1
Redukcje pomiar
Redukcje pomiar
ó
ó
w
w
grawimetrycznych
grawimetrycznych
i anomalie grawimetryczne
i anomalie grawimetryczne
Janusz Walo
Janusz Walo
Janusz Walo
ver
ver
ver
. 1.0 (01.2008)
. 1.0 (01.2008)
. 1.0 (01.2008)
2
Redukcje grawimetryczne
Redukcje grawimetryczne
(1)
(1)
(Og
(Og
ó
ó
lne poj
lne poj
ę
ę
cie redukcji)
cie redukcji)
Redukcje grawimetryczne to pewne zabiegi rachunkowe, w
których chodzi o taką zmianę wartości przyspieszenia siły cięŜkości
pomierzonego na powierzchni Ziemi
(wykonuje się teŜ pomiary pod i nad
powierzchnią Ziemi; w geodezji stosuje się je jednak stosunkowo rzadko)
, aby
odpowiadała ona innemu punktowi połoŜonemu na linii pionu
stanowiska pomiarowego.
Wyznaczenie redukcji nie jest proste ze względu na odległość punktu pomiarowego
od poziomu, na który wykonujemy redukcję (zwykle na geoidę), róŜną miąŜszość i
gęstość skał (gruntu) na drodze redukcji, rzeźbę terenu otaczającego punkt
pomiarowy, a nawet budowle w otoczeniu punktu. W celu uzyskania wyniku
niezaleŜnego od tych czynników, naleŜy wyeliminować składową pionową ich siły
przyciągania w punkcie pomiarowym.
Wartości przyspieszenia zredukowane na geoidę często porównuje się z
wartościami normalnymi siły cięŜkości (anomalie grawimetryczne->).
2
3
Redukcje grawimetryczne
Redukcje grawimetryczne
(2)
(2)
(Redukcje na geoid
(Redukcje na geoid
ę
ę
)
)
W zagadnieniach związanych z teorią Stokesa
(wyznaczaniem
wysokości geoidy i odchyleń pionu)
potrzebna jest taka wartość
przyspieszenia na geoidzie, aby moŜna uwaŜać, Ŝe:
•
•
masy zosta
masy zosta
ł
ł
y tak
y tak
‘
‘
przemieszczone
przemieszczone
’
’
,
,
Ŝ
Ŝ
e wszystkie znajduj
e wszystkie znajduj
ą
ą
si
si
ę
ę
wewn
wewn
ą
ą
trz geoidy (
trz geoidy (
Ŝ
Ŝ
adne masy nie
adne masy nie
‘
‘
wystaj
wystaj
ą
ą
’
’
ponad geoid
ponad geoid
ę
ę
)
)
•
•
ca
ca
ł
ł
kowita masa geoidy po redukcji pozostaje
kowita masa geoidy po redukcji pozostaje
r
r
ó
ó
wna ca
wna ca
ł
ł
kowitej
kowitej
masie Ziemi
masie Ziemi
przed redukcj
przed redukcj
ą
ą
•
•
po
po
ł
ł
o
o
Ŝ
Ŝ
enie
enie
ś
ś
rodka masy i osi g
rodka masy i osi g
ł
ł
ó
ó
wnych moment
wnych moment
ó
ó
w
w
bezw
bezw
ł
ł
adno
adno
ś
ś
ci
ci
pozostaje niezmienione
pozostaje niezmienione
(tylko znaczenie
(tylko znaczenie
pomocnicze uproszczaj
pomocnicze uproszczaj
ą
ą
ce opis matematyczny redukcji)
ce opis matematyczny redukcji)
4
Redukcje grawimetryczne
Redukcje grawimetryczne
(3)
(3)
(Redukcje na geoid
(Redukcje na geoid
ę
ę
cd
cd
.)
.)
Geoid
Geoid
ę
ę
po takich zabiegach redukcyjnych
po takich zabiegach redukcyjnych
(g
(g
ł
ł
ó
ó
wnie war. 1)
wnie war. 1)
nazywa si
nazywa si
ę
ę
geoid
geoid
ą
ą
zregularyzowan
zregularyzowan
ą
ą
lub
lub
cogeoid
cogeoid
ą
ą
.
.
Geoida
Geoida
zregularyzowana
zregularyzowana
o
o
potencjale r
potencjale r
ó
ó
wnym potencja
wnym potencja
ł
ł
owi geoidy
owi geoidy
W
W
o
o
spe
spe
ł
ł
nia warunki
nia warunki
powierzchni granicznej
powierzchni granicznej
(brzegowej),
(brzegowej),
a do takiej powierzchni mo
a do takiej powierzchni mo
Ŝ
Ŝ
na
na
stosowa
stosowa
ć
ć
teorie prowadz
teorie prowadz
ą
ą
ce do wyznaczenia potencja
ce do wyznaczenia potencja
ł
ł
u przy
u przy
wykorzystaniu warunk
wykorzystaniu warunk
ó
ó
w brzegowych.
w brzegowych.
Przemieszczenie mas wywo
Przemieszczenie mas wywo
ł
ł
uje tzw.
uje tzw.
efekt po
efekt po
ś
ś
redni
redni
, czyli zmian
, czyli zmian
ę
ę
rozk
rozk
ł
ł
adu przestrzennego potencja
adu przestrzennego potencja
ł
ł
u, a wi
u, a wi
ę
ę
c prowadzi do
c prowadzi do
zniekszta
zniekszta
ł
ł
cenia geoidy (zmiany jej przebiegu).
cenia geoidy (zmiany jej przebiegu).
3
5
Redukcje grawimetryczne
Redukcje grawimetryczne
(4)
(4)
(Efekty i sk
(Efekty i sk
ł
ł
adniki redukcji)
adniki redukcji)
Redukcje grawimetryczne mog
Redukcje grawimetryczne mog
ą
ą
powodowa
powodowa
ć
ć
r
r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
ne efekty w
ne efekty w
rozmieszczeniu mas. Redukcje mog
rozmieszczeniu mas. Redukcje mog
ą
ą
„
„
odbywa
odbywa
ć
ć
si
si
ę
ę
”
”
:
:
•
•
z przemieszczeniem
z przemieszczeniem
mas
mas
(
(
np
np
. dla cel
. dla cel
ó
ó
w wyznaczenia figury Ziemi)
w wyznaczenia figury Ziemi)
•
•
bez przemieszczenia
bez przemieszczenia
mas
mas
(
(
np
np
. dla obliczenia wysoko
. dla obliczenia wysoko
ś
ś
ci punktu w systemie
ci punktu w systemie
wysoko
wysoko
ś
ś
ci ortometrycznych)
ci ortometrycznych)
•
•
usuni
usuni
ę
ę
ciem
ciem
mas
mas
(
(
np
np
. geofizyce poszukiwawczej)
. geofizyce poszukiwawczej)
Redukcje grawimetryczne obejmuj
Redukcje grawimetryczne obejmuj
ą
ą
zwykle dwa podstawowe
zwykle dwa podstawowe
sk
sk
ł
ł
adniki (elementy):
adniki (elementy):
•
•
wp
wp
ł
ł
yw
yw
gradientu pionowego
gradientu pionowego
przyspieszenia si
przyspieszenia si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci
ci
•
•
wp
wp
ł
ł
yw (uwzgl
yw (uwzgl
ę
ę
dnienie)
dnienie)
przyci
przyci
ą
ą
gania mas
gania mas
o znanej lub domniemanej
o znanej lub domniemanej
g
g
ę
ę
sto
sto
ś
ś
ci i rozmieszczeniu przestrzennym
ci i rozmieszczeniu przestrzennym
(walec, prostopad
(walec, prostopad
ł
ł
o
o
ś
ś
cian,
cian,
warstwa kulista, graniastos
warstwa kulista, graniastos
ł
ł
up etc.)
up etc.)
