, że
użyto właściwego materiału rezystancyjnego, jednak parametr w silnie zależy od napięcia
sieci.
Stopa jest scharakteryzowana przez dwa parametry p
2
, k
2
• Uproszczeniem jest
również operowanie tylko dwiema temperaturami x, y.
W rzeczywistości na powierzchniach styku grzałki ze stopą i na powierzchni zewnętrznej
stopy istnieją złożone pola temperatur.
. Pierwszy z nich mało zależy od
temperatury stopy, ale drugi bardziej, bo ta temperatura jest z kolei związana nie tylko z
nastawieniem przełącznika bimetalicznego, ale również z rodzajem chłodzenia, na
przykład przez wilgotną tkaninę, przez suche powietrze nieruchome lub ruchome itd.
• W modelu
nie uwzględnia się (stosunkowo małych) strat ciepła przez korpus.
Czy mimo tych zastrzeżeń model jest dostatecznie dobry? To może wyjaśnić tylko
weryfikacja. Aby ją przeprowadzić, trzeba uprzednio znaleźć wartości liczbowe pięciu
wymienionych stałych. Proces ten, nazywany identyfikacją, jest przedmiotem tego ćwiczenia.
W ćwiczeniu wyznacza się moc w przez bezpośredni pomiar, a parametry k
1
, k
2
, p
1
, p
2
,
wykorzyst
ując szczególne właściwości cyklu granicznego.
4
3.
Wyznaczenie parametrów układu
Jeśli rozwiązanie układu równań (1) dąży asymptotycznie do postaci
)
(
)
(
)
(
)
(
t
y
mT
t
y
t
x
mT
t
x
=
+
=
+
dla m=1, 2, 3 ,..., to oznacza
, że istnieje cykl graniczny z okresem T. Empirycznym dowodem,
że w przypadku żelazka zbliżono się do cyklu granicznego, jest obserwacja kolejnych cykli na
wykresach podobnych do rys.2. Energia cieplna zakumulowana
w grzałce w cyklu
granicznym równa się zeru, to samo dotyczy stopy. Można to zapisać formalnie w postaci
układu równań (2):
∫
∫
=
=
T
T
dt
y
dt
x
0
0
(2)
3.1 Wyznaczenie
współczynników oddawania ciepła k
1
, k
Całkując stronami pierwsze równanie układu równań (1) otrzymujemy:
2
)
(
1
1
∫
∫
∫
=
−
+
T
T
T
dt
w
dt
y
x
k
dt
x
p
(3)
Biorąc pod uwagę (2), jedyną niewiadomą w równaniu (3) jest k
1
1
)
(
J
dt
y
x
T
=
−
∫
. Podstawiając za
oraz
τ
=
∫
T
dt
, gdzie
τ
oznacza czas załączenia grzałki, k
1
przyjmie
1
1
J
w
k
τ
⋅
=
postać (4).
(4)
P
ostępując podobnie z drugim równaniem układu równań (1) otrzymamy wyrażenie na k
2
2
2
J
w
k
τ
⋅
=
.
(5)
gdzie:
∫
=
T
dt
y
J
2
.
3.2 Wyznaczenie
pojemności cieplnych p
1
, p
Pojemności cieplne p
2
1
, p
2
wyznacza się na postawie przebiegów x(t) i y(t) w fazie
stygnięcia cyklu granicznego żelazka. W tym celu należy wybrać możliwie duży, ze względu
na do
kładność obliczeń, przedział czasu <t
u
, t
v
> (rys.2), w którym x(t) i y(t) nie zawiera
ją
punktów osobliwych (maksima, minima). W tym wyborze pomocne są zarejestrowane dane
pomiarowe.
5
Równanie pierwsze układu (1) dla stygnięcia (w=0) ma postać:
0
)
(
1
1
=
−
⋅
+
⋅
y
x
k
x
p
Po scałkowaniu stronami od t=t
u
do t=t
(
)
0
)
(
1
1
=
−
+
−
⋅
∫
v
u
t
t
u
v
dt
y
x
k
x
x
p
v
Podstawiając
∫
=
−
v
u
t
t
J
dt
y
x
3
)
(
otrzymujemy:
(
)
3
1
1
u
v
x
x
J
k
p
−
⋅
−
=
(6)
Wyznaczenie p
2
jest analogiczne.
