A ANALITYCZN ¾
A
ALGEBRA LINIOWA 1
Wszystkie warianty kursu
Lista zdań obejmuje ca÷
y materia÷kursu oraz określa przybli·
zony stopień trudności zadań, które pojawi ¾
a
si ¾
e na kolokwiach i egzaminach. Na ćwiczeniach nale·
zy rozwi ¾
azać przynajmniej jeden podpunkt z ka·
zdego
zadania. Wyj ¾
atkiem s ¾
a zadania oznaczone liter ¾
a (p) oraz symbolem (*). Zadania oznaczone liter ¾
a (p) s ¾
a
proste. Te zadania nale·
zy rozwi ¾
azać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdk ¾
a (*) s ¾
a trudniejsze. Te
nieobowi ¾
azkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów.
Zach ¾
ecamy studentów do wery…kowania rozwi ¾
az ¾
azań zadań za pomoc ¾
a programów komputerowych. W
Internecie mo·
zna znaleźć wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych. Programy te mo·
zna
wykorzystać m.in. znajdowania pierwiastków wielomianów, do wyznaczania i rysowania pierwiastków z liczb zespolonych, obliczania wyznaczników, badania liniowej niezale·
zności wektorów, rozwi ¾
azywania uk÷
adów równań
liniowych itp. Polecamy stron ¾
e internetow ¾
a Wolfram Alpha. Warto korzystać z darmowych programów: Maxima, Microsoft Mathematics, Octave, R, Sage, Scilab, a tak·
ze programów p÷
atnych: Derive,
Mathematica, Matlab, Maple, Scienti…c WorkPlace. Wiele popularnych kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji.
Uzdolnionych studentów zach ¾
ecamy do przygotowania si ¾
e w czasie semestru i nast ¾
epnie udzia÷
u w egzami-
nach na ocen ¾
e celuj ¾
ac ¾
a z algebry i analizy. Zadania z tych egzaminów z ubieg÷
ych lat mo·
zna znaleźć na stronie
internetowej
http://www.im.pwr.wroc.pl/kursy-ogolnouczelniane/oceny-celujace.html Przed kolokwiami i egzaminami zaj ¾
eć warto zapoznać si ¾
e z zestawieniem typowych b÷¾
edów pope÷
nianych
przez studentów na sprawdzianach z matematyki.
http://prac.im.pwr.wroc.pl/~skoczylas/typowe_bledy_studentow.pdf Opracowanie: doc. dr Zbigniew Skoczylas
Lista zadań
1. Podać przyk÷
ady liczb, dla których nie zachodz ¾
a podane równości:
p
p
p
a) (x + y)2 = x2 + y2; b)
x + y =
x +
y; c) 1 + 1 = 1 ;
x
y
x+y
p
d)
x2 = x;
e) x + u = x+u ;
f ) sin 2x = 2 sin x;
y
v
y+v
h) jx + yj = jxj + jyj ;
i) ; ln a = ln (a
b)
j) an am = an m:
ln b
2. Za pomoc ¾
a indukcji matematycznej uzasadnić, ·
ze dla ka·
zdej liczby naturalnej n zachodz ¾
a to·
zsamości:
a) 1 + 3 + : : : + (2n
1) = n2;
b)
1 + 1 + : : : +
1
= n ;
1 2
2 3
n(n+1)
n+1
c) 1 + 3 + : : : + 3n 1 = 1 (3n
1) ;
2
h
i2
d) 13 + 23 + : : : + n3 = n(n+1)
:
2
3. Korzystaj ¾
ac z indukcji matematycznej uzasadnić nierówności:
a) 2n > n2 dla n > 5;
b)
1 + 1 + : : : + 1 6 2
1 dla n 2 N;
12
22
n2
n
c) n! > 2n dla n > 4;
d) (1 + x)n > 1 + nx dla x > 1 oraz n 2 N (nierówność Bernoulliego); n
e) n! < n
dla n > 6:
2
1
a indukcji matematycznej pokazać, ·
ze dla ka·
zdej liczby naturalnej n liczba:
a) n5
n jest podzielna przez 5;
b) 8n + 6 jest podzielna przez 7:
5. *Uzasadnić, ·
ze n prostych mo·
ze podzielić p÷
aszczyzn ¾
e na maksymalnie n(n+1) + 1 obszarów. Na ile
2
najwi ¾
ecej obszarów p÷
aszczyzn ¾
e mo·
zna podzielić n okr ¾
egami?
6. Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyra·
zeń:
p 6
5
p
p
a) (2x + y)4 ;
b) c
2
;
c) x + 1
;
d) ( u
4 v)8:
x3
7. *Korzystaj ¾
ac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy:
n
P
n
P
n
P
a)
n ; b)
n 2k; c)
n ( 1)k :
k
k
k
k=0
k=0
k=0
15
8. a) W rozwini ¾
eciu wyra·
zenia a3 + 1
znaleźć wspó÷
czynnik przy a5;
a2
p
7
p
b) W rozwini ¾
eciu wyra·
zenia
4 x5
3
znaleźć wspó÷
czynnik przy 4 x:
x3
FFFFF
9. Porównuj ¾
ac cz ¾
eści rzeczywiste i urojone obu stron równań znaleźć ich rozwi ¾
azania:
a) z = (2
i)z; b) z2 + 4 = 0; c) (1 + 3i) z + (2
5i) z = 2i
3; d*) z3 = 1:
10. Na p÷
aszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spe÷
niaj ¾
acych podane warunki:
a) Re (z + 1) = Im (2z
4i) ; b) Re z2 = 0;
c) Im z2 6 8; d) Re 1 > Im (iz) :
z
11. Korzystaj ¾
ac z interpretacji geometrycznej modu÷
u ró·
znicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych spe÷
niaj ¾
acych podane warunki:
a) jz + 2
3ij < 4; b) jz + 5ij > j3
4ij ; c) jz
1j = j1 + 5i
zj ;
d) jz + 3ij < jz
1
4ij ; e) jiz + 5
2ij < j1 + ij ; f) jz + 2
3ij < 5;
g)
z 3i
> 1; h)
z2+4
6 1; i) z2 + 2iz 1 < 9:
z
z 2i
12. Na p÷
aszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spe÷
niaj ¾
acych podane warunki:
a)
arg (z) =
;
b)
< arg (z
i) 6 ;
c)
< arg (iz) < ;
2
6
3
2
d) arg ( z) =
;
e)
0 < arg (z) 6 2 ; f)
3
6 arg 1 6 3 :
4
3
4
z
2
13. Korzystaj ¾
ac ze wzoru de Moivre’a obliczyć:
p
8
p
9
p
p 10
a)
(1
i)11 ;
b)
1 + i 3
;
c)
2i
12
;
d)
5 2
i 5 2
:
2
2
14. Wyznaczyć i narysować na p÷
aszczyźnie zespolonej elementy pierwiastków:
p
p
p
p
a)
4
16;
b)
3
8i;
c)
3
2
2i;
d) 6 1:
15. W zbiorze liczb zespolonych rozwi ¾
azać podane równania:
a)
z2
2z + 10 = 0;
b) z2 + 3iz + 4 = 0;
c) z4 + 5z2 + 4 = 0;
d)
z2 + (1
3i) z
2
i = 0;
e)
z6 = (1
i)12 ;
f )
(z
i)4 = (z + 1)4 :
FFFFF
16. Znaleźć wszystkie pierwiastki ca÷
kowite wielomianów:
a) x3 + 3x2
4;
b)
x4
2x3 + x2
8x
12;
c) x4
x2
2:
17. Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne wielomianów: a)
6x3
5x2
2x + 1;
b)
3x3
2x2 + 3x
2;
c) 6x4 + 7x2 + 2:
2
18. (p) Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami wielomianów: 3
4
a) (x
1) (x + 2)3 ;
b)
(2x + 6)2 (1
4x)5 ;
c)
z2
1
z2 + 1
z2 + 9
:
19. Nie wykonuj ¾
ac dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q; je·
zeli:
a) P (x) = x8 + 3x5 + x2 + 4; Q (x) = x2
1;
b) P (x) = x2007 + 3x + 2008; Q (x) = x2 + 1;
c) P (x) = x99
2x98 + 4x97; Q (x) = x4
16;
d*) P (x) = x2006 + x1002
1; Q (x) = x4 + 1;
2
e*) P (x) = x444 + x111 + x
1; Q (x) = x2 + 1
:
20. Pokazać, ·
ze je·
