1

Wyznaczanie figury Ziemi

Wyznaczanie figury Ziemi

Janusz Walo

Janusz Walo

Janusz Walo

ver

ver

ver

. 1.0 (06.2009)

. 1.0 (06.2009)

. 1.0 (06.2009)

Janusz Walo

Janusz Walo

2

2

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wprowadzenie

(Wprowadzenie

…

…

)

)

Dotychczas om

Dotychczas om

ó

ó

wione zosta

wione zosta

ł

ł

y zagadnienia:

y zagadnienia:

1.

1.

Geodezyjny uk

Geodezyjny uk

ł

ł

ad odniesienia (np. GRS80)

ad odniesienia (np. GRS80)

-

-

> parametry

> parametry

definiuj

definiuj

ą

ą

ce geocentryczn

ce geocentryczn

ą

ą

elipsoid

elipsoid

ę

ę

i zwi

i zwi

ą

ą

zane z ni

zane z ni

ą

ą

pole

pole

normalne

normalne

2.

2.

Zwi

Zwi

ą

ą

zki na elipsoidzie

zki na elipsoidzie

(uk

(uk

ł

ł

ady wsp

ady wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych, transformacje,

dnych, transformacje,

odwzorowania etc.)

odwzorowania etc.)

3.

3.

Pomiary parametr

Pomiary parametr

ó

ó

w rzeczywistego pola si

w rzeczywistego pola si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci na

ci na

powierzchni Ziemi

powierzchni Ziemi

Mo

Mo

ż

ż

emy opisa

emy opisa

ć

ć

przebieg geoidy wzgl

przebieg geoidy wzgl

ę

ę

dem elipsoidy

dem elipsoidy

ekwipotencjalnej

ekwipotencjalnej

…

…

2

Janusz Walo

Janusz Walo

3

3

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Potencja

(Potencja

ł

ł

zak

zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cy

cy

…

…

I )

I )

Potencja

Potencja

ł

ł

em zak

em zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cym

cym

nazywa si

nazywa si

ę

ę

r

r

ó

ó

ż

ż

nic

nic

ę

ę

potencja

potencja

ł

ł

u

u

rzeczywistego si

rzeczywistego si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci

ci

W

W

i potencja

i potencja

ł

ł

u normalnego

u normalnego

U

U

. Jest zatem

. Jest zatem

„

„

miar

miar

ą

ą

”

”

nieregularno

nieregularno

ś

ś

ci rozk

ci rozk

ł

ł

adu rzeczywistego pola si

adu rzeczywistego pola si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci.

ci.

Potencja

Potencja

ł

ł

zak

zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cy zale

cy zale

ż

ż

y od po

y od po

ł

ł

o

o

ż

ż

enia punktu w przestrzeni i jest

enia punktu w przestrzeni i jest

potencja

potencja

ł

ł

em grawitacyjnym

em grawitacyjnym

(potencja

(potencja

ł

ł

rzeczywisty i normalny zawieraj

rzeczywisty i normalny zawieraj

ą

ą

ten sam potencja

ten sam potencja

ł

ł

od

od

ś

ś

rodkowy)

rodkowy)

, a wi

, a wi

ę

ę

c w przestrzeni zewn

c w przestrzeni zewn

ę

ę

trznej

trznej

spe

spe

ł

ł

nia r

nia r

ó

ó

wnanie

wnanie

Laplace

Laplace

’

’

a

a

(jest funkcj

(jest funkcj

ą

ą

harmoniczn

harmoniczn

ą

ą

)

)

:

:

U

W

T

−

=

0

=

∆T

(1)

(1)

(2)

(2)

Janusz Walo

Janusz Walo

4

4

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Potencja

(Potencja

ł

ł

zak

zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cy

cy

…

…

II )

II )

Tworz

Tworz

ą

ą

c r

c r

ó

ó

ż

ż

nic

nic

ę

ę

potencja

potencja

ł

ł

ó

ó

w rzeczywistego i normalnego potencja

w rzeczywistego i normalnego potencja

ł

ł

zak

zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cy mo

cy mo

ż

ż

na zapisa

na zapisa

ć

ć

w postaci szeregu harmonicznych

w postaci szeregu harmonicznych

sferycznych tzn.:

sferycznych tzn.:

gdzie

gdzie

T

T

n

n

to powierzchniowe harmoniczne sferyczne.

to powierzchniowe harmoniczne sferyczne.

(

)

(

)

(

)

(

)

∑∑

∑

∞

=

=

∞

=

⋅

⋅

+

⋅

=

=

2

0

2

cos

sin

cos

,

,

n

n

m

nm

nm

nm

n

n

P

m

K

m

J

R

M

G

T

T

ϑ

λ

λ

κ

λ

ϑ

λ

ϑ

(3)

(3)

3

Janusz Walo

Janusz Walo

5

5

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Anomalie grawimetryczne

(Anomalie grawimetryczne

…

…

I )

I )

Chocia

Chocia

ż

ż

z definicji potencja

z definicji potencja

ł

ł

geoidy i elipsoidy ekwipotencjalnej s

geoidy i elipsoidy ekwipotencjalnej s

ą

ą

sobie r

sobie r

ó

ó

wne

wne

(

(

U

U

0

0

=W

=W

0

0

=const

=const

)

)

, to wektor przyspieszenia rzeczywistego na

, to wektor przyspieszenia rzeczywistego na

geoidzie i wektor przyspieszenia normalnego na elipsoidzie r

geoidzie i wektor przyspieszenia normalnego na elipsoidzie r

ó

ó

ż

ż

ni

ni

ą

ą

si

si

ę

ę

zar

zar

ó

ó

wno kierunkiem jak i warto

wno kierunkiem jak i warto

ś

ś

ci

ci

ą

ą

.

