ALGEBRA Z GEOMETRI ¾
A ANALITYCZN ¾
A
Wszystkie warianty kursu
Zadania z listy oznaczone gwiazdk ¾
a ( ) s ¾
a nieco trudniejsze albo maj ¾
a charakter teoretyczny. Jednak
nie wychodz ¾
a one poza program kursu. Odpowiedzi do zada´n z listy mo·
zna zwery…kowa´c za pomoc ¾
a
programów komputerowych. Istnieje wiele programów do oblicze´n numerycznych i symbolicznych. Pro-
gramy te mo·
zna wykorzysta´c np. do rysowania wykresów funkcji, obliczania granic ci ¾
agów i funkcji, wyz-
naczania ca÷
ek i pochodnych, rozwi ¾
azywania równa´n algebraicznych i ró·
zniczkowych, bada´n statysty-
cznych. Polecamy stron ¾
e internetow ¾
a Wolfram Alpha oraz darmowe programy: Maxima, Microsoft
Mathematics
, Octave, R, Sage, Scilab, a tak·
ze programy p÷
atne: Derive, Mathematica, Matlab,
Maple
, Scienti…c WorkPalce.
Uzdolnionych studentów zach ¾
ecamy do udzia÷
u w egzaminach na ocen ¾
e celuj ¾
ac ¾
a z algebry i analizy.
Zadania z tych egzaminów mo·
zna znale´z´c na stronie internetowej
http://www.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujace.html
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista zada´n
Wyra·
zenia algebraiczne. Indukcja matematyczna
Studenci wydzia÷
ów W2 oraz W4 opracowuj ¾
a ten materia÷samodzielnie.
1. Poda´c przyk÷
ady liczb rzeczywistych x; y; u; v oraz liczb naturalnych n; m; dla których nie za-
chodz ¾
a
podane równo´sci:
a)
(x + y)
2
= x
2
+ y
2
;
b)
p
x + y =
p
x + py; c) sin (x + y) = sin x + sin y;
d)
tg 2x = 2 tg x;
e)
x
y
+
u
v
=
x+u
y+v
;
f )
(n + m)! = n! + m!:
2. Obliczy´c lub upro´sci´c wyra·
zenia:
a)
3
5
3
4
3
8
;
b)
12
5
4
4
3
6
; c)
(
a
2
b
3
)
4
(a
4
b
2
)
3
;
d)
x
2
y
4
z
3
x
3
y
5
z
3
; e)
r
y
3
q
x
2
5
p
x
15
y
17
; f )
0:001
3
10
24
100
7
:
3. Obliczy´c:
a)
q
7
1
9
;
b)
3
q
2
10
27
;
c)
4
q
5
1
16
:
4. Podane wyra·
zenia zapisa´c w postaci pot ¾
egi 2:
a)
4
2
8
3
;
b)
2
3
4
;
c)
4
5
p
8;
d)
p
2
3
p
2;
e)
4
p
2
16
; f )
3
q
32
p
2
:
5. Wy÷¾
aczy´c czynnik spod znaku pierwiastka:
a)
p
72;
b)
3
q
250
81
;
c)
4
p
162;
d)
p
3x
4
; e)
3
p
16a
9
; f )
4
q
4a
4
b
8
:
6. Wykona´c wskazane dzia÷
ania:
a) (u + v)
2
(u
v)
2
;
b)
x
2
+y
2
y
2x : (x
2
y
2
) ;
c)
h
a
3
b
3
a
2
b
2
(a + b)
i
a
b
+ 1 ;
d)
a c
a
2
+ac+c
2
a
3
b
3
a
2
b bc
2
:
1
7. Podane u÷
amki uwolni´c od niewymierno´sci w mianowniku:
a)
2
p
3
; b)
6
4
p
2
;
c)
11
5
p
3
;
d)
p
3
p
2
p
3+
p
2
;
e)
5
3
p
2+1
:
8. Wskaza´c wi ¾
eksz ¾
a z liczb w´sród podanych par:
a)
2
13
; 4
7
;
b)
p
12
p
11;
p
13
p
12;
c)
9
20
; 27
13
; d)
7
p
3;
8
p
3; e) 2
p
38;
p
37 +
p
39:
9. Upro´sci´c wyra·
zenia:
a)
x
3
8
x
2
4
;
b)
a
3
+27b
3
a
5
+243b
5
;
c)
x
4
+2x
2
y
2
+y
4
x
6
+y
6
;
d)
x
2
1
1
p
x
;
e)
(a b)
5
(b a)
3
:
10. *Uzasadni´c, ·
ze podane liczby s ¾
a niewymierne:
a)
p
5;
b)
p
3
p
2;
c)
log
2
3
d)
cos
12
:
11. Za pomoc ¾
a indukcji matematycznej uzasadni´c, ·
ze dla ka·
zdej liczby naturalnej n zachodz ¾
a to·
zsamo´sci:
a)
1 + 3 + : : : + (2n
1) = n
2
;
b)
1
1 2
+
1
2 3
+ : : : +
1
n(n+1)
=
n
n+1
;
c)
1 + 3 + : : : + 3
n 1
=
1
2
(3
n
1) ;
d)
1
3
+ 2
3
+ : : : + n
3
=
h
n(n+1)
2
i
2
:
12. Metod ¾
a indukcji matematycznej uzasadni´c nierówno´sci:
a)
2
n
> n
2
dla n
> 5;
b)
1
1
2
+
1
2
2
+ : : : +
1
n
2
6 2
1
n
dla n 2 N;
c)
n! > 2
n
dla n
> 4;
d)
(1 + x)
n
> 1 + nx dla x > 1 oraz n 2 N (nierówno´s´c Bernoulliego);
e)
n! <
n
2
n
dla n
> 6:
13. Pokaza´c, ·
ze dla ka·
zdej liczby naturalnej n liczba:
a)
n
5
n
jest podzielna przez 5;
b)
8
n
+ 6
jest podzielna przez 7:
14. *Uzasadni´c, ·
ze n prostych mo·
ze podzieli´c p÷
aszczyzn ¾
e na maksymalnie
n(n+1)
2
+ 1
obszarów. Na
ile obszarów p÷
aszczyzn ¾
e mo·
zna podzieli´c n okr ¾
egami?
