1

Pole normalne 

Pole normalne 

si

si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

Janusz Walo

Janusz Walo

Janusz Walo

ver

ver

ver

. 1.0 (05.2008)

. 1.0 (05.2008)

. 1.0 (05.2008)

Janusz Walo

Janusz Walo

2

2

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(1)

(1)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

I 

I 

)

)

Do modelowania potencja

Do modelowania potencja

ł

ł

u si

u si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci 

ci 

Ziemi wykorzystuje si

Ziemi wykorzystuje si

ę

ę

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dne 

dne 

elipsoidalne 

elipsoidalne 

u,

u,

ϑ

ϑ

,

,

λ

λ

. Zwi

. Zwi

ą

ą

zek tych 

zek tych 

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych ze wsp

dnych ze wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnymi 

dnymi 

prostok

prostok

ą

ą

tnymi 

tnymi 

x,y,x

x,y,x

jest nast

jest nast

ę

ę

puj

puj

ą

ą

cy:

cy:

przy czym związek duŜej półosi a z małą
półosią u i mimośrodem E jest następujący:

ϑ

λ

ϑ

λ

ϑ

cos

sin

sin

cos

sin

2

2

2

2

⋅

=

⋅

+

=

⋅

+

=

u

z

E

u

y

E

u

x

2

2

E

u

a

+

=

2

Janusz Walo

Janusz Walo

3

3

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(2)

(2)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

II 

II 

)

)

Z definicji wsp

Z definicji wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych elipsoidalnych mamy: 

dnych elipsoidalnych mamy: 

1

2

2

2

2

2

2

=

+

+

+

u

z

E

u

y

x

1

cos

sin

2

2

2

2

2

2

2

=

+

+

ϑ

ϑ

E

z

E

y

x

λ

tan

⋅

= x

y

dla 

dla 

u=const

u=const

-

-

elipsoida

elipsoida

dla 

dla 

ϑ

ϑ

=

=

const

const

-

-

hiperboloida

hiperboloida

dla 

dla 

λ

λ

=const

=const

–

–

p

p

ł

ł

aszczyzna po

aszczyzna po

ł

ł

udnika

udnika

Janusz Walo

Janusz Walo

4

4

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(3)

(3)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

III 

III 

)

)

Transformacja r

Transformacja r

ó

ó

wnania 

wnania 

Laplace

Laplace

’

’

a

a

ze wsp

ze wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych sferycznych:

dnych sferycznych:

do wsp

do wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych elipsoidalnych prowadzi do r

dnych elipsoidalnych prowadzi do r

ó

ó

wnania postaci: 

wnania postaci: 

(

)

(

)

0

sin

cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

∂

∂

+

+

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

λ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

V

E

u

E

u

V

ctg

V

u

V

u

u

V

E

u

0

sin

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

λ

θ

θ

θ

θ

V

V

ctg

V

r

V

r

r

V

r

Analogicznie jak w przypadku harmonicznych sferycznych rozdziela

Analogicznie jak w przypadku harmonicznych sferycznych rozdziela

my 

my 

zmienne podstawiaj

zmienne podstawiaj

ą

ą

c: 

c: 

(

)

( ) ( ) ( )

λ

ϑ

λ

ϑ

h

g

u

f

u

V

⋅

⋅

=

,

,

3

Janusz Walo

Janusz Walo

5

5

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(4)

(4)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

IV 

IV 

)

)

Por

Por

ó

ó

wnuj

wnuj

ą

ą

c otrzymane po przekszta

c otrzymane po przekszta

ł

ł

ceniach trzy r

ceniach trzy r

ó

ó

wnania r

wnania r

ó

ó

Ŝ

Ŝ

niczkowe 

niczkowe 

(podobne do tych, kt

(podobne do tych, kt

ó

ó

re mieli

re mieli

ś

ś

my we wsp

my we wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych sferycznych)

dnych sferycznych)

kolejno do 

kolejno do 

m

m

i 

i 

n(n+1)

n(n+1)

oraz stosuj

oraz stosuj

ą

ą

c podstawienia:

c podstawienia:

( )

( )

τ

nm

P

u

f

=

ϑ

τ

cos

,

1

,

=

−

=

=

x

i

E

u

i

otrzymujemy dla zmiennej 

otrzymujemy dla zmiennej 

u 

u 

rozwi

rozwi

ą

ą

zania szczeg

zania szczeg

ó

ó

lne postaci:

lne postaci:

( )

( )

τ

nm

Q

u

f

=

do

do

łą

łą

czone funkcje 

czone funkcje 

Legendre

Legendre

’

’

a

a

do

do

łą

łą

czone funkcje 

czone funkcje 

Legendre

Legendre

’

’

a

a

drugiego rodzaju

drugiego rodzaju

gdzie:

gdzie:

( )

(

)

( )

m

m

m

nm

d

d

Q

τ

τ

τ

τ

2

2

1

−

=

Janusz Walo

Janusz Walo

6

6

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(5)

(5)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

V 

V 

)

)

Dla 

Dla 

m=0

m=0

(odpowiedniki funkcji strefowych)

(odpowiedniki funkcji strefowych)

funkcje 

funkcje 

Legendre

Legendre

’

’

a

a

drugiego rodzaju

drugiego rodzaju

s

s

ą

ą

zdefiniowane nast

zdefiniowane nast

ę

ę

puj

puj

ą

ą

co:

co:

( )

(

)

ϑ

ϑ

cos

nm

P

g

=

Dla zmiennych 

Dla zmiennych 

ϑ

ϑ

i

i

λ

λ

dostaniemy natomiast odpowiednio

dostaniemy natomiast odpowiednio

rozwi

rozwi

ą

ą

zania 

zania 

szczeg

szczeg

ó

ó

lne postaci:

lne postaci:

( )

( )

λ

λ

λ

λ

m

h

lub

m

h

sin

cos

=

=

( )

( )

( )

( )

( )

∑

=

−

−

⋅

−

−

+

⋅

=

=

n

k

k

n

k

n

n

no

P

P

k

P

Q

Q

1

1

1

1

1

ln

2

1

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

4

Janusz Walo

Janusz Walo

7

7

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(6)

(6)

(Harmoniczne elipsoidalne

(Harmoniczne elipsoidalne

…

…

VI 

VI 

)

)

Wobec tego iloczyny o postaci:

Wobec tego iloczyny o postaci:

n

r

przedstawiaj

przedstawiaj

ą

ą

powierzchniowe harmoniczne elipsoidalne

powierzchniowe harmoniczne elipsoidalne

, przy czym 

, przy czym 

ϑ

ϑ

to

to

dope

dope

ł

ł

nienie szeroko

nienie szeroko

ś

ś

ci zredukowanej 

ci zredukowanej 

(w harmonikach sferycznych 

(w harmonikach sferycznych 

θ

θ

oznacza

oznacza

ł

ł

o 

o 

dope

dope

ł

ł

nienie szeroko

nienie szeroko

ś

ś

ci geograficznej).

ci geograficznej).

1

1

+

n

r

(

)

(

)

λ

ϑ

λ

ϑ

m

P

i

m

P

nm

nm

sin

cos

cos

cos

Doda

Doda

ć

ć

trzeba, 

trzeba, 

Ŝ

Ŝ

e pomi

e pomi

ę

ę

dzy rozwi

dzy rozwi

ą

ą

zaniem sferycznym i elipsoidalnym 

zaniem sferycznym i elipsoidalnym 

istnieje jeszcze analogia rozwi

istnieje jeszcze analogia rozwi

ą

ą

za

za

ń

ń

szczeg

szczeg

ó

ó

lnych wzgl

lnych wzgl

ę

ę

dem zmiennych 

dem zmiennych 

r

r

i 

i 

u

u

, 

, 

a mianowicie:

a mianowicie:













E

u

i

P

nm













E

u

i

Q

nm

wewn

wewn

ą

ą

trz

trz

na zewn

na zewn

ą

ą

trz

trz

e

lip

so

id

a

e

lip

so

id

a

sf

e

ra

sf

e

ra

Janusz Walo

Janusz Walo

8

8

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(7)

(7)

(Funkcje 

(Funkcje 

Legendre

Legendre

’

’

a

a

drugiego rodzaju

drugiego rodzaju

…

…

)

)

5

Janusz Walo

Janusz Walo

9

9

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(8)

