Microsoft PowerPoint - GW_Zjawiska plywowe (sem.IV)

Zjawiska p

ywowe

i ich modelowanie

Janusz Walo

ver

. 1.0 (05.2009)

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

ywy ziemskie

…

I )

Zamiany si

y grawitacji ziemskiej spowodowane zmiennym

przyci

ganiem cia

niebieskich wywo

tzw.

zjawiska p

ywowe

a same si

y nazywa si

ami p

ywowymi

ywy ziemskie

to odkszta

cenia Ziemi oraz zmiany potencja

grawitacyjnego Ziemi wywo

ane przez si

y p

ywowe cia

zewn

trznych, g

wnie przez

przyci

ganie Ksi

ęŜ

yca i S

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

ywy ziemskie

…

II )

W geodezji modelowanie p

w ziemskich pozwala przede

wszystkim wyznaczy

poprawki

luni

solarne

w pomiarach

grawimetrycznych i niwelacyjnych

; pozwala te

obliczy

oczekiwan

zmian

enia punktu

wnie wysoko

ci)

, co jest wykorzystywane

do wyznaczenia pozycji absolutnej w systemach GNSS

wnie w

metodzie PPP).

W geofizyce pomiary wielko

ci p

w ziemskich mog

dostarcza

informacji o budowie Ziemi

(np. sp

aszczeniu skorupy Ziemi)

, a wybrane

modele p

w wykorzystuje si

do przewidywania trz

sie

Ziemi

oparciu o wzrost napr

ęŜ

w wybranych rejonach Ziemi)

…

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Obja

nienie si

ywowych

…

I )

Paradoks powstawania si

ywowych o tej samej warto

i o przeciwnych zwrotach po przeciwnych stronach Ziemi

…

Zmienny wektor si

y grawitacji cia

niebieskiego w funkcji odleg

ci od niego

Wektor si

ywowych b

cy r

nic

wektora

y grawitacji w danym punkcie i wektora si

grawitacji w

rodku mas Ziemi

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Obja

nienie si

ywowych

…

II )

wektor si

ywowych

‘

sta

’

wektor od

rodkowy

rodkowy c

‘

zmienny

’

wektor przyci

gania

grawitacyjnego Ksi

ęŜ

yca

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Obja

nienie si

ywowych

…

III )

(

)















−













−

)

(

Przyspieszenie si

ywowych w punkcie

na zapisa

w postaci:

gdzie

to promie

Ziemi, a

odleg

ść

do Ksi

ęŜ

yca.

Przyjmuj

c warto

dla Ksi

ęŜ

yca i

dla Ziemi ca

kowite

przyspieszenie, wywo

ane przyci

ganiem Ksi

ęŜ

yca, na powierzchni Ziemi

e osi

ąć

warto

ść

3.3

mGal

, a przyspieszenie p

ywowe

0.111

mGal

punktach najbli

ej i najdalej po

onych wzgl

dem Ksi

ęŜ

yca (

0.055

mGal

punktach

‘

biegunowych

’

). Przyspieszenie p

ywowe nie przekracza

3.4%

warto

ci przyspieszenia wywo

anego przyci

ganiem Ksi

ęŜ

yca

…

(1)

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

ywowych

…

I )

zenit

’

cos

−

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

ywowych

…

I )

cos

−

Pole wektorowe si

ywowych mo

na opisa

posi

kuj

c si

potencja

em tego

pola

gdzie

to potencja

grawitacyjny,

to sta

y potencja

rodkowy:

(

)

grad

−

(

)

cos

∑

∞













Na podstawie rysunku oraz z rozwini

cia

1/l

w szereg

(patrz poprzednie

wyk

ady)

potencja

przyci

gania grawitacyjnego w punkcie

gania grawitacyjnego w punkcie A

na zapisa

kolejno w postaci zale

ci:

(2)

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

ywowych

…

II )

( )

{

}

abs

∇

W przypadku potencjału V

stałego pola odśrodkowego zauwaŜmy, Ŝe:

( )

≡

(

)

cos

∑

























Bior

c ponadto pod uwag

(1)

dla punktu

oraz korzystaj

c z

warunku granicznego

(O)=0

dobieramy wyra

enie

tak, aby:

Co w konsekwencji prowadzi do zale

ci:

atwo sprawdzi

e powy

sze r

wnanie spe

nia warunek

(3)

…

(3)

(4)

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

ywowych

…

III )

Tworząc róŜnicę wyraŜeń (2) i (4) dostaniemy wzór opisujący potencjał
pływowy wywołany przez przyciąganie KsięŜyca:

( )

(

)

cos

∑

∞













−

Podobnie mo

na post

w przypadku potencja

u p

ywowego wywo

anego

przyci

ganiem grawitacyjnym S

…

W konsekwencji potencja

ywowy w

punkcie

na powierzchni Ziemi wywo

any przyci

ganiem Ksi

ęŜ

yca i S

dzie r

wny sumie:

( )

−

(5)

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

ywowych

…

IV )

