2010 02 10

background image

Algebra liniowa IS

Egzamin 10.02.2010, drugi termin

1. Podać definicję grupy i ciała

Niech S := {(t, 2

t

) : t ∈ R}, S zawiera więc pary liczb rzeczywistych.

Działanie między elementami S (x

1

, y

1

) i (x

2

, y

2

) zdefiniowane jest przez

(x

1

, y

1

)(x

2

, y

2

) = (x

1

+x

2

, y

1

y

2

). Pokzazać, że (S, ∗) jest grupę przemien-

ną.

2. Podać postać trygonometryczną liczby zespolonej i reguły mnożenia, dzie-

lenia i potęgowania liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Omó-
wić znajdowanie pierwiastków liczb zespolonych.

(a) Przedstawić w postaci trygonometrycznej i algebraicznej wyrażenie

(

3 − i)

10

(1 − i)

6

(b) Znaleźć pierwiastki zespolone trzeciego stopnia z liczby i. Wynik po-

dać w postaci algebraicznej.

3. Podać definicję przestrzeni liniowej nad ciałem liczbowym. Czy zbiór wek-

torów postaci (v + t, t − u, 2v + t + u), gdzie v, t, i u są liczbami rze-
czywistymi tworzy podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R

3

. Jaki jest jej

wymiar? Podać przekład wektorów bazowych dla tej podprzestrzeni. Za-
pisać tą podprzestrzeń w postaci V = (x, y, z) ∈ ax + by + cz + d = 0 z
odpowiednio dobranymi a, b, c i d.

4. W bazie {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)} wektro ma wspórzędne (1, 2, 3). Sprawdź,

czy zbiór wektorów {(0, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 1, −1)} jest bazą i, jeżeli tak, zna-
leźć współrzedne podanego wektora w nowej bazie.

5. Podać definicję przekształcenia liniowego A : V → V

0

, jądra przekształce-

nia liniowego i obrazu przekształcenia liniowego. Pokazać, że jądro prze-
kształcenia liniowego jest podprzestrzenią V , a obraz podprzestrzenią w
V

0

.

6. Niech f : (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

4

(x

1

+ x

3

, x

2

+ x

4

) ∈ R

2

. Wyznaczyć

macierz odwzorowania w bazie kanonicznej. Wyznaczyć jądro i obraz od-
wzorowania (podać wymiary i bazy Ker f , i Im f . Znaleźć rząd odwzo-
rowania. Jaka relacja wiąże rząd odwzorowania f z dim Ker f ?

7. Znajdź macierz przekształcenia f : R

4

→ R

2

danego przez f (x, y, z, t) =

(x+3y−2z, z−y+x−t) w bazach odpowiednio {(2, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 3), (0, 1, 1, 0), (1, −1, 2, 3)}
i {(1, 1), (1, 0)}.

8. Co to jest rząd macierzy? Znaleźć rząd macierzy.



2

1

4

1

1

1

1

1

1

1

1

3



1

background image

9. Znaleźć macierz odwrotną do

0

1

1

1

2

1

2

1

0

10. Znaleźć wyznacznik macierzy o wymiarze n × n (n ­ 2)













a

−b

0

· · ·

0

0

0

a

−b

· · ·

0

0

0

0

a

· · ·

0

0

..

.

..

.

..

.

. .

.

..

.

..

.

0

0

0

· · ·

a

−b

−b

0

0

· · ·

0

a













11. Rozwiązać układ równań korzystając z metody eliminacji Gaussa

x + 2y + 3z

=

6

2x + 3y + z

=

6

3x + 2y + z

=

6

12. Obliczyć wartości i wektory własne macierzy

1

0

1

0

1

0

1

0

1

i sprawdzić,czy

wektory własne są ortogonalne.

13. Metodą Grama-Schmidta utworzyć zbiór ortonormalny wektorów ze zbio-

ru x

1

, x

2

, x

3

, gdzie

x

1

= (1, 1, 1), x

2

= (1, 1, −1), x

3

= (2, 1, 1)

.

2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 02 10 rozwiazaniaid 27110
2010-02-10 łaczniki
2010-02-10-rozwiazania
2010 02 10 łacznikiid 27108
2010 02 10 30lat1 mc
2010 02 10 Fajne opowiadanie mc
loveparade 2010 anlage 04 protokoll 02 10 09
Wykład 02.10.2010 (sobota) A. Bandyra, UJK.Fizjoterapia, - Notatki - Rok I -, Kliniczne podstawy fiz
02.10.2010, Studia, Prawo podatkowe
loveparade 2010 anlage 18 antrag lopavent 01 02 10
Pat Holloran - Słowo po katastrofie dn.2010.04.10, 02) Wykłady biblijne - alfabetycznie, Holloran Pa
MB ćwiczenia 10 04 2010 (02)
2010 exams dates for individuals ilec icfe toles tkt pl gb 08 02 10 ar final 2
02 10 2010
loveparade 2010 anlage 04 protokoll 02 10 09
ZIP Katowice zaoczne 2010 11 2011 02 10

więcej podobnych podstron