UKŁADY NIELINIOWE
Układami nieliniowymi nazywamy układy opisane równaniami różniczkowymi, różnicowymi lub
algebraicznymi. Układy nieliniowe można również określić jako takie układy, dla których nie
obowiązuje zasada superpozycji. Układ spełnia zasadę superpozycji, jeżeli przy zerowych
warunkach początkowych odpowiedź tego układu na wymuszenie, będące kombinacją liniową
wymuszeń, jest równa kombinacji liniowej na każde z wymuszeń oddzielnie.
Wszystkie układy rzeczywiste są układami nieliniowymi. Traktowanie niektórych układów jako
układy liniowe jest zawsze wynikiem idealizacji procesów zachodzących w tych układach. Jako
liniowe można traktować takie układy, dla których z dostateczną dokładnością obowiązuje
zasada superpozycji.
Układ zawierający przynajmniej jeden człon nieliniowy, jest układem nieliniowym.
W przypadku ogólnym odpowiedź y członu nieliniowego jest związana z wymuszeniem u(t) tego
członu (obiektu, procesu) opisanego równaniem różniczkowym nieliniowym n-tego rzędu o
postaci
0
)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(
2
)
1
(
2
)
1
(
=
−
−
t
u
u
u
u
y
y
y
y
F
m
m
n
n
K
K
W szczególnym przypadku opis matematyczny członu nieliniowego może mieć postać równania
algebraicznego
- jest funkcją nieliniową argumentów – człon statyczny.
0
)
,
,
(
=
t
u
y
F
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
X Axis
Y A
xi
s
X Y P lot
0
5
10
15
20
-1
-0.5
0
0.5
1
Time (s e cond)
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
≤
=
k
B
u
u
B
k
B
u
ku
y
sign
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
X Axis
Y A
xi
s
X Y P lot
0
5
10
15
20
-1
-0.5
0
0.5
1
Time (se cond)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
≤
+
≥
−
≤
=
a
u
a
u
k
a
u
a
u
k
a
u
ku
y
)
(
)
(
Nasycenie
Strefa martwa, nieczułość
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
X Axis
Y A
xi
s
X Y P lot
0
5
10
-1
-0.5
0
0.5
1
Time (s e cond)
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
X Axis
Y A
xi
s
X Y P lot
0
5
10
-1
-0.5
0
0.5
1
Time (s e cond)
Przekaźnik dwupołożeniowy
Luz
Wiele układów regulacji automatycznej zawiera nieliniowości istotne z punktu widzenia
działania URA. Nieliniowości tych w procesie analizy URA nie można pominąć metodą
linearyzacji drogą rozkładu w szereg Taylora i pominięcia składników nieliniowych tego szeregu,
ponieważ sygnały istniejące w URA mogą zmieniać się w szerokich granicach.
Takie układy nieliniowe można badać dokładniejszymi metodami stosowanymi w
przypadku układów nieliniowych:
-
y
o
(t)
y(t)
G(s)
u(t)
e(t)
NLN
1. metodą funkcji opisującej,
2. metodą płaszczyzny fazowej
3. metodą modelowania analogowego,
4. metodą modelowania cyfrowego.
Pośród cech zachowania się układów nieliniowych, które nie dają się wyjaśnić za pomocą teorii
liniowej, chyba najważniejsze są drgania samowzbudne zwane cyklem granicznym. Cykl
graniczny jest to drganie własne układu nieliniowego przy stałej amplitudzie i stałym okresie.
Przyjmując, że jedynym istotnym sygnałem wyjściowym członu nieliniowego jest składowa
sinusoidalna o częstotliwości wejściowej, upraszczamy badania drgań tego typu. Metoda funkcji
opisującej jest właśnie oparta na tym założeniu i wykorzystuje ona metody częstotliwościowe.
Metoda funkcji opisującej
.
