Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy

1

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA – ZESTAW NR 1

POZIOM PODSTAWOWY

Nr

zadania

Nr

czynności

Etapy rozwiązania zadania

Liczba

punktów

Uwagi

1.1

Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu

2

2

53

260

y

x

x

=

−

+

:

729

Δ =

,

1

1

6

2

x

=

,

1

20

x

=

.

1

1.2

Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:

1

6 , 20

2

x ⎛

⎞

∈⎜

⎟

⎝

⎠

.

1

Zbiór rozwiązań nierówności może być
zaznaczony na wykresie.

1

1.3

Wypisanie wszystkich liczb całkowitych, które spełniają
nierówność: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

1

• Zdający może ustalić liczby całkowite,

które spełniają nierówność na
podstawie sporządzonego wykresu.

• Przyznajemy punkt, gdy zdający

zapisze, np. 7, 8, 9, ..., 19.

2.1

Zapisanie wielomianu w postaci sumy iloczynów, w których
występuje ten sam czynnik, np:

( )

(

) (

)

2

9

2

2

+

−

+

=

x

x

x

x

W

.

1

2.2

Zapisanie wielomianu w postaci

( ) (

)(

)(

)

2

3

3

+

+

−

=

x

x

x

x

W

i podanie wszystkich jego pierwiastków:

3

−

=

x

,

2

−

=

x

,

3

=

x

.

1

2.3

Zapisanie wielomianu

( )

x

P

w postaci rozwiniętej:

( )

18

9

2

2

3

−

−

+

=

x

x

x

x

P

.

1

2.4

Wyciągnięcie wniosku dotyczącego równości wielomianów:
Wielomiany

( )

x

W

i

( )

x

P

są równe.

1

Punkt przyznajemy za wniosek
konsekwentny do uzyskanej postaci
wielomianu

( )

x

P

.

2.5

Podanie metody pozwalającej ustalić znak wielomianu W(x) dla

10

x

>

, np. poprzez analizę znaków czynników występujących

w rozkładzie wielomianu.

1

Akceptujemy uzasadnienie poprzez
rozwiązanie nierówności.

2

2.6

Wykazanie nierówności, np.

3

2

2

9

18 0

x

x

x

+

−

−

>

(

) (

)

3, 2

3,

x

∈ − − ∪

∞

i zapisanie, że 10 3

> .

1

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy

2

2.1

II sposób rozwiązania

(czynność 2.1, 2.2):

Znalezienie jednego z pierwiastków i wykonanie dzielenia, np.

(

)

(

)

3

2

2

2

9

18 :

3

5

6

x

x

x

x

x

x

+

−

−

− =

+

+ .

1

2.2

Wyznaczenie pozostałych pierwiastków:

3

x

= −

,

2

x

= −

.

1

Wyznaczanie pierwiastków wielomianu
może się odbywać dowolną, znaną
zdającemu metodą, np. zastosowanie
twierdzenia Bezouta, schematu Hornera.

3.1

Obliczenie liczby wszystkich możliwych kodów PIN: 9999 lub

4

10

1

− .

1

Punkt przyznajemy także wtedy, gdy liczba
9999 pojawia się tylko w mianowniku
ułamka przedstawiającego
prawdopodobieństwo.

3.2

Obliczenie liczby wszystkich kodów o różnych cyfrach: 5040.

1

Punkt przyznajemy także wtedy, gdy liczba
5040 jest przedstawiona jako iloczyn

7

8

9

10

⋅

⋅

⋅

, oraz wtedy, gdy liczba pojawia

się tylko w liczniku ułamka
przedstawiającego prawdopodobieństwo.

3

3.3

Obliczenie prawdopodobieństwa i zapisanie go w postaci ułamka
nieskracalnego:

1111

560

.

1

4.1 a)

4.

1

4.2

b) 2005.

1

4

4.3

c) 6.

1

5.1

Obliczenie różnicy pól

2

P

i

1

P

kół o promieniach odpowiednio

41 m i 40 m:

2

2

2

1

41

40

81

P

P

π

π

π

− = ⋅

− ⋅

=

.

1

Zdający, obliczając

1

P

i

2

P

, może podać

wartości przybliżone.

5.2

Zapisanie właściwego ilorazu:

2

1

1

100%

P

P

P

−

⋅

.

1

Może też być wyznaczony stosunek

2

1

1681

1,050625

1600

P

P

=

=

.

5

5.3

Obliczenie szukanego procentu:

%

16

81

lub

%

16

1

5

lub 5,0625% .

1

Uznajemy również wynik zaokrąglony
do 1%: 5%.

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy

3

6.1

Uzupełnienie tabeli:

2

3

=

a

,

0

4

=

a

,

5

3

a

= ,

2005

1003

a

=

,

2006

0

a

= ,

2007

1004

a

=

,

2008

0

a

= .

