h=400

mm

d

1

=3

49m

m

b=400mm

Przekrój symetrycznie zbrojony

A

s1

=679mm

2

A

s2

=679mm

2

Beton C40/50

d

2

=51m

m

Nośność przekroju pala żelbetowego 400x400mm

wg PN-EN 1992 (EC2)

Beton C40/50, stal zbrojeniowa f

yk

=500MPa, 12#12mm

1000

2000

Czyste ściskanie bez wyboczenia

(4476kN, 0kNm)

Ściskanie mimośrodowe

x=x

bal

(1673kN, 278kNm)

Ściskanie mimośrodowe

x=d

2

(101kN, 115kNm)

Ściskanie mimośrodowe

x=2.63d

2

(1046kN, 241kNm)

Ściskanie mimośrodowe

x=d

1

(3007kN, 208kNm)

Ściskanie mimośrodowe

x=h (3464kN, 159kNm)

Ściskanie mimośrodowe

x>>h (3699kN, 124kNm)

Czyste rozciąganie (nośność zbrojenia)

(-590kN, 0kNm)

0

-1000

3000

4000

5000

1673

50

100

150

200

250

300

Si

ła osiowa N [kN]

M

ode

l z

n

is

zc

ze

ni

a:

u

pla

stycz

n

ien

ie sta

li zbroj

eni

ow

ej

M

ode

l zn

is

zc

ze

ni

a:

zm

ia

żd

żenie betonu

Moment zginający M [kNm]

Czyste zginanie (0kN, 98kNm)

Parametry przekroju

Przekrój żelbetowy prostokątny wg PN-EN 1992-2 (EC2)

(Opracowanie: dr inż. Dariusz Sobala, v. 20110402)

Ogólne parametry modelu/przekroju:

Wytrzymałośç charaklterystyczna betonu na ściskanie

fck 40 MPa

⋅

:=

Moduł sprężystości betonu wyznaczony zgodnie z EC2 na podstawie f

ck

:

Ecm 22 0.1

fck

MPa

8

+

⎛

⎜

⎜

⎝

⎞

⎟

⎟

⎠

⋅

⎡

⎢

⎢

⎣

⎤

⎥

⎥

⎦

0.3

⋅

GPa

⋅

35.22 GPa

⋅

=

:=

Współczynnik materiałowy dla betonu:

γc 1.4

:=

Współczynnik uwzgledniajacy różnicę wytrzymałości betonu
uzyskaną na próbkach i w konstrukcji:

αcc 0.85

:=

Współczynnik kształtu rozkładu naprężeń w strefie ściskanej
betonu:

η

1.0

:=

Współczynnik wysokości bloku zastępczego strefy ściskanej
betonu:

λ

0.8

:=

Maksymalne odkształcenie betonu na krawędzi sciskanej przy
zginaniu:

εcu3 0.0035

:=

Maksymalne odkształcenie betonu przy ściskaniu:

εc3 0.0020

:=

Wysokośç przekroju:

h

400 mm

⋅

:=

Szerokośç przekroku żelbetowego:

b

400 mm

⋅

:=

Wytrzymałośç charakterystyczna stali zbrojeniowej:

fyk 500 MPa

⋅

:=

Współczynnik materiałowy dla stali zbrojeniowej:

γs 1.15

:=

Moduł odkształcenia stali zbrojeniowej:

Es 200 GPa

⋅

:=

Minimalne wymagane odkształcenie stali
zbrojeniowej odpowiadające odkształceniu
uplastycznjającemu:

εslim

fyk

Es γs

⋅

0.00217

=

:=

Zbrojenie:

Dolne (1):

Górne (2):

Liczba prętów zbrojenia głównego:

ns1 6

:=

ns2 6

:=

Średnica prętów zbrojenia głównego:

ϕs1 12 mm

⋅

:=

ϕs2 12 mm

⋅

:=

Średnica strzemion:

ϕss1 5 mm

⋅

:=

ϕss2 5 mm

⋅

:=

Otulina zbrojenia:

os1 40 mm

⋅

:=

os2 40 mm

⋅

:=

Powierzchnia zbrojenia dolnego:

As1 ns1 π

⋅

ϕs1

2

4

⋅

679 mm

2

⋅

=

:=

Wysokośç czynna przekroju:

d1 h os1

−

ϕss1

−

1
2

ϕs1

⋅

−

349 mm

⋅

=

:=

Powierzchnia zbrojenia górnego:

As2 ns2 π

⋅

ϕs2

2

4

⋅

679 mm

2

⋅

=

:=

Odległośç osi zbrojenia górnego od
krawędzi ściskanej przekroju:

d2 os2 ϕss2

+

1
2

ϕs2

⋅

+

51 mm

⋅

=

:=

Odkształcenie stali zbrojeniowej:

εs1 x

( )

εcu3

x d1

−

x

⋅

:=

εs2 x

( )

εcu3

x d2

−

x

⋅

:=

Poziom wykorzystania nośności stali
zbrojeniowej:
- dolnej:

- górnej

ρ1 x

( )

if

εs1 x

( )

εslim

1

>

εs1 x

( )

εs1 x

( )

,

εs1 x

( )

εslim

,

⎛⎜

⎜

⎜

⎝

⎞⎟

⎟

⎟

⎠

:=

ρ2 x

( )

if

εs2 x

( )

εslim

1

>

εs2 x

( )

εs2 x

( )

,

εs2 x

( )

εslim

,

⎛⎜

⎜

⎜

⎝

⎞⎟

⎟

⎟

⎠

:=

Maksymalna siła przenoszona
przez zbrojenie:

Fs1 x

( )

ρ1 x

( ) As1

⋅

fyk

γs

⋅

:=

Fs2 x

( )

ρ2 x

( )

fyk

γs

⋅

As2

⋅

:=

Maksmalna wartośç x:

xmax

εcu3

εcu3 εslim

+

d1

⋅

215 mm

⋅

=

:=

Siła przenoszona przez beton:

Fc x

( )

αcc η

⋅

fck

⋅

γc

b

⋅

λ

⋅

h

x h

>

if

x otherwise

⋅

:=

Parametry przekroju

Przekrój pojedynczo zbrojony

Przekrój żelbetowy prostokątny pojedynczo zbrojony

Schemat przekroju zginanego pojedynczo zbrojonego z oznaczeniami

Sformyłowanie warunków brzegowych i rozwiązanie równania równowagi sił
w przekroju:
Wartosç początkowa wysokości strefy ściskanej betonu:

x

188 mm

⋅

:=

Given

Warunek równowagi sił poziomych:

Warunki dla położenia osi obojętnej:

Fs1 x

( ) Fc x

( )

+

0

=

x 0 mm

⋅

>

x xmax

≤

Warunek uplastycznienia zbrojenia:

εs1 x

( )

εslim

−

≤

Położenie osi obojętnej przekroju:

x

Find x

( )

:=

x 38 mm

⋅

=

UWAGA! Brak rozwiązania świadczy o zbyt dużej powierzchni zbrojenia (znaczna siła w
zbrojeniu, która nie może byç zrównoważona odpowiednią nosnością betonu) lub o zbyt
małej wysokości konstrukcyjnej elementu. Element może wymagaç podwójnego zbrojenia.

Siła przenoszona przez beton:

Fc x

( ) 295 kN

⋅

=

Siła przenoszona przez zbrojenie:

Fs1 x

( )

295

−

kN

⋅

=

Odkształecenie stali zbrojeniowej:

εs1 x

( )

0.029

−

=

εs1 x

( )

εslim

−

≤

1

=

Ramię działania sił poziomych w przekroju:

z1 d1

λ

x

⋅

2

−

334 mm

⋅

=

:=

Nośnośç przekroju zginanego pojedynczo zbrojonego:

Mmax Fc x

( ) z1

⋅

:=

Mmax 98 kN m

⋅

⋅

=

Przekrój pojedynczo zbrojony

Przekrój podwójnie zbrojony

Mimośrodowo ściskany

Przekrój żelbetowy mimośrodowo ściskany

zgodnie z PN-EN 1992-2 (EC2)

Dla x<h w przekroju występują włókna rozciągane . Odkształcenie graniczne betonu
występujące na krawędzi ściskanej odpowiada wartości ε

cu3

, czyli wartości 0.0035.

Dla x>h w przekroju nie występuje rozciąganie . Odkształcenie graniczne betonu występujące
w punkcie C odpowiada wartości ε

c3

, czyli wartości 0.0020.