Rozważmy relację nieliniową między wejściem a wyjście,
zależną od amplitudy, lecz niezależną od częstotliwości
)
(e
f
u
=
Dla wejścia sinusoidalnego o amplitudzie A i częstotliwości
ω
t
A
e
ω
sin
=
odpowiedź
)
sin
(
~
t
A
f
u
ω
=
ma zniekształcenia nieliniowe, lecz jej okresowość jest taka
sama, jak sygnału wejściowego dla większości spotykanych w praktyce elementów nieliniowych.
Wyjście okresowe można wyrazić za pomocą szeregu Fouriera
t
n
h
n
f
c
u
n
n
n
ω
θ
θ
θ
θ
=
∑
+
+
=
=1
)
cos
sin
(
)
(
~
przy czym współczynniki Fouriera dla składowych podstawowych są równe
∫
=
∫
=
π
π
θ
θ
θ
π
θ
θ
θ
π
2
0
1
2
0
1
cos
)
(
~
1
;
sin
)
(
~
1
d
n
u
h
d
n
u
f
a składowa stała jest równa
∫
=
π
θ
θ
π
2
0
)
(
~
2
1
d
u
c
Jeżeli charakterystyka statyczna elementu nieliniowego jest symetryczna względem układu
współrzędnych, to współczynnik c = 0, jeżeli zaś nie posiada strefy niejednoznaczności to h
1
= 0.
Funkcja opisująca elementu nieliniowego jest zdefiniowana następująco
A
jh
f
A
J
1
1
)
(
+
=
∫
=
−
π
θ
θ
θ
π
2
0
)
(
~
1
)
(
d
e
u
A
A
J
j
i wyraża stosunek wyjścia do wejścia elementu nieliniowego w dziedzinie częstotliwości.
lub
ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNYCH UKŁADÓW NIELINIOWYCH PRZY
POMOCY FUNKCJI OPISUJĄCEJ
Funkcję opisującą wykorzystuje się do przybliżonej analizy układu nieliniowego, przy
wykorzystaniu kryterium analogicznego do kryterium Nyquista.
Rozpatruje się wyrażenie
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
A
J
j
G
j
G
A
J
−
=
→
−
=
ω
ω
a ściślej, wzajemne położenie
)
(
1
i
)
(
A
J
j
G
−
ω
Wyrażenie
)
(
1
A
J
−
1. leży na zewnątrz charakterystyki G(j
ω
)
– URA jest
stabilny
,
dla dowolnych wartości A i
ω
.
2. leży wewnątrz charakterystyki G(j
ω
)
– URA jest
niestabilny
,
3. posiada punkt lub punkty wspólne z
charakterystyką częstotliwościową G(j
ω
)
- w nieliniowym URA wystąpią drgania
o częstotliwości i amplitudzie
określonych przez przecinające się
krzywe (obok – dwa cykle graniczne:
1. (A
1
,
ω
1
) - niestabilny,
2. (A
2
,
ω
2
) – stabilny.)
