(Microsoft PowerPoint - GW_Systemy wysoko\234ci \(sem. IV\))

Systemy wysoko

Janusz Walo

ver

. 1.0 (03.2009)

Janusz Walo

Co to jest

wysoko

ść

lin

pio

zenit

W =

= W

dW = grad W ds

dW = g ds = g ds cos(g,ds)

cos(g, ds) = cos(g, dh) = -1

dla

ds = dg = dh

dW = - g dh

Stąd odległość sąsiednich powierzchni ekwipotencjalnych wyraŜoną
przez róŜniczkę potencjału i przyspieszenie siły cięŜkości:

−

Zmianę dW pola skalarnego W wyraŜa
róŜniczka:

mamy

Pami

taj

e przyspieszenie na biegunie jest wi

ksze ni

na r

wniku, ze wzoru wynika,

e powierzchnie ekwipotencjalne

nie s

wnoleg

e!! R

nica si

ga 0.5m dla wysoko

ci 100m

…

Janusz Walo

Liczba (cecha)

geopotencjalna









−

∫

Liczba geopotencjalna wyraŜa pracę w polu potencjalnym, jaką trzeba wykonać

w celu przemieszczenia się z powierzchni W

do W

Całkując równanie dW = - g dh mamy:

∫

−

(praca w polu potencjalnym jest niezaleŜna od drogi)

Janusz Walo

Liczba

geopotencjalna

Z uwagi na podobieństwo do wysokości przyjęto dla liczby
geopotencjalnej specjalną jednostkę zwaną jednostką
geopotencjalną i oznacza się g.p.u.

(geopotential unit).

1 g.p.u. = cm

-2

-5

= 1 kGal · 1 m

Dzieląc wartość liczby geopotencjalnej C wyraŜoną w g.p.u. przez
1kGal dostajemy wartość w metrach bliską wysokości

(o blisko 2%

mniejszą od wysokości dla przybliŜonej, średniej wartości przyspieszenia).

≈ gH ≈

0.98 H

Dlatego liczbę geopotencjalna wyraŜoną w g.p.u nazywano dawniej cechą
geopotencjalną, a współcześnie częściej wysokością geopotencjalną

(słuŜą

dziś do katalogowania wysokości reperów, wyrównania, wymiany danych)

Janusz Walo

Wysoko

Najkrótszą drogę, na jakiej wykonano pracę określoną przez liczbę
geopotencjalną wyznacza kierunek grad

W = g

Praca = Droga x Siła

Ta najkrótsza droga to wysokość

Wysokość =

Liczba geopotencjalna

przyśpieszenie siły cięŜkości na drodze P

- P

Janusz Walo

Wysoko

ci dynamiczne

(1)

(Definicja wysoko

ci)

JeŜeli przyjmiemy dla całej Ziemi jedną wartość przyspieszenia siły
cięŜkości obliczoną ze wzoru na przyspieszenie normalne dla
szerokości 45˚

(równą 9.806199203 ms

-2

dla elipsoidy GRS80)

to otrzymamy

wysokość dynamiczną punktu P w postaci wyraŜenia:

∫

−

gdh

Janusz Walo

Wysoko

ci dynamiczne

(2)

(Poprawka dynamiczna)

(

)

∫

−

∆

gdh

∑

∆

−

Zapisując róŜnicę wysokości dla dwóch punktów A i B dostaniemy
wzór na róŜnicę wysokości dynamicznych:

zastępując całkę sumą dostaniemy:

∑

∆

gdzie PH

to poprawka dynamiczna postaci:

Janusz Walo

Wysoko

ci dynamiczne

(3)

(Uwagi ko

cowe)

Wysokości i poprawki dynamiczne wyznaczane są ściśle jedynie na
podstawie pomierzonych róŜnic wysokości i przyspieszenia siły
cięŜkości. Dlatego teŜ poprawki dynamiczne wykorzystywane są do
wyraŜania poprawek w innych systemach wysokości.

We wzorze na poprawkę dynamiczną przyspieszenie g to średnie
przyspieszenie na punktach A i B.