Położenie punktu charakterystycznego przekroju:
Odkształcenia w tym punkcie nie mogą przekroczyç
wartości ε

c3

(czyli 0.002).

xc

1

εc3

εcu3

−

⎛⎜

⎜

⎜

⎝

⎞⎟

⎟

⎟

⎠

h

⋅

171 mm

⋅

=

:=

εs2 x

( )

0.0035

x d2

−

x

⋅

x h

≤

if

0.002

7 x d2

−

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅

7 x

⋅

3 h

⋅

−

(

)

⋅

x h

>

if

:=

εs1 x

( )

0.0035

−

d1 x

−

x

⋅

x h

≤

if

0.002

7 x d1

−

⎛

⎝

⎞

⎠

⋅

7 x

⋅

3 h

⋅

−

(

)

⋅

x h

>

if

:=

Rozpatrywane modele zniszczenia:
Model 1. W modelu zakłada się , że ε

s1

>ε

slim

. Model związny jest z dużym mimośrodem

działania siły, małymi wysokościami strefy ściskanej oraz zniszczeniem przez
uplastycznienie stali , a następnie skruszeniem betonu. Nośnośç w tym zakresie zmienia się

od nośności przekroju przy czystym zginaniu do nosności przekroju wyznaczonej dla
Modelu 2.

Model 2. W modelu zakłada się , że w stali zbrojeniowej górnej (zlokalizowanej bliżej strefy
ściskanej) odkształcenia są równe "zero".
Położenie osi obojętnej przekroju:

x

d2 0 m

=

:=

W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:

Fc x

( ) 396 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:

εs2 x

( ) 0

=

ρ2 x

( ) 0 %

⋅

=

Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:

Fs2 x

( ) 0 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
lub rozciąganej:

εs1 x

( )

0.020451

−

=

ρ1 x

( )

100

−

%

⋅

=

Siła stali przy krawędzi mniej ściskanej:

Fs1 x

( )

ρ1 x

( ) As1

⋅

fyk

γs

⋅

:=

Fs1 x

( )

295

−

kN

⋅

=

Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:

Nmax Fc x

( ) Fs2 x

( )

+

Fs1 x

( )

+

101 kN

⋅

=

:=

Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:

Mmax Fc x

( )

h

2

λ

x

⋅

2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

Fs2 x

( )

h

2

d2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

Fs1 x

( )

h

2

d1

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

115 kN m

⋅

⋅

=

:=

Model 3. Zniszczenie przy ściskaniu. Pierwszy z punktów charakterystycznych to punkt
przegięcia krzywej interakcyjnej.

Położenie osi obojętnej przekroju: x

εcu3 d2

⋅

εcu3 εslim

−

135 mm

⋅

=

:=

W tym przypadku:

Siła ściskająca w betonie:

Fc x

( ) 1046 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej
ściskanej:

εs2 x

( ) 0.002174

=

ρ2 x

( ) 100 %

⋅

=

Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:

Fs2 x

( ) 295 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi mniej
ściskanej lub rozciąganej:

εs1 x

( )

0.005575

−

=

ρ1 x

( )

100

−

%

⋅

=

Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:

Fs1 x

( )

ρ1 x

( ) As1

⋅

fyk

γs

⋅

:=

Fs1 x

( )

295

−

kN

⋅

=

Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:

Nmax Fc x

( ) Fs2 x

( )

+

Fs1 x

( )

+

1046 kN

⋅

=

:=

Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:

Mmax Fc x

( )

h

2

λ

x

⋅

2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

Fs2 x

( )

h

2

d2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

Fs1 x

( )

h

2

d1

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

241 kN m

⋅

⋅

=

:=

Model 4. W modelu zakłada się , że w stali rozciaganej występują odkształcenia równe
uplastyczniającym przy jednoczesnym osiągnięciu granicznych odkształceń na krawędzi
ściskanej.

Położenie osi obojętnej przekroju:

x

xmax 215 mm

⋅

=

:=

W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:

Fc x

( ) 1673 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:

εs2 x

( ) 0.002671

=

ρ2 x

( ) 100 %

⋅

=

Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:

Fs2 x

( ) 295 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
lub rozciąganej:

εs1 x

( )

0.002174

−

=

ρ1 x

( )

100

−

%

⋅

=

Siła stali przy krawędzi mniej ściskanej:

Fs1 x

( )

ρ1 x

( ) As1

⋅

fyk

γs

⋅

:=

Fs1 x

( )

295

−

kN

⋅

=

Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:

Nmax Fc x

( ) Fs2 x

( )

+

Fs1 x

( )

+

1673 kN

⋅

=

:=

Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:

Mmax Fc x

( )

h

2

λ

x

⋅

2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

Fs2 x

( )

h

2

d2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

Fs1 x

( )

h

2

d1

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

278 kN m

⋅

⋅

=

:=

Model 5. Zniszczenie przy ściskaniu. Odkształcenia w zbrojeniu dolnym są "zerowe".