zeli liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P , to liczba z1 tak·
ze jest
pierwiastkiem wielomianu P: Korzystaj ¾
ac z tego faktu znaleźć pozosta÷
e pierwiastki zespolone wielomianu
P (x) = x4
4x3 + 12x2
16x + 15 wiedz ¾
ac, ·
ze jednym z nich jest x1 = 1 + 2i:
21. Podane wielomiany roz÷
o·
zyć na nierozk÷
adalne czynniki rzeczywiste:
a) x3
27;
b) x4 + 16;
c) x4 + x2 + 4;
d*) x6 + 1:
22. Podane funkcje wymierne roz÷
o·
zyć na rzeczywiste u÷
amki proste:
a)
2x+5 ;
b)
x+9
;
c)
3x2+4x+3 ;
d) x3 2x2 7x+6 :
x2 x 2
x(x+3)2
x3 x2+4x 4
x4+10x2+9
FFFFF
23. Niech ~
a = (1;
1;
2; 3) ; ~
b = (5; 4; 2; 0) b ¾
ed ¾
a wektorami z przestrzeni R4:
Wyznaczyć wektory ~
x oraz ~
y; je·
zeli:
a) ~
x = 2~
a
~
b;
b) ~
a
~
x = ~
b + 2~
x;
~
x
~
y
= ~
a;
c)
3~
x + 2~
y
= ~
b:
24. Obliczyć:
a) Odleg÷
ość punktów A = (1;
2; 3; 0; 0) ; B = (0; 1;
2; 3;
4) w przestrzeni R5;
b) Obliczyć k ¾
at mi ¾
edzy wektorami ~a = ( 1; 0; 2; 2) ;~b = (0;
2; 1;
2) w przestrzeni R4;
25. Dla jakich wartości parametru p; wektory ~
a = (p; 1; p; 1) ;~
b = (p; p;
1;
9) s ¾
a prostopad÷
e w przestrzeni
R4?
26. *Jaki zbiór w przestrzeni R4 tworz ¾
a końce wersorów, które s ¾
a prostopad÷
e do wektorów: ~a = (1; 1; 0; 0) ;~b =
(0; 0; 1; 1)?
FFFFF
27. (p) Trójk ¾
at jest rozpi ¾
ety na wektorach ~
a;~
b: Wyrazić środkowe trójk ¾
ata przez wektory ~
a; ~
b:
28. *Za pomoc ¾
a rachunku wektorowego pokazać, ·
ze środki boków dowolnego czworok ¾
ata s ¾
a wierzcho÷
kami
równoleg÷
oboku.
29. (p) Równoleg÷
obok jest rozpi ¾
ety na wektorach ~
a = ( 3; 4) ;~
b = (1; 2). Wyznaczyć k ¾
at ostry mi ¾
edzy
przek ¾
atnymi równoleg÷
oboku.
30. D÷
ugości wektorów ~
a;~
b wynosz ¾
a odpowiednio 3; 5: Znamy iloczyn skalarny ~
a ~
b =
2: Obliczyć ~
a
~
b
2~
a + 3~
b :
31. (p) Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = ( 1; 3) i tworzy k ¾
at 120o z dodatni ¾
a
cz ¾
eści ¾
a osi Ox:
32. (p) Napisać wszystkie postacie równania prostej (normalne, kierunkowe, parametryczne) przechodz ¾
acej
przez punkty P1 = (2; 3) ; P2 = ( 3; 7) :
3
33. (p) Znaleźć punkty przeci ¾
ecia prostej
x = 4
2t;
l :
gdzie t 2 R;
y =
6 + t;
z osiami uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych. Czy punkt P = (4; 7) nale·
zy do prostej l?
34. Znaleźć punkt przeci ¾
ecia prostych:
x = 1
t;
x = 2t;
k :
gdzie t 2 R; l :
gdzie t 2 R;
y = 3 + t;
y = 3
t;
35. (p) Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = ( 1; 2) i jest a) równoleg÷
a do prostej 3x
y + 2 = 0;
b) prostopad÷
a do prostej x + y = 0:
36. Dla jakiej wartości parametru m; odleg÷
ość punktów P = (1; 0) i Q = (m + 3;
2) jest równa 4?