Punkty leŜące na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej mają taką
samą wysokość dynamiczną

(nadają się dobrze do projektów związanych z

budownictwem wodnym).

Wysokości dynamiczne nie mają Ŝadnej interpretacji geometrycznej.

Wysokości dynamiczne nie nadają się do rozwiązywania zagadnień
związanych z wyznaczaniem figury Ziemi wg koncepcji Stokesa.

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(1)

(Definicja wysoko

ci)

Wysokości ortometryczne to odległości punktów fizycznej

powierzchni Ziemi od geoidy mierzone wzdłuŜ linii pionu.

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(2)

(Definicja wysoko

ci)

∫

−

gdH

⋅

∫

NiezaleŜność wartości liczby potencjalnej (pracy) od drogi, na której
liczbę wyznaczono pozwala zapisać

(całkowanie wzdłuŜ linii pionu)

Po przekształceniu dostaniemy:

a w konsekwencji wyraŜenie definiującą wysokość ortometryczną:

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(3)

(Podej

cie

Niethammera

)

(

)

∫

−

gdh

Problem wyznaczenia wartości przeciętnej przyspieszenia pewne
rozwiązanie podał Niethammer…
Rozpatrując róŜnicę wysokości pomiędzy punktem B na f.p.Z. i
punktem na geoidzie moŜna zapisać:

Ostatni składnik oznacza poprawkę ortometryczną, przy czym
wartość całki tylko nieznacznie zaleŜy od drogi całkowania:

∫

−

≈

−

(*)

(**)

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(4)

(Podej

cie

Niethammera

)

gdH

∫

−

Krzywa zmiany przyspieszenia dzieli obszar na dwie części, których
pola wiąŜe zaleŜność:

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(5)

(Podej

cie

Niethammera

)

∫

−

Hdg

Uwzględniając wniosek z rysunku we wzorach (*) i (**) otrzymamy
zaleŜność opisującą wysokość ortometryczną punktu B:

Ostatni składnik oznacza poprawkę ortometryczną, przy czym
wartość całki tylko nieznacznie zaleŜy od drogi całkowania:

∫

−

≈

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(6)

(Podej

cie

Niethammera

)

∫

−

∆

Hdg

Analogicznie moŜemy zapisać wysokość dla punktu A, skąd łatwo
przejść do zaleŜności opisującej róŜnicę wysokości pomiędzy
punktami A i B postaci:

Uwaga:

W mianowniku wyrazów 2-3

(są to małe wielkości)

przeciętne

wartości przyspieszeń w punktach A i B moŜna zastąpić wartością
przybliŜoną przyspieszenia

(np. wartością średnią w punktach A i B

na powierzchni Ziemi; potrzebne są zaledwie 2-3 cyfry znaczące)

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(7)

(Podej

cie

Niethammera

)

′

−

⋅

−

Do obliczenia wartości przeciętnych przyspieszenia Niethammer
zaproponował wykorzystanie redukcji Poincarego-Preya obliczoną
dla połowy wysokości:

Sumę redukcji Faye’a i Bouguera moŜna zastąpić wyraŜeniami
zaleŜnymi od gęstości skorupy ziemskiej. PrzybliŜona postać wzoru
na redukcję Faye’a i wzór na redukcję Bouguera mają postać:

Poprawka terenowa
wyznaczona względem
punktu w połowie wysokości

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(8)

(Podej

cie

Niethammera

)

⇒

⋅

⇒

Zastępując we wzorze na redukcję Bouguera stałą grawitacji G
przez wyraŜenie postaci

(dla Ziemi o promieniu R i średniej gęstości

ostatecznie dostaniemy:

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(9)

(Podej

cie

Niethammera

)

⋅













−

⋅

−

Sumę poprawek Faye’a i Bouguera moŜna zapisać:

skąd wniosek, Ŝe:

gdzie

−

′

′′

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(10)

(Podej

cie

Niethammera

)

∑

∫

∆

⇒

−

∆

Hdg

∑

∆

−

′′

−

′′

−

Jeśli róŜnicę wysokości zapiszemy w postaci:

to poprawkę ortometryczną moŜna zapisać w postaci:

(

)

;

−

∆

−

Poprawka tej postaci nazywana bywa prawdziwą poprawką
ortometryczną (Niethammera). Niestety rzadko stosowana ze
względu na konieczność znajomości rozkładu gęstości i topografii
terenu…

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(11)

(Podej

cie przybli

one Helmerta)

∑

∆

−

W terenach płaskich Helmert zaproponował rezygnację z poprawek
terenowych, co upraszcza wzór na poprawkę ortometryczna do
postaci:

Przyjmując ponadto, Ŝe na niewielkim obszarze gęstość skorupy jest
taka sama a więc κ =

= κ

dostaniemy:

Poprawka tej postaci nazywana bywa przybliŜoną poprawką
ortometryczną (Helmerta), wysokości przybliŜonymi wysokościami
ortometrycznymi Helmerta.

(

)

∑

∆

−

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(12)

(Podej

cie przybli

one)

−

3086

−

≈

Jeszcze inne podejście do wyznaczenia wysokości ortometrycznych
moŜna rozpocząć od wzoru Brunsa:

Zastępując 1 i 3 wyraz odpowiednimi wyraŜeniami dla modelu pola
normalnego siły cięŜkości dostaniemy w przybliŜeniu:

Przyjmując z kolei standardową gęstość skorupy ziemskiej
σ

=2.67 gcm

-3

oraz stałą grawitacji G=6.673x10

-11

-1

-2

mamy:

[

]

0848

2238

3086

−

⋅

−

≈

mgl

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(13)

(Podej

cie przybli

one)

Redukcję przyspieszenia wyraŜoną ostatnim wzorem moŜemy
interpretować jako trzy etapy:

-0.1119 H

usunięcie płyty Bouguera o gęstości σ

+0.3086 H

redukcja wolnopowietrzna na głębokość H

-0.1119 H

przywrócenie płyty Bouguera o gęstości

---------------------------------------------------------------------------------------------------

+0.0848 H

suma etapów

3 oznacza red.

dla

Przeciętną wartość przyspieszenia moŜna wyrazić teraz nastęująco:

(

)

⋅

∫

0424

0848

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(14)

(Podej

cie przybli

one)

MnoŜąc ostatnią zaleŜność przez stosunek σ/σ

czyli wracając do

rzeczywistej gęstości skorupy ziemskiej dostaniemy wzór
równorzędny podejściu Helmerta. Wysokość ortometryczna
wyznaczona z ostatniej zaleŜności jest równa:

0424

−

Tak wyznaczoną wysokość nazywa się równieŜ wysokością
ortometryczną Helmerta.

W obliczeniach naleŜy róŜnicę potencjałów wziąć w g.p.u, przyspieszenie siły
cięŜkości w Gal i wysokość w km.

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(15)

(Dok

adno

ść

wyznaczenia wysoko

ci)

−

⇒

]

[

]

[

]

[

mGal

≈

Pomijając błędy pomiarowe

(wspólne dla wszystkich systemów wysokości)

na dokładność wyznaczenia wysokości ortometrycznych ma wpływ
głównie błąd wyznaczenie gęstości powierzchniowych warstw
skorupy ziemskiej. RóŜniczkując wzór opisujący wysokość
ortometryczną mamy:

Zaniedbując znak oraz przyjmując g≈1000 Gal moŜemy zapisać:

Co oznacza, Ŝe dla H=1km błąd wyznaczenia wysokości w [mm]
wynosi tyle ile błąd wyznaczenia wartości przeciętnej przyspieszenia
w [mGal].