6
Redukcje grawimetryczne
Redukcje grawimetryczne
(5)
(5)
(Gradient pionowy si
(Gradient pionowy si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci)
ci)
(
)
yy
xx
y
x
W
W
g
R
R
H
+
−
=
+
=
2
1
1
1
2
1
*
Gradient pionowy przyspieszenia opisuje
Gradient pionowy przyspieszenia opisuje
r
r
ó
ó
wnanie
wnanie
Brunsa
Brunsa
postaci:
postaci:
Drugi sk
Drugi sk
ł
ł
adnik wzoru w przestrzeni zewn
adnik wzoru w przestrzeni zewn
ę
ę
trznej jest r
trznej jest r
ó
ó
wny zeru
wny zeru
(
(
σ
σ
=0), a
=0), a
H
H
*
*
oznacza tzw. krzywizn
oznacza tzw. krzywizn
ę
ę
ś
ś
redni
redni
ą
ą
powierzchni
powierzchni
ekwipotencjalnej okre
ekwipotencjalnej okre
ś
ś
lon
lon
ą
ą
wzorem:
wzorem:
2
*
2
4
2
ω
σ
π
−
+
−
=
∂
∂
G
gH
h
g
gdzie
gdzie
W
W
xx
xx
+W
+W
yy
yy
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na wyznaczy
na wyznaczy
ć
ć
z pomiaru.
z pomiaru.
4
7
Redukcje grawimetryczne
Redukcje grawimetryczne
(6)
(6)
(Gradient pionowy si
(Gradient pionowy si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci
ci
cd
cd
.)
.)
(
)
B
f
q
f
a
h
2
sin
2
1
2
−
+
+
−
=
∂
∂
γ
γ
W obliczeniach cz
W obliczeniach cz
ę
ę
sto wykorzystuje si
sto wykorzystuje si
ę
ę
warto
warto
ść
ść
przybli
przybli
Ŝ
Ŝ
on
on
ą
ą
gradientu pionowego, kt
gradientu pionowego, kt
ó
ó
r
r
ą
ą
otrzymuje si
otrzymuje si
ę
ę
stosuj
stosuj
ą
ą
c pewne
c pewne
uproszczenia. R
uproszczenia. R
ó
ó
Ŝ
Ŝ
niczkuj
niczkuj
ą
ą
c wyra
c wyra
Ŝ
Ŝ
enia opisuj
enia opisuj
ą
ą
cego anomali
cego anomali
ę
ę
si
si
ł
ł
y
y
ci
ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci mamy:
ci mamy:
Drugi sk
Drugi sk
ł
ł
adnik wzoru to gradient pionowy przyspieszenia
adnik wzoru to gradient pionowy przyspieszenia
normalnego opisany wzorem:
normalnego opisany wzorem:
h
g
h
h
g
g
g
e
o
∂
∆
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
=
∆
γ
γ
,
gdzie:
gdzie:
a
a
i
i
f
f
to d
to d
ł
ł
u
u
Ŝ
Ŝ
sza p
sza p
ó
ó
ł
ł
o
o
ś
ś
i sp
i sp
ł
ł
aszczenie elipsoidy;
aszczenie elipsoidy;
q
q
to parametr, kt
to parametr, kt
ó
ó
ry w
ry w
przybli
przybli
Ŝ
Ŝ
eniu wyra
eniu wyra
Ŝ
Ŝ
a stosunek si
a stosunek si
ł
ł
y od
y od
ś
ś
rodkowej do si
rodkowej do si
ł
ł
y przyci
y przyci
ą
ą
gania na
gania na
r
r
ó
ó
wniku;
wniku;
B
B
szeroko
szeroko
ść
ść
geograficzna geodezyjna.
geograficzna geodezyjna.
8
Redukcje grawimetryczne
Redukcje grawimetryczne
(7)
(7)
(Gradient pionowy si
(Gradient pionowy si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci
ci
cd
cd
.)
.)
W zagadnieniach redukcji mo
W zagadnieniach redukcji mo
Ŝ
Ŝ
na pomin
na pomin
ąć
ąć
wyraz zwi
wyraz zwi
ą
ą
zany z
zany z
parametrem
parametrem
q
q
(
(
q
q
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
0.003
0.003
)
)
oraz wystarczy przyj
oraz wystarczy przyj
ąć
ąć
przybli
przybli
Ŝ
Ŝ
enie wzoru
enie wzoru
na gradient normalny kul
na gradient normalny kul
ą
ą
o promieniu
o promieniu
a
a
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
R
R
(wtedy
(wtedy
f = 0
f = 0
oraz
oraz
∂∆
∂∆
g/
g/
∂
∂
h
h
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
≈
0
0
)
)
co prowadzi do uproszczenia postaci:
co prowadzi do uproszczenia postaci:
E
m
mGal
R
U
h
zz
3086
/
3086
.
0
2
−
=
−
≈
−
≈
=
∂
∂
γ
γ
Dok
Dok
ł
ł
adn
adn
ą
ą
warto
warto
ść
ść
∂∆
∂∆
g/
g/
∂
∂
h
h
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na wyznaczy
na wyznaczy
ć
ć
z podstawowego r
z podstawowego r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
niczkowego
niczkowego
r
r
ó
ó
wnanie grawimetrii (lub korzystaj
wnanie grawimetrii (lub korzystaj
ą
ą
c z wzoru
c z wzoru
Stokesa
Stokesa
lub wzoru
lub wzoru
Vening
Vening
-
-
Meinesza
Meinesza
).
).
Mo
Mo
Ŝ
Ŝ
na r
na r
ó
ó
wnie
wnie
Ŝ
Ŝ
wyj
wyj
ść
ść
bezpo
bezpo
ś
ś
rednio z wzoru Newtona na przyspieszenie
rednio z wzoru Newtona na przyspieszenie
grawitacyjne dla kuli o promieniu
grawitacyjne dla kuli o promieniu
R
R
, r
, r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
niczkuj
niczkuj
ą
ą
c go wzgl
c go wzgl
ę
ę
dem wysoko
dem wysoko
ś
ś
ci
ci
…
…
Gradient normalny si
Gradient normalny si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci (gradient teoretyczny) to
ci (gradient teoretyczny) to
jedna z najwa
jedna z najwa
Ŝ
Ŝ
niejszych
niejszych
sta
sta
ł
ł
ych w grawimetrii
ych w grawimetrii
, szczeg
, szczeg
ó
ó
lnie grawimetrii stosowanej.
lnie grawimetrii stosowanej.
5
9
Poprawka terenowa
Poprawka terenowa
(1)
(1)
(Definicja og
(Definicja og
ó
ó
lna)
lna)
Poprawka terenowa
Poprawka terenowa
w punkcie pomiarowym to warto
w punkcie pomiarowym to warto
ść
ść
sk
sk
ł
ł
adowej
adowej
pionowej si
pionowej si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci
ci
(wzi
(wzi
ę
ę
ta z przeciwnym znakiem)
ta z przeciwnym znakiem)
generowanej
generowanej
przez otaczaj
przez otaczaj
ą
ą
ce go masy tworz
ce go masy tworz
ą
ą
ce rze
ce rze
ź
ź
b
b
ę
ę
terenu
terenu
(w geofizyce
(w geofizyce
r
r
ó
ó
wnie
wnie
Ŝ
Ŝ
formy antropogeniczne)
formy antropogeniczne)
. Poprawka terenowa to inaczej
. Poprawka terenowa to inaczej
„
„
rachunkowe wyr
rachunkowe wyr
ó
ó
wnanie
wnanie
”
”
terenu
terenu
wok
wok
ó
ó
ł
ł
punktu tak, aby warto
punktu tak, aby warto
ść
ść
pomierzona odnosi
pomierzona odnosi
ł
ł
a si
a si
ę
ę
do terenu p
do terenu p
ł
ł
askiego.
askiego.
Poprawka terenowa jest z regu
Poprawka terenowa jest z regu
ł
ł
y pierwsz
y pierwsz
ą
ą
poprawk
poprawk
ą
ą
wprowadzan
wprowadzan
ą
ą
do pomierzonej
do pomierzonej
warto
warto
ś
ś
ci przyspieszenia si
ci przyspieszenia si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci.
ci.