37. (p) Wyznaczyć odleg÷
ość punktu P0 = ( 4; 1) od prostej l o równaniu 3x + 4y + 12 = 0: 38. (p) Znaleźć odleg÷
ość prostych równoleg÷
ych l1; l2 o równaniach odpowiednio x 2y = 0;
3x+6y 15 = 0:
39. Obliczyć wysokość trójk ¾
ata o wierzcho÷
kach A = (0; 0) ; B = ( 1; 3) ; C = (2; 5) opuszczon ¾
a z wierzcho÷
ka
C:
40. *Znaleźć równania dwusiecznych k ¾
atów wyznaczonych przez proste o równaniach 3x + 4y
2 = 0; 4x
3y + 5 = 0:
FFFFF
41. a) Dla jakich wartości parametrów p; q wektory ~
a = (1
p; 3;
1) ; ~
b = ( 2; 4
q; 2) s ¾
a równoleg÷
e?
b) Dla jakich wartości parametru s wektory ~
p = (s; 2; 1
s) ; ~
q = (s; 1;
2) s ¾
a prostopad÷
e?
42. (p) Znaleźć wersor, który jest prostopad÷
y do wektorów ~
u = ( 1; 3; 0) ; ~
v = (0; 1; 1) :
43. (p) Wyznaczyć cosinus k ¾
ata mi ¾
edzy wektorami ~
p = (0; 3; 4) ; ~
q = (2; 1;
2) :
44. a) Obliczyć pole równoleg÷
oboku rozpi ¾
etego na wektorach ~
u = ( 1; 2; 5) ; ~
v = (0; 3; 2) :
b) Obliczyć pole trójk ¾
ata o wierzcho÷
kach A = (0; 0; 1) ; B = (3; 0; 0) ; C = (0;
5; 0) :
c) Obliczyć wysokość trójk ¾
ata
45. a)
Obliczyć obj ¾
etość równoleg÷
ościanu rozpi ¾
etego na wektorach: ~
a = (1; 2; 3) ;
~
b = (0; 4; 1) ; ~
c =
( 1; 0; 2) :
b) Obliczyć obj ¾
etość czworościanu o wierzcho÷
kach: A = (1; 1; 1) ; B = (1; 2; 3) ; C = (0; 4; 1) ; D =
(2; 2; 2) :
c) Dla czworościanu z punktu c) obliczyć wysokość upuszczon ¾
a z wierzcho÷
ka A:
46. Znaleźć równania normalne i parametryczne p÷
aszczyzny:
a) przechodz ¾
acej przez punkty P = (1;
1; 0) ; Q = (2; 3; 7) ; R = (4; 0; 1) ;
b) przechodz ¾
acej przez punkt A = ( 2; 5; 4) oraz przez oś Oz;
c) przechodz ¾
acej przez punkt A = ( 2; 5; 4) oraz prostopad÷
ej do osi Oy:
47. a) P÷
aszczyzn ¾
e
: 2x + y
z
7 = 0 zapisać w postaci parametrycznej.
8
< x =
s + t;
b) P÷
aszczyzn ¾
e
:
y
=
2
2t; przekszta÷
cić do postaci normalnej.
: z =
3 + 3s
t
48. Znaleźć równanie parametryczne i kraw¾
edziowe prostej:
a) przechodz ¾
acej przez punkty A = ( 3; 4; 1) ; B = (0; 2; 1) :
b) przechodz ¾
acej przez punkt P = (3;
1; 2) i przecinaj ¾
acej prostopadle oś Oy:
4
3
= 0
49. a) Prost ¾
a l :
zapisać w postaci parametrycznej.
y + z
1 = 0
b) Prost ¾
a l : x = 3; y = 2
2t; z = t zapisać w postaci kraw¾
edziowej.