15. Zastosowa´c wzór dwumianowy Newtona do wyra·
ze´n:
a)
(2x + y)
4
;
b)
c
p
2
7
;
c)
x +
1
x
3
5
;
d)
(
p
u +
4
p
v)
8
:
16. *Korzystaj ¾
ac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczy´c sumy:
a)
n
P
k=0
n
k
;
b)
n
P
k=0
n
k
2
k
;
c)
n
P
k=0
n
k
( 1)
k
:
17. a) W rozwini ¾
eciu dwumianowym wyra·
zenia a
3
+
1
a
2
15
znale´z´c wspó÷
czynnik stoj ¾
acy przy a
5
;
b)
W rozwini ¾
eciu dwumianowym wyra·
zenia
4
p
x
5
3
x
3
7
znale´z´c wspó÷
czynnik stoj ¾
acy przy
4
p
x:
Geometria analityczna na p÷
aszczy´znie
Studenci wydzia÷
ów W2 oraz W4 opracowuj ¾
a ten materia÷samodzielnie.
2
18. Niech ~
a
= ( 2; 4) ; ~
b
= (1; 4) :
Wyznaczy´c wektor ~
u
=
3
2
~
a
2~
b
:
19. Trójk ¾
at jest rozpi ¾
ety na wektorach ~
a
;~
b
:
Wyrazi´c ´srodkowe tego trójk ¾
ata przez wektory ~
a
; ~
b
:
20. Niech ~
r
A
; ~
r
B
b ¾
ed ¾
a wektorami wodz ¾
acymi odpowiednio punktów A; B oraz niech punkt P dzieli
odcinek AB w stosunku 2 : 3: Znale´z´c wektor wodz ¾
acy punktu P:
21. *Za pomoc ¾
a rachunku wektorowego pokaza´c, ·
ze ´srodki boków dowolnego czworok ¾
ata s ¾
a wierz-
cho÷
kami równoleg÷
oboku.
22. Wyznaczy´c cosinus k ¾
ata, jaki tworz ¾
a wektory:
a)
~
u
= (1;
2) ; ~
v
= (3; 5) ;
b)
~
u
= (1; 1) ; ~
v
= ( 1;
7) :
23. Równoleg÷
obok jest rozpi ¾
ety na wektorach ~
a
= ( 3; 4) ;~
b
= (1; 2)
. Wyznaczy´c k ¾
at ostry mi ¾
edzy
przek ¾
atnymi równoleg÷
oboku.
24. D÷
ugo´sci wektorów ~
a
;~
b
wynosz ¾
a odpowiednio 3; 5: Znamy iloczyn skalarny ~
a ~
b
=
2:
Obliczy´c
~
a
~
b
2~
a
+ 3~
b
:
25. Pokaza´c, ·
ze czworok ¾
at o wierzcho÷
kach A = (0; 0) ; B = (5; 2) ; C = (3; 7) ; D = ( 2; 5) jest
kwadratem.
26. Wyznaczy´c równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = ( 1; 3) i tworzy k ¾
at 120
o
z
dodatni ¾
a cz ¾
e´sci ¾
a osi Ox:
27. Napisa´c równanie prostej przechodz ¾
acej przez punkty P
1
= (2; 3) ; P
2
= ( 3; 7) :
28. Znale´z´c przeci ¾
ecia prostej
l :
x = 4
2t;
y =
6 + t;
gdzie t 2 R;
z osiami uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych. Czy punkt P = (4; 7) nale·
zy do prostej?
29. Znale´z´c punkt wspólny prostych:
k :
x = 1
t;
y = 3 + t;
gdzie t 2 R; l :
x = 2t;
y = 3
t;
gdzie t 2 R;
30. Znale´z´c równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = ( 1; 2) i jest
a)
równoleg÷
a do prostej 3x
y + 2 = 0;
b)
prostopad÷
a do prostej x + y = 0:
31. Dla jakiej warto´sci parametru m; odleg÷
o´s´c punktów P = (1; 0) i Q = (m + 3;
2)
jest równa 4?
32. Wyznaczy´c odleg÷
o´s´c punktu P
0
= ( 4; 1)
od prostej l o równaniu 3x + 4y + 12 = 0:
33. Znale´z´c odleg÷
o´s´c prostych równoleg÷
ych l
1
; l
2
o równaniach odpowiednio x
2y = 0;
3x + 6y
15 = 0:
34. Obliczy´c wysoko´s´c trójk ¾
ata o wierzcho÷
kach A = (0; 0) ; B = ( 1; 3) ; C = (2; 5) opuszczon ¾
a z
wierzcho÷
ka C:
35. *Znale´z´c równania dwusiecznych k ¾
atów wyznaczonych przez proste o równaniach 3x + 4y
2 =
0; 4x
3y + 5 = 0:
Krzywe sto·
zkowe
Studenci wydzia÷
ów W2 oraz W4 opracowuj ¾
a ten materia÷samodzielnie.
3
36. Napisa´c równanie okr ¾
egu, którego ´srednic ¾
a jest odcinek o ko´ncach A = ( 1; 3), B = (5; 7) :
37. Wyznaczy´c wspó÷
rz ¾
edne ´srodka i promie´n okr ¾
egu x
2
4x + y
2
+ 6y + 2 = 0:
38. Znale´z´c równanie okr ¾
egu opisanego na trójk ¾
acie ABC o wierzcho÷
kach A = (0; 0), B = (8; 0),
C = (0; 6)
.
39. Znale´z´c równanie okr ¾
egu, który przechodzi przez punkty P = (3; 4), Q = (5; 2) i ma ´srodek na osi
Ox
.
40. Wyznaczy´c równanie okr ¾
egu, który jest styczny do obu osi uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych oraz przechodzi
przez punkt A = (5; 8): Ile rozwi ¾
aza´n ma zadanie?
41. Znale´z´c równanie stycznej okr ¾
egu x
2
+ y
2
= 25
:
a)
w punkcie ( 3; 4);
b)
przechodz ¾
acej przez punkt ( 5; 10);
c)
równoleg÷
ej do prostej x
y
4 = 0;
d)
prostopad÷
ej do prostej x + 2y = 0:
42. Wyznaczy´c osie, wspó÷
rz ¾
edne ognisk oraz mimo´sród elipsy
x
2
16
+
y
2
9
= 1:
43. Punkty F
1
= ( 5; 0) ; F
2
= (5; 0)
s ¾
a ogniskami elipsy. Znale´z´c równanie tej elipsy, je·
zeli widomo,
·
ze jednym z jej wierzcho÷
ków jest punkt W = (0;
3)
44. Naszkicowa´c elips ¾
e o równaniu 4x
2
8x + 9y
2
+ 36y + 4 = 0:
45. Wyznaczy´c osie, wspó÷
rz ¾
edne ognisk oraz równania asymptot hiperboli
x
2
144
y
2
25
= 1:
46. Narysowa´c hiperbol ¾
e wraz z asymptotami:
a)
(y + 5)
2
16
(x
2)
2
9
= 1;
b)
4x
2
25y
2
+ 8x = 0:
47. Wyznaczy´c wspó÷
rz ¾
edne ogniska, wierzcho÷
ka oraz poda´c równanie kierownicy paraboli o równa-
niu: a) y
2
= 12x;
b)
y = x
2
+ 6x:
48. Napisa´c równanie paraboli, której:
a)
kierownic ¾
a jest prosta y =
2;
a punkt W = ( 1; 6) - wierzcho÷
kiem;
b)
kierownic ¾
a jest prosta x = 1; a punkt W = (5; 1) - wierzcho÷
kiem.