Czasem stosuje si
Czasem stosuje si
ę
ę
te
te
Ŝ
Ŝ
redukcj
redukcj
ę
ę
topograficzn
topograficzn
ą
ą
, kt
, kt
ó
ó
ra poza wyr
ra poza wyr
ó
ó
wnaniem terenu
wnaniem terenu
obejmuje r
obejmuje r
ó
ó
wnie
wnie
Ŝ
Ŝ
usuni
usuni
ę
ę
cie p
cie p
ł
ł
yty o grubo
yty o grubo
ś
ś
ci r
ci r
ó
ó
wnej wysoko
wnej wysoko
ś
ś
ci punktu i
ci punktu i
niesko
niesko
ń
ń
czonym promieniu oraz przy uwzgl
czonym promieniu oraz przy uwzgl
ę
ę
dnieniu sferycznego kszta
dnieniu sferycznego kszta
ł
ł
tu Ziemi.
tu Ziemi.
Taka redukcja jest rzadko wykorzystywana, zwykle w po
Taka redukcja jest rzadko wykorzystywana, zwykle w po
łą
łą
czeniu z anomaliami
czeniu z anomaliami
izostatycznymi.
izostatycznymi.
10
Poprawka terenowa
Poprawka terenowa
(2)
(2)
(Potencja
(Potencja
ł
ł
i przyci
i przyci
ą
ą
ganie walca)
ganie walca)
Przyjmujemy uk
Przyjmujemy uk
ł
ł
ad wsp
ad wsp
ó
ó
ł
ł
rz
rz
ę
ę
dnych prostok
dnych prostok
ą
ą
tnych tak, aby o
tnych tak, aby o
ś
ś
Oz
Oz
by
by
ł
ł
a osi
a osi
ą
ą
walca i przechodzi
walca i przechodzi
ł
ł
a przez punkt P
a przez punkt P
(
(
b
b
odleg
odleg
ł
ł
o
o
ść
ść
punktu od pocz
punktu od pocz
ą
ą
tku uk
tku uk
ł
ł
adu).
adu).
We wsp
We wsp
ó
ó
ł
ł
rz
rz
ę
ę
dnych biegunowych obj
dnych biegunowych obj
ę
ę
to
to
ść
ść
elementu masy
elementu masy
dm
dm
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na
na
zapisa
zapisa
ć
ć
:
:
dz
ds
sd
dv
⋅
⋅
=
α
6
11
Poprawka terenowa
Poprawka terenowa
(3)
(3)
(Potencja
(Potencja
ł
ł
i przyci
i przyci
ą
ą
ganie walca)
ganie walca)
+
+
+
+
+
−
=
a
H
a
H
a
H
a
H
H
G
V
w
2
2
2
2
2
2
ln
2
σ
π
(
)
2
2
2
0
0
0
,
z
b
s
l
l
dz
ds
sd
G
V
a
s
H
z
w
−
+
=
⋅
⋅
=
∫ ∫ ∫
=
=
=
π
α
α
σ
Potencja
Potencja
ł
ł
walca w punkcie
walca w punkcie
P
P
b
b
ę
ę
dzie ca
dzie ca
ł
ł
k
k
ą
ą
postaci:
postaci:
Po sca
Po sca
ł
ł
kowaniu oraz dla
kowaniu oraz dla
b=H
b=H
dostaniemy:
dostaniemy:
(
)
2
2
2
H
a
H
a
G
g
w
+
−
+
=
σ
π
R
R
ó
ó
Ŝ
Ŝ
niczkuj
niczkuj
ą
ą
c powy
c powy
Ŝ
Ŝ
sz
sz
ą
ą
zale
zale
Ŝ
Ŝ
no
no
ść
ść
otrzymamy warto
otrzymamy warto
ść
ść
przyci
przyci
ą
ą
gania walca:
gania walca:
12
Poprawka terenowa
Poprawka terenowa
(4)
(4)
(Potencja
(Potencja
ł
ł
i przyci
i przyci
ą
ą
ganie walca)
ganie walca)
(*)
2
H
G
g
w
σ
π
=
(
)
2
2
2
2
2
H
r
H
r
r
r
G
g
w
z
w
z
ww
+
+
+
−
−
=
σ
π
Dla przypadku kiedy
Dla przypadku kiedy
a>>H
a>>H
i po rozwini
i po rozwini
ę
ę
ciu w szereg
ciu w szereg
(tylko pierwszy wyraz
(tylko pierwszy wyraz
rozwini
rozwini
ę
ę
cia)
cia)
dostaniemy wa
dostaniemy wa
Ŝ
Ŝ
ny wz
ny wz
ó
ó
r przybli
r przybli
Ŝ
Ŝ
ony:
ony:
Dla
Dla
„
„
pier
pier
ś
ś
cienia
cienia
”
”
ograniczonego promieniami
ograniczonego promieniami
r
r
w
w
i
i
r
r
z
z
dostaniemy:
dostaniemy:
gdy dodatkowo podzielimy pier
gdy dodatkowo podzielimy pier
ś
ś
cie
cie
ń
ń
na n r
na n r
ó
ó
wnych segment
wnych segment
ó
ó
w, to
w, to
przyci
przyci
ą
ą
ganie ka
ganie ka
Ŝ
Ŝ
dego z nich wyniesie:
dego z nich wyniesie:
(
)
2
2
2
2
2
H
r
H
r
r
r
n
G
g
w
z
w
z
ww
+
+
+
−
−
=
σ
π
7
13
Poprawka terenowa
Poprawka terenowa
(5)
(5)
(interpretacja geometryczna)
(interpretacja geometryczna)
Poprawka terenowa
Poprawka terenowa
zawsze
zawsze
zwi
zwi
ę
ę
ksza
ksza
warto
warto
ść
ść
przyspieszenia
przyspieszenia
na
na
stanowisku pomiarowym; zar
stanowisku pomiarowym; zar
ó
ó
wno usuni
wno usuni
ę
ę
cie nadmiaru mas ponad
cie nadmiaru mas ponad
stanowiskiem, jak i uzupe
stanowiskiem, jak i uzupe
ł
ł
nienie poni
nienie poni
Ŝ
Ŝ
ej stanowiska powoduje wzrost
ej stanowiska powoduje wzrost
sk
sk
ł
ł
adowej pionowej przyspieszenia.
adowej pionowej przyspieszenia.
14
Poprawka terenowa
Poprawka terenowa
(6)
(6)
(interpretacja geometryczna)
(interpretacja geometryczna)
Z uwagi na zwykle z
Z uwagi na zwykle z
ł
ł
o
o
Ŝ
Ŝ
on
on
ą
ą
rze
rze
ź
ź
b
b
ę
ę
terenu i zr
terenu i zr
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nicowan
nicowan
ą
ą
g
g
ę
ę
sto
sto
ść
ść
mas
mas
wok
wok
ó
ó
ł
ł
punktu, poprawk
punktu, poprawk
ę
ę
terenow
terenow
ą
ą
liczy si
liczy si
ę
ę
sumuj
sumuj
ą
ą
c niewielkie segmenty
c niewielkie segmenty
(metoda Hammera) korzystaj
(metoda Hammera) korzystaj
ą
ą
c z zale
c z zale
Ŝ
Ŝ
no
no
ś
ś
ci:
ci:
(
)
∑∑
+
+
+
−
−
=
+
+
n
j
k
i
ij
i
ij
i
i
i
t
H
r
H
r
r
r
n
g
2
2
2
2
1
1
0419
.
