Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

1

4.Metody wygładzania parametrycznego – skrót

4.1. Metoda wyrównywania wykładniczego (Browna) – N_N według klasyfikacji Pegelsa

Metoda wyrównywania wykładniczego zakłada, że rekurencyjne oszacowania poziomu

składowej systematycznej szeregu (

t

m

) dane są przy pomocy równań:

1

1

y

m



;

1

1









t

t

t

m

y

m

)

(





,

)

,...,

2

(

T

t



gdzie:

t

m

- jest oceną poziomu składnika systematycznego w okresie t,



- jest stałą wyrównywania

wykładniczego,

1

0







.

Jeżeli

1





, wtedy prawdziwa jest równość:

t

t

y

m



,

)

,...,

2

,

1

(

T

t



tzn. otrzymujemy procedurę bez wygładzania.

Jeżeli

0





, wtedy prawdziwa jest równość:

1

y

m

t



,

)

,...,

2

,

1

(

T

t



tzn. wyrównanie poziomu następuje na ustalonym w kroku początkowym poziomie.

Prognozy ex post wyznaczane są na poziomie dostępnego w okresie

t

oszacowania poziomu

składnika systematycznego , tj:

t

p

j

t

t

m

y





|

,

)

,...,

1

,...,

2

,

1

(

j

T

t

j







.

Prognoza jest funkcją stałej wygładzania



, która a priori nie jest znana. Zapiszemy to jak

następuje:

)

(

)

(

|





t

p

j

t

t

m

y





,

)

,...,

1

,...,

2

,

1

(

j

T

t

j







.

Podobnie błąd prognozy ex post:

p

j

t

t

j

t

p

j

t

t

y

y











|

|



jest funkcją tej stałej, co zapiszemy:

)

(

)

(

|

|







p

j

t

t

j

t

p

j

t

t

y

y











.

Wszystkie parametry rozkładu błędów prognoz ex post są zatem funkcjami tej stałej.

Wyznaczanie stałej wygładzania sprowadza się zatem do rozwiązania problemu optymalizacji
jednej z funkcji, którą jest wybrany parametr rozkładu błędu prognozy ex post, np:

min

1

1

1

2

























j

T

t

p

j

t

t

p

j

j

T

MSE

)}

(

{

)

(

|

,

,...)

2

,

1

(



j

,

min

1

1























j

T

t

p

j

t

t

p

j

j

T

MAE

|

)

(

|

)

(

|

,

,...)

2

,

1

(



j

,

Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

2

max

2

,





p
j

y

y

r

,

,...)

2

,

1

(



j

Zwykle wybieranym kryterium optymalizacyjnym jest MSE.

Równanie wygładzania Browna można zapisać w formie adaptacyjnej (z korektą błędem

prognozy) w następujący sposób:

p

t

t

t

t

m

m

|

1

1











,

)

,...,

2

(

T

t



gdzie

1

1

1















t

t

p

t

t

t

p

t

t

m

y

y

y

|

|



oznacza błąd prognozy z wyznaczonej w okresie (t-1) na okres t,

na poziomie

1



t

m

, tj. na poziomie dostępnej w okresie wyznaczania prognozy wartości wygładzonej.

Powyższy wzór pokazuje, że zmiana oszacowania poziomu

t

m

zależy od błędu

prognozy popełnionego w okresie poprzednim. Dlatego też metodę Browna i wszystkie
metody wygładzania parametrycznego, dla których można znaleźć formułę z korektą błędem,
nazywamy metodą adaptacyjną. Dostosowanie adaptacyjne bowiem polega na zmianie
oszacowania (zachowania) w ślad za błędem popełnionym poprzednio.

4.2. Model Browna z sezonowością addytywną – N_A według klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie addytywnych efektów sezonowych

1

, nakładających się

na stacjonarny poziom szeregu czasowego. Wygładzane są zatem dwie składowe szeregu, tj:
poziom

t

m

oraz efekt sezonowy (periodyczny)

t

p .

Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym ustalane są w

następujący sposób:







r

s

s

r

y

r

m

1

1

r

t

t

m

y

p





;

)

,...,

,

(

r

t

2

1



gdzie: r oznacza liczbę sezonów w roku, np. dla danych kwartalnych r=4, dla miesięcznych
r=12.