(8)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

I 

I 

)

)

Ś

Ś

cis

cis

ł

ł

e opisanie pola grawitacyjnego Ziemi, z uwagi na jego z

e opisanie pola grawitacyjnego Ziemi, z uwagi na jego z

ł

ł

o

o

Ŝ

Ŝ

ono

ono

ść

ść

, nie 

, nie 

jest praktycznie mo

jest praktycznie mo

Ŝ

Ŝ

liwe. St

liwe. St

ą

ą

d te

d te

Ŝ

Ŝ

stosuje si

stosuje si

ę

ę

modele pola si

modele pola si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

opisuj

opisuj

ą

ą

ce w pewnym przybli

ce w pewnym przybli

Ŝ

Ŝ

eniu rozk

eniu rozk

ł

ł

ad w przestrzeni potencja

ad w przestrzeni potencja

ł

ł

u pola si

u pola si

ł

ł

y 

y 

ci

ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci. Szczeg

ci. Szczeg

ó

ó

lne znaczenie w geodezji fizycznej ma model potencja

lne znaczenie w geodezji fizycznej ma model potencja

ł

ł

u w 

u w 

postaci wyra

postaci wyra

Ŝ

Ŝ

enia opisuj

enia opisuj

ą

ą

cego 

cego 

potencja

potencja

ł

ł

elipsoidy obrotowej

elipsoidy obrotowej

przy 

przy 

zachowaniu pewnych warunk

zachowaniu pewnych warunk

ó

ó

w:

w:

1.

1.

Rozmiary elipsoidy 

Rozmiary elipsoidy 

(

(

a,f

a,f

)

)

dobrane tak, aby powierzchnia elipsoidy 

dobrane tak, aby powierzchnia elipsoidy 

mo

mo

Ŝ

Ŝ

liwie najlepiej aproksymowa

liwie najlepiej aproksymowa

ł

ł

a geoid

a geoid

ę

ę

globaln

globaln

ą

ą

2.

2.

Masa elipsoidy 

Masa elipsoidy 

M

M

r

r

ó

ó

wna masie Ziemi

wna masie Ziemi

3.

3.

Pr

Pr

ę

ę

dko

dko

ść

ść

wirowania elipsoidy 

wirowania elipsoidy 

ω

ω

r

r

ó

ó

wna pr

wna pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci k

ci k

ą

ą

towej Ziemi

towej Ziemi

4.

4.

Powierzchnia elipsoidy jest powierzchni

Powierzchnia elipsoidy jest powierzchni

ą

ą

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

potencja

potencja

ł

ł

u 

u 

si

si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci (z definicji):

ci (z definicji):

U

U

0

0

=W

=W

0

0

=const

=const

Janusz Walo

Janusz Walo

10

10

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(9)

(9)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

II 

II 

)

)

Tak zdefiniowan

Tak zdefiniowan

ą

ą

elipsoid

elipsoid

ę

ę

nazywamy 

nazywamy 

elipsoid

elipsoid

ą

ą

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

lub 

lub 

elipsoid

elipsoid

ą

ą

poziomow

poziomow

ą

ą

, pole si

, pole si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci reprezentowane przez t

ci reprezentowane przez t

ę

ę

elipsoid

elipsoid

ę

ę

normalnym polem si

normalnym polem si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

.

.

Mo

Mo

Ŝ

Ŝ

na okre

na okre

ś

ś

li

li

ć

ć

jednoznacznie potencja

jednoznacznie potencja

ł

ł

normalny 

normalny 

U

U

w przestrzeni 

w przestrzeni 

zewn

zewn

ę

ę

trznej elipsoidy b

trznej elipsoidy b

ę

ę

d

d

ą

ą

cej powierzchni

cej powierzchni

ą

ą

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

U

U

0

0

=const

=const

. 

. 

Rozk

Rozk

ł

ł

ad masy wewn

ad masy wewn

ą

ą

trz elipsoidy nie musi by

trz elipsoidy nie musi by

ć

ć

znany byleby by

znany byleby by

ł

ł

a ta masa 

a ta masa 

obj

obj

ę

ę

ta jedn

ta jedn

ą

ą

znan

znan

ą

ą

powierzchni

powierzchni

ą

ą

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

(

(

tw

tw

. 

. 

Stokesa

Stokesa

). 

). 

Elipsoida ekwipotencjalna zosta

Elipsoida ekwipotencjalna zosta

ł

ł

a zaproponowana przez 

a zaproponowana przez 

Somiglian

Somiglian

ę

ę

w 1930 

w 1930 

roku 

roku 

ta sama powierzchnia odniesienia dla pomiar

ta sama powierzchnia odniesienia dla pomiar

ó

ó

w geodezyjnych i 

w geodezyjnych i 

grawimetrycznych

grawimetrycznych

; przedtem a czasami i dzisiaj u

; przedtem a czasami i dzisiaj u

Ŝ

Ŝ

ywana by

ywana by

ł

ł

a 

a 

sferoida 

sferoida 

normalna

normalna

.

.

6

Janusz Walo

Janusz Walo

11

11

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(10)

(10)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

III 

III 

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

od

od

ś

ś

rodkowy (niezale

rodkowy (niezale

Ŝ

Ŝ

ny od d

ny od d

ł

ł

ugo

ugo

ś

ś

ci) we wsp

ci) we wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych 

dnych 

elipsoidalnych mo

elipsoidalnych mo

Ŝ

Ŝ

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

widz

widz

ą

ą

c ponadto, 

c ponadto, 

Ŝ

Ŝ

e na powierzchni elipsoidy: 

e na powierzchni elipsoidy: 

2

2

2

a

E

b

b

u

=

+

⇒

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ω

ϑ

cos

1

3

2

sin

2

1

cos

2

3

cos

sin

2

1

,

'

'

2

2

2

2

2

2

2

2

P

P

E

u

u

V

V

−

=

⇒

−

=

⋅

+

=

=

Ostatecznie dla potencja

Ostatecznie dla potencja

ł

ł

u od

u od

ś

ś

rodkowego dostaniemy zale

rodkowego dostaniemy zale

Ŝ

Ŝ

no

no

ść

ść

: 

: 

(

)

(

)

(

)

ϑ

ω

ϑ

cos

1

3

1

,

'

2

2

2

P

a

b

V

−

=

Janusz Walo

Janusz Walo

12

12

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(11)

(11)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

IV 

IV 

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

grawitacyjny (niezale

grawitacyjny (niezale

Ŝ

Ŝ

ny od d

ny od d

ł

ł

ugo

ugo

ś

ś

ci) we wsp

ci) we wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych 

dnych 

elipsoidalnych mo

elipsoidalnych mo

Ŝ

Ŝ

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

na powierzchni elipsoidy wyrazy zale

na powierzchni elipsoidy wyrazy zale

Ŝ

Ŝ

ne od odleg

ne od odleg

ł

ł

o

o

ś

ś

ci radialnej 

ci radialnej 

u

u

wynosz

wynosz

ą

ą

: 

: 

(

)

(

)

1

,

,

,

,

=

⇒

=

























=

b

E

b

q

b

u

dla

E

b

i

Q

E

u

i

Q

b

E

u

q

n

nm

nm

n

(

)

(

)

(

)

∑

∞

=

⋅

=

0

cos

,

,

,

n

n

n

n

P

A

b

E

u

q

u

V

ϑ

ϑ

Ostatecznie dla potencja

Ostatecznie dla potencja

ł

ł

u grawitacyjnego dostaniemy: 

u grawitacyjnego dostaniemy: 

(

(





)

)

(

)

(

)

∑

∞

=

=

0

cos

,

n

n

n

P

A

b

V

ϑ

ϑ

7

Janusz Walo

Janusz Walo

13

13

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(12)

(12)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

V 

V 

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

si

si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci na powierzchni elipsoidy wynosi zatem:

ci na powierzchni elipsoidy wynosi zatem:

Podstawiaj

Podstawiaj

ą

ą

c za 

c za 

V

V

i 

i 

V

V

’

’

wprowadzone wcze

wprowadzone wcze

ś

ś

niej wyra

niej wyra

Ŝ

Ŝ

enia dostaniemy: 

enia dostaniemy: 

(

)

(

)