49. *Jakie krzywe przedstawiaj ¾
a równania:
a)
x
2
y
2
+ 4 = 0; b) (x
y)
2
= 1; c) x
2
+ y
2
= 2xy?
Macierze
4
50. Dla podanych par macierzy A; B wykona´c (je´sli to jest mo·
zliwe) wskazane dzia÷
ania 3A
1
2
B; A
T
;
AB; BA; A
2
:
a)
A =
1
4
2 0
; B =
0
6
8
2
;
b)
A = 1
3 2 ; B = 2
4 0 ;
c)
A =
2
6
6
4
1
0
3
0
3
7
7
5 ; B =
2 1 0 5 ;
d)
A =
2
4
1
0
1
2
1
4
3 0
2
3
5 ; B =
2
4
2 0
4
1
0
3
3
5 :
51. Rozwi ¾
aza´c równanie macierzowe
3
0
@
2
4
1
0
3 3
2
5
3
5 X
1
A = X+
2
4
4
3
0
6
1 2
3
5 :
52. Znale´z´c niewiadome x; y; z spe÷
niaj ¾
ace równanie
2
x + 2 y + 3
3
0
=
3 6
y z
T
:
53. Poda´c przyk÷
ady macierzy kwadratowych A; B; które spe÷
niaj ¾
a podane warunki:
a)
AB
6= BA;
b)
AB = 0;
ale A 6= 0; B 6= 0;
c)
A
2
= 0;
ale A 6= 0:
54. *Uzasadni´c, ·
ze iloczyn:
a)
macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierz ¾
a diagonaln ¾
a;
b)
iloczyn macierzy trójk ¾
atnych dolnych tego samego stopnia jest macierz ¾
a trójk ¾
atn ¾
a doln ¾
a.
55. *Pokaza´c, ·
ze ka·
zd ¾
a macierz kwadratow ¾
a mo·
zna przedstawi´c jednoznacznie jako sum ¾
e macierzy
symetrycznej A
T
= A
i antysymetrycznej A
T
=
A
. Napisa´c to przedstawienie dla macierzy
B =
2
6
6
4
0
1
4
2
3 5
2
8
2
4
3
4
6
0
0
1
3
7
7
5 :
56. *Macierze kwadratowe A; B s ¾
a przemienne, tzn. spe÷
niaj ¾
a równo´s´c AB = BA: Pokaza´c, to·
zsamo´sci:
a)
(A
B) (A + B) = A
2
B
2
;
b) (BA)
2
= A
2
B
2
;
c) A
2
B
3
= B
3
A
2
:
57. Dla podanych macierzy A obliczy´c A
n
dla kilka pocz ¾
atkowych liczb naturalnych n; nast ¾
epnie
wysun ¾
a´c hipotez ¾
e o postaci tych pot ¾
eg i uzasadni´c j ¾
a za pomoc ¾
a indukcji matematycznej:
a)
A =
2
4
1
0
0
0
2 0
0
0
3
3
5 ; b) A =
2
4
2 0 2
0 2 0
2 0 2
3
5 ; c*) A =
2
4
1 1 0
0 1 1
0 0 1
3
5 :
58. *W zbiorze macierzy rzeczywistych znale´z´c wszystkie rozwi ¾
azania podanych równa´n:
a)
X
2
=
4 0
0 9
;
b)
X
2
=
0 0
0 0
c)
X
2
=
0 1
1 0
:
Wyznaczniki
5
59. Napisa´c rozwini ¾
ecia Laplace’a podanych wyznaczników wg wskazanych kolumn lub wierszy (nie
oblicza´c wyznaczników w otrzymanych rozwini ¾
eciach):
a)
1 4
3
3 1
0
2
5
2
;
trzecia kolumna;
b)
1
4
3
7
2 4
2
0
5
4
1
6
2
0
0
3
;
czwarty wiersz.
60. Obliczy´c podane wyznaczniki:
a)
2
5
3
7
;
b)
1
1
2
3
2
4
2
2
1
;
c)
2
0
0
0
3
3 5
7
4
0
1
4
5
0
2
2
:
61. Korzystaj ¾
ac z w÷
asno´sci wyznaczników uzasadni´c, ·
ze podane macierze s ¾
a osobliwe:
a)
2
4
2
4
4
1
2
2
3
5
6
3
5 ; b)
2
4
1 2 3
4 4 4
3 2 1
3
5 ;
c)
2
6
6
4
1 5 2
2
7 5 2
5
5 7 4
4
3 3 0
3
3
7
7
5 :
62. Jakie s ¾
a mo·
zliwe warto´sci wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spe÷
niaj ¾
acej podane
warunki:
a) A
3
= 4A
dla n = 3; 4;
b) A
T
=
A
2
dla n = 3; 4 ?
63. Obliczy´c wyznaczniki podanych macierzy:
a)
2
6
6
6
6
4
1 2 3 4 5
2 2
3 4 5
3 3 3 4 5
4 4 4 4
5
5 5 5 5 5
3
7
7
7
7
5
;
b)
2
6
6
6
6
4
2
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
2
3
7
7
7
7
5
;
c)
2
6
6
6
6
6
4
5 3
0 : : : 0
2 5 3
: : : 0
0 2 5 : : : 0
..
.
..
.
..
.