Początkowe oszacowanie poziomu jest wyznaczone jako średnia arytmetyczna

obserwacji z pierwszego roku, natomiast początkowe oszacowania efektów sezonowych (dla
pierwszego roku) są wyznaczone jako odchylenia od średniej.

Równania wygładzające mają następującą postać:

1

1













t

r

t

t

t

m

p

y

m

)

(

)

(





,

)

,....,

(

T

r

t

1





r

t

t

t

t

p

m

y

p











)

(

)

(





1

,

gdzie

1

0







,

1

0







są nieznanymi parametrami wygładzania.

1

Przypomnienie pojęcia sezonowość addytywna i multiplikatywna znajduje się w załączniku na końcu tekstu.

Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

3

Podobnie jak w przypadku modelu Browna N/N, można znaleźć adaptacyjną formę

tego równania. Warto też rozpoznać szczególne przypadki modelu, kiedy parametry
wygładzania przyjmują skrajne wartości (odesłanie do wykładu).

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) równa jest średniej

t

m

, korygowanej

addytywnym efektem sezonowym:

r

j

t

t

p

j

t

t

p

m

y











|

,

)

,...,

...,

,

(

j

T

r

t

j







2

1

Podobnie jak w modelu poprzednim stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany
parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

4.3. Model Browna z sezonowością multiplikatywną – N_M według klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie multiplikatywnych efektów sezonowych, nakładających

się na stacjonarny poziom szeregu czasowego.

Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym ustalane są w

następujący sposób:







r

s

s

r

y

r

m

1

1

r

t

t

m

y

p

/



;

)

,...,

,

(

r

t

2

1



.

Początkowe oszacowanie poziomu jest wyznaczone jako średnia arytmetyczna

obserwacji z pierwszego roku, natomiast początkowe oszacowania efektów sezonowych (dla
pierwszego roku) są wyznaczone jako indeksy, tj. udziały zmiennej

t

y jej poziomie

t

m

,

wygładzonym na okres t.

Adekwatnie do przyjętej koncepcji multiplikatywnego wahania sezonowego

definiowane są równania wygładzające:

1

1











t

r

t

t

t

m

p

y

m

)

(

)

/

(





)

,....,

(

T

r

t

1





r

t

t

t

t

p

m

y

p









)

(

)

/

(





1

.

Szczególne przypadki modelu oraz jego wersja adaptacyjna omawiane są na

wykładzie.

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) równa jest średniej

t

m

, korygowanej

muliplikatywnym efektem sezonowym:

r

j

t

t

p

j

t

p

m

y









,

)

,...,

...,

,

(

j

T

r

t

j







2

1

.

Podobnie jak w modelu poprzednim stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany
parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

4

4.4. Model Holta z trendem addytywnym – w A_N w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu liniowego o zmiennym (w ogólnym przypadku)

współczynniku kierunkowym. W modelu wyrównywany jest poziom szeregu

t

m

oraz

współczynnik kierunkowy trendu

t

d . W modelu nie są wygładzane efekty sezonowe.

Wartości początkowe wygładzania definiują równości:

1

1

y

m



,

0

1



d

.

Równania wygładzające mają postać:

)

)(

(

1

1

1













t

t

t

t

d

m

y

m





,

)

,....,

(

T

t

2



1

1

1













t

t

t

t

d

m

m

d

)

(

)

(





,

gdzie

1

0







,

1

0







są nieznanymi parametrami wygładzania.

Szczególne przypadki modelu oraz formuła adaptacyjna są omawiane na wykładzie.

Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu

trendu, tj. na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu, co zapiszemy:

t

t

p

j

t

t

jd

m

y







|

,

)

,...,

...,

,

(

j

T

t

j







1

2

1

.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu

prognoz ex post.

4.5. Model Holta z trendem multiplikatywnym – M_N w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu multiplikatywnego o zmiennym (w ogólnym

przypadku) indeksie zmian. W modelu wyrównywany jest poziom szeregu

t

m

oraz indeks

zmian

t

d

. W modelu nie są wygładzane efekty sezonowe.

Wartości początkowe wygładzania definiują równości:

1

1

y

m



,

1

1



d

.