Drugie równanie układu (1) dla w=0 ma postać:
0
2
2
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
y
k
y
p
x
p
Po scałkowaniu stronami od t=t
u
do t=t
v
0
)
(
)
(
2
2
1
=
+
−
⋅
+
−
⋅
∫
v
u
t
t
u
v
u
v
dt
y
k
y
y
p
x
x
p
stąd
(
)
(
)
u
v
u
v
y
y
x
x
p
J
k
p
−
−
⋅
−
⋅
−
=
1
4
2
2
(7)
gdzie:
∫
=
v
u
t
t
dt
y
J
4
.
Czas załączenia grzałki
τ
oblicza
się na podstawie zarejestrowanych danych, jako czas
między minimum a maksimum x(t) dla fazy grzania w cyklu granicznym.
C
ałki J
1
, J
2
, oraz J
3
, J
4
można obliczyć w sposób przybliżony np. metodą trapezów.
Z
nając okres próbkowania Dt oraz (dla cyklu granicznego) wartości x
i
, y
i
J
, gdzie i=0, 1, 2,...,
n:
1
=
Δt[0.5(x
0
-y
0
) + (x
1
-y
1
) +...+ (x
n-1
-y
n-1
) + 0.5(x
n
-y
n
J
)];
2
=
Δt[0.5y
0
+ y
1
+...+ y
n-1
+ 0.5y
n
podobnie
];
J
3
=
Δt[0.5(x-y)
u
+ (x-y)
u+1
+...+ (x-y)
v-1
+ 0.5(x-y)
v
J
];
4
=
Δt[0.5y
u
+ y
u+1
+...+ y
v-1
+ 0.5y
v
].
4. Weryfikacja modelu
Po wyznaczeniu wartości liczbowych parametrów k
1
, k
2
, p
1
, p
2
oraz w
należy dokonać
weryfikacji modelu. Polega to na porównaniu, zmierzonych przebiegów czasowych x(t) i y(t)
6
schładzania żelazka po wyłączeniu zasilania grzałki z analogicznymi przebiegami
teoretycznymi uzyskanymi z
rozwiązania równań różniczkowych (1) dla w=0.
Przebiegi teoretyczne x(t) i y(t)
można wyznaczyć w sposób analityczny lub numeryczny.
W obydwu przypadkach równania (1) przekształca się do postaci (8):
−
=
+
=
y
a
x
a
y
y
a
x
a
x
22
21
12
11
(8)
gdzie: a
11,
…, a
22,
są stałymi współczynnikami zależnymi od k
1
, k
2
, p
1
, p
2
.
W podejściu analitycznym
=
=
rt
rt
e
y
e
x
2
1
α
α
przewiduje
się szczególne postaci rozwiązania:
(9)
Po podstawieniu (9) do (8) uzyskuje się układ równań liniowych (10)
=
−
−
=
+
−
0
)
(
0
)
(
2
22
1
21
2
12
1
11
α
α
α
α
r
a
a
a
r
a
(10)
Układ ten ma niezerowe rozwiązania α
1
,
α
2
0
)
(
22
21
12
11
=
−
−
=
r
a
a
a
r
a
r
F
, tylko wtedy, gdy wyznacznik (11), F(r)=0:
(11)
Po rozwiązaniu (11) uzyskuje się dwie wartości r
1
, r
2
=
=
=
=
t
r
t
r
t
r
t
r
e
y
e
x
e
y
e
x
2
2
1
1
)
2
(
2
)
2
(
1
)
1
(
2
)
1
(
1
α
α
α
α
. Można wykazać, że istnieją
następujące rozwiązania układu (8):
(12)
Stąd rozwiązanie zagadnienia:
+
=
+
=
t
r
t
r
t
r
t
r
e
C
e
C
x
e
C
e
C
x
2
1
2
1
)
2
(
2
2
)
1
(
2
1
)
2
(
1
2
)
1
(
1
1
α
α
α
α
(13)
gdzie: C
1
i C
2
,
są stałymi zależącymi od warunków początkowych.