KsięŜyc i Słońce mają dominujący wpływ na wartość potencjału pływowego.
Przyjmując, Ŝe potencjał pływowy wywołany wpływem KsięŜyca równy jest
jedności dostaniemy dla innych ciał niebieskich zaniedbywalne wartości
potencjału:

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

ęŜ

ło

ńc

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

ywowych

…

V )

Potencjał pływowy zmienia się w czasie w funkcji zmiany kąta zenitalnego z
ciała niebieskiego względem linii pionu w punkcie A. Wprowadzając do wzoru
(5) tzw. stałą Doodsona postaci:

Przyjmując, Ŝe R to średni promień Ziemi, M masa KsięŜyca lub Słońca,
a r ich średnia odległość od Ziemi dostaniemy wartości stałej:

207

628

−

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

ywowych

…

VI )

We wzorze (5) na wartość potencjału pływowego największy wpływ będzie
miała harmoniczna sferyczna drugiego rzędu i w większości zastosowań
geodezyjnych moŜna ograniczyć wzór na potencjał do wyrazów
zawierających jedynie tę harmoniczną. Pamiętając, Ŝe:

(

)

























−

cos

Wzór na potencjał pływowy moŜna zapisać:







































≅

cos

(6)

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

ywowych

…

VII )

Zastępując we wzorze (6) odległość zenitalną przez związek z szerokością
geocentryczną punktu, deklinacją i kątem godzinnym ciała niebieskiego:

cos

sin

cos

Zastępując ponadto szerokość geocentryczną szerokością geograficzną
dostaniemy oraz przyjmując, Ŝe drugie i trzecie potęgi stosunków promieni
wodzących za równe jedności dostaniemy uproszczoną formułę postaci:

























−













−

≅

sin

cos

sin

cos

Mając na uwadze fakt, Ŝe deklinacja KsięŜyca i Słońca zmienia się nieznacznie, na
potencjał pływowy wpływają głównie zmiany kąta godzinnego. Ponadto istnieją dwie
antypodalne ‘nadwyŜki pływowe’ co prowadzi do wniosku, Ŝe wartości potencjału
pływowego zmieniają w cyklu półdobowym.

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Zmiany przyspieszenia

…

I )

W geodezji rozpatruje się 3 zasadnicze efekty
zmian pływowych pola siły cięŜkości: zmianę
modułu wektora sił, nachylenie powierzchni
ekwipotencjalnej oraz przesunięcie powierzchni
ekwipotencjalnej. Inne efekty moŜna uwaŜać za
pochodne tych zasadniczych (np. zmiany odchyleń
pionu, wysokości nad geoidą etc.).

g + a

θθ

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Zmiany przyspieszenia

…

II )

Wzór na składową radialną przyspieszenia sił pływowych (wpływ na
pomierzoną wartość przyspieszenia siły cięŜkości) dostaniemy róŜniczkując
wzdłuŜ promienia (ściśle po normalnej) zaleŜność (5):

lub uproszczonej zaleŜności (6):

(

)

∑

∞













−

∂

−

≅

cos

)

(

(7)













≅

cos







































∂

−

≅

cos

)

(

przyjmując, Ŝe stosunki promieni za równe jedności dostaniemy z
dostateczną praktycznie dokładnością wzór postaci:

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Zmiany przyspieszenia

…

III )

W celu wyznaczenia składowej poziomej przyspieszenia pływowego
róŜniczkujemy wzór (6) po elemencie łuku ds=Rdz tzn.:

sin

)

(

−

∂

≅

(8)

Łatwo zauwaŜyć, Ŝe tan

θ≈θ

/g, a więc stosunek składowej poziomej

przyspieszenia pływowego do przyspieszenia siły cięŜkości to odchylenie linii
pionu wywołane siłami pływowymi (poprawka pływowa)…

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Zmiany po

enia powierzchni ekwipotencjalnej

…

)

Potencjał pływowy moŜna traktować jako pewien przyrost potencjału tzn.:

(9)

Zatem powierzchnia potencjalna pod wpływem sił pływowych zmieni swoje
połoŜenie o wielkość znaną z teorii wysokości, a mianowicie:

(

)

∑

∞













−

≅

cos

)

(

W =

const

W + V

const

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Si

y p

ywowe a elastyczno

ść

Ziemi

…

I )

Ziemia w rzeczywistości nie jest bryłą sztywną (czego dotyczyły poprzednie
modele) i do opisu zachowania Ziemi pod wpływem sił pływowych stosuje
się modele wywiedzione z teorii elastyczności (deformacje krótkookresowe)
i „lepkoelastyczności” (napręŜenia długookresowe).