50. Wyznaczyć punkt przeci ¾
ecia:
a) prostej l : x = t; y = 1
2t; z =
3 + 2t oraz p÷
aszczyzny
: 3x
y
2z
5 = 0;
b) p÷
aszczyzn
1 : x + 2y
z
5 = 0;
2 : x + 2y + 2 = 0;
3 : x + y + z = 0;
c) prostych l1 : x = 1
t; y = 1; z =
3 + 2t; l2 : x = s; y = 3
2s; z = 2
5s:
51. Obliczyć odleg÷
ość:
a) punktu P = (0; 1;
2) od p÷
aszczyzny
: 3x
4y + 12z
1 = 0;
b) p÷
aszczyzn równoleg÷
ych
1 : x
2y + 2z
3 = 0;
2 :
2x + 4y
4z + 18 = 0;
c) punktu P = (2;
5; 1) od prostej l : x = t; y = 1
2t; z =
3 + 2t;
d) prostych równoleg÷
ych
x + y + z
3
= 0
x + y + z
3
= 0
l1 :
; l
;
x
2y
z
1 = 0
2 :
x
2y
z + 4 = 0
e) prostych skośnych l1 : x = 1
t; y = 1; z =
3 + 2t; l2 : x = s; y = 3
2s; z = 1
5s:
52. Wyznaczyć rzut prostopad÷
y punktu P = (1;
2; 0) na:
a) p÷
aszczyzn ¾
e
: x + y + 3z
5 = 0;
b) prost ¾
a l : x = 1
t; y = 2t; z = 3t:
53. Obliczyć k ¾
at mi ¾
edzy:
a) p÷
aszczyznami
1 : x
y + 3z = 0;
2 :
2x + y
z + 5 = 0;
x + y + z
3
= 0
b) prost ¾
a l :
i p÷
aszczyzn ¾
a
: x + y = 0;
x
2y
z
1 = 0
c) prostymi l1 : x =
t; y = 1 + 2t; z =
3; l2 : x = 0; y =
2s; z = 2 + s:
FFFFF
54. We wskazanej przestrzeni zbadać liniow ¾
a niezale·
zność uk÷
adów wektorów:
a) R2; ~a1 = (2; 3) ; ~a2 = ( 1; 0) ;
b) R3; ~b1 = (1; 2; 3) ; ~b2 = (3; 2; 1) ; ~b3 = (1; 1; 1) ; c) R4; ~c1 = (1; 0; 0; 0) ; ~c2 = ( 1; 1; 0; 0) ; ~c3 = (1; 1; 1; 0) ; ~c4 = ( 1; 1; 1; 1) : 55. Zbadać, czy podane uk÷
ady wektorów s ¾
a bazami wskazanych przestrzeni liniowych Rn:
a) f(1; 2; 0) ; ( 1; 0; 3) ; (0; 2; 3)g ; R3;
b) f(1; 0; 0; 0) ; (1; 1; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 1)g ; R4; c) f(1; 1; 0; 2) ; (1; 0; 3; 0) ; (0; 1; 3; 0) ; (0; 0; 0; 1)g ; R4: 56. Znaleźć bazy i wymiary podprzestrzeni:
a)
A = (x; y; z) 2 R3 : 3x + 2y
z = 0 ;
b)
B = (x; y; z; t) 2 R4 : x = 2y = t ;
c)
C = (u; v; x; y; z) 2 R5 : u + v = 0; x + y + x = 0 : 57. Zbadać, czy podane przekszta÷
cenia s ¾
a liniowe:
a) F : R2 ! R; F (x1;x2) = x1
3x2;
b) F : R3 ! R3; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
2z) ;
c) F : R ! R4; F (x) = 0; x2; 0; 3x ;
d) F : R4 ! R2; F (x1; x2; x3; x4) = (x1x2; x3x4) :
5
58. Znaleźć macierze przekszta÷
ceń liniowych w standardowych bazach:
a) F : R2 ! R3;
F (x; y) = (x; y; x
y) ;
b) F : R3 ! R4;
F (x; y; z) = (y; z; x; x + y + z) ;
d) F : R4 ! R2;
F (x; y; z; t) = (x + y + z + t; y
t; ) :
59. a) Uzasadnić, ·
ze obrót na p÷
aszczyźnie R2 wokó÷pocz ¾
atku uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych o kat ' jest przeksz-
ta÷
ceniem liniowym. Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych.
b) Pokazać, ·
ze symetria wzl ¾
edem osi Oz w przestrzeni R3 jest przekszta÷ceniem liniowym. Znaleźć macierz tej symetrii w bazach standardowych.