Rozwiązanie numeryczne
Analityczne oszacowanie błędu rozwiązania, będącego źródłem uproszczeń modelowych
oraz
oparcie się w obliczeniach na cyklu granicznym, który być może jeszcze się nie
zrealizował, jest niemożliwe. Dobrym sposobem empirycznym byłoby kilkakrotne wykonanie
ćwiczenia dla znacząco różniących się warunków chłodzenia i nastaw termoregulatora.
można uzyskać w programie Matlab używając standardowej
procedury ode45
przeznaczonej do rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych
zwyczajnych.
Podobnie jak w przypadku rozwiązania analitycznego, niezbędne jest
zadeklarowanie warunków
początkowych oraz przedziału czasu, dla którego mają być
wyznaczone zależności x(t) i y(t).
7
5.
Przebieg ćwiczenia - rejestracja danych
1.
Sprawdzić czy termopary grzałki i stopy są podłączone odpowiednio do wejść T
1
i T
2
2.
Ustawić pokrętło regulatora temperatury oraz odległość A wentylatora od stopy wg zaleceń
asystenta.
miernika temperatury (zamiana
wejść może utrudnić wykorzystanie wyników pomiarów).
3.
Włączyć miernik i zanotować temperaturę otoczenia (porównać wskazania T
1
i T
2
4.
Uruchomić programu T506R.VI i zainicjować odczyt temperatury przyciskiem START.
).
5.
Wybrać zmienne do zapisu, poprzez aktywacje ich okien: (T
1
INPUT, T
2
6.
Wybrać okno RECORD i ustawić parametry zapisu (nazwa pliku wyników wraz ze ścieżką
dostępu oraz okres próbkowania Δt).
INPUT).
7. U
ruchomić zapis temperatur (RECORDING ON).
8.
Włączyć od sieci jednocześnie żelazko i wentylator.
9.
Obserwować rejestrację temperatur - możliwa jest wizualizacja zapisywanych danych po
wywołaniu okna GRAPH dla każdego wejścia. Zaleca się rejestracje minimum 4 pełnych
cy
kli wraz z ostatnią wydłużoną fazą stygnięcia (wyłączone zasilanie żelazka, wentylator
pracuje).
10.
Zakończyć zapis (RECORDING OFF), gdy temperatura stopy osiągnie około 60°C.
11.
Wyłączyć wentylator i miernik CHY506R.
12.
Zgrać zarejestrowane dane w celu opracowania wyników w sprawozdaniu.
6.
Treść sprawozdania
6.1 Krótki opis zadania, modelu i
przyjętych nastaw.
6.2
Wyniki pomiaru mocy żelazka w.
6.3 Wykresy zarejestrowanych pomiarów temperatur
grzałki i stopy T
grz
(t), T
st
6.4 Tabelaryczne zestawienie x(t) i y(t)
obejmujące analizowany cykl graniczny i fazę
sch
ładzania żelazka do osiągnięcia T
(t).
st
6.4 Wykresy x(t) i y(t) wg punktu 6.4
. Nanieść na rysunek charakterystyczne wielkości:
y
≈60°C.
Wyróżnić w tabeli fazy grzania.
za
, y
wy
, t
u
, t
v
,
τ
oraz oznaczyć pola odpowiadające całkom, J
1
, J
2
, J
3
, J
4
6.5 Obliczenia
wartości liczbowych parametrów k
.
1
, k
2
, p
1
, p
2
6.6 Obliczenia modelowych przebiegów
schładzania x
.
m
(t) i y
m
(t)
wykonać jednym z
proponowanych sposobów.
Przyjąć dane początkowe x
m
(0)=x(t
u
) i y
m
(0)=y(t
u
6.7
Weryfikacja przyjętego modelu – porównać na jednym wykresie przebiegi modelowe i
doświadczalne (uzgodnić skalę czasu).
).
6.8
Wnioski
.