ϑ

ω

ω

ϑ

cos

3

1

3

1

cos

2

2

2

2

2

0

0

P

a

a

U

P

A

n

n

n

+

−

=

∑

∞

=

(

)

(

)

(

)

ϑ

ϑ

ϑ

,

'

,

,

0

0

b

V

b

V

U

W

b

W

+

=

=

=

R

R

ó

ó

wnanie powy

wnanie powy

Ŝ

Ŝ

sze b

sze b

ę

ę

dzie spe

dzie spe

ł

ł

nione, gdy po obu stronach wsp

nione, gdy po obu stronach wsp

ó

ó

ł

ł

czynniki 

czynniki 

przy odpowiednich 

przy odpowiednich 

P

P

n

n

b

b

ę

ę

d

d

ą

ą

sobie r

sobie r

ó

ó

wne tzn.: 

wne tzn.: 

0

,

3

,

0

,

3

3

2

2

2

1

2

2

0

0

=

=

=

−

=

A

a

A

A

a

U

A

ω

ω

Janusz Walo

Janusz Walo

14

14

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(13)

(13)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

VI 

VI 

)

)

Po wstawieniu wyznaczonych wsp

Po wstawieniu wyznaczonych wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik

czynnik

ó

ó

w do wzoru 

w do wzoru 

(

(





)

)

dostaniemy:

dostaniemy:

Wz

Wz

ó

ó

r ten stanowi rozwi

r ten stanowi rozwi

ą

ą

zanie 

zanie 

problemu 

problemu 

Dirichleta

Dirichleta

dla elipsoidy 

dla elipsoidy 

ekwipotencjalnej 

ekwipotencjalnej 

(pierwsze zagadnienie brzegowe teorii potencja

(pierwsze zagadnienie brzegowe teorii potencja

ł

ł

u)

u)

. Bior

. Bior

ą

ą

c teraz:

c teraz:















−













+

=













−

=













E

u

u

E

E

u

i

E

u

i

Q

u

E

i

E

u

i

Q

3

arctan

3

1

2

arctan

2

2

2

0

(

)

(

)

(

)

(

)

ϑ

ω

ω

ϑ

cos

3

,

,

3

,

,

,

2

2

2

2

2

2

0

0

P

a

b

E

u

q

a

U

b

E

u

q

u

V

⋅

+













−

⋅

=

oraz r

oraz r

ó

ó

wnanie biegunowe elipsoidy: 

wnanie biegunowe elipsoidy: 

ϑ

2

2

2

2

sin

E

u

r

+

=

8

Janusz Walo

Janusz Walo

15

15

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(14)

(14)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

VII 

VII 

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

grawitacyjny mo

grawitacyjny mo

Ŝ

Ŝ

na przekszta

na przekszta

ł

ł

ci

ci

ć

ć

do postaci:

do postaci:

ponadto pami

ponadto pami

ę

ę

taj

taj

ą

ą

c, 

c, 

Ŝ

Ŝ

e mamy te

e mamy te

Ŝ

Ŝ

:

:

( )

3

0

−

+

=

r

r

M

G

V

(

)

( )

3

0

arctan

3

,

1

2

2

0

−

+













−

=

−

r

b

E

r

E

a

U

u

V

ω

ϑ

Z dw

Z dw

ó

ó

ch ostatnich r

ch ostatnich r

ó

ó

wna

wna

ń

ń

mo

mo

Ŝ

Ŝ

na wyznaczy

na wyznaczy

ć

ć

potencja

potencja

ł

ł

normalny 

normalny 

U

U

0

0

, a 

, a 

mianowicie: 

mianowicie: 

3

arctan

2

2

0

a

b

E

E

M

G

U

ω

+

=

Janusz Walo

Janusz Walo

16

16

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(15)

(15)

(Elipsoida ekwipotencjalna

(Elipsoida ekwipotencjalna

…

…

VIII 

VIII 

)

)

Bior

Bior

ą

ą

c szeroko

c szeroko

ść

ść

zredukowan

zredukowan

ą

ą

:

:

i uwzgl

i uwzgl

ę

ę

dniaj

dniaj

ą

ą

c zale

c zale

Ŝ

Ŝ

no

no

ś

ś

ci na 

ci na 

V

V

, 

, 

V

V

’

’

i 

i 

U

U

0

0

dostaniemy ostateczny (dok

dostaniemy ostateczny (dok

ł

ł

adny) 

adny) 

wz

wz

ó

ó

r na 

r na 

potencja

potencja

ł

ł

normalny si

normalny si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

:

:

(

)

(

)

β

ω

β

ω

β

2

2

2

2

2

2

2

cos

2

1

3

1

sin

2

1

arctan

,

⋅

+

+













−

+

=

E

u

p

p

a

u

E

r

M

G

u

U

b

u

(

)

(

)

2

1

sin

2

3

cos

cos

,

90

2

2

2

−

=

=

−

=

β

β

ϑ

ϑ

β

P

P

o

przy czym: 

przy czym: 















−













+

=















−













+

=

E

b

b

E

E

b

p

E

u

u

E

E

u

p

b

u

3

arctan

3

1

2

1

3

arctan

3

1

2

1

2

2

2

2

(

(





)

)

9

Janusz Walo

Janusz Walo

17

17

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(16)

(16)

(Potencja

(Potencja

ł

ł

normalny w postaci szeregu harmonicznych

normalny w postaci szeregu harmonicznych

…

…

I 

I 

)

)

Potencja

Potencja

ł

ł

normalny

normalny

rzadko jest opisywany wzorem 

rzadko jest opisywany wzorem 

(

(





)

)

, cz

, cz

ęś

ęś

ciej w postaci 

ciej w postaci 

szeregu harmonicznych sferycznych, kt

szeregu harmonicznych sferycznych, kt

ó

ó

ry opisuje mas

ry opisuje mas

ę

ę

o symetrii wzgl

o symetrii wzgl

ę

ę

dem 

dem 

r

r

ó

ó

wnika i osi obrotu 

wnika i osi obrotu 

(w odniesieniu do potencja

(w odniesieniu do potencja

ł

ł

u grawitacyjnego; por. wyk

u grawitacyjnego; por. wyk

ł

ł

ad 

ad 

wcze

wcze

ś

ś

niejszy)

niejszy)

, 

, 

tzn

tzn

:

:

Ograniczaj

Ograniczaj

ą

ą

c wz

c wz

ó

ó

r 

r 

(

(





)

)

odnosz

odnosz

ą

ą

cy si

cy si

ę

ę

do potencja

do potencja

ł

ł

u elipsoidy do cz

u elipsoidy do cz

ęś

ęś

ci 

ci 

odnosz

odnosz

ą

ą

cej si

cej si

ę

ę

do potencja

do potencja

ł

ł

u grawitacyjnego dostaniemy:

u grawitacyjnego dostaniemy:

(

)

(

)

(

)

(

)

1

sin

3

2

1

sin

,

sin

3

1

arctan

,

2

2

2

2

2

−

=

+

=

β

β

β

ω

β

P

bo

P

p

p

a

u

E

r

M

G

u

U

b

u

(

)















⋅













−

=

∑

∞

=1

2

2

2

cos

1

n

n

n

n

P

J

r

a

r

M

G

V

θ

(

(





)

)

(

(





)

)

Janusz Walo

Janusz Walo

18

18

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(17)

(17)

(Potencja

(Potencja

ł

ł

normalny w postaci szeregu harmonicznych

normalny w postaci szeregu harmonicznych

…

…

II 

II 

)

)

Ze wzgl

Ze wzgl

ę

ę

du na skomplikowan

du na skomplikowan

ą

ą

zamian

zamian

ę

ę

we wzorze 

we wzorze 

(

(





)

)

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych 

dnych 

elipsoidalnych na sferyczne, korzystamy z rozwini

elipsoidalnych na sferyczne, korzystamy z rozwini

ę

ę

cia w szeregi wed

cia w szeregi wed

ł

ł

ug 

ug 

pot

pot

ę

ę

g 

g 

arctan

arctan

(E

(E

/u)

/u)

i 

i 

p

p

u

u

, a nast

, a nast

ę

ę

pnie por

pnie por

ó

ó

wnuj

wnuj

ą

ą

c przekszta

c przekszta

ł

ł

cony wz

cony wz

ó

ó

r 

r 

(

(





)

)

z 

z 

(

(





)