1

Wystarczy, że zdający poprawnie obliczy

2

3

=

a

,

0

4

=

a

,

5

3

a

= .

6.2

Zapisanie wartości wyrażenia:

(

) (

) (

)

2006

2007

2008

2005

2006

2007

0

a

a

a

a

a

a

⋅

⋅

=

.

1

Wystarczy, że zdający poprawnie ustali
wartości poszczególnych czynników, np.

1 0 1

⋅ ⋅

.

6.3

Stwierdzenie, że ciąg

(

)

2007

5

3

1

,

,

,

,

a

a

a

a

…

jest

arytmetyczny: np.

1

1

=

a

,

1

=

r

, albo stwierdzenie, że wyrazy pierwszy, trzeci, piąty

itd. to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego.

1

6.4

Określenie liczby wyrazów ciągu

(

)

1

3

5

2007

, , , ,

a a a

a

…

:

n =1004.

1

Jeśli zdający źle ustali liczbę wyrazów
ciągu

(

)

1

3

5

2007

, , , ,

a a a

a

…

, to nie otrzymuje

punktu także w czynności 6.5.

6

6.5

Zastosowanie wzoru na sumę 1004 początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego i obliczenie sumy 2008 początkowych wyrazów

ciągu

( )

n

a :

504510

1004

2

1004

1

=

⋅

+

.

1

Jeśli zdający stosuje bezpośrednio wzór

(

)

1

1 2

2

n n

n

+

+ + + =

…

dla n = 1004, to

otrzymuje wszystkie punkty za czynności
6.3, 6.4, 6.5.

7.1

Podanie wysokości z jakiej został rzucony kamień:

( )

0

10

h

=

m.

1

7.2

Obliczenie odciętej wierzchołka paraboli i zapisanie odpowiedzi:

1
2

w

t

= , np. „po upływie pół sekundy”.

1

7

7.3

Obliczenie największej wysokości na jaką wzniesie się kamień:

max

1

11, 25

2

h

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

m.

1 Zdający może pominąć jednostki.

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy

4

8.1

Narysowanie wykresu funkcji g.

1

8.2

Obliczenie największej wartości funkcji g w przedziale

1

3

,

21

:

( )

7

1

2

21

=

g

.

1

8.3

Zapisanie równania:

0

2

3

=

+

x

.

1

8

8.4

Rozwiązanie równania i sformułowanie odpowiedzi:

2

3

−

=

x

, o

2

3

jednostki w prawo (albo o

2

3

wzdłuż osi Ox).

1

Jeśli zdający bez obliczeń poda poprawnie,
o ile należy przesunąć wykres, to
otrzymuje punkt także w czynności 8.3.

9.1

I sposób rozwiązania:
Zapisanie założenie, że trójkąt ABR jest podstawą, a odcinek CR jest
wysokością danego ostrosłupa ABRC.

1

9

9.2

Obliczenie pola podstawy:

2

1

m

2

p

P

=

.

1

–1

–1

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

9

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

–6

–6

–7

–7

–8

–9

y

x

2

3 +

=

x

y

x

y

3

=

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy

5

9.3

Obliczenie objętości ostrosłupa:

3

1 1

1

1

m

3 2

6

V

= ⋅ ⋅ =

.

1

Zdający może pominąć jednostki.
Jeśli zdający zapisze, że objętość

ostrosłupa jest równa

3

1

m

6

, bo jest to

naroże sześcianu o krawędzi 1 m,
to przyznajemy punkty w czynnościach
9.1, 9.2, 9.3.

9.4

Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,01 m

3

: 17

,

0

=

V

m

3

.

1

9.1

II sposób rozwiązania:
Podstawą ostrosłupa ABCR jest trójkąt równoboczny ABC, którego
krawędź podstawy ma długość

2

. Obliczenie pola podstawy

ostrosłupa:

2

3

m

2

p

P

=

.

1

9.2

Obliczenie wysokości H ostrosłupa:

2

2

6

3

1

m

3

3

H

⎛

⎞

=

−

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

.

1

9.3

Obliczenie objętości ostrosłupa:

3

1

3

3

1

m

3 2

3

6

V

= ⋅

⋅

=

.

1

9.4

Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,01 m

3

: 17

,

0

=

V

m

3

.

1

10.1

Wyznaczenie równania prostej AB:

1

2

2

y

x

=

+ lub

2

4 0

x

y

−

+ = .

1

10.2

Zbadanie położenia punktu K względem prostej AB:

1

36 2 20 21

2

⋅

+ =

<

.

1

10

10.3

Zbadanie położenia punktu L względem prostej AB:

(

)

1

1

37

2

16

15

2

2

⋅ −

+ = −

< − .

1

Jeśli zdający jedynie sprawdza, czy punkty
K i L należą do prostej AB, to:
w czynności 10.2 otrzymuje 1 pkt , a
w czynności 10.3 nie otrzymuje punktu.
Np.:

21

20

2

36

2

1

≠

=

+

⋅

,

(

)

15

16

2

37

2

1

2

1

−

≠

−

=

+

−

⋅

.