FFFFF
60. (p) Dla par macierzy A; B wykonać (jeśli to jest mo·
zliwe) wskazane dzia÷
ania 3A
1 B; AT ; AB; BA;
2
A2:
1
4
0
6
a)
A =
; B =
;
2 0
8
2
b)
A = 1
3 2 ; B = 2
4 0 ;
2 3
1
607
c)
A = 6 7
435 ; B =
2 1 0 5 ;
0
2
3
2
3
1
0
1
2 0
d)
A = 4 2
1
45 ;
B = 4 4
15 :
3 0
2
0
3
61. (p) Rozwi ¾
azać równanie macierzowe
02
3
1
2
3
1
0
4
3
3 @4 3 35
XA = X+ 4 0
65 :
2
5
1 2
62. (p) Znaleźć niewiadome x; y; z spe÷
niaj ¾
ace równanie
T
x + 2 y + 3
3
6
2
=
:
3
0
y
z
63. Podać przyk÷
ady macierzy kwadratowych A; B; które spe÷
niaj ¾
a podane warunki:
a)
AB 6= BA;
b)
AB = 0; ale A 6= 0; B 6= 0;
c)
A2 = 0; ale A 6= 0:
64. *Pokazać, ·
ze ka·
zd ¾
a macierz kwadratow ¾
a mo·
zna przedstawić jednoznacznie jako sum ¾
e macierzy sym-
etrycznej AT = A i antysymetrycznej AT =
A . Napisać to przedstawienie dla macierzy
2
3
0
1
4
2
6 3 5
2
8 7
B = 6
7
4 2
4
3
45 :
6
0
0
1
65. Dane s ¾
a przekszta÷
cenia liniowe: L : R2 ! R3 określone wzorem L (x; y) = (x; y; x + y) oraz K : R3 ! R
określone wzorem K (u; v; w) = u w: Korzystaj ¾
ac z twierdzenia o postaci macierzy z÷
o·
zenia przekszta÷
ceń
znaleźć macierz przekszta÷
cenia K
L:
FFFFF
6
ecia Laplace’a wyznaczników wg wskazanych kolumn lub wierszy (nie obliczać wyznaczników w otrzymanych rozwini ¾
eciach):
1
4
3
7
1 4
3
2
4
2
0
a)
3 1
0 ; trzecia kolumna;
b)
;
czwarty wiersz.
5
4
1
6
2
5
2
2
0
0
3
67. Obliczyć podane wyznaczniki:
2
0
0
0
1
1
2
2
5
3
3 5
7
a)
;
b)
3
2
4 ;
c)
:
3
7
4
0
1
4
2
2
1
5
0
2
2
68. Korzystaj ¾
ac z w÷
asności wyznaczników uzasadnić, ·
ze podane macierze s ¾
a osobliwe:
2
3
2
3
2
3
1 5 2
2
2
4
4
1 2 3
67 5 2
57
a) 4 1
2
2 5 ;
b) 44 4 45 ;
c) 6
7
45 7 4
45 :
3
5
6
3 2 1
3 3 0
3
2
3
a
b
0
a
b
69. a) Wiadomo, ·
ze det 4c
d
05 =
24: Obliczyć det
;
c
d
5
2 3
2
3
3
0
0
0
61
x
y
0 7
x
y
b) Wiadomo, ·
ze det 6
7
4
:
5
z
t
0 5 = 18: Obliczyć det z
t
7
4
5
2
70. Jakie s ¾
a mo·
zliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spe÷
niaj ¾
acej podane warunki:
a) A3 = 4A
dla n = 3; 4;
b) AT =
A2
dla n = 3; 4 ?
71. Obliczyć det (2A) ; je·
zeli det (3A) = 54 i det (4A) = 128:
72. a) Obliczyć pole równoleg÷
oboku rozpi ¾
etego na wektorach: ~a = (2;
4) ;~b = (3; 7) ;
b) Obliczyć obj ¾
etość równoleg÷
ościanu rozpi ¾
etego na wektorach: ~a = (1; 1; 0), ~b = (0; 1; 1), ~c = (1; 0; 1) : 73. *Obliczyć wyznaczniki macierzy:
2
3
2
3
2
3
1
2
3
4
5
2
1
0
0
0
5
3
0
: : :
0
6
7
6
7
62 5 3 : : : 07
62 2 3 4 57
6 0
2
1
0
0 7
6
7
6
7
a) 6
7
6
7
0
2
5
: : :
0
63 3 3 4 57 ; b) 6 0
0
2
1
0 7 ; c) 6
7
:
4
6 .
.
.
7
4
4
4
4
55
4 0
0
0
2
15
4 .
.
.
.. ..