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
3
2
1
1
Q
l
ω
( )
P
l
ω
( )
∞
→
A
0
→
A
∞
=
A
0
=
A
(
)
1
1
,
ω
A
(
)
2
2
,
ω
A
wynika symetria odpowiedzi, która w
przedziale od 0 do
π
ma postać
)
sin(
(
)
sin
(
π
θ
θ
+
=
A
f
A
f
Z symetrii charakterystyki przekaźnika
Przekaźnik
0
2
4
6
8
t {s}
e(t)
u(t)
-20
-10
0
10
20
1
α
2
α
π
α
+
2
π
α
+
1
B
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
<
<
<
<
=
π
θ
α
α
θ
α
α
θ
2
2
1
1
0
0
0
~
dla
dla
B
dla
u
Funkcja opisująca przyjmie postać
(
)
(
)
(
)
[
]
2
1
2
1
0
2
0
sin
sin
cos
cos
2
2
2
d
2
d
)
(
~
2
d
)
(
~
)
(
2
1
2
1
2
1
α
α
α
α
π
π
π
θ
π
θ
θ
π
θ
θ
π
α
α
α
α
α
α
θ
θ
π
θ
π
θ
−
−
−
=
−
=
∫
−
=
=
∫
=
∫
=
−
−
−
−
−
−
j
A
B
e
e
A
B
e
A
B
Be
A
j
e
u
A
j
e
u
A
j
A
J
j
j
j
j
j
j
Przy czym:
A
a
A
a
1
2
2
1
arcsin
arcsin
=
=
α
α
e(t)
Przekaźnik trójpołożeniowy
-6
-4
-2
0
2
4
6
u(t)
-2
-1
0
1
2
10
Przekaźnik
0
2
4
6
8
t {s}
e(t)
u(t)
-20
-10
0
10
20
2h
a
2
-
a
2
-
a
1
a
1
B
-B
0
12
3
45
6
t {
s}
-10
-5
0
5
10
2
α
1
α
1
α
2
α
π
α
+
2
π
α
+
1
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
<
<
−
−
<
−
=
2
2
1
1
0
a
e
dla
B
a
e
a
dla
a
e
dla
B
u
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
>
−
<
<
−
>
=
2
1
2
1
0
a
e
dla
B
a
e
a
dla
a
e
dla
B
u
rosnącego
e
e
czyli
0
dla
>
&
malejącego
e
e
czyli
0
dla
<
&
10
.
B
A
Ponieważ
2
1
1
2
sin
sin
α
α
A
a
A
a
=
=
Zatem
A
a
A
a
1
2
2
1
sin
sin
=
=
α
α
2
1
2
2
2
1
1
cos
1
cos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
A
a
A
a
α
α
Stąd otrzymuje się postać ostateczną funkcji opisującej przekaźnik
2
2
1
2
1
2
2
dla
1
1
2
)
(
a
A
A
a
a
j
A
a
A
a
A
B
A
J
>
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
π
Nietrudno zauważyć, że gdy a
2
= -a
1
= a to z
powyższej zależności otrzymuje się funkcję opisującą
przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą przy A > a
A
a
e
A
B
A
J
j
arcsin
gdzie
4
)
(
)
(
=
=
−
α
π
α
Natomiast gdy a
2
= a
1
= a, to otrzymuje się funkcję
opisującą przekaźnik trójpołożeniowy bez histerezy
2
2
2
1
4
)
(
a
A
A
B
A
f
A
J
−
=
=
π
Jeżeli przyjmie się a = 0, to otrzyma się funkcję
opisującą przekaźnik dwupołożeniowy
A
B
A
J
π
4
)
(
=
W tym przypadku linearyzacja harmoniczna sprowadza się do zastąpienia charakterystyki u =f(e)
prostą przechodzącą przez początek współrzędnych
e
A
B
u
π
4
=
Przykład
Zbadać stabilność układu regulacji automatycznej składającego się z: przekaźnika
dwupołożeniowego z histerezą o parametrach B=1, a =0.04 oraz obiektu liniowego opisanego
transmitancją operatorową:
G s
( )
e
4
− s
⋅
10 s
⋅
1
+
:=
Charakterystyka amplitudowo-fazowa liniowej części liniowej układu
P
ω
( )
Re G j
ω
⋅
( )
(
)
:=
P
ω
( )
complex
simplify
cos 4
ω
⋅
( )
−
10 sin 4
ω
⋅
( )
ω
⋅
⋅
+
(
)
−
1
100
ω
2
⋅
+
→
Q
ω
( )
Im G j
ω
⋅
( )
(
)
:=
Q
ω
( )
complex
simplify
sin 4
ω
⋅
( )
10 cos 4
ω
⋅
( )
ω
⋅
⋅
+
(
)
−
1
100
ω
2
⋅
+
→
Funkcja opisująca dla elementu nieliniowego