]

[

]

[

mGal

≈

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(16)

(Dok

adno

ść

wyznaczenia wysoko

ci)

⋅













−

δγ

]

[

]

[

−

⋅

≈

⇒

⋅

mGal

dla

δσ

Redukcję P-P moŜna zapisać

(pomijając poprawki topograficzne)

postaci:

RóŜniczkując względem gęstości dostaniemy:

Z ostatniej zaleŜności wynika:

mGal

Dla

mGal

Dla

max

⇒

δσ

Janusz Walo

Wysoko

ci ortometryczne

(17)

(Uwagi ko

cowe)

Wysokości ortometryczne mają jasną interpretację geometryczną.
WyraŜają one odległości punktu na fizycznej powierzchni Ziemi od
geoidy mierzoną wzdłuŜ linii pionu.

Punkty leŜące na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej mają zatem
róŜne wysokości ortometryczne.

Wysokości i poprawki ortometryczne wyznaczane są z dokładnością
zaleŜną od dokładności wyznaczenia przeciętnej wartości
przyspieszenia siły cięŜkości, która to dokładność zaleŜy głównie od
precyzji określenia gęstości wierzchnich warstw skorupy ziemskiej i
topografii terenu.

Wysokości ortometryczne dobrze nadają się do rozwiązywania
zagadnień związanych z niwelacją satelitarną (wyznaczaniem geoidy).

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(1)

(Poj

cia wst

pne)

Mołodeński w 1960r. opublikował nowe
podejście do wyznaczenia figury Ziemi,
wolne od załoŜeń co do rozkładu gęstości…

Telluroida

(pojęcie wprowadzone przez

Hirvonena)

to pewien obraz

(przybliŜenie)

fizycznej powierzchni Ziemi, gdzie dla
dwóch punktów na linii pionu pola
normalnego

(lub normalnej)

potencjał

normalny w punkcie Q jest taki sam
jak potencjał rzeczywisty w punkcie P
na f.p.Z. ( U

Wartość potencjału na telluroidzie
zmienia się podobnie jak warotść
potencjału rzeczywistego na f.p.Z.

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(2)

(Poj

cia wst

pne c.d.)

∫

−

∫

Liczbę geopotencjalną moŜna zapisać w
postaci:

PowyŜszą zaleŜność moŜna traktować
jako formalną definicję wysokości
normalnej, bowiem moŜna zapisać:

gdzie:

⇒

∫

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(3)

(Podstawowe zale

ci)

(

)

























−

sin

Wartość przeciętną przyspieszenia normalnego wzdłuŜ wysokości
normalnej moŜna zapisać:

Wysokość normalna wyrazić teraz moŜna:

a po wstawieniu w mianowniku wartości przyspieszenia
normalnego i rozwinięciu według potęg C/γγγγ

dostaniemy

(

)

























−

sin

Dokładnie wysokość
normalną moŜna
wyznaczyć iteracyjnie
przyjmując w pierwszym
kroku, Ŝe

≈ Σ∆h

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(4)

(Podstawowe zale

ci c.d.)

(

)

∫

−

∆

∑

∆

W większości przypadków moŜna stosować uproszczone podejście
do wyznaczenia wysokości normalnych, w którym róŜnicę
wysokości zapisać moŜna:

Zapisując róŜnicę jako sumę pomierzonych róŜnic wysokości
i poprawki normalnej dostaniemy:

przy czym:

(

)

(

)

∑

∆

−

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(5)

(Podstawowe zale

ci c.d.)

1543

−

(

)

Wartość przyspieszenia γ

moŜna obliczyć biorąc przeciętną

wartość gradientu przyspieszenia normalnego (0.3086 mGal/m) z
zaleŜności:

przy czym:

oraz dla obliczenia przyspieszenia normalnego bierzemy
szerokość średnią:

(

)

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(6)

(Uwagi ko

cowe)

Wysokości normalne nie mają jasnej interpretacji geometrycznej.
WyraŜają one co prawda odległości pomiędzy geoidą i telluroidą lub
quasigeoidą i punktem na fizycznej powierzchni Ziemi, ale zarówno
qusigeoida jak i telluroida to powierzchnie ‘wtórne’ w stosunku do
wysokości normalnych

(nie moŜna ich zdefiniować bez znajomości wysokości

normalnych!!!)

