ZJAWISKA CIEPLNE W SILNIKU

Przejdźmy do zjawisk cieplnych zachodzących w silniku. Wiadomo, że zarówno nagrzanie jak i
wystudzenie dowolnego ciała wymaga określonego czasu. Zmienność temperatury silnika w czasie
można wyznaczyć na podstawie modelu, w którym uzwojenia silnika są zastąpione jednorodną bryłą o
masie m i o małym oporze przewodzenia ciepła, do której w czasie dt zostaje doprowadzone ciepło

dt

P

dQ

S





Przypomnijmy, ze symbol

P

S

oznacza moc strat. Zgodnie z zasadą zachowania energii (rys.2.2.3) jest

O

S

dQ

dQ

dQ

+

=

Ciepło dQ

S

pozostaje w bryle nagrzewając ją, zaś ciepło dQ

0

, zostaje odprowadzone do otoczenia, przy

czym

S

p

dQ

m c

d



  

0

dQ

A

dt

 

  



gdzie:
c

p

– ciepło właściwe w

kg

K

/

J



,



- nadwyżka temperatury bryły ponad temperaturę otoczenia w K,

A – powierzchnia bryły przez którą odprowadzane jest ciepło w m

2

,



- współczynnik przejmowania ( oddawania) ciepła w

2

m

K

/

J



dt – przyrost czasu w s.

Przyrost ciepła na skutek strat w silniku

St

s

dQ

P dt







Przy czym

s

P



całkowite straty w silniku

St

0

dQ

dQ



W stanie ustalonym ilość

wytworzonego

ciepła równa się ilości ciepła

akumulowanego czyli

s

u

P

A



 

  



, gdzie

u

ustalona temperatura ( brak przyrostu temperatury)

zatem

s

u

P

A













Teraz rozpatrzmy przypadek stanu nieustalonego

dQ

0

dQ

dQ

S

Rys.2.2.3

m

p

m c

d



 

s

p

P dt

m c

d

A

dt





 

   

  





Wyznaczmy z powyższego równania dt

p

s

m c

d

dt

P

A





 

 



  



To samo równanie można zapisać jeszcze inaczej

p

p

s

u

m c

d

m c

d

dt

P

A

(

)

A

(

)

A







  

 



 

 

 

 



 



 







Jeśli warunki przejmowania ciepła ( chłodzenia) są stałe to po scałkowaniu uzyskamy:

u

c

t

ln(

) C

 











, gdzie

p

c

m c

A











jest termiczną stała czasową.

Trzeba pamiętać, że silnik nie jest ciałem jednorodnym, a w praktyce współczynnik
oddawania ciepła nie jest wielkością stała. Ma to konsekwencje, o których napiszemy
dalej.

Przyjmując warunek początkowy dla czasy t = 0



=



u

i wyznaczając C oraz dokonując

przekształceń uzyskujemy ostatecznie ważny wzór

Wnioski

* Przy powyższych założeniach, osiągnięcie temperatury ustalonej

u



, następuje teoretycznie po ·

nieskończenie długim czasie.


* Ustalony przyrost temperatury

u



zależy od sumy strat w silniku i jest ich liniową funkcją

Stała termiczna zależy do budowy silnik, a nie sposobu jego obciążenia



Uwaga

Stała termiczna silnika zależy od gabarytów silnika (uzwojenia), budowy, sposobu wentylacji

i warunków pracy.

Przy przeciążeniach długotrwałych uzwojenie nie może być traktowane jako odrębny

element maszyny elektrycznej. Należy wówczas przyjąć stałą czasową nagrzewania silnika w
całej swojej masie. Natomiast przy przeciążeniach krótkotrwałych należy brać pod uwagę stałą
czasową nagrzewania uzwojenia, która wynosi zaledwie kilka minut.

c

t

u

1 e















 













czas

t

m2

u 2



u 2



Przykład
Stała termiczna silnika

t

min 10

20

30 40

50

60 70

80 90

100

120

150

180

200



0

C

17.1 29.2 38 44.2 48.7 52 54.2 56 57.2 57.8 58.5 59.5 59.7 59.8

Tabela 1 Przykładowy przebieg nagrzewania się się silnika dla maksymalnego przyrostu
temperatury.


W MATLABIE

t=[10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 150 180 200];

teta=[17.1 29.2 38 44.2 48.7 52 54.2 56 57.2 57.8 58.8
59.5 59.7 59.8];

stem(t,teta)

hold

on

plot(t,teta)

xlabel (

't [s]'

)

ylabel(

'delta'

)

Ile wynosi termiczna stała czasowa?
Jaka jest wartość

u



?

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0

10

20

30

40

50

60

t [s]

d

e

lt

a

Elementy straty w silniku:



W uzwojeniach silnika

2

Cu

P

f (I )







W obwodzie magnetycznym ( na drodze strumienia od pola magnetycznego )

1,3

Fe

P

f (f

)







Mechaniczne:

- tarcia w łożyskach, tarcie szczotek

tar

P

f (n)





;

- wentylatorowe

2

went

P

f (n )







Straty przewodzenia ( na drodze komutator-szczotki)

psz

P

f (I)







Straty dodatkowe ( nieuwzględniane wyżej)

dod

P



Straty dodatkowe

dod

P



zgodnie z polskimi normami wynoszą w maszynach prądu stałego od

0,5%, do 1%, a w maszynach asynchronicznych około 0,5% mocy znamionowej maszyny.

Przy pracy znamionowej straty w uzwojeniach są na ogół większe od pozostałych
strat.