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy

6

10.4

Podanie wniosku: Punkty K i L leżą po tej samej stronie prostej AB. 1

Nie przyznajemy punktu za wniosek
(nawet poprawny), jeśli nie jest
uzasadniony, np. brak czynności 10.2, 10.3
lub podobnego rozumowania.
Przyznajemy punkt za wniosek
konsekwentny do otrzymanych rezultatów.

11.1

Obliczenie długości skośnej krawędzi konstrukcji: 10 5 cm .

1

Zdający może podać wartość przybliżoną:
np. 22,36 cm albo 22,4 cm.

11.2

Obliczenie sumy pól powierzchni ścian, które są trapezami:

(

)

2

40 30 20

2

1400cm

2

+

⋅

⋅

=

.

1

11.3

Obliczenie sumy pól powierzchni ścian będących prostokątami:

2

20 20 20 40 20 30 20 10 5 1800 200 5 cm

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

.

1

Akceptujemy wynik: 2247

2

cm lub

2248

2

cm , o ile w czynności 11.1 zdający

przyjął zaokrąglenie 10 5 22, 4

≈

.

11

11.4

Podanie wyniku z żądanym zaokrągleniem:

(

)

200 16

5

P

=

+

≈ 3647

2

cm .

1

Akceptujemy wynik 3648. Zdający może
pominąć jednostki.

12.1

I sposób rozwiązania:
Wykorzystanie zależności między sinusem i cosinusem tego samego
kąta i zapisanie wyrażeń w postaciach:

2

tg

1 cos

sin

tg

sin

sin

α

β

α

α

β

α

⋅ −

+

=

⋅

+

,

2

tg

1 cos

sin

tg sin

sin

β

α

β

β

α

β

⋅ −

+

=

⋅

+

.

1

12.2

Wykorzystanie zależności między tangensem, sinusem i cosinusem
tego samego kąta i zapisanie wyrażeń w postaci:

tg

sin

sin

2sin

α

β

α

α

⋅

+

=

,

tg sin

sin

2sin

β

α

β

β

⋅

+

=

.

1

12

12.3

Obliczenie wartości wyrażeń:

2

10

tg

1 cos

sin

2sin

13

α

β

α

α

⋅ −

+

=

=

,

2

24

tg

1 cos

sin

2sin

13

β

α

β

β

⋅ −

+

=

=

.

1

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki

Odpowiedzi i schemat punktowania – poziom podstawowy

7

12.4

Porównanie liczb

13

10

i

13

24

i sformułowanie odpowiedzi:

13

24

13

10 < ,

drugie wyrażenie.

1

Jeżeli zdający nie wykonuje obliczeń,
a stwierdzi jedynie, że sinus większego
z kątów ostrych trójkąta jest większy
i zapisze

2sin

2sin

β

α

>

, to otrzymuje

punkt także za czynność 12.3.

12.1

II sposób rozwiązania:
Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta

α :

13

5

sin

=

α

,

13

12

cos

=

α

,

12

5

tg

=

α

.

1

Punkt otrzymuje zdający, który popełni co
najwyżej jeden błąd.

12.2

Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta

β

:

13

12

sin

=

β

,

13

5

cos

=

β

,

5

12

tg

=

β

.

1

Punkt otrzymuje zdający, który popełni co
najwyżej jeden błąd.

12.3

Obliczenie wartości wyrażeń:

13

10

sin

cos

1

tg

2

=

+

−

⋅

α

β

α

,

13

24

sin

cos

1

tg

2

=

+

−

⋅

β

α

β

.

1

12.4

Porównanie liczb

13

10

i

13

24

i sformułowanie odpowiedzi:

13

24

13

10 < ,

drugie wyrażenie ma większą wartość.

1

13.1

Obliczenie średniej arytmetycznej liczby sprzedanych biletów:

5

=

x

.

1

13.2

Przedstawienie metody obliczenia wariancji lub odchylenia
standardowego, np.:

(

)

(

) (

) (

)

(

)

(

) (

)

2

2

2

2

2

2

2

1 5 2

4 5 3

1 5 4

1 5 5

2 5 6

2 5 8

1 5 9

12

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

.

1

Wystarczy, że zdający poprawnie podstawi
dane do wzoru na wariancję lub odchylenie
standardowe.

13.3

Obliczenie odchylenia standardowego:

31

2, 27

6

≈

.

1

13

13.4

Podanie godzin, w których liczba sprzedanych biletów nie była
typowa: 5:00 – 6:00, 7:00 – 8:00, 8:00 – 9:00, 15:00 – 16:00.

1

Zdający może podać też
5:00 – 6:00, 7:00 – 9:00, 15:00 – 16:00.