. .. 3
0 0 0 : : : 5
3
7
7
7
7
7
5
:
Macierz odwrotna i uk÷
ady równa´n liniowych
64. Korzystaj ¾
ac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczy´c macierze odwrotne do po-
danych:
a)
A =
2 5
3 8
;
b)
A =
2
4
1
0
0
3
1
0
2
5
1
3
5 ; c)
2
6
6
4
0 1 0 0
2 0 0 0
0 0 0 3
0 0 4 0
3
7
7
5 :
65. Korzystaj ¾
ac z metody do÷¾
aczonej macierzy jednostkowej znale´z´c macierze odwrotne do podanych:
a)
A =
1
2
3
1
;
b)
A =
2
4
1
4
12
0
2
0
0
2
6
3
5 ; c) A =
2
6
6
4
1
0
1 0
4
1
0
0
0
2
1
3
0
0
0
1
3
7
7
5 :
66. Znale´z´c rozwi ¾
azania podanych równa´n macierzowych:
a)
3 5
1 2
X =
0
3
1
4
2 0
;
b)
2
4
1 2
0
1 1
1
2 6
1
3
5 X =
2
4
3
1
4
3
5 ;
6
c)
X
2
4
2 0 3
1
1 1
3 0 4
3
5 =
2
4
0 0 1
0 1 2
1 2 3
3
5 ;
d)
2 1
3 2
X
3
2
5
3
=
2 8
0 5
:
67. Korzystaj ¾
ac ze wzorów Cramera wyznaczy´c wskazan ¾
a niewiadom ¾
a z podanych uk÷
adów równa´n
liniowych:
a)
2x
y
= 0
3x + 2y = 5
;
niewiadoma y;
b)
8
<
:
x
+ y + 2z =
1
2x
y + 2z =
4
4x + y + 4z =
2
;
niewiadoma x;
c)
8
>
>
<
>
>
:
2x + 3y + 11z + 5t =
2
x
+
y
+
5z
+ 2t =
1
2x +
y
+
3z
+ 2t =
3
x
+
y
+
3z
+ 4t =
3
;
niewiadoma z:
68. Metod ¾
a eliminacji Gaussa rozwi ¾
aza´c podane uk÷
ady równa´n:
a)
2x
y
= 0
3x + 2y = 5
;
b)
8
<
:
x
+ y + 2z =
1
2x
y + 2z =
4
4x + y + 4z =
2
;
c)
8
>
>
<
>
>
:
3x
2y
5z +
t
=
3
2x
3y +
z
+ 5t =
3
x
+ 2y
4t =
3
x
y
4z + 9t =
22
:
69. a) Znale´z´c równanie prostej, która przechodzi przez punkty (1; 4) ; (2; 3) :
b)
Znale´z´c trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty ( 1; 2) ; (0; 1) ; (2; 4) :
c)
Wyznaczy´c wspó÷
czynniki a; b; c funkcji y = a2
x
+b3
x
+c4
x
;
która w punktach
1; 0; 1
przyjmuje
odpowiednio warto´sci
3
4
; 1; 1:
d)
Funkcja y (x) = A cos 2x + B sin 2x spe÷
nia równanie ró·
zniczkowe y
00
6y
0
+ 13y = 25 sin 2x:
Wyznaczy´c wspó÷
czynniki A; B:
70. a) Dla jakich warto´sci parametru m; podany uk÷
ad jednorodny ma niezerowe rozwi ¾
azanie
8
<
:
mx + y +
2z
= 0
2x
y + mz = 0
mx + y +
4z
= 0
?
b)
Dla jakich warto´sci parametrów a; b; c; d; podany uk÷
ad równa´n liniowych jest sprzeczny
8
>
>
<
>
>
:
x + y
= a
z + t = b
x
+ z
= c
y
+ t = d
?
c)
Znale´z´c wszystkie warto´sci parametru p; dla których podany uk÷
ad równa´n liniowych ma tylko
jedno rozwi ¾
azanie
8
<
:
x
+ 2y
3z =
1
2x
py +
z
=
3
2x +
y
pz =
5
:
7
71. a*) Rozwi ¾
aza´c uk÷
ad równa´n
8
<
:
1
x
2
y
+
3
z
=
1
3
x
+
4
y
+
6
z
=
7
1
x
8
y
3
z
=
4
:
b*)
Znale´z´c dodatnie rozwi ¾
azania uk÷
adu równa´n
8
<
:
xy
2
z
3
= 2
x
2
y
3
z
4
= 4
x
2
yz
= 2
:
Geometria analityczna w R
3
72. a) Dla jakich warto´sci parametrów p; q wektory ~
a
= (1
p; 3;
1) ;
~
b
= ( 2; 4
q; 2)
s ¾
a
równoleg÷
e?
b) Dla jakich warto´sci parametru s wektory ~
p
= (s; 2; 1
s) ; ~
q
= (s; 1;
2)
s ¾
a prostopad÷
e?
73. Obliczy´c iloczyn skalarny i wektorowy wektorów ~
a
= (1;
2; 5) ; ~
b
= (2;
3;
1) :
74. Znale´z´c wersor, który jest prostopad÷
y do wektorów ~
u
= (1; 1; 0) ; ~
v
= (0; 1; 1) :
75. Wyznaczy´c cosinus k ¾
ata mi ¾
edzy wektorami ~
p
= (0; 3; 4) ; ~
q
= (2; 1;
2) :
76. a) Obliczy´c pole równoleg÷
oboku rozpi ¾
etego na wektorach ~
u
= ( 1; 2; 5) ; ~
v
= (0; 3; 2) :
b)
Obliczy´c pole trójk ¾
ata o wierzcho÷
kach A = (0; 0; 1) ; B = (3; 0; 0) ; C = (0;
5; 0) :
c)
Obliczy´c wysoko´s´c
77. a) Obliczy´c obj ¾
eto´s´c równoleg÷
o´scianu rozpi ¾
etego na wektorach: ~
a
= (1; 2; 3) ; ~
b
= (0; 4; 1) ; ~
c
=
( 1; 0; 2) :
b)
Obliczy´c obj ¾
eto´s´c czworo´scianu o wierzcho÷
kach: A = (1; 1; 1) ; B = (1; 2; 3) ; C = (0; 4; 1) ; D =
(2; 2; 2) :
78. Znale´z´c równania normalne i parametryczne p÷
aszczyzny przechodz ¾
acej przez punkty:
P = (1;
1; 0) ; Q = (2; 5; 7) ; R = (0; 0; 1) :
79. a) P÷
aszczyzn ¾
e
: x + 2y
z
3 = 0
zapisa´c w postaci parametrycznej.
b)
P÷
aszczyzn ¾
e
:
8
<
:
x =
1 + s + t;
y =
2
s
2t;
z =
3 + 3s
t
przekszta÷
ci´c do postaci normalnej.
80. Znale´z´c równanie parametryczne i kraw¾
edziowe prostej:
a)
przechodz ¾
acej przez punkty A = ( 3; 4; 1) ; B = (0; 2; 1) :
b)
przechodz ¾
acej przez punkt P = (3;
1; 2)
i przecinaj ¾
acej prostopadle o´s Oy:
81. a) Prost ¾
a l :
x + y
3
= 0
y + z
1 = 0
zapisa´c w postaci parametrycznej.
b) Prost ¾
a l : x = 3; y = 2
2t; z = t
zapisa´c w postaci kraw¾
edziowej.