Położenie osi bezwładności przekroju:

x

d1

:=

W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:

Fc x

( ) 2712 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej: εs2 x() 0.002989

=

ρ2 x

( ) 100 %

⋅

=

Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:

Fs2 x

( ) 295 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
lub rozciąganej:

εs1 x

( ) 0

=

ρ1 x

( ) 0 %

⋅

=

Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:

Fs1 x

( )

ρ1 x

( ) As1

⋅

fyk

γs

⋅

:=

Fs1 x

( ) 0 kN

⋅

=

Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:

Nmax Fc x

( ) Fs2 x

( )

+

Fs1 x

( )

+

3007 kN

⋅

=

:=

Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:

Mmax Fc x

( )

h

2

λ

x

⋅

2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

Fs2 x

( )

h

2

d2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

Fs1 x

( )

h

2

d1

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

208 kN m

⋅

⋅

=

:=

Model 6. Zniszczenie przy ściskaniu. Oś obojętna na krawędzi dolnej przekroju:

Położenie osi bezwładności przekroju:

x

h

:=

W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:

Fc x

( ) 3109 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej: εs2 x() 0.003054

=

ρ2 x

( ) 100 %

⋅

=

Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:

Fs2 x

( ) 295 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
lub rozciąganej:

εs1 x

( ) 0.000446

=

ρ1 x

( ) 20.527 %

⋅

=

Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:

Fs1 x

( )

ρ1 x

( ) As1

⋅

fyk

γs

⋅

:=

Fs1 x

( ) 61 kN

⋅

=

Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:

Nmax Fc x

( ) Fs2 x

( )

+

Fs1 x

( )

+

3464 kN

⋅

=

:=

Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:

Mmax Fc x

( )

h

2

λ

x

⋅

2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

Fs2 x

( )

h

2

d2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

Fs1 x

( )

h

2

d1

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

159 kN m

⋅

⋅

=

:=

Model 7. Zniszczenie przy bardzo dużym mimośrodziedziałania siły.

Położenie osi obojętnej przekroju:

x

100 h

⋅

40 m

=

:=

W tym przypadku:
Siła ściskająca w betonie:

Fc x

( ) 3109 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi bardziej ściskanej:

εs2 x

( ) 0.002006

=

ρ2 x

( ) 100 %

⋅

=

Siła stali przy krawędzi bardziej ściskanej:

Fs2 x

( ) 295 kN

⋅

=

Odkształcenie stali przy krawędzi mniej ściskanej
lub rozciąganej:

εs1 x

( ) 0.001991

=

ρ1 x

( ) 100 %

⋅

=

Siła w stali przy krawędzi mniej ściskanej:

Fs1 x

( )

ρ1 x

( ) As1

⋅

fyk

γs

⋅

:=

Fs1 x

( ) 295 kN

⋅

=

Maksymalna siła osiowa jaką można przyłożyç do przekroju:

Nmax Fc x

( ) Fs2 x

( )

+

Fs1 x

( )

+

3699 kN

⋅

=

:=

Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:

Maksymalny moment zginający jaki można przyłożyç do przekroju:

Mmax Fc x

( )

h

2

λ

h

x h

>

if

x otherwise

⋅

2

−

⎛⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎞⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⋅

Fs2 x

( )

h

2

d2

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

Fs1 x

( )

h

2

d1

−

⎛⎜

⎜⎝

⎞⎟

⎟⎠

⋅

+

124 kN m

⋅

⋅

=

:=

Mimośrodowo ściskany

Osiowo ściskany

Przekrój żelbetowy ściskany zgodnie z PN-EN 1992-2 (EC2)

Współczynnik wysokości bloku zastępczego strefy ściskanej betonu:

λ

1.0

:=

Nośnośç przekroju przy czystym ściskaniu bez wyboczenia:

Nmax

αcc η

⋅

fck

⋅

γc

λ

⋅

b

⋅

h

⋅

fyk

γs

As1 As2

+

⎛

⎝

⎞

⎠

+

4476 kN

⋅

=

:=

Osiowo ściskany

Osiowo rozciągany

Przekrój żelbetowy rozciągany zgodnie z PN-EN 1992-2 (EC2)

Nośnośç elementu żelbetowego na rozciąganie wynika wprost z nośnośći zbrojenia.

Nmin

fyk

γs

As1 As2

+

⎛

⎝

⎞

⎠

590 kN

⋅

=

:=

Osiowo rozciągany