)

wyznaczamy 

wyznaczamy 

J

J

2n

2n

przy 

przy 

u=r

u=r

(dla 

(dla 

β

β

=0

=0

̊

̊

,

,

θ

θ

=90

=90

̊

̊

, na osi obrotu elipsoidy)

, na osi obrotu elipsoidy)

:

:

przy czym:

przy czym:

2

2

Ma

A

C

J

oraz

a

E

e

−

=

=

( )

(

)(

)













+

−

+

+

−

=

+

2

2

2

1

2

5

1

3

2

1

2

3

1

e

J

n

n

n

n

e

J

n

n

n

J

J

2

2

nazywany jest 

nazywany jest 

dynamicznym wsp

dynamicznym wsp

ó

ó

ł

ł

czynnikiem kszta

czynnikiem kszta

ł

ł

tu

tu

, bowiem 

, bowiem 

C

C

-

-

A

A

to 

to 

r

r

ó

ó

Ŝ

Ŝ

nica moment

nica moment

ó

ó

w bezw

w bezw

ł

ł

adno

adno

ś

ś

ci odpowiednio wzgl

ci odpowiednio wzgl

ę

ę

dem osi b i a elipsoidy 

dem osi b i a elipsoidy 

zawieraj

zawieraj

ą

ą

cej mas

cej mas

ę

ę

M

M

.

.

10

Janusz Walo

Janusz Walo

19

19

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(18)

(18)

(Potencja

(Potencja

ł

ł

normalny w postaci szeregu harmonicznych

normalny w postaci szeregu harmonicznych

…

…

III 

III 

)

)

Ostatecznie wz

Ostatecznie wz

ó

ó

r na 

r na 

potencja

potencja

ł

ł

normalny si

normalny si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

(grawitacyjny + 

(grawitacyjny + 

od

od

ś

ś

rodkowy)

rodkowy)

rozumiany jako potencja

rozumiany jako potencja

ł

ł

wytwarzany przez obracaj

wytwarzany przez obracaj

ą

ą

c

c

ą

ą

si

si

ę

ę

z 

z 

pr

pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

ω

ω

elipsoid

elipsoid

ę

ę

ekwipotencjaln

ekwipotencjaln

ą

ą

o masie 

o masie 

M

M

, wielko

, wielko

ś

ś

ci 

ci 

a

a

i kszta

i kszta

ł

ł

cie 

cie 

e

e

wyra

wyra

Ŝ

Ŝ

ony poprzez szereg harmonicznych sferycznych (strefowych, 

ony poprzez szereg harmonicznych sferycznych (strefowych, 

parzystych) przyjmie posta

parzystych) przyjmie posta

ć

ć

:

:

(

)

(

)

(

)

β

ω

β

β

2

2

2

2

1

2

2

2

cos

2

1

sin

1

,

⋅

+

+















⋅













−

=

∑

∞

=

E

u

P

J

r

a

r

M

G

u

U

n

n

n

n

( )

(

)(

)













+

−

+

+

−

=

+

2

2

2

1

2

5

1

3

2

1

2

3

1

e

J

n

n

n

n

e

J

n

n

n

gdzie:

gdzie:

Janusz Walo

Janusz Walo

20

20

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(19)

(19)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

I 

I 

)

)

Og

Og

ó

ó

lnie przyspieszenie normalne okre

lnie przyspieszenie normalne okre

ś

ś

la wektor:

la wektor:

gdzie 

gdzie 

w

w

wynika z zapisu elementu liniowego 

wynika z zapisu elementu liniowego 

ds

ds

we wsp

we wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych 

dnych 

elipsoidalnych:

elipsoidalnych:

2

2

2

2

2

2

sin

E

u

E

u

w

+

+

=

β

T

u

U

w

U

w

u

U

w

U

grad













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=





















=

=

=

λ

β

γ

γ

γ

γ

λ

β

1

,

1

,

1

r

γ

11

Janusz Walo

Janusz Walo

21

21

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(20)

(20)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

II 

II 

)

)

Z uwagi na symetri

Z uwagi na symetri

ę

ę

potencja

potencja

ł

ł

u normalnego 

u normalnego 

U

U

wzgl

wzgl

ę

ę

dem osi obrotu:

dem osi obrotu:

ponadto na powierzchni elipsoidy (

ponadto na powierzchni elipsoidy (

U=const

U=const

, 

, 

u=b

u=b

):

):

0

0

=

=

β

γ

0

=

λ

γ

Przyjmuj

Przyjmuj

ą

ą

c ponadto oznaczenia:

c ponadto oznaczenia:

1

arctan

1

1

3

2

2

2

2

−













−













+

=

+

−

=

′

E

u

E

u

E

u

du

dp

E

E

u

p

u

b

b

E

e

GM

b

a

q

=

′

=

,

2

2

ω

Janusz Walo

Janusz Walo

22

22

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(21)

(21)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

III 

III 

)

)

R

R

ó

ó

Ŝ

Ŝ

niczkuj

niczkuj

ą

ą

c wyra

c wyra

Ŝ

Ŝ

enie 

enie 

(

(





)

)

wzgl

wzgl

ę

ę

dem zmiennej 

dem zmiennej 

u

u

dostaniemy na 

dostaniemy na 

powierzchni ekwipotencjalnej:

powierzchni ekwipotencjalnej:

przy czym na powierzchni elipsoidy 

przy czym na powierzchni elipsoidy 

w

w

0

0

wynosi:

wynosi:

β

β

β

2

2

2

2

2

2

2

0

co

sin

1

sin

1

s

b

a

a

E

b

a

w

+

=

+

=



























′

′

−

−

+













′

′

+

=

β

β

γ

2

2

0

2

cos

6

1

sin

3

1

b

b

b

b

p

p

e

q

q

p

p

e

q

w

a

GM

(

(





)

)

Na r

Na r

ó

ó

wniku (

wniku (

β

β

=0

=0

̊

̊

, w

, w

0,0

0,0

̊

̊

=b/a

=b/a

):

):













′

′

−

−

=

b

b

a

p

p

e

q

q

ab

GM

6

1

γ













′

′

+

=

b

b

b

p

p

e

q

a

GM

3

1

2

γ

na biegunie (

na biegunie (

β

β

=90

=90

̊

̊

, w

, w

0,90

0,90

̊

̊

=1

=1

):

):

12

Janusz Walo

Janusz Walo

23

23

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(22)

(22)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

IV 

IV 

)

)

Podstawiaj

Podstawiaj

ą

ą

c do 

c do 

(

(





)

)

otrzymane warto

otrzymane warto

ś

ś

ci 

ci 

γ

γ

dla r

dla r

ó

ó

wnika i bieguna 

wnika i bieguna 

dostaniemy:

dostaniemy:

(

(





)

)

β

β

β

γ

β

γ

γ

2

2

2

2

2

2

cos

sin

cos

sin

b

a

b

a

a

b

+

+

=

B

b

B

a

B

b

B

a

b

a

2

2

2

2

2

2

sin

cos

sin

cos

+

+

=

γ

γ

γ

w funkcji szeroko

w funkcji szeroko

ś

ś

ci zredukowanej 

ci zredukowanej 

β

β

w funkcji szeroko

w funkcji szeroko

ś

ś

ci geodezyjnej 

ci geodezyjnej 

B

B

B

a

b

tan

tan

=

β

Wz

Wz

ó

ó

r w tej postaci (

r w tej postaci (

ś

ś

cis

cis

ł

ł

y!)

y!)

wyra

wyra

Ŝ

Ŝ

a 

a 

przyspieszenie normalne na elipsoidzie 

przyspieszenie normalne na elipsoidzie 

ekwipotencjalnej

ekwipotencjalnej

i zosta

i zosta

ł

ł

podany przez 

podany przez 

Somiglian

Somiglian

ę

ę

w 1926 roku. 

w 1926 roku. 