Quasigeoida nie jest powierzchnią ekwipotencjalną potencjału
normalnego, a więc nie moŜna jej traktować jako powierzchni
odniesienia wysokości normalnych w takim samym sensie jak traktuje
się geoidę dla wysokości ortometrycznych! Ponadto quasigeoida jest
powierzchnią nieciągłą

(teoretycznie moŜe leŜeć na „dwóch poziomach” dla

tych samych współrzędnych np. w przypadku urwiska; taka sytuacja w
przypadku geoidy nigdy nie moŜe mieć miejsca!!!).

Wysokości i poprawki normalne wyznacza się bez jakichkolwiek załoŜeń
co do rozkładu gęstości warstw przypowierzchniowych skorupy
ziemskiej.

Janusz Walo

Wysoko

ci normalne

(7)

(Uwagi ko

cowe c.d.)

Punkty leŜące na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej mają róŜne
wysokości normalne.

Wysokości normalne nadają się do rozwiązywania zagadnień
związanych z wyznaczaniem figury Ziemi wg koncepcji Mołodeńskiego.

Na terenach nizinnych i płaskich róŜnice wysokości normalnych i
ortometrycznych są niewielkie

(w Polsce wahają się od 0cm na północy do

kilku centymetrów w Tatrach).

System wysokości normalnych jest obowiązującym systemem
wysokości w Polsce!

Janusz Walo

Wysoko

–

wzajemne relacje

(Zamiana wysoko

ci pomi

dzy systemami)

−

⇒

Wysokości dynamiczne, ortometryczne i normalne wyraŜają
zaleŜności:

Pisząc róŜnicę pomiędzy dowolnymi dwoma wysokościami
dostaniemy:

−

etc.

Wartość bliska anomalii
grawimetrycznej (tu w połowie
wysokości). Dla anomalii
100mGal daje około 1cm
róŜnicy H

-H

na kaŜde 100m

wysokości !!

Janusz Walo

Poprawka ortometryczna

(1)

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

∆

Ciekawe podejście do wyznaczenia poprawek ortometrycznych za pomocą
poprawek dynamicznych podał w 1955r. Ledestreger. Zakładając, Ŝe
moŜliwe by było wykonanie niwelacji wzdłuŜ linii pionu pomiędzy punktami
AA (podobnie BB), dostaniemy zaleŜności opisujące wysokości dynamiczne
postaci:

Janusz Walo

Poprawka ortometryczna

(2)

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

−

(

) (

)

−

∆

−

∆

−

∆

Hipotetyczne wyniki pomiaru róŜnic wysokości ∆h i ∆h wzdłuŜ linii
pionu, to po prostu wysokości ortometryczne H

i H

punktów A i B,

a więc moŜna zapisać:

Przekształcając wzór na róŜnicę wysokości ortometrycznych
pomiędzy punktami A i B

(dodając i odejmując do prawej strony róŜnicę

wysokości dynamicznych)

dostaniemy:

Wiedząc zaś Ŝe:

∆

Janusz Walo

Poprawka ortometryczna

(3)

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

−

∫

−

∫

Otrzymamy związek poprawki ortometrycznej i dynamicznej podany
przez Ledestregera:

Z definicji wysokości poprawek dynamicznych moŜna wyrazy po
prawej stronie zapisać w postaci:

∑

∫

∆

−

Janusz Walo

Poprawka ortometryczna

(4)

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

−

∆

−

∑

Po podstawieniu ostatnich zaleŜności otrzymamy:

Łatwo zauwaŜyć, Ŝe wzór moŜna stosować równieŜ dla innej
wartości niŜ γ

i np. dla przeciętnej wartości przyspieszenia

normalnego dostaniemy:

−

∆

−

∑

W obu przypadkach potrzebna nam jest jednak przeciętna wartość
przyspieszenia w punktach A i B!

Janusz Walo

Poprawka normalna

(

…

obliczona za pomoc

poprawki dynamicznej)

Analogiczne rozumowanie moŜna przeprowadzić dla wysokości i
poprawek normalnych, które prowadzi ostatecznie do zaleŜności
poprawki normalnej od poprawki dynamicznej postaci (???):

−

∆

−

∑