. . 35
5
5
5
5
5
1
0
0
0
2
0
0
0
: : : 5 n n
FFFFF
74. Korzystaj ¾
ac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do : 2
3
2
3
0 1 0 0
1
0
0
2 5
62 0 0 07
a) A =
;
b)
A = 43
1
0 5 ;
c)
6
7
3 8
40 0 0 35 :
2
5
1
0 0 4 0
75. Korzystaj ¾
ac z metody do÷¾
aczonej macierzy jednostkowej znaleźć macierze odwrotne do : 2
3
2
3
1
0
1 0
1
4
12
1
2
64
1
0
07
a) A =
;
b) A = 40
2
0 5 ;
c)
A = 6
7
3
1
40
2
1
35 :
0
2
6
0
0
0
1
7
ze
2
3
4
0
0
(2A) 1 = 4 8
2
0 5 :
10
12
6
Wyznaczyć A:
77. Wiadomo, ·
ze det (A) = 4 oraz det (B) =
3: Obliczyć:
h
i
a) det A (6B) 1 ;
b) det A 1 B3 A2 :
78. Znaleźć rozwi ¾
azania równań macierzowych:
3 5
0
3
1
a)
X =
;
1 2
4
2 0
2
3
2
3
1 2
0
3
b)
41 1
1 5 X = 4 1 5 ;
2 6
1
4
2
3
3 0 4
5 1 2
c)
X 4 1
1 15 =
;
1
2 3
2 0 3
2 1
3
2
2 8
d)
X
=
;
3 2
5
3
0 5
2
3 1
2 0 3
e)
X 4 1
1 15
=
2 1 3 ;
3 0 4
1
1
2 7
f )
X 1
5 6 =
:
1
2
4 5
1 4
79. Korzystaj ¾
ac ze wzorów Cramera wyznaczyć wskazan ¾
a niewiadom ¾
a z uk÷
adów równań liniowych:
2x
y
= 0
a)
; niewiadoma y;
3x + 2y
= 5
8
< x + y + 2z =
1
b)
2x
y
+ 2z
=
4 ; niewiadoma x;
: 4x + y + 4z =
2
8
>
> 2x + 3y + 11z + 5t =
2
< x + y + 5z + 2t = 1
c)
; niewiadoma z:
>
> 2x + y
+
3z
+ 2t =
3
: x + y + 3z + 4t =
3
FFFFF
80. Korzystaj ¾
ac z interpretacji geometrycznej przekszta÷
ceń liniowych znaleźć ich j ¾
adra, obrazy i rz ¾
edy:
a) L : R2 ! R2; obrót o k ¾
at
=
wokó÷pocz ¾
atku uk÷
adu.
3
b) L : R2 ! R2; rzut prostok ¾
atny na prost ¾
a x + y = 0:
c) L : R3 ! R3; symetria wzgl ¾
edem p÷
aszczyzny y = z:
d) L : R3 ! R3; obrót wokó÷osi Oy o k ¾
at
:
2
81. Wyznaczyć j ¾
adra, obrazy oraz rz ¾
edy przekszta÷
ceń liniowych:
a) L : R2 ! R; F (x1;x2) = x1
3x2;
b) L : R2 ! R2; F (x; y) = (x + y; 2x + 2y) ;
c) L : R3 ! R3; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
2z) ;
d) L : R ! R4; F (x) = (0; x; 0; x) :
8
a eliminacji Gaussa rozwi ¾
azać podane uk÷
ady równań:
8
< x + y + 2z =
1
a)
2x
y
+ 2z
=
4 ;
: 4x + y + 4z =
2
8
>
> 3x
2y
5z
+
t
=
3
< 2x
3y
+
z
+ 5t =
3
b)
:
>
> x + 2y
4t =
3
: x
y
4z
+ 9t =
22
83. a) Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty ( 1; 2) ; (0; 1) ; (2; 4) : b) Wyznaczyć wspó÷
czynniki a; b; c funkcji y = a2x + b3x + c4x; która w punktach 1; 0; 1 przyjmuje
odpowiednio wartości 3 ; 1; 1:
4
c) Funkcja y (x) = A cos 2x + B sin 2x spe÷
nia równanie ró·
zniczkowe y00
6y0 + 13y = 25 sin 2x:Wyznaczyć
wspó÷
czynniki A; B:
84. a) Dla jakich wartości parametru m; podany uk÷
ad jednorodny ma niezerowe rozwi ¾
azanie
8
< mx + y + 2z = 0
2x
y
+ mz
= 0 ?