Powszechnie stosuje si

Powszechnie stosuje si

ę

ę

jednak nieco przekszta

jednak nieco przekszta

ł

ł

con

con

ą

ą

form

form

ę

ę

tego wzoru

tego wzoru

…

…

Janusz Walo

Janusz Walo

24

24

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(23)

(23)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

V 

V 

)

)

Przyjmuj

Przyjmuj

ą

ą

c oznaczenie:

c oznaczenie:

dostaniemy:

dostaniemy:

B

e

B

b

B

a

2

2

2

2

2

2

sin

1

sin

cos

−

=

+

1

−

=

a

b

a

b

k

γ

γ

Sp

Sp

ł

ł

aszczeniem grawimetrycznym

aszczeniem grawimetrycznym

b

b

ę

ę

dziemy nazywa

dziemy nazywa

ć

ć

wyra

wyra

Ŝ

Ŝ

enie 

enie 

(poprzez 

(poprzez 

analogi

analogi

ę

ę

do sp

do sp

ł

ł

aszczenia geometrycznego)

aszczenia geometrycznego)

:

:

B

e

B

k

a

2

2

2

sin

1

sin

1

−

+

=

γ

γ













−

=

−

=

a

b

a

f

f

a

a

b

,

*

γ

γ

γ

oraz zwi

oraz zwi

ą

ą

zek 

zek 

(por. geometrii elipsoidy)

(por. geometrii elipsoidy)

:

:

(

(





)

)

13

Janusz Walo

Janusz Walo

25

25

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(24)

(24)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

VI 

VI 

)

)

Przyjmuj

Przyjmuj

ą

ą

c teraz, 

c teraz, 

Ŝ

Ŝ

e w wyra

e w wyra

Ŝ

Ŝ

eniach na 

eniach na 

p

p

’

’

b

b

i 

i 

p

p

b

b

:

:

po prostych przekszta

po prostych przekszta

ł

ł

ceniach prowadzi do 

ceniach prowadzi do 

ś

ś

cis

cis

ł

ł

ej postaci 

ej postaci 

twierdzenia 

twierdzenia 

Calirauta

Calirauta

(podane w formie przybli

(podane w formie przybli

Ŝ

Ŝ

onej w 1738 roku!)

onej w 1738 roku!)

:

:













′

′

+

=

+

b

b

b

p

p

e

b

f

f

2

1

2

*

γ

ω

Przyspieszenie normalne na biegunie 

Przyspieszenie normalne na biegunie 

γ

γ

b

b

podzielone przez przyspieszenie 

podzielone przez przyspieszenie 

normalne na r

normalne na r

ó

ó

wniku

wniku

γ

γ

a

a

:

:













′

′

−

−

=

b

b

a

p

p

e

q

q

ab

GM

6

1

γ













′

′

+

=

b

b

b

p

p

e

q

a

GM

3

1

2

γ













′

+

′

−

=

′

+

′

−

′

=

′

=

′

4

2

5

3

8

3

2

1

1

5

1

3

1

arctan

,

e

e

a

b

e

e

e

e

b

E

e

Janusz Walo

Janusz Walo

26

26

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(25)

(25)

(Przyspieszenie normalne si

(Przyspieszenie normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci

ci

…

…

VII 

VII 

)

)

Twierdzenie 

Twierdzenie 

Clairauta

Clairauta

z dok

z dok

ł

ł

adno

adno

ś

ś

ci

ci

ą

ą

wyraz

wyraz

ó

ó

w 

w 

[e

[e

’

’

4

4

] 

] 

mamy:

mamy:

za

za

ś

ś

w oryginalnej formie 

w oryginalnej formie 

(uproszczonej)

(uproszczonej)

podanej przez 

podanej przez 

Clairauta

Clairauta

:

:

Przez 

Przez 

q

q

’

’

Clairaut

Clairaut

rozumia

rozumia

ł

ł

stosunek 

stosunek 

si

si

ł

ł

y od

y od

ś

ś

rodkowej na r

rodkowej na r

ó

ó

wniku

wniku

do 

do 

si

si

ł

ł

y 

y 

przyci

przyci

ą

ą

gania na r

gania na r

ó

ó

wniku

wniku

. W rzeczywisto

. W rzeczywisto

ś

ś

ci stosunek tych si

ci stosunek tych si

ł

ł

jest r

jest r

ó

ó

wny:

wny:

GM

b

a

q

gdzie

q

q

a

a

2

2

2

2

,

2

3

ω

γ

ω

=

+

=

a

a

GM

a

q

γ

ω

ω

2

3

2

=

=

′













′

+

=

+

2

2

*

35

9

1

2

5

e

b

f

f

a

γ

ω

q

f

f

′

=

+

2

5

*













′

+

′

−

=

4

2

8

3

2

1

1

e

e

a

b

Twierdzenie 

Twierdzenie 

Clairauta

Clairauta

pokazuje, 

pokazuje, 

Ŝ

Ŝ

e mo

e mo

Ŝ

Ŝ

liwe jest wyznaczenie sp

liwe jest wyznaczenie sp

ł

ł

aszczenia 

aszczenia 

geometrycznego 

geometrycznego 

f

f

na podstawie wielko

na podstawie wielko

ś

ś

ci czysto dynamicznych 

ci czysto dynamicznych 

(

(

γ

γ

a

a

,

,

γ

γ

b

b

)

)

oraz masy 

oraz masy 

(

(

GM

GM

)

)

, 

, 

rozmiaru 

rozmiaru 

(a)

(a)

i pr

i pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci wirowania Ziemi 

ci wirowania Ziemi 

(

(

ω

ω

)

)

! Mo

! Mo

Ŝ

Ŝ

na te

na te

Ŝ

Ŝ

wyznaczy

wyznaczy

ć

ć

mas

mas

ę

ę

Ziemi

Ziemi

…

…

14

Janusz Walo

Janusz Walo

27

27

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(26)

(26)

(Robocza posta

(Robocza posta

ć

ć

wzoru na przyspieszenie normalne

wzoru na przyspieszenie normalne

…

…

I 

I 

)

)

W praktyce stosuje si

W praktyce stosuje si

ę

ę

przybli

przybli

Ŝ

Ŝ

on

on

ą

ą

posta

posta

ć

ć

wzoru 

wzoru 

(

(





)

)

po podstawieniu:

po podstawieniu:

otrzymamy:

otrzymamy:

W dalszych przekszta

W dalszych przekszta

ł

ł

ceniach zauwa

ceniach zauwa

Ŝ

Ŝ

my, 

my, 

Ŝ

Ŝ

e mianownik rozwija si

e mianownik rozwija si

ę

ę

w 

w 

szereg dwumianu, tzn.:

szereg dwumianu, tzn.:

...

8

3

2

1

1

1

1

2

+

+

−

=

−

x

x

x

2

2

*

2

,

1

,

1

f

f

e

f

f

a

b

a

b

−

=

+

=

−

=

γ

γ

(

)

(

)

B

f

f

B

f

f

f

f

a

2

2

2

*

*

sin

2

1

sin

1

−

−

⋅

−

−

+

=

γ

γ

B

B

B

2

sin

4

1

sin

sin

2

2

4

−

=

oraz

oraz

Janusz Walo

Janusz Walo

28

28

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(27)

(27)

(Robocza posta

(Robocza posta

ć

ć

wzoru na przyspieszenie normalne

wzoru na przyspieszenie normalne

…

…

I 

I 

)

)

Zachowuj

Zachowuj

ą

ą

c wyrazy zawieraj

c wyrazy zawieraj

ą

ą

ce 

ce 

[f 

[f 

2

2

]

]

i 

i 

[f f*]

[f f*]

otrzymamy wz

otrzymamy wz

ó

ó

r przybli

r przybli

Ŝ

Ŝ

ony:

ony:

przy czym:

przy czym:

Dok

Dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

wzoru 

wzoru 

(

(

)

)

szacuje si

szacuje si

ę

ę

na 

na 

1

1

µ

µ

ms

ms

-

-

2

2

=0.1mGal

=0.1mGal

.

.