jakim jest przekaźnik ma postać:
J A
( )
4 B
⋅
π A
2
⋅
A
2
a
2
+
j a
⋅
+
(
)
⋅
:=
Wykres krytyczny ma postać
1
−
J A
( )
P A
( )
1j Q A
( )
⋅
+
gdzie:
P A
( )
π
−
4
A
2
a
2
−
B
⋅
:=
Q A
( )
π
4
−
a
B
⋅
:=
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
Q
ω
( )
Qp A
( )
Qp 0.295
(
)
Qp 0.4
(
)
Qp 0.2
(
)
P
ω
( )
Pp A
( )
,
Pp 0.295
(
)
,
Pp 0.4
(
)
,
Pp 0.2
(
)
,
UKŁADY REGULACJI DWUPOŁOŻENIOWEJ
Układem regulacji dwupołożeniowej będziemy nazywać układ, w którym wielkość wyjściowa
regulatora może przyjmować tylko dwie stabilne wartości sygnału. Cechą charakterystyczną
układów z regulatorem dwupołożeniowym (przekaźnikowym) są przede wszystkim oscylacje w
stanie ustalonym, określane przez amplitudę, częstotliwość i wartość średnią tych oscylacji.
Parametry tych oscylacji świadczą o jakości regulacji i zależne są od własności dynamicznych
obiektu, od wartości sygnału włączonego przez przekaźnik oraz pętli histerezy przekaźnika.
Najlepsze rezultaty daje zastosowanie regulatorów dwupołożeniowych, w przypadku obiektów o
dużej inercji, dlatego najczęściej bywają stosowane przy regulacji procesów cieplnych, regulacji
poziomu cieczy w dużych rezerwuarach itp.
Przykład
Wyznaczyć przebieg ustalony dla układu z obiektem i regulatorem
dwupołożeniowym, jeżeli transmitancja obiektu ma postać
o
sT
e
Ts
k
s
G
−
+
=
1
)
(
-
y
o
(t)
y(t)
)
(s
G
u(t)
e(t)
natomiast charakterystyka statyczna
przekaźnika jest symetryczna w strefie
histerezy.
5
3
1
1
3
5
1
1
2
3
4
5
6
B
u t
( )
h
−
h
e t
( )
0
50
100
150
200
250
300
t {s}
y(t
)
0
20
40
60
80
100
120
Wartość zadana
1
0
dla
<
≤
=
m
mkB
y
o
Przebiegi procesu regulacji dla nastaw wielkości zadanej
80
,
50
,
20
=
o
y
0
50
100
150
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
t {s}
h
y
o
+
h
y
o
−
o
y
o
T
1
t
2
t
osc
T
min
y
śr
y
max
y
a
t
Parametrami charakterystycznymi przebiegu czasowego wielkości regulowanej są:
t
1
,
t
2
,
T
osc
,
y
max
,
y
min
,
y
śr
oraz średni uchyb ustalony i niekiedy czas
t
a
.
1. Do wyznaczenia czasu
t
a
korzystamy z zależności
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+
−
−
T
T
t
u
o
o
a
e
y
h
y
1
Przyjmując
u
o
my
y
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+
−
−
T
T
t
u
u
o
a
e
y
h
my
1
stąd
(
)
h
m
y
y
T
T
t
u
u
o
a
−
−
+
=
1
ln
2. Po przekroczeniu wartości
y
o
+
h wielkość regulowana dalej wzrasta przez okres czasu T
o
osiągając
(
)
T
T
T
T
u
o
T
T
u
o
u
o
o
o
he
e
m
y
h
y
e
y
h
y
y
y
y
−
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
−
=
=
1
1
1
max
3. Przy zmniejszaniu się wartości
y, po przekroczeniu wartości y
o
-
h następuje dalsze
zmniejszanie się wielkości regulowanej przez okres
T
o
aż do osiągnięcia
(
)
(
)
T
T
u
T
T
o
o
o
e
h
my
e
h
y
y
y
−
−
−
=
−
=
=
min
4. Wartość średnia oscylacji ustalonych wyniesie
(
)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
=
+
=
−
T
T
u
śr
o
e
m
y
y
y
y
5
.