0
σ
δ
8
15
Poprawka terenowa
Poprawka terenowa
(7)
(7)
(Uwagi ko
(Uwagi ko
ń
ń
cowe)
cowe)
Poprawk
Poprawk
ę
ę
terenow
terenow
ą
ą
oblicza si
oblicza si
ę
ę
uwzgl
uwzgl
ę
ę
dniaj
dniaj
ą
ą
c ukszta
c ukszta
ł
ł
towanie terenu
towanie terenu
wok
wok
ó
ó
ł
ł
stanowiska w promieniu
stanowiska w promieniu
od kilkuset metr
od kilkuset metr
ó
ó
w do nawet 30 km
w do nawet 30 km
(ze
(ze
wzgl
wzgl
ę
ę
du na zakrzywienie Ziemi wp
du na zakrzywienie Ziemi wp
ł
ł
yw stref dalekich
yw stref dalekich
–
–
ponad 30 km
ponad 30 km
-
-
mo
mo
Ŝ
Ŝ
e by
e by
ć
ć
ujemny, cho
ujemny, cho
ć
ć
jest on zwykle na tyle ma
jest on zwykle na tyle ma
ł
ł
y,
y,
Ŝ
Ŝ
e mo
e mo
Ŝ
Ŝ
na go pomin
na go pomin
ąć
ąć
).
).
Poprawk
Poprawk
ę
ę
liczy si
liczy si
ę
ę
dzi
dzi
ś
ś
korzystaj
korzystaj
ą
ą
c z DTM, przy czym elementarne figury
c z DTM, przy czym elementarne figury
to nie tylko
to nie tylko
wycinki walca
wycinki walca
, ale coraz cz
, ale coraz cz
ęś
ęś
ciej
ciej
prostopad
prostopad
ł
ł
o
o
ś
ś
ciany
ciany
czy nawet
czy nawet
graniastos
graniastos
ł
ł
upy
upy
(metoda
(metoda
triangularyzacji
triangularyzacji
).
).
Poprawka terenowa mo
Poprawka terenowa mo
Ŝ
Ŝ
e osi
e osi
ą
ą
ga
ga
ć
ć
znaczne warto
znaczne warto
ś
ś
ci, szczeg
ci, szczeg
ó
ó
lnie w
lnie w
terenach podg
terenach podg
ó
ó
rskich i g
rskich i g
ó
ó
rzystych
rzystych
(
(
np
np
. dla szczytu
. dla szczytu
Mt
Mt
. Blanc wynosi
. Blanc wynosi
+123mGal, a dla
+123mGal, a dla
Ś
Ś
nie
nie
Ŝ
Ŝ
ki +24mGal).
ki +24mGal).
16
Redukcja wolnopowietrzna
Redukcja wolnopowietrzna
(Faye
(Faye
’
’
a)
a)
(1)
(1)
(Og
(Og
ó
ó
lne poj
lne poj
ę
ę
cie)
cie)
Redukcj
Redukcj
ą
ą
wolnopowietrzn
wolnopowietrzn
ą
ą
(w Polsce nazywan
(w Polsce nazywan
ą
ą
te
te
Ŝ
Ŝ
redukcj
redukcj
ą
ą
Faye
Faye
’
’
a
a
;
;
niekt
niekt
ó
ó
rzy autorzy odr
rzy autorzy odr
ó
ó
Ŝ
Ŝ
niaj
niaj
ą
ą
j
j
ą
ą
od redukcji wolnopowietrznej poprzez wprowadzenie
od redukcji wolnopowietrznej poprzez wprowadzenie
poprawki terenowej)
poprawki terenowej)
nazywamy redukcj
nazywamy redukcj
ę
ę
, kt
, kt
ó
ó
ra polega
ra polega
jedynie
jedynie
na
na
usuni
usuni
ę
ę
ciu wp
ciu wp
ł
ł
ywu wysoko
ywu wysoko
ś
ś
ci stanowiska pomiarowego ponad
ci stanowiska pomiarowego ponad
geoid
geoid
ę
ę
na warto
na warto
ść
ść
przyspieszenia si
przyspieszenia si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci.
ci.
]
[
3086
.
0
mGal
g
H
g
H
h
g
g
t
t
F
δ
δ
δ
+
⋅
=
+
∂
∂
−
=
Znak redukcji jest taki sam jak znak wysoko
Znak redukcji jest taki sam jak znak wysoko
ś
ś
ci. Geoida w wyniku redukcji
ci. Geoida w wyniku redukcji
wolnopowietrznej zostanie
wolnopowietrznej zostanie
zregularyzowna
zregularyzowna
, czyli wszystkie masy znajd
, czyli wszystkie masy znajd
ą
ą
si
si
ę
ę
poni
poni
Ŝ
Ŝ
ej
ej
geoidy (wcze
geoidy (wcze
ś
ś
niej jednak musi by
niej jednak musi by
ć
ć
wprowadzona poprawka terenowa).
wprowadzona poprawka terenowa).
Zniekszta
Zniekszta
ł
ł
cenie
cenie
geoidy w wyniku redukcji rzadko przekraczaj
geoidy w wyniku redukcji rzadko przekraczaj
ą
ą
1 m
1 m
(dla H=1km
(dla H=1km
zniekszta
zniekszta
ł
ł
cenie nie przekracza 6cm; H=4km
cenie nie przekracza 6cm; H=4km
94cm).
94cm).
9
17
Redukcja wolnopowietrzna
Redukcja wolnopowietrzna
(Faye
(Faye
’
’
a)
a)
(2)
(2)
(Interpretacja geometryczna)
(Interpretacja geometryczna)
(
(
σ
σ
ο
ο
)
)
geoida
geoida
P
P
(σ)
(σ)
H
H
(
(
σ
σ
ο
ο
+
+
σ
σ
)
)
Redukcja wolnopowietrzna wywo
Redukcja wolnopowietrzna wywo
ł
ł
uje efekt
uje efekt
„
„
wt
wt
ł
ł
oczenia
oczenia
”
”
mas pod powierzchni
mas pod powierzchni
ę
ę
geoidy, a wi
geoidy, a wi
ę
ę
c tak jakby w obszarze podpowiadaj
c tak jakby w obszarze podpowiadaj
ą
ą
cym kszta
cym kszta
ł
ł
tem tym masom
tem tym masom
poni
poni
Ŝ
Ŝ
ej geoidy zwi
ej geoidy zwi
ę
ę
kszy
kszy
ć
ć
g
g
ę
ę
sto
sto
ść
ść
.
.
P
P
o
o
18
Redukcja wolnopowietrzna
Redukcja wolnopowietrzna
(Faye
(Faye
’
’
a)
a)
(3)
(3)
(Redukcja
(Redukcja
Brunsa
Brunsa
)
)
Pewn
Pewn
ą
ą
odmian
odmian
ą
ą
redukcji wolnopowietrznej jest
redukcji wolnopowietrznej jest
redukcja
redukcja
Brunsa
Brunsa
, w
, w
kt
kt
ó
ó
rej chodzi o zredukowanie zmierzonej warto
rej chodzi o zredukowanie zmierzonej warto
ś
ś
ci przyspieszenia
ci przyspieszenia
na elipsoid
na elipsoid
ę
ę
ekwipotencjaln
ekwipotencjaln
ą
ą
lub sferoid
lub sferoid
ę
ę
normaln
normaln
ą
ą
.
.
]
[
)
(
3086
.