−

+

=

B

f

B

f

a

2

sin

4

1

sin

1

2

4

2

*

γ

γ

f

fq

f

albo

f

f

f

f

2

1

2

5

,

2

1

4

*

4

−

=













+

=

(

(

)

)

15

Janusz Walo

Janusz Walo

29

29

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(28)

(28)

(Robocza posta

(Robocza posta

ć

ć

wzoru na przyspieszenie normalne

wzoru na przyspieszenie normalne

…

…

II 

II 

)

)

Wzory 

Wzory 

(

(





)

)

lub 

lub 

(

(





)

)

mo

mo

Ŝ

Ŝ

na przedstawi

na przedstawi

ć

ć

w postaci rozwini

w postaci rozwini

ę

ę

cia w szereg 

cia w szereg 

wed

wed

ł

ł

ug pot

ug pot

ę

ę

g 

g 

e

e

:

:

przy czym 

przy czym 

(warto

(warto

ś

ś

ci dla elipsoidy GRS

ci dla elipsoidy GRS

’

’

80)

80)

:

:

Dok

Dok

ł

ł

adno

adno

ść

ść

wzoru szacuje si

wzoru szacuje si

ę

ę

na 

na 

10

10

-

-

3

3

µ

µ

ms

ms

-

-

2= 10

2= 10

-

-

4

4

mGal

mGal

(b

(b

łą

łą

d wzgl

d wzgl

ę

ę

dny na 

dny na 

poziomie 

poziomie 

10

10

-

-

10

10

)

)

…

…













+

=

∑

∞

=1

2

2

sin

1

i

i

i

a

B

a

γ

γ

.

7715

326

780

.

9

,

02290

380

694

006

.

0

,

6378137

,

353

851

931

001

.

0

,

0007

000

000

.

0

16

5

128

35

,

1262

000

000

.

0

8

3

16

5

,

2718

023

000

.

0

2

1

8

3

,

0414

279

005

.

0

2

1

2

2

6

8

8

4

6

6

2

4

4

2

2

−

=

=

=

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

ms

e

m

a

k

k

e

e

a

k

e

e

a

k

e

e

a

k

e

a

a

γ

Janusz Walo

Janusz Walo

30

30

Pole normalne si

Pole normalne si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci Ziemi 

ci Ziemi 

(29)

(29)

(Robocza posta

(Robocza posta

ć

ć

wzoru na przyspieszenie normalne

wzoru na przyspieszenie normalne

…

…

III 

III 

)

)

Dynamiczny wsp

Dynamiczny wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik kszta

czynnik kszta

ł

ł

tu

tu

J

J

2

2

mo

mo

Ŝ

Ŝ

na wyrazi

na wyrazi

ć

ć

:

:

a wsp

a wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik 

czynnik 

J

J

4

4

w postaci:

w postaci:

Po przekszta

Po przekszta

ł

ł

ceniu mo

ceniu mo

Ŝ

Ŝ

na z pierwszego r

na z pierwszego r

ó

ó

wnania wyznaczy

wnania wyznaczy

ć

ć

geometryczne 

geometryczne 

sp

sp

ł

ł

aszczenie Ziemi 

aszczenie Ziemi 

f

f

na podstawie znajomo

na podstawie znajomo

ś

ś

ci wsp

ci wsp

ó

ó

ł

ł

czynnika 

czynnika 

J

J

2

2

i parametru 

i parametru 

grawitacyjnego 

grawitacyjnego 

GM

GM

( z obserwacji perturbacji orbit SSZ) oraz zadanej 

( z obserwacji perturbacji orbit SSZ) oraz zadanej 

warto

warto

ś

ś

ci 

ci 

ω

ω

i du

i du

Ŝ

Ŝ

ej p

ej p

ó

ó

ł

ł

osi 

osi 

a

a

.

.













+

−

−

=













′

+

′

−

−

′

=

fq

f

q

f

q

e

e

q

e

J

27

1

2

3

1

27

1

3

1

2

2

2

2

fq

f

q

e

e

J

7

4

5

4

7

2

5

1

2

2

4

4

+

−

=

′

+

′

−

=

2

2

2

2

2

56

3

28

15

8

9

2

1

2

3

q

q

J

J

q

J

f

+

+

+

+

=

16

Janusz Walo

Janusz Walo

31

31

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci 

ci 

(1)

(1)

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

…

…

I 

I 

)

)

Lokalny astronomiczny uk

Lokalny astronomiczny uk

ł

ł

ad wsp

ad wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych

dnych

to lewoskr

to lewoskr

ę

ę

tny uk

tny uk

ł

ł

ad zaczepiony 

ad zaczepiony 

w punkcie 

w punkcie 

P

P

, z osi

, z osi

ą

ą

z

z

pokrywaj

pokrywaj

ą

ą

c

c

ą

ą

si

si

ę

ę

z lini

z lini

ą

ą

pinu i osiami 

pinu i osiami 

x

x

i 

i 

y

y

w 

w 

p

p

ł

ł

aszczy

aszczy

ź

ź

nie horyzontalnej (

nie horyzontalnej (

x

x

na p

na p

ó

ó

ł

ł

noc;

noc;

y

y

na wsch

na wsch

ó

ó

d

d

).

).

Janusz Walo

Janusz Walo

32

32

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci 

ci 

(2)

(2)

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

…

…

II 

II 

)

)

Rozwini

Rozwini

ę

ę

cie potencja

cie potencja

ł

ł

u 

u 

W(x,y,z

W(x,y,z

)

)

w szereg Taylora w otoczeniu punktu 

w szereg Taylora w otoczeniu punktu 

P

P

mo

mo

Ŝ

Ŝ

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

Dla punktu P na powierzchni ekwipotencjalnej mamy:

Dla punktu P na powierzchni ekwipotencjalnej mamy:

(

)

...

2

1

2

2

2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

yz

W

xz

W

xy

W

z

W

y

W

x

W

z

W

y

W

x

W

W

W

yz

xz

xy

zz

yy

xx

z

y

x

P

g

W

W

W

W

W

z

y

x

P

−

=

=

=

=

,

0

,

Uwzgl

Uwzgl

ę

ę

dniaj

dniaj

ą

ą

c powy

c powy

Ŝ

Ŝ

sze i zaniedbuj

sze i zaniedbuj

ą

ą

c wyrazy trzeciego i wy

c wyrazy trzeciego i wy

Ŝ

Ŝ

szych rz

szych rz

ę

ę

d

d

ó

ó

w 

w 

dostaniemy:

dostaniemy:

(

)

0

...

2

1

2

2

=

+

+

+

+

−

xy

W

y

W

x

W

gz

xy

yy

xx

17

Janusz Walo

Janusz Walo

33

33

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci 

ci 

(3)

(3)

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

…

…

III 

III 

)

)

Po wprowadzeniu wsp

Po wprowadzeniu wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych biegunowych oraz zale

dnych biegunowych oraz zale

Ŝ

Ŝ

no

no

ś

ś

ci na krzywizn

ci na krzywizn

ę

ę

przekroju normalnego, tzn.:

przekroju normalnego, tzn.:

dostaniemy:

dostaniemy:

2

2

1

,

sin

,

cos

s

z

R

A

s

y

A

s

x

A

−

=

=

=

g

W

R

i

g

W

R

yy

y

xx

x

−

=

−

=

1

1

Przekroje normalne o azymutach 

Przekroje normalne o azymutach 

A=0 

A=0 

̊

̊

i 

i 

A=90 

A=90 

̊

̊

maj

maj

ą

ą

krzywizny:

krzywizny:

(

)

A

W

A

A

W

A

W

g

R

yy

xy

xx

A

2

2

sin

cos

sin

2

cos

1

1

+

+

−

=

a 

a 

krzywizna 

krzywizna 

ś

ś

rednia

rednia

wyra

wyra

Ŝ

Ŝ

ona 

ona 

za ich pomoc

za ich pomoc

ą

ą

wynosi:

wynosi:

(

)

yy

xx

y

x

W

W

g

R

R

H

+

−

=















+

=

2

1

1

1

2

1

*

(

(

)

)

(

(





)

)

Janusz Walo

Janusz Walo

34

34

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci 

ci 

(4)

(4)

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

(Krzywizna powierzchni ekwipotencjalnej

…

…

IV 

IV 

)

)

W celu znalezienia ekstremum wyra

W celu znalezienia ekstremum wyra

Ŝ

Ŝ

enia 

enia 

(

(

)

)

wzgl

wzgl

ę

ę

dem azymutu 

dem azymutu 

A

A

dostaniemy:

dostaniemy:

co prowadzi do wzoru:

co prowadzi do wzoru:

0

2

sin

2

cos

2

sin

=

+

+

−

A

W

A

W

A

W

yy

xy

xx

yy

xx

xy

W

W

W

A

−

= 2

2

tan

Warto

Warto

ś

ś

ci uzyskane dla azymut

ci uzyskane dla azymut

ó

ó

w przekroj

w przekroj

ó

ó

w normalnych o ekstremalnych 

w normalnych o ekstremalnych 

krzywiznach 

krzywiznach 

A

A

1

1

i 

i 

A

A

2

2

=A

=A

1 

1 

±

±

90 

90 

̊

̊

wstawione do wzoru 

wstawione do wzoru 

(

(

)