82. Wyznaczy´c punkt przeci ¾
ecia:
a)
prostej l : x = t; y = 1
2t; z =
3 + 2t
oraz p÷
aszczyzny
: 3x
y
2z
5 = 0;
b)
p÷
aszczyzn
1
: x + 2y
z
5 = 0;
2
: x + 2y + 2 = 0;
3
: x + y + z = 0;
c)
prostych l
1
: x = 1
t; y = 1; z =
3 + 2t; l
2
: x = s; y = 3
2s; z = 2
5s:
8
83. Obliczy´c odleg÷
o´s´c:
a)
punktu P = (0; 1;
2)
od p÷
aszczyzny
: 3x
4y + 12z
1 = 0;
b)
p÷
aszczyzn równoleg÷
ych
1
: x
2y + 2z
3 = 0;
2
:
2x + 4y
4z + 18 = 0;
c)
punktu P = (2;
5; 1)
od prostej l : x = t; y = 1
2t; z =
3 + 2t;
d)
prostych równoleg÷
ych
l
1
:
x + y + z
3
= 0
x
2y
z
1 = 0
; l
2
:
x + y + z
3
= 0
x
2y
z + 4 = 0
;
e)
prostych sko´snych l
1
: x = 1
t; y = 1; z =
3 + 2t; l
2
: x = s; y = 3
2s; z = 1
5s:
84. Wyznaczy´c rzut prostopad÷
y punktu P = (1;
2; 0)
na:
a)
p÷
aszczyzn ¾
e
: x + y + 3z
5 = 0;
b)
prost ¾
a l : x = 1
t; y = 2t; z = 3t:
85. Obliczy´c k ¾
at mi ¾
edzy:
a)
p÷
aszczyznami
1
: x
y + 3z = 0;
2
:
2x + y
z + 5 = 0;
b)
prost ¾
a l :
x + y + z
3
= 0
x
2y
z
1 = 0
i p÷
aszczyzn ¾
a
: x + y = 0;
c)
prostymi l
1
: x =
t; y = 1 + 2t; z =
3; l
2
: x = 0; y =
2s; z = 2 + s:
Liczby zespolone
86. Obliczy´c:
a)
(2
5i) + 3 + i
p
2 ;
b)
(7 + 6i)
(8
3i) ; c)
(4
i) (3 + 4i) ;
d)
1+i
6 5i
;
e)
i
11
;
f )
( 1 + 2i);
g)
( 3i);
h)
(3 + 4i)
2
;
i)
(2 + i)
3
:
87. Porównuj ¾
ac cz ¾
e´sci rzeczywiste i urojone obu stron podanych równa´n znale´z´c ich rozwi ¾
azania:
a)
z = (2
i)z; b) z
2
+ 4 = 0; c) (1 + 3i) z + (2
5i) z = 2i
3; d*) z
3
= 1:
88. Na p÷
aszczy´znie zespolonej narysowa´c zbiory liczb zespolonych spe÷
niaj ¾
acych podane warunki:
a)
Re (z + 1) = Im (2z
4i) ; b) Re (z
2
) = 0;
c)
Im (z
2
)
6 8; d) Re
1
z
> Im (iz) :
89. Uzasadni´c to·
zsamo´sci:
a)
jzj = jzj ; b) z z = jzj
2
;
c)
jz
n
j = jzj
n
;
gdzie z 2 C oraz n 2 N:
90. Obliczy´c modu÷
y podanych liczb zespolonych:
a)
3;
b)
5
12i;
c)
p
11 + i
p
5; d)
3+4i
4 3i
; e) (1 + 2i) (i
3) ; f ) (1 + 2i)
8
;
g)
(sin 4
i cos 4 ) ;
gdzie
2 R; h) (ctg
+ i) ;
gdzie
6= n ; n 2 N:
91. Korzystaj ¾
ac z interpretacji geometrycznej modu÷
u ró·
znicy liczb zespolonych wyznaczy´c i narysowa´c
zbiory liczb zespolonych spe÷
niaj ¾
acych podane warunki:
a)
jz
2 + 3i
j < 4; b) jz + 5ij > 3; c) jz
1
j = j1 + 5i
z
j ; d) jz + 3ij < jz
1
4i
j ;
e)
jiz + 5
2i
j < j1 + ij ; f)
z 3i
z
> 1; g)
z
2
+4
z 2i
6 1; h) jz
2
+ 2iz
1
j < 9:
92. Wyznaczy´c argumenty g÷
ówne podanych liczb zespolonych (w razie potrzeby wykorzysta´c kalku-
lator):
a)
55;
b)
;
c)
p
2
2
i; d)
1
3
i; e) 3 + 3
p
3i;
f )
2 + 2i;
g)
1 + 3i;
h)
2
2
p
3i:
9
93. Podane liczby zespolone przedstawi´c w postaci trygonometrycznej:
a)
2;
b)
10 + 10i;
c)
1
2
+ i
p
3
2
;
d)
i;
e)
p
7
i
p
7;
f )
3
i
p
27:
94. Na p÷
aszczy´znie zespolonej narysowa´c zbiory liczb zespolonych spe÷
niaj ¾
acych podane warunki:
a)
arg (z) = ;
b)
6
< arg (z
i)
6
3
;
c)
2
< arg (iz) < ;
d)
arg ( z) =
4
;
e)
0 < arg (z)
6
2
3
;
f )
3
4
6 arg
1
z
6
3
2
:
95. Korzystaj ¾
ac ze wzoru de Moivre’a obliczy´c:
a)
(1
i)
11
;
b)
1
2
+ i
p
3
2
8
;
c)
2i
p
12
9
;
d)
5
p
2
i
5
p
2
10
:
96. Wyznaczy´c i narysowa´c na p÷
aszczy´znie zespolonej elementy podanych pierwiastków:
a)
4
p
16;
b)
3
p
8i;
c)
3
p
2
2i;
d)
6
p
1:
97. W zbiorze liczb zespolonych rozwi ¾
aza´c podane równania:
a)
z
2
2z + 10 = 0;
b)
z
2
+ 3iz + 4 = 0;
c)
z
4
+ 5z
2
+ 4 = 0;
d)
z
2
+ (1
3i) z
2
i = 0;
e)
z
6
= (1
i)
6
;
f )
(z
i)
4
= (z + 1)
4
:
Wielomiany
98. Dla podanych par wielomianów rzeczywistych lub zespolonych obliczy´c 3P
Q; P Q; P
2
:
a)
P (x) = x
2
3x + 2;
Q (x) = x
4
1;
b)
P (z) = z
2
1 + 4i;
Q (z) = z
3
+ (1
i) z
2
+ 5:
99. Obliczy´c iloraz wielomianu P przez Q oraz poda´c reszt ¾
e z tego dzielenia, je·
zeli:
a)
P (x) = x
4
3x
3
2x
2
+ 11x
15; Q (x) = x
3
2x + 5;
b)
P (x) = x
4
+ x + 16; Q (x) = x
2
3x + 4;
c)
P (z) = z
3
+ iz + 1; Q (z) = z
2
i:
100. Znale´z´c wszystkie pierwiastki ca÷
kowite podanych wielomianów:
a)
x
3
+ 3x
2
4;
b)
x
4
2x
3
+ x
2
8x
12;
c)
x
4
x
2
2:
101. Znale´z´c wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:
a)
6x
3
5x
2
2x + 1;
b)
3x
3
2x
2
+ 3x
2;
c)
6x
4
+ 7x
2
+ 2:
102. Wyznaczy´c pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotno´sciami podanych wielomianów:
a)
(x
1) (x + 2)
3
;
b)
(2x + 6)
2
(1
4x)
5
;
c)
(z
2
1) (z
2
+ 1)
3
(z
2
+ 9)
4
:
103. Nie wykonuj ¾
ac dziele´n wyznaczy´c reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q; je·
zeli:
a)
P (x) = x
8
+ 3x
5
+ x
2
+ 4; Q (x) = x
2
1;
b)
P (x) = x
2007
+ 3x + 2008; Q (x) = x
2
+ 1;
c)
P (x) = x
99
2x
98
+ 4x
97
; Q (x) = x
4
16
d*)
P (x) = x
2003
+ x
1001
1; Q (x) = x
4
+ 1;
e*)
P (x) = x
444
+ x
111
+ x
1; Q (x) = (x
2
+ 1)
2
:
104. Pokaza´c, ·
ze je·
zeli liczba zespolona z
1
jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P , to liczba z
1
tak·
ze jest pierwiastkiem wielomianu P .
Korzystaj ¾
ac z tego faktu znale´z´c pozosta÷
e pierwiastki
zespolone wielomianu P (x) = x
4
4x
3
+12x
2
16x+15
wiedz ¾
ac, ·
ze jednym z nich jest x
1
= 1+2i:
10
105. Podane wielomiany roz÷
o·
zy´c na nierozk÷
adalne czynniki rzeczywiste:
a) x
3
27;
b) x
4
+ 16;
c) x
4
+ x
2
+ 4;
d*) x
6
+ 1:
106. Podane funkcje wymierne roz÷
o·
zy´c na rzeczywiste u÷
amki proste:
a)
2x+5
x
2
x 2
;
b)
x+9
x(x+3)
2
;
c)
3x
2
+4x+3
x
3
x
2
+4x 4
;
d)
x
3
2x
2
7x+6
x
4
+10x
2
+9
:
Przestrze´n liniowa
Tylko dla studentów wydzia÷
ów W2 oraz W4.
107. Niech ~
a
= (1;
1;
2; 3) ; ~
b
= (5; 4; 2; 0)
b ¾
ed ¾
a wektorami w przestrzeni liniowej R
4
:
Wyznaczy´c wektory ~
x
oraz ~
y
;
je·
zeli:
a)
~
x
= 2~
a
~
b
;
b)
~
a
~
x
= ~
b
+ 2~
x
;
c)
~
x
~
y
= ~
a
;
3~
x
+ 2~
y
= ~
b
:
108. Sprawdzi´c, czy podane zbiory s ¾
a podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni R
n
:
a)
A = (x; y)
2 R
2
: xy
> 0 ; R
2
;
b)
B = (x; y; z)
2 R
3
: x + y
z = 0 ; R
3
;
c)
C = (x
1
; x
2
; x
3
; x
4
)
2 R
4
: x
1
= 2x
2
= 3x
3
= 4x
4
; R
4
;
d)
D = (x
1
; x
2
; x
3
; x
4
; x
5
)
2 R
5
: x
1
= 0; x
2
= x
3
; x
5
= 0 ; R
5
;
e)
E = (x; y; z)
2 R
3
: x
2y = 0; y
3z = 0; z
4x = 0 ; R
3
:
109. We wskazanej przestrzeni liniowej zbada´c liniow ¾
a niezale·
zno´s´c podanych uk÷
adów wektorów:
a)
R
3
; ~
a
1
= (2; 3; 0) ; ~
a
2
= ( 1; 0;
1) ; ~
a
3
= (0; 1; 4) ;
b)
R
3
; ~
b
1
= (1; 2; 3) ; ~
b
2
= (3; 2; 1) ; ~
b
3
= (1; 1; 1) ;
c)
R
4
; ~
c
1
= (1; 0; 0; 0) ; ~
c
2
= ( 1; 1; 0; 0) ; ~
c
3
= (1;
1; 1; 0) ; ~
c
4
= ( 1; 1;
1; 1) ;
d)
R
5
; ~
d
1
= (1; 2; 3; 4; 5) ; ~
d
2
= (5; 4; 3; 2; 1) ; ~
d
3
= (1; 0; 1; 0; 1) ;
e)
R
n
; ~
e
1
= (1; 0; 0; : : : ; 0) ; ~
e
2
= (0; 2; 0; : : : ; 0) ; ~
e
3
= (0; 0; 3; : : : ; 0) ; : : : ; ~
e
n
= (0; 0; 0; : : : ; n) :
110. a) Pokaza´c, ·
ze je·
zeli wektory ~
a
;~
b
; ~
c
s ¾
a liniowo niezale·
zne w przestrzeni liniowej R
n
;
to wektory 2~
a
; ~
a
+
~
b
; ~
b
5~
c
tak·
ze s ¾
a liniowo niezale·
zne. Czy wektory ~
a
~
b
; ~
b
~
c
; ~
c
~
a
s ¾
a liniowo niezale·
zne?
b)
Wektory ~
u
; ~
v
; ~
w
s ¾
a liniowo zale·
zne
w przestrzeni liniowej R
n
:
Czy wektory ~
u
~
v
; ~
u
; ~
w
~
v
tak·
ze s ¾
a liniowo zale·
zne
?
c)
Wektory ~
a
; ~
a
+ ~
b
; ~
a
+ ~
b
+ ~
c
s ¾
a liniowo niezale·
zne w przestrzeni liniowej R
n
:
Pokaza´c, ·
ze
wektory ~
a
;~
b
; ~
c
s ¾
a tak·
ze liniowo niezale·
zne.