Równania wygładzające mają postać:

)

)(

(

1

1

1











t

t

t

t

d

m

y

m





,

)

,....,

(

T

t

2



1

1

1











t

t

t

t

d

m

m

d

)

(

)

/

(





,

gdzie

1

0







,

1

0







są nieznanymi parametrami wygładzania.

Szczególne przypadki modelu oraz formuła adaptacyjna są omawiane na wykładzie.

Warto szczególnie tutaj zanalizować dlaczego

1

1



d

, a nie

0

1



d

, tj. jaka jest różnica

pomiędzy trendem addytywnym i multiplikatywnym.

Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

5

Prognoza ex post jest wyznaczana zgodnie z przyjętym założeniem o występowaniu

trendu multiplikatywnego, tj. na poziomie średniej korygowanej indeksem zmian
wynikającym z trendu, co zapiszemy:

j

t

t

p

j

t

t

d

m

y





|

,

)

,...,

...,

,

(

j

T

t

j







1

2

1

.

Stałe wygładzania wyznacza się optymalizując wybrany parametr rozkładu błędu

prognoz ex post.

4.5.a Metoda podwójnego wygładzania

W metodzie podwójnego wygładzania zakładamy, że stałe wygładzania są równe, tj.







. Metoda może wystąpić zarówno w wersji addytywnej, jak i multiplikatywnej. Należy

ją traktować jako szczególną wersję metody Holta (A_N) lub (M_N). W pierwszym
przypadku mamy do czynienia z następującym układem równań wygładzających:

1

1

y

m



,

0

1



d

.

)

)(

(

1

1

1













t

t

t

t

d

m

y

m





,

)

,....,

(

T

t

2



1

1

1













t

t

t

t

d

m

m

d

)

(

)

(





,

gdzie

1

0







.

Prognoza jest wyznaczana zgodnie z regułą Holta tj.:

t

t

p

j

t

t

jd

m

y







|

,

)

,...,

...,

,

(

j

T

t

j







1

2

1

.

W przypadku drugim równania wygładzające mają postać:

1

1

y

m



,

1

1



d

.

)

)(

(

1

1

1











t

t

t

t

d

m

y

m





,

)

,....,

(

T

t

2



1

1

1











t

t

t

t

d

m

m

d

)

(

)

/

(





,

gdzie

1

0







, natomiast prognoza jest wyznaczana zgodnie z regułą:

j

t

t

p

j

t

t

d

m

y





|

,

)

,...,

...,

,

(

j

T

t

j







1

2

1

.

4.6. Model Holta-Wintersa (lub tylko Wintera) z trendem addytywnym i sezonowością
addytywną – A_A w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu liniowego oraz sezonowości addytywnej.

Zarówno współczynnik kierunkowy trendu jaki i efekty sezonowe (w ogólnym przypadku)
mogą zmieniać się w czasie. W modelu wyrównywany jest zatem: poziom szeregu

t

m

,

współczynnik kierunkowy trendu

t

d oraz efekt sezonowy

t

p .

Wartości początkowe w addytywnym wygładzaniu sezonowym z trendem, ustalane są

w następujący sposób:

Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

6







r

s

s

r

y

r

m

1

1

,

0



r

d

r

t

t

m

y

p





;

)

,...,

,

(

r

t

2

1



.

Równania wygładzające mają postać:

)

)(

(

)

(

1

1

1

















t

t

r

t

t

t

d

m

p

y

m





,

1

1

1













t

t

t

t

d

m

m

d

)

(

)

(





)

,....,

(

T

r

t

1





,

r

t

t

t

t

p

m

y

p











)

(

)

(





1

,

gdzie

1

0







,

1

0







,

1

0







są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) wynika z trendu liniowego, tzn.

wyznaczona jest na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu oraz
dodatkowo korygowana jest addytywnym efektem sezonowym:

r

j

t

t

t

p

j

t

t

p

jd

m

y













|

,

)

,...,

...,

,

(

j

T

r

t

j







2

1

Podobnie jak w modelach poprzednich stałe wygładzania wyznacza się optymalizując
wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post. Uwaga: optymalne wartości stałych
wygładzania znalezione przez Solver Excela mogą zależeć od wartości początkowych
wybranych dla stałych wygładzania. Warto sprawdzić rozwiązania suboptymalne, jakie
produkuje Solver dla początkowych wartości stałych bliskich zeru oraz w drugiej kolejności
dla ich wartości bliskich jedności.