)

pozwala wyznaczy

pozwala wyznaczy

ć

ć

tzw. 

tzw. 

krzywizn

krzywizn

ę

ę

geofizyczn

geofizyczn

ą

ą

:

:

xx

yy

xy

W

W

W

A

W

A

W

R

R

g

K

−

=

−

=

=













−

=

∆

∆

,

2

csc

2

2

sec

1

1

2

1

18

Janusz Walo

Janusz Walo

35

35

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci 

ci 

(5)

(5)

(Gradient pionowy si

(Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci 

ci 

–

–

r

r

ó

ó

wnanie 

wnanie 

Brunsa

Brunsa

)

)

Tzw. uog

Tzw. uog

ó

ó

lnione r

lnione r

ó

ó

wnanie 

wnanie 

Poissona

Poissona

(

(

∆

∆

W

W

w przestrzeni wewn

w przestrzeni wewn

ę

ę

trznej)

trznej)

ma posta

ma posta

ć

ć

:

:

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci mo

ci mo

Ŝ

Ŝ

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

2

4

ω

σ

π

+

⋅

−

=

+

+

=

∆

G

W

W

W

W

zz

yy

xx

(

)

2

2

4

grad

ω

σ

π

−

+

+

=

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

=

G

W

W

W

z

g

h

g

g

yy

xx

zz

Wstawiaj

Wstawiaj

ą

ą

c za sum

c za sum

ę

ę

W

W

xx

xx

+W

+W

yy

yy

warto

warto

ść

ść

wyznaczon

wyznaczon

ą

ą

z r

z r

ó

ó

wnania 

wnania 

(

(





)

)

dostaniemy wyra

dostaniemy wyra

Ŝ

Ŝ

enie nazywane 

enie nazywane 

r

r

ó

ó

wnaniem 

wnaniem 

Brunsa

Brunsa

:

:

2

*

2

4

2

ω

σ

π

−

+

−

=

∂

∂

G

gH

h

g

Janusz Walo

Janusz Walo

36

36

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci 

ci 

(6)

(6)

(Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

(Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

ą

ą

…

…

I 

I 

)

)

W przestrzeni zewn

W przestrzeni zewn

ę

ę

trznej 

trznej 

(dla niewielkich wysoko

(dla niewielkich wysoko

ś

ś

ci)

ci)

przyspieszenie normalne 

przyspieszenie normalne 

mo

mo

Ŝ

Ŝ

na wyrazi

na wyrazi

ć

ć

za pomoc

za pomoc

ą

ą

wzoru 

wzoru 

Brunsa

Brunsa

:

:

Po rozwini

Po rozwini

ę

ę

ciu sumy 

ciu sumy 

(M

(M

-

-

1

1

+N

+N

-

-

1

1

)

)

w szereg wg pot

w szereg wg pot

ę

ę

g sp

g sp

ł

ł

aszczenia i zast

aszczenia i zast

ą

ą

pieniu 

pieniu 

pr

pr

ę

ę

dko

dko

ś

ś

ci k

ci k

ą

ą

towej 

towej 

ω

ω

przez 

przez 

q

q

dostaniemy :

dostaniemy :

(

)

B

f

q

f

a

h

2

sin

2

1

2

−

+

+

−

=

∂

∂

γ

γ

...

2

2

2

+

∂

∂

+

∂

∂

+

=

h

h

h

h

h

γ

γ

γ

γ

Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

ą

ą

mo

mo

Ŝ

Ŝ

na przedstawi

na przedstawi

ć

ć

w postaci 

w postaci 

szybko zbie

szybko zbie

Ŝ

Ŝ

nego szeregu 

nego szeregu 

(w mianowniku mamy 

(w mianowniku mamy 

a

a

)

)

postaci:

postaci:

2

2

1

1

2

ω

γ

−













+

−

=

∂

∂

N

M

g

h

N

M

H

1

1

0

*

+

=

=

σ

(

(





)

)

19

Janusz Walo

Janusz Walo

37

37

Gradient pionowy si

Gradient pionowy si

ł

ł

y ci

y ci

ęŜ

ęŜ

ko

ko

ś

ś

ci 

ci 

(7)

(7)

(Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

(Przyspieszenie normalne ponad elipsoid

ą

ą

…

…

II 

II 

)

)

Dla wi

Dla wi

ę

ę

kszo

kszo

ś

ś

ci przypadk

ci przypadk

ó

ó

w mo

w mo

Ŝ

Ŝ

na uwzgl

na uwzgl

ę

ę

dni

dni

ć

ć

tylko trzy pierwsze wyrazy 

tylko trzy pierwsze wyrazy 

rozwini

rozwini

ę

ę

cia, a ponadto pochodn

cia, a ponadto pochodn

ą

ą

drugiego rz

drugiego rz

ę

ę

du 

du 

(i ewentualnie wy

(i ewentualnie wy

Ŝ

Ŝ

szych 

szych 

rz

rz

ę

ę

d

d

ó

ó

w)

w)

mo

mo

Ŝ

Ŝ

na wyznaczy

na wyznaczy

ć

ć

w oparciu o sferyczne przybli

w oparciu o sferyczne przybli

Ŝ

Ŝ

enie Ziemi o 

enie Ziemi o 

promieniu 

promieniu 

a

a

, tzn.:

, tzn.:

Uwzgl

Uwzgl

ę

ę

dniaj

dniaj

ą

ą

c powy

c powy

Ŝ

Ŝ

sze uwagi dostaniemy wz

sze uwagi dostaniemy wz

ó

ó

r na przyspieszenie 

r na przyspieszenie 

normalne na wysoko

normalne na wysoko

ś

ś

ci 

ci 

h

h

ponad elipsoid

ponad elipsoid

ą

ą

postaci:

postaci:

(

)













+

−

+

+

−

⋅

=

2

2

2

3

sin

2

1

2

1

h

a

h

B

f

q

f

a

h

γ

γ

Wyra

Wyra

Ŝ

Ŝ

enie to jest przydatne do zrozumienia teorii Mo

enie to jest przydatne do zrozumienia teorii Mo

ł

ł

ode

ode

ń

ń

skiego oraz w 

skiego oraz w 

niwelacji satelitarnej

niwelacji satelitarnej

…

…

2

2

2

6

a

h

γ

γ

=

∂

∂

Janusz Walo

Janusz Walo

38

38

Pochodne potencja

Pochodne potencja

ł

ł

u normalnego 

u normalnego 

(1)

(1)

(Pochodne drugiego rz

(Pochodne drugiego rz

ę

ę

du potencja

du potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

…

…

I 

I 

)

)

Przyjmuj

Przyjmuj

ą

ą

c analogiczne oznaczenia pochodnych potencja

c analogiczne oznaczenia pochodnych potencja

ł

ł

u normalnego do 

u normalnego do 

pochodnych potencja

pochodnych potencja

ł

ł

u rzeczywistego tzn. 

u rzeczywistego tzn. 

U

U

x

x

,U

,U

y

y

,U

,U

z

z

,U

,U

xx

xx

,

,

…

…

mo

mo

Ŝ

Ŝ

emy zapisa

emy zapisa

ć

ć

dla elipsoidy ekwipotencjalnej: 

dla elipsoidy ekwipotencjalnej: 

Rozwijaj

Rozwijaj

ą

ą

c 

c 

M

M

-

-

1

1

i 

i 

N

N

-

-

1

1

w szeregi wzgl

w szeregi wzgl

ę

ę

dem 

dem 

e

e

’

’

do wyraz

do wyraz

ó

ó

w zawieraj

w zawieraj

ą

ą

cych 

cych 

[

[

e

e

’

’

2

2

]

]

otrzymamy:

otrzymamy:

(

)

B

f

f

b

B

e

a

b

U

U

U

h

xx

yy

2

2

2

2

2

cos

2

cos

−

=

′

⋅

=

=

−

=

∆

γ

γ

γ

Pochodna 

Pochodna 

U

U

zz

zz

wynika z r

wynika z r

ó

ó

wnania 

wnania 

Brunsa

Brunsa

i jest opisana wzorem 

i jest opisana wzorem 

(

(





)

)

,

,

w 

w 

kt

kt

ó

ó

rym zmieni si

rym zmieni si

ę

ę

jedynie znak.

jedynie znak.