: mx + y + 4z = 0
b) Dla jakich wartości parametrów a; b; c; d; podany uk÷
ad równań liniowych jest sprzeczny
8
>
> x + y
= a
<
z
+ t =
b ?
>
> x
+ z
=
c
:
y
+ t = d
c) Znaleźć wszystkie wartości parametru p; dla których podany uk÷
ad równań liniowych ma tylko jedno
rozwi ¾
azanie
8
< x + 2y
3z
=
1
2x
py
+
z
=
3
:
: 2x + y
pz
=
5
FFFFF
85. Korzystaj ¾
ac z de…nicji wyznaczyć wektory i wartości w÷
asne przekszta÷
ceń liniowych:
a) symetria wzgl ¾
edem osi Ox w przestrzeni R2;
b) obrót w przestrzeni R3 wokó÷osi Oy o k ¾
at
;
6
c) symetria w przestrzeni R3 wzgl ¾
edem p÷
aszczyny xOz;
d) rzut prostok ¾
atny w przestrzeni R3 na oś Oz :
86. Znaleźć wartości i wektory w÷
asne przeszta÷
ceń liniowych:
a) L : R2 ! R2; F (x; y) = (x + y; 2x + 2y) ;
c) L : R3 ! R3; F (x; y; z) = ( x; 5x + y; y
2z) ;
d) L : R4 ! R4; F (x; y; z; t) = (0; x; 0; x) :
FFFFF
87. (p) Napisać równanie okr ¾
egu, którego średnic ¾
a jest odcinek o końcach A = ( 1; 3), B = (5; 7) :
88. (p) Wyznaczyć wspó÷
rz ¾
edne środka i promień okr ¾
egu x2
4x + y2 + 6y + 2 = 0:
89. Znaleźć równanie okr ¾
egu opisanego na trójk ¾
acie ABC o wierzcho÷
kach A = (0; 0), B = (8; 0), C = (0; 6).
90. Znaleźć równanie okr ¾
egu, który przechodzi przez punkty P = (3; 4), Q = (5; 2) i ma środek na osi Ox.
9
egu, który jest styczny do obu osi uk÷
adu wspó÷
rz ¾
ednych oraz przechodzi przez
punkt A = (5; 8): Ile rozwi ¾
azań ma zadanie?
92. Znaleźć równanie stycznej okr ¾
egu x2 + y2 = 25:
a) w punkcie ( 3; 4);
b) przechodz ¾
acej przez punkt ( 5; 10);
c) równoleg÷
ej do prostej x
y
4 = 0;
d) prostopad÷
ej do prostej x + 2y = 0:
93. (p) Wyznaczyć osie, wspó÷
rz ¾
edne ognisk oraz mimośród elipsy
x2
y2
+
= 1:
16
9
94. Punkty F1 = ( 5; 0) ; F2 = (5; 0) s ¾
a ogniskami elipsy. Znaleźć równanie tej elipsy, je·
zeli widomo, ·
ze
jednym z jej wierzcho÷
ków jest punkt W = (0;
3)
95. Naszkicować elips ¾
e o równaniu 4x2
8x + 9y2 + 36y + 4 = 0:
96. (p) Wyznaczyć osie, wspó÷
rz ¾
edne ognisk oraz równania asymptot hiperboli
x2
y2 = 1:
144
25
97. Narysować hiperbol ¾
e wraz z asymptotami:
a) (y+5)2
(x 2)2 = 1;
16
9
b) 4x2
25y2 + 8x = 0:
98. Wyznaczyć wspó÷
rz ¾
edne ogniska, wierzcho÷
ka oraz podać równanie kierownicy paraboli o równaniu: a) y2 = 12x;
b) y = x2 + 6x:
99. Napisać równanie paraboli, której:
a) kierownic ¾
a jest prosta y =
2; a punkt W = ( 1; 6) - wierzcho÷
kiem;
b) kierownic ¾
a jest prosta x = 1; a punkt W = (5; 1) - wierzcho÷
kiem.
100. Jakie krzywe przedstawiaj ¾
a równania:
a) x2
y2 + 4 = 0;
b) (x
y)2 = 1;
c) x2 + y2 = 2xy?
10