0
5
.
0
2
max
min
5. Średni uchyb regulacji wyniesie
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
=
−
T
T
u
o
śr
śr
o
e
m
y
y
y
e
1
5
.
0
6. Dokładność dynamiczna
T
T
T
T
u
o
o
he
e
y
y
y
y
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
Δ
2
1
min
max
7. Na podstawie zależności opisujących przebieg zmian wielkości regulowanej w przedziale od
y
min
do
y
max
wyznacza się czas narastania
t
1
:
(
)
(
)
T
T
u
u
T
T
u
o
o
e
y
y
y
y
e
y
y
y
−
−
−
−
=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
min
min
min
max
1
(
)
(
)
h
m
y
e
h
my
y
T
T
t
u
T
T
u
u
o
o
−
−
−
−
+
=
−
1
ln
1
8. Na podstawie zależności opisujących przebieg zmian wielkości regulowanej w przedziale od
y
max
do
y
min
wyznacza się czas opadania
t
2
:
(
)
[
]
h
m
y
e
h
y
m
y
T
T
t
u
T
T
u
u
o
o
−
−
−
−
+
=
−
1
ln
2
9. Czas oscylacji ustalonych
2
1
t
t
T
osc
+
=
Na podstawie uzyskanych zależności wynikają wnioski ogólne:
h
y
y
o
+
>
max
h
y
y
o
−
<
min
a) wartość
b) wartość
c) wartość średnia
y
śr
może być większa, równa lub mniejsza od wartości
y
o
,
zależnie od tego czy
m < 0.5, m = 0.5 lub m > 0.5,
d) średni uchyb regulacji
e
śr
= 0 tylko dla
m = 0.5; dla m < 0.5 e
śr
> 0 a dla
m > 0.5, e
śr
< 0; uchyb ten nie zależy od strefy niejednoznaczności
(histerezy) przekaźnika,
e) czas narastania
t
1
i czas opadania
t
2
są sobie równe tylko dla
m = 0.5
oraz
t
1
> 0 i
t
2
> 0 nawet przy
h = 0.
Jakość regulacji jest zależna głównie od własności dynamicznych obiektu. Strefa histerezy ma w
większości przypadków wpływ niewielki. Regulacja dwupołożeniowa zapewnia dobre wyniki dla
obiektów o małym stosunku opóźnienia do stałej czasowej. Jednak już od wartości T
o
/T = 0.2
jakość regulacji jest niewielka.
SPOSOBY KOREKCJI
Najprostszym sposobem poprawy jakości regulacji dwupołożeniowej jest , np.. podział mocy
grzejnej w taki sposób, że regulowana jest tylko część mocy przy pozostałej części włączonej na
stałe. Przy tego typu korekcji zmniejsza się jednak efektywność kompensacji zakłóceń. Wady tej
nie mają inne sposoby korekcji.
Korekcja szeregowa – regulator dwustawny PD
Korekcja szeregowa PD polega na włączeniu przed przekaźnikiem członu proporcjonalno-
różniczkującego o transmitancji
y
o
u
y
e
(
)
s
T
k
r
r
+
1
OBIEKT
-
(
)
s
T
k
s
G
r
r
r
+
=
1
)
(
przez co zyskuje się wzrost częstotliwości przełączeń, a zatem zmniejszenie amplitudy oscylacji
wielkości regulowanej - rozrzutu regulacji w stanie ustalonym. Można w ten sposób uzyskać
dwukrotny wzrost częstotliwości przełączeń.
y
o
u
y
e
-
OBIEKT
-
1
1
+
s
T
k
Korekcyjne sprzężenie zwrotne wokół przekaźnika
Przez korekcyjne sprzężenie zwrotne
wokół przekaźnika tworzy się w układzie
dodatkowy obwód drgający na wyższej
częstotliwości, linearyzujący własności
przekaźnika.