Najczęściej stosuje się model elastyczny A.Love’a, w którym rozpatruje się
stosunek rzeczywistego przemieszczenia radialnego

(wzdłuŜ promienia

wodzącego)

do odpowiadającego mu przemieszczenia elementu masy

pewnego modelu „Ziemi płynnej”. Ten stosunek to tzw. pierwsza liczba
Love’a h.

dla Ziemi sztywnej

h=0

dla Ziemi „płynnej”

h=1

dla Ziemi rzeczywistej

0 < h < 1

Dla Ziemi o jednorodnym rozkładzie masy przyjmując model pływu opisany
harmoniczną n=2 liczba h=0.62

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Si

y p

ywowe a elastyczno

ść

Ziemi

…

II )

Innym miernikiem elastycznej reakcji Ziemi jest tzw. liczba Shidy l. Liczba
Shidy to stosunek elastycznego poziomego przemieszczenia elementu masy
Ziemi rzeczywistej do analogicznego przemieszczenia masy „Ziemi płynnej”,
przy załoŜeniu jednorodności modelu Ziemi (izotropii warstw poziomych).
Liczba Shidy zmienia się tylko wraz z głębokością…

Dla Ziemi o jednorodnym rozkładzie masy przyjmując model pływu opisany
harmoniczną n=2 liczba l=0.08

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

deformacyjny

…

I )

Siły pływowe powodują zmiany kształtu Ziemi

(przestrzennego rozkładu mas)

Zmiany przestrzennego rozkładu mas powodują zmianę potencjału
grawitacyjnego Ziemi, którą to zmianę nazywa się potencjałem
deformacyjnym V

Wpływ potencjału deformacyjnego powoduje zmianę rozkładu mas…

PowyŜszy proces prowadzi do pewnego stanu równowagi, a za pomocą
potencjału deformacyjnego definiuje się drugą liczbę Love’a:

Wyznaczona eksperymentalnie liczba k dla modelu
uwzględniającego harmoniczne drugiego rzędu wynosi k=0.29.

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Potencja

deformacyjny

…

II )

Liczby Love’a a deformacje Ziemi…

(

)

W + V

const

W + V

const

Ziemia niezdeformowan

W =

const

δδ

Ziemia zdeformowana

δδ

= h

δδ

zmiana połoŜenia powierzchni
ekwipotencjalnej

Doodson przedstawił rozwinięcie
potencjału w szereg harmoniczny.
Obecnie wyróŜnia się ponad 500
fal pływowych o róŜnej fazie,
częstotliwości i amplitudzie…

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Geodezyjne efekty zjawisk p

ywowych

…

I )

Potencjał na powierzchni Ziemi elastycznie odkształconej wynosi:

(

)

−

gdzie V

to wynik działania sił pływowych, a hV

jest skutkiem

pływowej zmiany wysokości. RóŜniczkując otrzymany wzór po r
dostaniemy składową radialną przyspieszenia pływowego:

⋅

























≅

cos

gdzie

RóŜniczkowanie po elemencie łuku ds= Rdz prowadzi do wzoru:

(

)

⋅

gdzie

sin

−

≅

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Geodezyjne efekty zjawisk p

ywowych

…

II )

Współczynniki

δ i γ nazywa się współczynnikami amplitudy głównych

fal pływowych.

Wartość tzw. współczynnika grawimetrycznego

δ przyjmuje się zwykle

w granicach od 1.15 do 1.19

(najczęściej w przybliŜeniu przyjmuje się

wartość 1.2).

Wartość tzw. współczynnika niwelacyjnego

γ, w zaleŜności od

elastyczności skorupy ziemskiej, waha się w przedziale od 0.67 do
0.75.

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Geodezyjne efekty zjawisk p

ywowych

…

III )

RóŜniczkując wyraŜenie na potencjał pływowy tzn.:

≈

∂

≈

∂

Pływową zmianę przyspieszenia siły cięŜkości moŜna wyrazić przez:

⋅

≈

Stąd po wstawieniu wartości średniego promienia Ziemi i

δ=1.2

dostaniemy poprawkę pływową do mierzonego przyspieszenia siły
cięŜkości:

[

]

⋅

≈

−

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Geodezyjne efekty zjawisk p

ywowych

…

IV )

Pływowa zmiana wysokości elipsoidalnej dla g=9.8 ms

-2

i h=0.62:

[

]

mgl

⋅

−

≈

−

⋅

Pływowa zmiana wysokości geoidy:

[

]

mgl

⋅

−

≈

−

(

)

≈ 1

RóŜnica pływowej zmiany wysokości elipsoidalnej i pływowej zmiany
wysokości geoidy daje pływową zmianę wysokości ortometrycznej:

[

]

mgl

⋅

≈

−

⋅

−

Janusz Walo

Zjawiska p

ywowe

(Geodezyjne efekty zjawisk p

ywowych

…

V )

Maksymalne wartości poprawek do wielkości geodezyjnych na skutek
oddziaływania sił pływowych wynoszą:

0.026 mm/km

0.056 mm/km

nica wysoko

0.010

”

0.021

”

Odchylenie pionu

3.7

Odleg

ść

pozioma

Gal

165

Gal

Przyspieszenie si

y ci

ęŜ

32 cm

69 cm

Wysoko

ść

geoidy

17 cm

36 cm

Wysoko

ść

ortometryczna (normalna)

15 cm

33 cm

Wysoko

ść

elipsoidalna

Ksi

ęŜ

Wielko

ść