γ

γ

yy

xx

U

N

U

M

−

=

−

=

1

,

1

20

Janusz Walo

Janusz Walo

39

39

Pochodne potencja

Pochodne potencja

ł

ł

u normalnego 

u normalnego 

(2)

(2)

(Pochodne drugiego rz

(Pochodne drugiego rz

ę

ę

du potencja

du potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

…

…

II 

II 

)

)

Pochodn

Pochodn

ą

ą

U

U

xz

xz

mo

mo

Ŝ

Ŝ

emy zapisa

emy zapisa

ć

ć

: 

: 

Pochodn

Pochodn

ą

ą

∂γ

∂γ

/

/

∂

∂

B

B

wyznaczamy ze wzoru 

wyznaczamy ze wzoru 

(

(

)

)

, a pochodna 

, a pochodna 

∂

∂

B/

B/

∂

∂

x

x

to znana z 

to znana z 

geometrii elipsoidy r

geometrii elipsoidy r

ó

ó

Ŝ

Ŝ

niczka

niczka

:

:

(

)

M

x

B

B

f

f

B

B

a

1

,

2

cos

2

sin

4

*

=

∂

∂

−

⋅

=

∂

∂

γ

γ

Zatem ostatecznie mamy:

Zatem ostatecznie mamy:

x

B

B

x

U

xz

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

γ

γ

(

)

M

x

B

B

f

f

B

M

U

a

xz

1

,

2

cos

2

sin

4

*

=

∂

∂

−

⋅

=

γ

Janusz Walo

Janusz Walo

40

40

Pochodne potencja

Pochodne potencja

ł

ł

u normalnego 

u normalnego 

(3)

(3)

(Pochodne drugiego rz

(Pochodne drugiego rz

ę

ę

du potencja

du potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

…

…

III 

III 

)

)

Pochodn

Pochodn

ą

ą

U

U

yz

yz

mo

mo

Ŝ

Ŝ

emy zapisa

emy zapisa

ć

ć

analogicznie: 

analogicznie: 

Wobec symetrii obrotowej modelu pola normalnego mamy:

Wobec symetrii obrotowej modelu pola normalnego mamy:

0

0

=

⇒

=

∂

∂

yz

U

L

γ

Z tego samego powodu 

Z tego samego powodu 

(symetrii)

(symetrii)

mamy te

mamy te

Ŝ

Ŝ

:

:

y

L

L

y

U

xz

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

γ

γ

0

=

xy

U

21

Janusz Walo

Janusz Walo

41

41

Geodezyjny system odniesienia 

Geodezyjny system odniesienia 

1980

1980

(1)

(1)

(

(

G

G

eogetic

eogetic

R

R

eference

eference

S

S

ystem 

ystem 

GRS

GRS

’

’

80

80

…

…

I 

I 

)

)

Geodezyjny system odniesienia GRS

Geodezyjny system odniesienia GRS

’

’

80

80

zosta

zosta

ł

ł

przyj

przyj

ę

ę

ty na XVII Zgromadzeniu 

ty na XVII Zgromadzeniu 

Generalnym Mi

Generalnym Mi

ę

ę

dzynarodowej Unii Geodezji i Geofizyki w 

dzynarodowej Unii Geodezji i Geofizyki w 

Canberze

Canberze

w grudniu 1979 

w grudniu 1979 

roku. Mi

roku. Mi

ę

ę

dzynarodowa Asocjacja Geodezji zaleci

dzynarodowa Asocjacja Geodezji zaleci

ł

ł

a stosowanie tego systemu w pracach 

a stosowanie tego systemu w pracach 

geodezyjnych.

geodezyjnych.

GRS

GRS

’

’

80 zast

80 zast

ą

ą

pi

pi

ł

ł

dotychczasowy uk

dotychczasowy uk

ł

ł

ad GRS

ad GRS

’

’

67, a jego pe

67, a jego pe

ł

ł

ny opis znale

ny opis znale

źć

źć

mo

mo

Ŝ

Ŝ

na w 

na w 

publikacji 

publikacji 

H.Moritza

H.Moritza

: 

: 

Geodetic

Geodetic

Reference

Reference

Frame

Frame

1980 (

1980 (

The

The

Geodesist

Geodesist

’

’

s

s

Handbook

Handbook

, 

, 

Bulletin

Bulletin

Geodesique

Geodesique

, 

, 

Vol.58, No.3,1984

Vol.58, No.3,1984

.

.

GRS

GRS

’

’

80 to oparty 

80 to oparty 

na teorii geocentrycznej elipsoidy ekwipotencjalnej

na teorii geocentrycznej elipsoidy ekwipotencjalnej

system zdefiniowany przez nast

system zdefiniowany przez nast

ę

ę

puj

puj

ą

ą

ce sta

ce sta

ł

ł

e standardowe:

e standardowe:

•

•

r

r

ó

ó

wnikowy promie

wnikowy promie

ń

ń

Ziemi

Ziemi

a =  6 378 137 m

a =  6 378 137 m

•

•

geocentryczn

geocentryczn

ą

ą

sta

sta

łą

łą

grawitacyjn

grawitacyjn

ą

ą

Ziemi (z atmosfer

Ziemi (z atmosfer

ą

ą

)

)

GM = 3 986 005 x 10

GM = 3 986 005 x 10

8 

8 

m

m

3

3

s

s

-

-

2

2

•

•

dynamiczny wsp

dynamiczny wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik kszta

czynnik kszta

ł

ł

tu Ziemi (w

tu Ziemi (w

łą

łą

czaj

czaj

ą

ą

c sta

c sta

ł

ł

e deformacji Ziemi)

e deformacji Ziemi)

J

J

2 

2 

= 108 263 x 10

= 108 263 x 10

-

-

8

8

•

•

k

k

ą

ą

tow

tow

ą

ą

pr

pr

ę

ę

dko

dko

ść

ść

Ziemi:

Ziemi:

ω

ω

= 7 292 115 x 10

= 7 292 115 x 10

-

-

11

11

rad s

rad s

-

-

1

1

Janusz Walo

Janusz Walo

42

42

Geodezyjny system odniesienia 

Geodezyjny system odniesienia 

1980

1980

(2)

(2)

(

(

G

G

eogetic

eogetic

R

R

eference

eference

S

S

ystem 

ystem 

GRS

GRS

’

’

80

80

…

…

II 

II 

)

)

Do oblicze

Do oblicze

ń

ń

stosowane s

stosowane s

ą

ą

te same wzory co w systemie 1967 

te same wzory co w systemie 1967 

(wyprowadzone i 

(wyprowadzone i 

zdefiniowane wcze

zdefiniowane wcze

ś

ś

niej)

niej)

Ma

Ma

ł

ł

a o

a o

ś

ś

elipsoidy odniesienia jest 

elipsoidy odniesienia jest 

r

r

ó

ó

wnoleg

wnoleg

ł

ł

a

a

do kierunku definiowanego

do kierunku definiowanego

przez 

przez 

Conventional

Conventional

International

International

Origin

Origin

, a po

, a po

ł

ł

udnik pocz

udnik pocz

ą

ą

tkowy jest 

tkowy jest 

r

r

ó

ó

wnoleg

wnoleg

ł

ł

y do po

y do po

ł

ł

udnika zerowego

udnika zerowego

d

d

ł

ł

ugo

ugo

ś

ś

ci przyjmowanych przez BIH. 

ci przyjmowanych przez BIH. 

Przybli

Przybli

Ŝ

Ŝ

ony wz

ony wz

ó

ó

r 

r 

(dla wyznaczonych wsp

(dla wyznaczonych wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik

czynnik

ó

ó

w w zale

w w zale

Ŝ

Ŝ

no

no

ś

ś

ci 

ci 

(

(

)

)

)

)

na 

na 

przyspieszenie normalne na elipsoidzie GRS

przyspieszenie normalne na elipsoidzie GRS

’

’

80 ma posta

80 ma posta

ć

ć

:

:

(

)

]

[

2

sin

0000058

.

0

sin

0053024

.

0

1

780327

.

9

2

2

2

−

⋅

−

⋅

+

⋅

=

ms

B

B

γ