111. Pokaza´c, ·
ze uk÷
ad wektorów w przestrzeni liniowej R
n
;
który zawiera:
a)
wektor zerowy,
b)
dwa jednakowe wektory,
c)
wektory ~
a
; ~
b
oraz ~
a
~
b;
jest liniowo zale·
zny.
11
112. Poda´c interpretacj ¾
e geometryczn ¾
a podanych zbiorów we wskazanej przestrzeni:
a)
linf( 1; 3)g w R
2
;
b)
linf(1; 0; 0) ; (1; 1; 0) ; (1; 1; 1)g w R
3
;
c)
linf(1; 1; 2) ; (4; 1; 1) ; (2; 3; 5)g w R
3
;
d*)
linf(1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 1) ; (1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 0; 1)g w R
4
;
e*)
lin (1; 0; 0; : : : ; 0) ; (0;
1; 0; : : : ; 1) ; (0; 0; 1; : : : ; 0) ; : : : ; 0; 0; 0; : : : ; ( 1)
n+1
w R
n
:
113. *Czy w przestrzeni R
4
zachodzi równo´s´c
lin f(1; 2; 3; 5) ; (2; 3; 4; 6) ; (1; 4; 1; 1)g = lin f(0; 0; 3; 4) ; (2; 5; 0; 0) ; ( 1; 1; 1; 1)g ?
Baza i wymiar przestrzeni
Tylko dla studentów wydzia÷
ów W2 oraz W4.
114. Zbada´c, czy podane uk÷
ady wektorów s ¾
a bazami wskazanych przestrzeni liniowych R
n
:
a)
f(1; 2; 0) ; ( 1; 0; 3) ; (0; 2; 3)g ; R
3
;
b)
f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ; R
4
;
c)
f(1; 1; 0; 2) ; (1; 0; 3; 0) ; (0; 1; 3; 0) ; (0; 0; 0; 1)g ; R
4
;
d)
f(1; 1; 0; 0; 0) ; (0; 2; 2; 0; 0) ; (0; 0; 3; 3; 0) ; (0; 0; 0; 4; 4)g ; R
5
;
e)
f(0; 1; 0; 1; 0) ; ( 1; 0; 1; 0; 1) ; (0; 0; 0; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1) ; (1; 1; 1; 1; 1)g ; R
5
:
115. Podane uk÷
ady wektorów uzupe÷
ni´c do baz wskazanych przestrzeni:
a)
f(1; 2; 4) ; (2; 0; 1)g ; R
3
;
b)
f(1; 2; 3; 4) ; (1; 0; 0; 1) ; (0; 1; 0; 0)g ; R
4
;
c)
f(0; 1; 0; 2) ; (4; 1; 1; 3)g ; R
4
;
d)
f(1; 1; 0; 0; 0) ; (0; 0; 0; 3; 3) ; (0; 2; 2; 0; 0)g ; R
5
;
e)
f(1; 0; 0; 0; 1) ; (0; 0; 0; 0; 4) ; (0; 1; 1; 0; 0) ; (0; 0; 0; 1; 1)g ; R
5
:
116. Pokaza´c, ·
ze je·
zeli wektory ~
b
1
;~
b
2
;~
b
3
;~
b
4
tworz ¾
a baz ¾
e przestrzeni R
4
;
to wektory
~
u
1
= ~
b
1
+ ~
b
2
; ~
u
2
= ~
b
1
+ ~
b
3
; ~
u
3
= ~
b
1
+ ~
b
4
; ~
u
4
= ~
b
3
+ ~
b
4
tak·
ze tworz ¾
a baz ¾
e tej przestrzeni.
117. Znale´z´c bazy i wymiary podanych podprzestrzeni:
a)
A = (x; y; z)
2 R
3
: 3x + 2y
z = 0 ;
b)
B = (x; y; z; t)
2 R
4
: x = 2y =
t ;
c)
C = (u; v; x; y; z)
2 R
5
: u + v = 0; x + y + x = 0 ;
d)
D = (u; v; w; x; y; z)
2 R
6
: u + v = 0; x + y + z = 0; x
u + y
v + z = 0 :
118. Wyznaczy´c wspó÷
rz ¾
edne podanych wektorów we wskazanych bazach:
a)
~
a
= (2; 3) ;
B = f( 1; 1) ; (0; 1)g
R
2
;
b) ~
b
= (1; 2; 3) ;
B = f(1; 1; 1) ; (2; 2; 0) ; (3; 0; 0)g
R
3
;
c)
~
c
= (1; 0; 2; 0) ;
B = f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 0; 1) ; ( 1; 0; 1; 0) ; (1; 2; 3; 4)g
R
4
;
d) ~
d
= (5; 4; 3; 2; 1) ;
12
B = f(1; 1; 1; 1; 1) ; ( 1; 1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 0; 0) ; ( 1; 1; 0; 0; 0) ; (1; 0; 0; 0; 0)g
R
5
:
Przekszta÷
cenia liniowe
Tylko dla studentów wydzia÷
ów W2 oraz W4.
119. Zbada´c, czy podane przekszta÷
cenia s ¾
a liniowe:
a)
F : R
2
! R
1
; F (x
1;
x
2
) = x
1
3x
2
;
b)
F : R
2
! R
2
; F (x; y) = (
jx + yj ; jx
y
j) ;
c)
F : R
3
! R
3
; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
2z) ;
d)
F : R
1
! R
4
; F (x) = (0; x; 0;
3x) ;
e)
F : R
4
! R
2
; F (x
1
; x
2
; x
3
; x
4
) = (x
1
x
2
; x
3
x
4
) ;
f )
F : R
3
! R
5
; F (u; v; w) = (u;
4v; u + 2v; w; u
3w) :
120. Korzystaj ¾
ac z interpretacji geometrycznej przekszta÷
ce´n liniowych znale´z´c ich j ¾
adra i obrazy:
a)
L : R
2
! R
2
;
obrót o k ¾
at
=
3
wokó÷pocz ¾
atku uk÷
adu.
b)
L : R
2
! R
2
;
rzut prostok ¾
atny na prost ¾
a x + y = 0:
c)
L : R
3
! R
3
;
symetria wzgl ¾
edem p÷
aszczyzny y = z:
d)
L : R
3
! R
3
;
obrót wokó÷osi Oy o k ¾
at
2
:
121. Wyznaczy´c j ¾
adra i obrazy podanych przekszta÷
ce´n liniowych:
a)
F : R
2
! R
1
; F (x
1;
x
2
) = x
1
3x
2
;
b)
F : R
2
! R
2
; F (x; y) = (x + y; 2x + 2y) ;
c)
F : R
3
! R
3
; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
2z) ;
d)
F : R
1
! R
4
; F (x) = (0; x; 0;
x) :
122. Znale´z´c macierze podanych przekszta÷
ce´n liniowych F : R
n
! R
m
we wskazanych bazach
B
0
oraz B
00
odpowiednio przestrzeni R
n
oraz R
m
:
a)
F (x; y) = (x; y; x
y) ;
B
0
=
f(1; 0) ; (1; 1)g ; B
00
=
f(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; ( 1; 1; 1)g ;
b)
F (x; y) = (y; 0; x; 0) ;
B
0
=
f(1; 1) ; (0; 2)g ;
B
00
=
f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ;
c)
F (x; y; z) = x + y
3z;
B
0
=
f(1; 0; 2) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)g ; B
00
-standardowa;
d)
F (x; y; z; t) = (x + y + z + t; y
t; z
x) ;
B
0
-standardowa, B
00
-standardowa.