0
)
(
mGal
g
N
H
g
N
H
h
g
g
t
t
Br
δ
δ
δ
+
+
⋅
=
+
+
∂
∂
−
=
N
N
we wzorze to wysoko
we wzorze to wysoko
ść
ść
geoidy wzgl
geoidy wzgl
ę
ę
dem elipsoidy ekwipotencjalnej
dem elipsoidy ekwipotencjalnej
10
19
Redukcja Bouguera
Redukcja Bouguera
(1)
(1)
(Og
(Og
ó
ó
lne poj
lne poj
ę
ę
cie)
cie)
Redukcj
Redukcj
ą
ą
Bouguera
Bouguera
(ze wzgl
(ze wzgl
ę
ę
du na p
du na p
ł
ł
yt
yt
ę
ę
)
)
nazywamy redukcj
nazywamy redukcj
ę
ę
, kt
, kt
ó
ó
ra polega
ra polega
na usuni
na usuni
ę
ę
ciu wp
ciu wp
ł
ł
ywu przyci
ywu przyci
ą
ą
gania p
gania p
ł
ł
yty p
yty p
ł
ł
asko
asko
-
-
r
r
ó
ó
wnoleg
wnoleg
ł
ł
ej o sta
ej o sta
ł
ł
ej
ej
g
g
ę
ę
sto
sto
ś
ś
ci
ci
σ
σ
. Zwykle przez redukcj
. Zwykle przez redukcj
ę
ę
Bouguera
Bouguera
(nazywan
(nazywan
ą
ą
te
te
Ŝ
Ŝ
pe
pe
ł
ł
n
n
ą
ą
redukcj
redukcj
ą
ą
Bouguera lub redukcj
Bouguera lub redukcj
ą
ą
Beuguera
Beuguera
-
-
Younga
Younga
)
)
rozumie si
rozumie si
ę
ę
sum
sum
ę
ę
poprawek
poprawek
topograficznej i Bouguera oraz redukcji wolnopowietrznej postaci
topograficznej i Bouguera oraz redukcji wolnopowietrznej postaci
:
:
t
t
Y
B
g
H
g
H
h
g
H
G
g
δ
σ
δ
σ
π
δ
+
⋅
−
=
+
∂
∂
−
−
=
−
)
04193
.
0
3086
.
0
(
2
Wp
Wp
ł
ł
yw p
yw p
ł
ł
yty (pierwszy wyraz wzory) nazywany jest te
yty (pierwszy wyraz wzory) nazywany jest te
Ŝ
Ŝ
czasem redukcj
czasem redukcj
ą
ą
Bouguera,
Bouguera,
cho
cho
ć
ć
lepszym okre
lepszym okre
ś
ś
leniem jest okre
leniem jest okre
ś
ś
lenie poprawka Bouguera lub poprawka za
lenie poprawka Bouguera lub poprawka za
p
p
ł
ł
yt
yt
ę
ę
. Poprawka za p
. Poprawka za p
ł
ł
yt
yt
ę
ę
nie zmienia po
nie zmienia po
ł
ł
o
o
Ŝ
Ŝ
enia punktu pomiarowego, a jedynie
enia punktu pomiarowego, a jedynie
eliminuje wp
eliminuje wp
ł
ł
yw p
yw p
ł
ł
yty na warto
yty na warto
ść
ść
przyspieszenia w punkcie (podobnie jak poprawka
przyspieszenia w punkcie (podobnie jak poprawka
terenowa).
terenowa).
20
Redukcja Bouguera
Redukcja Bouguera
(2)
(2)
(Uwagi ko
(Uwagi ko
ń
ń
cowe)
cowe)
Redukcj
Redukcj
ą
ą
Bouguera
Bouguera
regularyzuje
regularyzuje
geoid
geoid
ę
ę
, bowiem
, bowiem
Ŝ
Ŝ
adne masy nie
adne masy nie
„
„
wystaj
wystaj
ą
ą
”
”
ponad geoid
ponad geoid
ę
ę
. Jednak zmniejsza ca
. Jednak zmniejsza ca
ł
ł
kowit
kowit
ą
ą
mas
mas
ę
ę
geoidy i mocno
geoidy i mocno
j
j
ą
ą
deformuje
deformuje
(nawet kilkana
(nawet kilkana
ś
ś
cie metr
cie metr
ó
ó
w dla wysoko
w dla wysoko
ś
ś
ci 1km).
ci 1km).
Redukcja, ze wzgl
Redukcja, ze wzgl
ę
ę
du na
du na
„
„
wra
wra
Ŝ
Ŝ
liwo
liwo
ść
ść
”
”
na anomalie g
na anomalie g
ę
ę
sto
sto
ś
ś
ci,
ci,
wykorzystywana w geofizyce do poszukiwa
wykorzystywana w geofizyce do poszukiwa
ń
ń
z
z
ł
ł
ó
ó
Ŝ
Ŝ
kopalin u
kopalin u
Ŝ
Ŝ
ytecznych.
ytecznych.
Wykorzystywana do interpolacji anomalii
Wykorzystywana do interpolacji anomalii
Faye
Faye
’
’
a
a
ze wzgl
ze wzgl
ę
ę
du na stosunkowo
du na stosunkowo
ma
ma
łą
łą
zale
zale
Ŝ
Ŝ
no
no
ść
ść
od wysoko
od wysoko
ś
ś
ci.
ci.
11
21
Redukcja
Redukcja
Poincarego
Poincarego
-
-
Preya
Preya
(1)
(1)
(Og
(Og
ó
ó
lne poj
lne poj
ę
ę
cie)
cie)
Redukcj
Redukcj
ą
ą
Poincarego
Poincarego
-
-
Preya
Preya
nie
nie
regularyzuje
regularyzuje
geoidy, ale te
geoidy, ale te
Ŝ
Ŝ
nie
nie
zmienia jej masy. Redukcja ma na celu wyznaczenie warto
zmienia jej masy. Redukcja ma na celu wyznaczenie warto
ś
ś
ci
ci
przyspieszenia si
przyspieszenia si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci na geoidzie tak, aby rozk
ci na geoidzie tak, aby rozk
ł
ł
ad
ad
przestrzenny mas ponad geoid
przestrzenny mas ponad geoid
ą
ą
nie zosta
nie zosta
ł
ł
zmieniony. W wyniku
zmieniony. W wyniku
redukcji powinni
redukcji powinni
ś
ś
my otrzyma
my otrzyma
ć
ć
tak
tak
ą
ą
warto
warto
ść
ść
przyspieszenia na
przyspieszenia na
geoidzie
geoidzie
(lub w innym punkcie na linii pionu)
(lub w innym punkcie na linii pionu)
, jak
, jak
ą
ą
by
by
ś
ś
my otrzymali z
my otrzymali z
pomiaru bezpo
pomiaru bezpo
ś
ś
redniego na geoidzie
redniego na geoidzie
(gdyby to by
(gdyby to by
ł
ł
o mo
o mo
Ŝ
Ŝ
liwe).
liwe).
Redukcja
Redukcja
P
P
-
-
P
P
wykorzystywana jest do wyznaczenia wysoko
wykorzystywana jest do wyznaczenia wysoko
ś
ś
ci
ci
ortometrycznych, do redukcji pomiar
ortometrycznych, do redukcji pomiar
ó
ó
w wykonanych w szybach
w wykonanych w szybach
wiertniczych, czy pod powierzchni
wiertniczych, czy pod powierzchni
ą
ą
m
m
ó
ó
rz i ocean
rz i ocean
ó
ó
w.
w.
22
Redukcja
Redukcja
Poincarego
Poincarego
-
-
Preya
Preya
(2)
(2)
(Etapy redukcji)
(Etapy redukcji)
Redukcj
Redukcj
ą
ą
Poincarego
Poincarego
-
-
Preya
Preya
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na podzieli
na podzieli
ć
ć
na 5 etap
na 5 etap
ó
ó
w:
w:
1.
1.
Wprowadzenie dodatniej
Wprowadzenie dodatniej
poprawki terenowej (+)
poprawki terenowej (+)
uformowanie p
uformowanie p
ł
ł
yty
yty
Bouguera
Bouguera
2.
2.
Usuni
Usuni
ę
ę
cie
cie
p
p
ł
ł
yty Bouguera
yty Bouguera
(
(
-
-
)
)
wprowadzenie poprawki Bouguera
wprowadzenie poprawki Bouguera
3.
3.
Wprowadzenie
Wprowadzenie
redukcji wolnopowietrznej (+)
redukcji wolnopowietrznej (+)
„
„
zej
zej
ś
ś
cie
cie
”
”
z warto
z warto
ś
ś
ci
ci
ą
ą
przyspieszenia na geoid
przyspieszenia na geoid
ę
ę
4.
4.
Przywr
Przywr
ó
ó
cenie
cenie
p
p
ł
ł
yty Bouguera (
yty Bouguera (
-
-
)
)
wprowadzenie poprawki Bouguera
wprowadzenie poprawki Bouguera
5.
5.