1
)
(
1
+
=
sT
k
s
G
k
Najczęściej w torze sprzężenia zwrotnego umieszczany
jest człon inercyjny pierwszego rzędu o transmitancji:
(
)
1
1
)
(
1
)
(
1
)
(
1
+
=
≅
+
=
sT
k
s
G
s
G
k
k
s
G
k
k
R
R
r
Biorąc pod uwagę fakt, że wzmocnienie samego przekaźnika
k
R
jest bardzo wielkie,
dynamikę regulatora można określić jako odwrotność transmitancji sprzężenia zwrotnego,
czyli:
Regulator ma własności regulatora PD, mając współczynnik wzmocnienia
k
p
=1/
k i czas
różniczkowania
T
D
=
T
1..
Warunek ten jest spełniony przy stosunkowo dużych wzmocnieniach
k
i małych stałych czasowych
T
1
.
Osłabienie sprzężenia przez zmniejszenie
k - czyli wzrost wzmocnienia k
p
regulatora PD –
może doprowadzić do niestabilności, co będzie się objawiać przez oscylacje wartości średniej
wielkości
y o ograniczonej amplitudzie.
y
o
u
y
e
-
OBIEKT
-
k
1
1
1
+
s
T
1
1
2
+
s
T
-
Regulator dwustawny PID
Regulator dwustawny PD nie likwiduje uchybu ustalonego, ale poprawia jakość regulacji.
Likwidację błędu w stanie ustalonym zapewnia natomiast astatyzm wnoszony przez dwustawny
regulator typu PID.
Transmitancja sprzężenia zwrotnego:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
1
1
1
1
)
(
2
1
sT
sT
k
s
G
k
Przy założeniu, że
T
2
>
T
1
,
transmitancja regulatora
)
(
1
)
(
s
G
s
G
k
r
≈
1
2
2
2
gdzie
,
1
1
)
(
lub
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
T
T
n
sT
sT
k
s
G
n
sT
n
n
sT
n
n
k
s
G
D
I
p
r
r
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
−
+
=
przyjmuje postaci:
R e g u la c ja d w u s ta w n a
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
t { s }
yo(
t)
u(
t)
y(
t)
yo
(t
)+
h
yo
(t
)-h
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
Dobór nastaw regulatora dwustawnego PID
Nastawy regulatora dwustawnego można dobrać sposobem będącym odpowiednikiem metody
Zieglera-Nicholsa dla regulatorów liniowych.
1.
Wyłączyć działanie korekcyjne (
k = 0), nastawić y
o
= 0,5
y
max
i zarejestrować przebieg
y(t).
Δ
y
T
osc
2.
Zmierzyć okres oscylacji
T
osc
oraz dokładność dynamiczną
Δ
y (rozrzut regulacji).
3.
Określić nastawy regulatora według zależności:
osc
D
osc
I
p
T
T
y
y
T
T
y
k
12
1
,
4
,
75
.
0
max
=
Δ
=
Δ
=
Na podstawie powyższych nastaw można wyznaczyć wzmocnienie i stałe czasowe
członów inercyjnych w pętli sprzężenia wokół przekaźnika:
(
)
1
,
1
,
1
1
1
2
1
+
=
+
=
−
+
=
n
T
T
n
T
T
n
n
k
k
D
I
p
R e g u la c ja d wu s ta n o wa
0
10
20
30
40
50
60
t {s}
yo(
t)
y(
t)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
R e g u la c ja d w u s ta n o w a
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
t { s }
yo
(t
)
y(
t)
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
1 . 2
R e g u la c ja d w u s ta n o w a
0
10
20
30
40
50
60
t { s }
yo(
t)
y(
t)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Document Outline