4.7. Model Holta-Wintersa (lub tylko Wintera) z trendem addytywnym i sezonowością
multiplikatywną – A_M w klasyfikacji Pegelsa

Model zakłada występowanie trendu liniowego oraz sezonowości multiplikatywnej.

Zarówno współczynnik kierunkowy trendu jaki i efekty sezonowe (w ogólnym przypadku)
zmieniają się w czasie. W modelu wyrównywany jest zatem: poziom szeregu

t

m

,

współczynnik kierunkowy trendu

t

d oraz multiplikatywny efekt sezonowy

t

p .

Wartości początkowe w multiplikatywnym wygładzaniu sezonowym z trendem

addytywnym, ustalane są w następujący sposób:







r

s

s

r

y

r

m

1

1

,

0



r

d

,

r

t

t

m

y

p

/



;

)

,...,

,

(

r

t

2

1



.

Równania wygładzające mają postać:

)

)(

(

)

/

(

1

1

1















t

t

r

t

t

t

d

m

p

y

m





,

Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

7

1

1

1













t

t

t

t

d

m

m

d

)

(

)

(





,

)

,....,

(

T

r

t

1





,

r

t

t

t

t

p

m

y

p









)

(

)

/

(





1

,

gdzie

1

0







,

1

0







,

1

0







są nieznanymi parametrami wygładzania.

Prognoza wyznaczona w okresie t, na okres (t+j) wynika z trendu liniowego, tzn.

wyznaczona jest na poziomie średniej korygowanej o przyrost wynikający z trendu oraz
dodatkowo korygowana jest multiplikatywnym efektem sezonowym:

r

j

t

t

t

p

j

t

t

p

jd

m

y











)

(

|

,

)

,...,

...,

,

(

j

T

r

t

j







2

1

.

Podobnie jak w modelach poprzednich stałe wygładzania wyznacza się optymalizując
wybrany parametr rozkładu błędu prognoz ex post.

Załącznik

Sezonowość addytywna i multiplikatywna

W szeregu czasowym (

t

y ), w którym składowe: systematyczna (

t

m

), sezonowa (

t

p )

oraz przypadkowa (

t



) są addytywne, możemy zapisać, że:

t

t

t

t

p

m

y









.

W takim przypadku, z dokładnością do błędu możemy zapisać, że:

t

t

t

p

y

m





;

t

t

t

m

y

p





.

Z powyższego zapisu wynika, że oszacowanie składowej systematycznej wymaga

odjęcia od zaobserwowanego poziomu zmiennej prognozowanej efektu sezonowego. Z
drugiej strony oszacowanie efektu sezonowego wyznaczane jest jako różnica pomiędzy
zaobserwowaną wartością zmiennej prognozowanej a oceną składnika systematycznego.
Wynika stąd brak możliwości jednoczesnego oszacowania składowej systematycznej i
sezonowej na okres t.

W związku z powyższym przyjmuje się następującą regułę postępowania:

r

t

t

t

p

y

m







;

t

t

t

m

y

p





,

gdzie: r oznacza liczbę okresów w roku, natomiast

r

t



analogiczny sezon roku

poprzedniego.

Zatem w pierwszej kolejności wyznaczane jest oszacowanie składnika

systematycznego, z wykorzystaniem oceny składnika periodycznego z adekwatnego sezonu
roku poprzedniego, w drugiej kolejności wyznacza się oszacowanie składowej sezonowej na
okres t , z wykorzystaniem oceny

t

m

z kroku poprzedniego.

Prognozowanie, Tadeusz W. Bołt

8

W szeregu czasowym (

t

y ), w którym składowe: systematyczna (

t

m

), sezonowa (

t

p )

oraz przypadkowa (

t



) są multiplikatywne, możemy zapisać, że:

t

t

t

t

p

m

y





.

W takim przypadku, z dokładnością do błędu możemy zapisać, że:

t

t

t

p

y

m



;

t

t

t

m

y

p



.

Podobnie jak poprzednio, biorąc pod uwagę brak możliwości jednoczesnego

oszacowania składowej systematycznej i sezonowej na okres, przyjmujemy następującą
regułę postępowania:

r

t

t

t

y

y

m





;

t

t

t

m

y

p



.