Przywr
Przywr
ó
ó
cenie
cenie
topografii terenu wok
topografii terenu wok
ó
ó
ł
ł
punktu (+)
punktu (+)
odtworzenie
odtworzenie
przestrzennego rozk
przestrzennego rozk
ł
ł
adu mas wok
adu mas wok
ó
ó
ł
ł
punktu
punktu
(redukcja mo
(redukcja mo
Ŝ
Ŝ
e by
e by
ć
ć
czasem
czasem
ujemna)
ujemna)
12
23
Redukcja
Redukcja
Poincarego
Poincarego
-
-
Preya
Preya
(3)
(3)
(Etapy redukcji)
(Etapy redukcji)
g
g
o
o
= g
= g
+
+
δ
δ
g
g
t
t
+
+
δ
δ
g
g
B
B
+
+
δ
δ
g
g
F
F
+
+
δ
δ
g
g
B
B
+
+
δ
δ
g
g
t
t
’
’
24
Redukcja
Redukcja
Poincarego
Poincarego
-
-
Preya
Preya
(4)
(4)
(Podsumowanie)
(Podsumowanie)
Zapisuj
Zapisuj
ą
ą
c r
c r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ę
ę
poprawek topograficznych dla punktu na
poprawek topograficznych dla punktu na
fizycznej powierzchni Ziemi
fizycznej powierzchni Ziemi
δ
δ
g
g
t
t
i dla punktu na geoidzie
i dla punktu na geoidzie
δ
δ
g
g
t
t
’
’
w
w
postaci:
postaci:
δ
δ
g
g
T
T
=
=
δ
δ
g
g
t
t
–
–
δ
δ
g
g
t
t
’
’
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na poprawk
na poprawk
ę
ę
P
P
-
-
P
P
zapisa
zapisa
ć
ć
:
:
δ
δ
g
g
P
P
-
-
P
P
=
=
δ
δ
g
g
F
F
–
–
2
2
δ
δ
g
g
B
B
+
+
δ
δ
g
g
T
T
Dla teren
Dla teren
ó
ó
w p
w p
ł
ł
askich r
askich r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ę
ę
poprawek topograficznych mo
poprawek topograficznych mo
Ŝ
Ŝ
na zaniedba
na zaniedba
ć
ć
δ
δ
g
g
T
T
= 0
= 0
, co ostatecznie prowadzi do roboczej postaci:
, co ostatecznie prowadzi do roboczej postaci:
δ
δ
g
g
P
P
-
-
P
P
= (0.3086
= (0.3086
-
-
0.0838
0.0838
·
·
σ
σ
)
)
·
·
H [
H [
mGal
mGal
]
]
13
25
Redukcja Rudzkiego
Redukcja Rudzkiego
(inwersji)
(inwersji)
(1)
(1)
(Og
(Og
ó
ó
lne poj
lne poj
ę
ę
cie)
cie)
Redukcj
Redukcj
ą
ą
Rudzkiego
Rudzkiego
(
(
M.P.Rudzki
M.P.Rudzki
1862
1862
-
-
1916)
1916)
nazywamy redukcj
nazywamy redukcj
ę
ę
,
,
kt
kt
ó
ó
ra polega na takim przemieszczeniu (inwersji) mas
ra polega na takim przemieszczeniu (inwersji) mas
zewn
zewn
ę
ę
trznych geoidy, aby potencja
trznych geoidy, aby potencja
ł
ł
si
si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci samej geoidy w
ci samej geoidy w
rozpatrywanym punkcie
rozpatrywanym punkcie
nie zmieni
nie zmieni
ł
ł
si
si
ę
ę
. Zmieni si
. Zmieni si
ę
ę
natomiast
natomiast
potencja
potencja
ł
ł
we wszystkich innych punktach przestrzeni
we wszystkich innych punktach przestrzeni
.
.
Redukcja Rudzkiego jest redukcj
Redukcja Rudzkiego jest redukcj
ą
ą
pod pewnym wzgl
pod pewnym wzgl
ę
ę
dem
dem
‘
‘
idealn
idealn
ą
ą
’
’
,
,
bowiem nie zniekszta
bowiem nie zniekszta
ł
ł
ca geoidy.
ca geoidy.
Efekt po
Efekt po
ś
ś
redni redukcji Rudzkiego jest
redni redukcji Rudzkiego jest
zerowy
zerowy
. Rudzki swoj
. Rudzki swoj
ą
ą
redukcj
redukcj
ę
ę
opracowa
opracowa
ł
ł
dla geoidy kulistej.
dla geoidy kulistej.
26
Redukcja Rudzkiego
Redukcja Rudzkiego
(2)
(2)
(Idea redukcji)
(Idea redukcji)
Potencja
Potencja
ł
ł
w punkcie
w punkcie
P
P
o
o
od masy
od masy
dm
dm
umieszczonej w punkcie
umieszczonej w punkcie
A
A
1
1
wynosi:
wynosi:
ψ
cos
2
2
2
⋅
−
+
=
⋅
=
rR
R
r
dm
G
l
dm
G
dV
z
14
27
Redukcja Rudzkiego
Redukcja Rudzkiego
(3)
(3)
(Idea redukcji)
(Idea redukcji)
ψ
cos
2
2
2
⋅
′
−
+
′
′
=
′
′
⋅
=
R
r
R
r
m
d
G
l
m
d
G
dV
w
dm
r
R
m
d
=
′
Inwersja polega na takim odwzorowaniu punktu
Inwersja polega na takim odwzorowaniu punktu
A
A
1
1
o masie
o masie
dm
dm
na punkt
na punkt
A
A
2
2
o masie
o masie
dm
dm
’
’
,
,
aby potencja
aby potencja
ł
ł
dV
dV
w
w
w punkcie
w punkcie
P
P
o
o
nowej masy by
nowej masy by
ł
ł
r
r
ó
ó
wny
wny
potencja
potencja
ł
ł
owi
owi
dV
dV
z
z
tzn.
tzn.
Ŝ
Ŝ
eby zosta
eby zosta
ł
ł
spe
spe
ł
ł
niony warunek:
niony warunek:
dV
dV
w
w
=
=
dV
dV
z
z
Powy
Powy
Ŝ
Ŝ
szy warunek b
szy warunek b
ę
ę
dzie spe
dzie spe
ł
ł
niony kiedy:
niony kiedy:
oraz
oraz
r
R
r
2
=
′
28
Redukcja Rudzkiego
Redukcja Rudzkiego
(4)
(4)
(Idea redukcji)
(Idea redukcji)
∫
∫
=
′
=
′
dm
r
R
m
d
M
1
dm
l
G
V
M
z
∫
=
)
(
1
W celu okre
W celu okre
ś
ś
lenia masy jaka ma by
lenia masy jaka ma by
ć
ć
przemieszczona do wn
przemieszczona do wn
ę
ę
trza geoidy
trza geoidy
ca
ca
ł
ł
kujemy pierwszy warunek:
kujemy pierwszy warunek:
Z tego,
Z tego,
Ŝ
Ŝ
e
e
R < r
R < r
wynika
wynika
M
M
’
’
< M
< M
(
(
M
M
’
’
≈
≈
4
4
·
·
10
10
-
-
8
8
M
M
Ziemi
Ziemi
). Potencja
). Potencja
ł
ł
mas M poza
mas M poza
geoid
geoid
ą
ą
wynosi:
wynosi:
∫
∫
⋅
′
=
′
⋅
′
=
)
'
(
)
'
(
1
1
M
M
w
dm
l
r
R
G
m
d
l
G
V
Natomiast potencja
Natomiast potencja
ł
ł
mas przemieszczonych:
mas przemieszczonych:
15
29
Redukcja Rudzkiego
Redukcja Rudzkiego
(5)
(5)
(Uwagi ko
(Uwagi ko
ń
ń
cowe)
cowe)
∂
∂
−
∂
∂
−
⋅
=
n
V
n
V
H
g
z
w
R
3086
.