123. a) Uzasadni´c, ·
ze obrót na p÷
aszczy´znie R
2
wokó÷pocz ¾
atku uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych o kat ' jest
przekszta÷
ceniem liniowym. Znale´z´c macierz tego obrotu w bazach standardowych.
b)
Pokaza´c, ·
ze symetria wzl ¾
edem osi Oz w przestrzeni R
3
jest przekszta÷
ceniem liniowym. Znale´z´c
macierz tej symetrii w bazach standardowych.
Warto´sci i wektory w÷
asne macierzy
Tylko dla studentów wydzia÷
ów W2 oraz W4.
13
124. Korzystaj ¾
ac z de…nicji wyznaczy´c wektory i warto´sci w÷
asne podanych przekszta÷
ce´n liniowych:
a)
symetria wzgl ¾
edm osi Ox w przestrzeni R
2
;
b)
obrót wokó÷osi Oy o k ¾
at
6
w przestrzeni R
3
;
c)
symetria wzgl ¾
edem p÷
aszczyny xOz w przestrzeni R
3
;
d)
rzut prostok ¾
atny na o´s Oz w przestrzeni R
3
:
125. Wyznaczy´c wektory i warto´sci w÷
asne podanych macierzy:
a)
A =
1 2
1 2
;
b)
B =
2
4
4
5 2
5
7 3
6
9 4
3
5 ;
c)
C =
2
6
6
4
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 1
3
7
7
5 ; d) D =
2
6
6
4
3
1 0
0
1
1
0
0
3
0
5
3
4
1 3
1
3
7
7
5 :
126. Sprawdzi´c, ·
ze podane macierze spe÷
niaj ¾
a swoje równania charakterystyczne:
a)
A =
1
0
0
3
;
b)
B =
2
4
1 0 1
0 1 0
1 0 1
3
5 :
Iloczyn skalarny. Normy wektorów i macierzy
Tylko dla studentów wydzia÷
ów W2 oraz W4.
127. Obliczy´c iloczyny skalarne podanych par wektorów w przestrzeni euklidesowej R
n
:
a)
~
a
= (1;
2; 5) ; ~
b
= (3; 4; 1)
w R
3
;
b)
~
u
= (0; 1; 3;
2; 5) ; ~
v
= (1;
2; 3; 4; 1)
w R
5
:
128. Obliczy´c k ¾
aty mi ¾
edzy podanymi wektorami w przestrzeni euklidesowej R
n
:
a)
~
x
= (12;
5) ; ~
y
= (3; 4)
w R
2
;
b)
~
p
= (0; 1; 0;
2; 0) ; ~
q
= (1; 0; 3; 0; 1)
w R
4
:
129. Dla jakich warto´sci parametru p; wektory ~
a
= (p; 1; p; 1) ;~
b
= (p; p;
1;
9)
s ¾
a prostopad÷
e w
przestrzeni euklidesowej R
4
?
130. Sprawdzi´c, ·
ze podane uk÷
ady wektorów tworz ¾
a bazy ortogonalne we wskazanych przestrzeniach
euklidesowych R
n
:
a)
~
e
1
= (1;
3; 1) ; ~
e
2
= (2;
1;
5) ; ~
e
3
= (16; 7; 5) ; R
3
;
b)
~
e
1
= (1;
2; 2;
3) ; ~
e
2
= (2;
3; 2; 4) ; ~
e
3
= (2; 2; 1; 0) ; ~
e
4
= (5;
2;
6;
1) ;
R
4
:
131. Wyznaczy´c wspó÷
rz ¾
edne podanych wektorów we wskazanych bazach ortogonalnych przestrzeni
euklidesowych R
n
:
a)
~
a
= (0; 1) ;
B = f(3; 4) ; (4; 3)g
R
2
;
b) ~
b
= (2; 5;
4) ;
B = f(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; ( 2; 1; 1)g
R
3
;
c)
~
c
= (0; 1; 0; 2) ;
B = f(1; 0; 0; 0) ; (0; 1; 1; 1) ; (0; 1; 0; 1) ; (0; 1; 2; 1)g
R
4
;
14
132. W przestrzeni R
n
wprowadzamy nast ¾
epuj ¾
ace normy wektora ~
x
= (x
1
; x
2
; : : : ; x
n
) :
k~
x
k
2
=
v
u
u
t
n
X
i=1
(x
i
)
2
(norma euklidesowa);
k~
x
k
1
= max
1
6i6n
ja
i
j ;
k~
x
k
1
=
n
X
i=1
jx
i
j :
Obliczy´c ka·
zd ¾
a z tych norm podanych wektorów:
a)
~
x
= ( 3; 4)
2 R
2
;
b)
~
x
= (1;
1; 1;
1)
2 R
4
:
133. Wprowadzamy nast ¾
epuj ¾
ace normy macierzy kwadratowej A = [a
ij
]
stopnia n :
kAk
F
=
v
u
u
t
n
X
i=1
n
X
j=1
(a
ij
)
2
(norma Frobeniusa),
kAk
1
= max
1
6j6n
n
X
i=1
ja
ij
j ;
kAk
1
= max
1
6i6n
n
X
j=1
ja
ij
j ;
kAk
2
= max
1
6i;j6n
ja
ij
j ;
kAk
3
=
n
X
i=1
n
X
j=1
ja
ij
j :
Obliczy´c ka·
zd ¾
a z tych norm podanych macierzy:
a)
A =
1
1
2
3
; b) A =
2
4
1
1
0
0
4
3
2
0
1
3
5 :
*Które z powy·
zszych norm macierzy s ¾
a indukowane przez normy wektorów?
15
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
azga 2014 15
azga 2014 15
algebra azga 13 14
azga 2014 15
azga 2014 15
więcej podobnych podstron