Z przedstawionych tu zależności wynika, że

2

2

2

u

un

un

un

n

n

n

I

M

P

I

M

P









 





















 









 









gdzie

un

m

P

P

const











zaś P

m

jest mocą na wale.

Praca dorywcza silnika
Oznaczmy ustalony przyrost temperatury dla pewnego obciążenia (wyróżnimy go indeksem „1”) na
wale jako

1



u

.

Jeśli silnik poruszać będzie się ze stała prędkością przez nieskończenie długi czas i w chwili t =0 jego
temperatura wynosiła zero to zmiany temperatury opisuje krzywa

c

t

1

u1

1 e















 













pamiętając, że

2

2

1

1

1

(

)













u

m

m

P

const

M

n

const

(x)

Przypuśćmy teraz, że ten sam silnik obciążamy większym momentem dla tej samej prędkości n

1

Stała

termiczna nie zmieni się, ale zmieni się

u



Mamy więc teraz

c

t

2

u 2

1 e















 













2

2

2

2

2

1

(

)













u

m

m

P

const

M

n

const

(xx)

Porównując (x) z (xx) mamy

2

2

2

1

1

(

)







m

u

u

m

P

P

Zatem

c

c

t

t

2

m2

2

u 2

u1

m1

P

1 e

(

)

1 e

P

























 





























(xxx)

Jeśli P

m1

jest mocą dobraną dla silnika dla pracy ciągłej, zaś P

m2

dla pracy dorywczej wówczas aby silnik

się nie przegrzewał trzeba dodać warunek, że temperatura pod koniec pracy przy obciążeniu dorywczym
jest taka sama jak przy obciążeniu stałym czyli

2

1







Stąd równanie (xxx) będzie miało postać

c

t

2

m2

u1

u1

m1

P

(

)

1 e

P





























, a po przekształceniach

(XXXX)

Wnioski

*

Korzystając z wzoru (XXXX) można obliczyć moc danego silnika przy pracy dorywczej
( znanej, jako S2) o ile znamy moc silnika przy pracy ciągłej (S1) i termiczną stała czasową.

*

Im większa jest termiczna stała czasowa tym większa może być wybrana moc przy obciążeniu
dorywcza

,

Przykład 1
Dany jest silnik indukcyjny 3 fazowy budowy zamkniętej Sg 160L-2 o mocy 18,5kW i stałej
nagrzewania 30 min.
Jaką mocą można obciążyć wskazany silnik przy pracy dorywczej przy obciążeniu trwającym 15
minut?

Rozwiązanie

Moc przy pracy dorywczej

m 2

c

m1

m2

t

P

P

1 e

























, gdzie P

m1

= 18,5kW, t

m2

= 15 min,

c



= 30 min

m2

15

30

18, 5

P

1 e



















= 29,49 kW

MATLAB
Pm2=18.5/(1-exp(-15/30))^0.5
Pm2 =
29.492818613150884

Silnik można obciążyć w trybie S2 mocą 29,49 kW.

m 2

c

m1

m2

t

P

P

1 e

























(XXXX

Przykład 2

Silnik asynchroniczny do pracy ciągłej ma moc 22kW, a jego stała czasowa wynosi 60 min.

W jakim czasie można silnik obciążyć mocą 30kW przy pracy dorywczej.

Rozwiązanie

Przekształcając wzór

m 2

c

m1

m2

t

P

P

1 e

























otrzymujemy

2

2

m2

m2

c

2

2

2

2

m2

m1

P

30

t

ln

60 ln

P

P

30

22















Przykład 3

Ustalić wartość strat dopuszczalnych przy pracy dorywczej S2 ( 15, 30 i 60 minutowej)

względem strat przy pracy ciągłej dla silnika o stałej cieplnej

c



= 60 min.

Rozwiązanie

Straty dopuszczalne przy pracy dorywczej ( indeks d) wyznaczamy z wzoru

c

c

d

t

P

P

1 e





























, gdzie

c

P



są stratami dla pracy ciągłej zaś t=15,30 i 60 min.

Z obliczeń dla pracy 15 minutowej

15

P



=4,53

c

P



Przykład 4

Silnik budowy zamkniętej typu Sg132M-6B o mocy znamionowej 5,5kW, prędkości 950 rad/s i

krotności momentu maksymalnego M

k

/M

N

=3,1 obciążono momentem 2,5 razy większym od

znamionowego. Jak długo może pracować ten silnik bez obawy przegrzania przy takim

obciązeniu? Termiczna stała czasowa jest równa 30 min.

Rozwiazanie

Z treści zadania wynika, że termiczna stała czasowa

c



=30

min

Oznaczmy przyrost temperatury dla silnika pracującego w warunkach znamionowych

dodatkowym indeksem u tj

un



, zaś silnika obciążonego momentem dwu i półkrotnym, jako

u 2,5



. Jak wiadomo ustalony przyrost temperatury

u



jest proporcjonalny do kwadratu

momentu, zatem

u 2,5

2

2

u 2,5

un

un

p

p

















Temperatura silnika

c

c

t

t

2

2,5

u 2,5

un

1 e

p

1 e

























 





 

























nie może przekroczyć przyrostu temperatury ustalonej

un



co zapiszemy jako

2,5

un







i dalej

c

t

2

un

un

p

1 e

















 













Stąd po przekształceniu wyznaczamy szukaną wartość t z wzoru

2

2

c

2

2

p

2,5

t

ln

30 ln

p

1

2,5

1













=5,23 minuty

Zwróćmy uwagę, że jest to ilustracja wyprowadzenia oznaczonego (xxxx)