0
δ
Ostatecznie redukcja jest r
Ostatecznie redukcja jest r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ą
ą
si
si
ł
ł
, kt
, kt
ó
ó
rych potencja
rych potencja
ł
ł
y wynosz
y wynosz
ą
ą
V
V
w
w
i
i
V
V
z
z
, a mianowicie:
, a mianowicie:
Obliczenie redukcji jest pracoch
Obliczenie redukcji jest pracoch
ł
ł
onne, wi
onne, wi
ę
ę
c rzadko by
c rzadko by
ł
ł
a stosowana
a stosowana
(w
(w
ostatnim czasie niekt
ostatnim czasie niekt
ó
ó
rzy autorzy wr
rzy autorzy wr
ó
ó
cili do redukcji Rudzkiego
cili do redukcji Rudzkiego
-
-
ł
ł
atwo
atwo
ść
ść
oblicze
oblicze
ń
ń
)
)
.
.
W wi
W wi
ę
ę
kszo
kszo
ś
ś
ci przypadk
ci przypadk
ó
ó
w redukcja
w redukcja
Faye
Faye
’
’
a
a
okazuje si
okazuje si
ę
ę
wystarczaj
wystarczaj
ą
ą
ca
ca
…
…
Wielko
Wielko
ść
ść
wyrazu w nawiasie (r
wyrazu w nawiasie (r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nicy wzgl
nicy wzgl
ę
ę
dem redukcji
dem redukcji
Faye
Faye
’
’
a
a
) dla
) dla
Krakowa wynosi 2.5
Krakowa wynosi 2.5
mGal
mGal
, dla San Francisco
, dla San Francisco
0.6
0.6
mGal
mGal
, a dla
, a dla
Dehra
Dehra
Dun
Dun
w Himalajach
w Himalajach
22.2
22.2
mGal
mGal
.
.
30
Redukcja izostatyczna
Redukcja izostatyczna
(1)
(1)
(Uwagi wst
(Uwagi wst
ę
ę
pne)
pne)
U podstaw redukcji izostatycznej le
U podstaw redukcji izostatycznej le
Ŝą
Ŝą
hipotezy dotycz
hipotezy dotycz
ą
ą
ce
ce
zjawiska
zjawiska
izostazji
izostazji
.
.
•
•
Ju
Ju
Ŝ
Ŝ
w XVIII wieku
w XVIII wieku
Bouguer
Bouguer
w czasie pomiaru stopnia w Peru zauwa
w czasie pomiaru stopnia w Peru zauwa
Ŝ
Ŝ
y
y
ł
ł
znacznie wi
znacznie wi
ę
ę
ksze warto
ksze warto
ś
ś
ci odchyle
ci odchyle
ń
ń
pionu
pionu
wyliczonych z przyci
wyliczonych z przyci
ą
ą
gania
gania
mas topograficznych od zaobserwowanych
mas topograficznych od zaobserwowanych
•
•
W po
W po
ł
ł
owie XIX wieku stwierdzono,
owie XIX wieku stwierdzono,
Ŝ
Ŝ
e anomalie Bouguera w wysokich
e anomalie Bouguera w wysokich
g
g
ó
ó
rach maj
rach maj
ą
ą
znaczne ujemne warto
znaczne ujemne warto
ś
ś
ci
ci
; wniosek
; wniosek
nadmiar mas w
nadmiar mas w
postaci wzniesie
postaci wzniesie
ń
ń
(g
(g
ó
ó
r) nad geoid
r) nad geoid
ą
ą
musi by
musi by
ć
ć
kompensowany ich
kompensowany ich
niedoborem poni
niedoborem poni
Ŝ
Ŝ
ej geoidy (pod g
ej geoidy (pod g
ó
ó
rami)
rami)
•
•
Pratt
Pratt
w Himalajach obliczy
w Himalajach obliczy
ł
ł
warto
warto
ść
ść
odchylenia pionu
odchylenia pionu
dostaj
dostaj
ą
ą
c 16
c 16
”
”
;
;
wyznaczona w oparciu o obserwacje
wyznaczona w oparciu o obserwacje
(astronomiczne i geodezyjne)
(astronomiczne i geodezyjne)
warto
warto
ść
ść
odchylenia
odchylenia
wynosi
wynosi
ł
ł
a tylko 5
a tylko 5
”
”
16
31
Redukcja izostatyczna
Redukcja izostatyczna
(2)
(2)
(Model izostazji
(Model izostazji
Pratta
Pratta
-
-
Hayforda
Hayforda
)
)
Pratt
Pratt
wysun
wysun
ął
ął
hipotez
hipotez
ę
ę
, a
, a
Hayford
Hayford
poda
poda
ł
ł
model matematyczny.
model matematyczny.
Model
Model
Pratta
Pratta
-
-
Hayforda
Hayforda
zak
zak
ł
ł
ada,
ada,
Ŝ
Ŝ
e masa blok
e masa blok
ó
ó
w litosfery jest sta
w litosfery jest sta
ł
ł
a,
a,
a wszystkie one posadowione s
a wszystkie one posadowione s
ą
ą
na tej samej g
na tej samej g
łę
łę
boko
boko
ś
ś
ci T
ci T
o
o
. Zatem
. Zatem
ś
ś
rednia g
rednia g
ę
ę
sto
sto
ś
ś
ci blok
ci blok
ó
ó
w musi si
w musi si
ę
ę
zmienia
zmienia
ć
ć
wraz z wysoko
wraz z wysoko
ś
ś
ci
ci
ą
ą
…
…
32
Redukcja izostatyczna
Redukcja izostatyczna
(3)
(3)
(Model izostazji
(Model izostazji
Pratta
Pratta
-
-
Hayforda
Hayforda
)
)
(
)
(
)
oceanów
dla
T
h
T
h
w
kontynentó
dla
T
h
T
o
o
w
o
ocean
w
w
o
o
l
o
kont
σ
σ
σ
σ
σ
=
−
⋅
+
=
−
⋅
Zak
Zak
ł
ł
adaj
adaj
ą
ą
c g
c g
łę
łę
boko
boko
ść
ść
kompensacji
kompensacji
(wyznaczona przez
(wyznaczona przez
Hayforda
Hayforda
)
)
T
T
o
o
=113.7 km
=113.7 km
oraz g
oraz g
ę
ę
sto
sto
ść
ść
s
s
ł
ł
upa o zerowej wysoko
upa o zerowej wysoko
ś
ś
ci
ci
σ
σ
o
o
=2.67 g cm
=2.67 g cm
-
-
3
3
Pratt
Pratt
przyj
przyj
ął
ął
r
r
ó
ó
wnanie r
wnanie r
ó
ó
wnowagi postaci:
wnowagi postaci:
Na podstawie r
Na podstawie r
ó
ó
wna
wna
ń
ń
r
r
ó
ó
wnowagi oraz przyjmuj
wnowagi oraz przyjmuj
ą
ą
c dla wody g
c dla wody g
ę
ę
sto
sto
ść
ść
σ
σ
w
w
=1.03 g cm
=1.03 g cm
-
-
3
3
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na wyznaczy
na wyznaczy
ć
ć
g
g
ę
ę
sto
sto
ś
ś
ci poszczeg
ci poszczeg
ó
ó
lnych blok
lnych blok
ó
ó
w w
w w
funkcji wysoko
funkcji wysoko
ś
ś
ci:
ci:
w
o
w
o
ocean
l
o
o
kont
h
T
h
T
h
T
T
−
−
=
−
=
03
.
1
67
.
2
67
.
2
σ
σ
17
33
Redukcja izostatyczna
Redukcja izostatyczna
(4)
(4)
(Model izostazji
(Model izostazji
Airy
Airy
’
’
ego
ego
-
-
Heiskanena
Heiskanena
)
)
Airy
Airy
wysun
wysun
ął
ął
hipotez
hipotez
ę
ę
o
o
r
r
ó
ó
wnowadze hydrostatycznej pionowych
wnowadze hydrostatycznej pionowych
s
s
ł
ł
up
up
ó
ó
w litosfery
w litosfery
(mniejsza g
(mniejsza g
ę
ę
sto
sto
ść
ść
)
)
zanurzonych w plastyczne
zanurzonych w plastyczne
astenosferze
astenosferze
(wi
(wi
ę
ę
ksza g
ksza g
ę
ę
sto
sto
ść
ść
).
).
Im wy
Im wy
Ŝ
Ŝ
sze wzniesienie (g
sze wzniesienie (g
ó
ó
ry) tym
ry) tym
wi
wi
ę
ę
kszy jego
kszy jego
‘
‘
korze
korze
ń
ń
’
’
.
.
34
Redukcja izostatyczna
Redukcja izostatyczna
(5)
(5)
(Model izostazji
(Model izostazji
Airy
Airy
’
’
ego
ego
-
-
Heiskanena
Heiskanena
)
)
(
)
(
)
(
)
oceanów
dla
h
d
w
kontynentó
dla
h
d
w
w
o
o
m
l
o
o
m
⋅
−
=
′
⋅
−
=
⋅
−
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Zak
Zak
ł
ł
adaj
adaj
ą
ą
c przeci
c przeci
ę
ę
tn
tn
ą
ą
g
g
ę
ę
sto
sto
ść
ść
litosfery
litosfery
σ
σ
o
o
=2.67 g cm
=2.67 g cm
-
-
3
3
oraz
oraz
przeci
przeci
ę
ę
tn
tn
ą
ą
warto
warto
ść
ść
g
g
ó
ó
rnej cz
rnej cz
ęś
ęś
ci astenosfery
ci astenosfery
σ
σ
m
m
=3.27 g cm
=3.27 g cm
-
-
3
3
r
r
ó
ó
wnanie r
wnanie r
ó
ó
wnowagi ma posta
wnowagi ma posta
ć
ć
:
:
St
St
ą
ą
d g
d g
łę
łę
boko
boko
ść
ść
zanurzenia
zanurzenia
d
d
i wyniesienia powierzchni kompensacji
i wyniesienia powierzchni kompensacji
d
d
’
’
wyniesie odpowiednio:
wyniesie odpowiednio:
w
l
h
d
h
d
⋅
=
′
⋅
=
73
.
2
45
.
4
18
35
Redukcja izostatyczna
Redukcja izostatyczna
(6)
(6)
(Model izostazji
(Model izostazji
Airy
Airy
’
’
ego
ego
-
-
Heiskanena
Heiskanena
)
)
G
G
łę
łę
boko
boko
ść
ść
kompensacji
kompensacji
T
T
o
o
dla l
dla l
ą
ą
du o zerowej wysoko
du o zerowej wysoko
ś
ś
ci
ci
wyznaczona z anomalii izostatycznych
wyznaczona z anomalii izostatycznych
(w zasadzie niezale
(w zasadzie niezale
Ŝ
Ŝ
nych od
nych od
wysoko
wysoko
ś
ś
ci)
ci)
wynios
wynios
ł
ł
a
a
oko
oko
ł
ł
o 30
o 30
km
km
. Jest to wynik zgodny ze
. Jest to wynik zgodny ze
wsp
wsp
ó
ó
ł
ł
czesnymi badaniami sejsmicznymi; pokrywa si
czesnymi badaniami sejsmicznymi; pokrywa si
ę
ę
z tzw.
z tzw.
nieci
nieci
ą
ą
g
g
ł
ł
o
o
ś
ś
ci
ci
ą
ą
(skokowej zmiany g
(skokowej zmiany g
ę
ę
sto
sto
ś
ś
ci)
ci)
Mohorovicicia
Mohorovicicia
(
(
Moho
Moho
).
).
36
Redukcja izostatyczna
Redukcja izostatyczna
(7)
(7)
(Etapy redukcji)
(Etapy redukcji)
Redukcja izostatyczna obejmuje trzy etapy:
Redukcja izostatyczna obejmuje trzy etapy:
•
•
uwzgl
uwzgl
ę
ę
dnienie redukcji topograficznej
dnienie redukcji topograficznej
δ
δ
g
g
T
T
–
–
obejmuje poprawk
obejmuje poprawk
ę
ę
terenow
terenow
ą
ą
(+), redukcj
(+), redukcj
ę
ę
ze wzgl
ze wzgl
ę
ę
du na p
du na p
ł
ł
yt
yt
ę
ę
Bouguera (
Bouguera (
-
-
) oraz
) oraz
r
r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ę
ę
przyci
przyci
ą
ą
gania
gania
p
p
ł
ł
askiej p
askiej p
ł
ł
yty i warstwy kulistej (
yty i warstwy kulistej (
-
-
)
)
•
•
w
w
ł
ł
a
a
ś
ś
ciw
ciw
ą
ą
redukcj
redukcj
ę
ę
kompensacyjn
kompensacyjn
ą
ą
δ
δ
g
g
K
K
–
–
zale
zale
Ŝ
Ŝ
y od przyj
y od przyj
ę
ę
tego modelu
tego modelu
izostazji; og
izostazji; og
ó
ó
lnie polega na rozmieszczeniu mas w warstwie litosfery,
lnie polega na rozmieszczeniu mas w warstwie litosfery,
usuni
usuni
ę
ę
tych w poprzednim etapie, w taki spos
tych w poprzednim etapie, w taki spos
ó
ó
b, aby dope
b, aby dope
ł
ł
ni
ni
ć
ć
g
g
ę
ę
sto
sto
ść
ść
mas tam
mas tam
si
si
ę
ę
znajduj
znajduj
ą
ą
cych r
cych r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ą
ą
g
g
ę
ę
sto
sto
ś
ś
ci odpowiednio dla modeli
ci odpowiednio dla modeli
Pratta
Pratta
i
i
Airy
Airy
’
’
ego
ego
:
:
Nast
Nast
ę
ę
pnie obliczana jest sk
pnie obliczana jest sk
ł
ł
adowa pionowa przyci
adowa pionowa przyci
ą
ą
gania tych mas (masy
gania tych mas (masy
poni
poni
Ŝ
Ŝ
ej geoidy zwi
ej geoidy zwi
ę
ę
kszaj
kszaj
ą
ą
przyspieszenie w punkcie obserwacji).
przyspieszenie w punkcie obserwacji).
•
•
redukcj
redukcj
ę
ę
wolnopowietrzn
wolnopowietrzn
ą
ą
(
(
Faye
Faye
’
’
a
a
)
)
δ
δ
g
g
F
F
3
6
.
0
lub
−
=
∆
=
∆
cm
g
T
h
o
o
l
σ
σ
σ
19
37
Redukcja izostatyczna
Redukcja izostatyczna
(8)
(8)
(Uwagi ko
(Uwagi ko
ń
ń
cowe)
cowe)
Uwzgl
Uwzgl
ę
ę
dniaj
dniaj
ą
ą
c wszystkie etapy redukcj
c wszystkie etapy redukcj
ę
ę
izostatyczn
izostatyczn
ą
ą
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na
na
ostatecznie zapisa
ostatecznie zapisa
ć
ć
w postaci:
w postaci:
K
top
izo
g
g
H
g
δ
δ
δ
+
−
= 3086
.
0
Redukcji izostatycznej towarzyszy du
Redukcji izostatycznej towarzyszy du
Ŝ
Ŝ
y efekt po
y efekt po
ś
ś
redni z uwagi na znaczne
redni z uwagi na znaczne
przemieszczenie mas (1 km
przemieszczenie mas (1 km
7 m). Niezerowe warto
7 m). Niezerowe warto
ś
ś
ci anomalii
ci anomalii
izostatycznych
izostatycznych
ś
ś
wiadcz
wiadcz
ą
ą
z jednaj strony o niedoskona
z jednaj strony o niedoskona
ł
ł
o
o
ś
ś
ci modeli, a z
ci modeli, a z
drugije
drugije
o tym,
o tym,
Ŝ
Ŝ
e nie we wszystkich rejonach Ziemi kompensacji w pe
e nie we wszystkich rejonach Ziemi kompensacji w pe
ł
ł
ni
ni
ma miejsce
ma miejsce
…
…