.

R

R

ó

ó

ż

ż

nic

nic

ę

ę

tych dw

tych dw

ó

ó

ch wektor

ch wektor

ó

ó

w nazywamy

w nazywamy

wektorem anomalii

wektorem anomalii

grawimetrycznej

grawimetrycznej

:

:

r

r

ó

ó

ż

ż

nic

nic

ę

ę

ich modu

ich modu

ł

ł

ó

ó

w

w

anomali

anomali

ą

ą

grawimetryczn

grawimetryczn

ą

ą

:

:

e

g

g

γ

r

r

r

−

=

∆

0

(

)

e

g

γ

θ

r

r

,

0

∠

=

e

g

g

γ

−

=

∆

0

a k

a k

ą

ą

t mi

t mi

ę

ę

dzy nimi to

dzy nimi to

odchylenie pionu

odchylenie pionu

…

…

(4)

(4)

(5)

(5)

Janusz Walo

Janusz Walo

6

6

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Anomalie grawimetryczne

(Anomalie grawimetryczne

…

…

II )

II )

Przyspieszenie si

Przyspieszenie si

ł

ł

y ci

y ci

ęż

ęż

ko

ko

ś

ś

ci na geoidzie

ci na geoidzie

g

g

0

0

i przyspieszenie normalne

i przyspieszenie normalne

na elipsoidzie ekwipotencjalnej

na elipsoidzie ekwipotencjalnej

γγγγ

γγγγ

0

0

…

…

4

Janusz Walo

Janusz Walo

7

7

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Odchylenie pionu

(Odchylenie pionu

…

…

I )

I )

Odchylenie pionu

Odchylenie pionu

θ

θ

i jego sk

i jego sk

ł

ł

adowe

adowe

-

-

> po

> po

ł

ł

udnikowa

udnikowa

ξ

ξ

i w pierwszym

i w pierwszym

wertykale

wertykale

η

η

…

…

O

B

B

λ-L

ϕ

ξ

η

θ

n

o

rm

a

ln

a

ge

o

id

y

no

rm

al

na

el

ip

so

id

y

I w

ert

yka

ł

Janusz Walo

Janusz Walo

8

8

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Odchylenie pionu

(Odchylenie pionu

…

…

II )

II )

Kierunek wektora

Kierunek wektora

γγγγ

γγγγ

e

e

okre

okre

ś

ś

laj

laj

ą

ą

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dne geodezyjne

dne geodezyjne

B,L

B,L

(zwi

(zwi

ą

ą

zane

zane

z kierunkiem normalnej elipsoidy)

z kierunkiem normalnej elipsoidy)

, a wektora

, a wektora

g

g

0

0

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dne

dne

astronomiczne

astronomiczne

φ,λ

φ,λ

(zwi

(zwi

ą

ą

zane z kierunkiem linii pionu)

zane z kierunkiem linii pionu)

.

.

Sk

Sk

ł

ł

adowe odchylenia pionu mo

adowe odchylenia pionu mo

ż

ż

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

a odchylenie pionu w dowolnym azymucie wynosi:

a odchylenie pionu w dowolnym azymucie wynosi:

(

)

B

L

B

cos

⋅

−

=

−

=

λ

η

ϕ

ξ

A

A

A

sin

cos

η

ξ

θ

+

=

Odchylenia pionu to niewielkie k

Odchylenia pionu to niewielkie k

ą

ą

ty, rzadko si

ty, rzadko si

ę

ę

gaj

gaj

ą

ą

ce 20

ce 20

”…

”…

(6)

(6)

(7)

(7)

5

Janusz Walo

Janusz Walo

9

9

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Podstawowe r

(Podstawowe r

ó

ó

wnanie geodezji fizycznej

wnanie geodezji fizycznej

…

…

I )

I )

Do wyznaczenia figury Ziemi niezb

Do wyznaczenia figury Ziemi niezb

ę

ę

dne jest geometryczne

dne jest geometryczne

powi

powi

ą

ą

zanie elipsoidy i geoidy poprzez wyznaczenie odleg

zanie elipsoidy i geoidy poprzez wyznaczenie odleg

ł

ł

o

o

ś

ś

ci tych

ci tych

figur. Ta odleg

figur. Ta odleg

ł

ł

o

o

ść

ść

, liczona wzd

, liczona wzd

ł

ł

u

u

ż

ż

normalnej do elipsoidy, nazywana

normalnej do elipsoidy, nazywana

jest

jest

wysoko

wysoko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

geoidy

geoidy

N

N

. Czasem u

. Czasem u

ż

ż

ywa si

ywa si

ę

ę

te

te

ż

ż

okre

okre

ś

ś

lenia

lenia

undulacja geoidy

undulacja geoidy

…

…

Potencja

Potencja

ł

ł

normalny w punkcie

normalny w punkcie

P

P

0

0

na geoidzie wynosi:

na geoidzie wynosi:

T

N

U

T

U

W

e

+

⋅

−

=

+

=

γ

N

U

N

n

U

U

U

e

e

e

⋅

−

=

∂

∂

+

=

γ

a potencja

a potencja

ł

ł

rzeczywisty w tym samym punkcie jest r

rzeczywisty w tym samym punkcie jest r

ó

ó

wny:

wny:

Janusz Walo

Janusz Walo

10

10

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Podstawowe r

(Podstawowe r

ó

ó

wnanie geodezji fizycznej

wnanie geodezji fizycznej

…

…

II )

II )

Pami

Pami

ę

ę

taj

taj

ą

ą

c,

c,

ż

ż

e potencja

e potencja

ł

ł

y geoidy i elipsoidy s

y geoidy i elipsoidy s

ą

ą

sobie r

sobie r

ó

ó

wne tzn.

wne tzn.

W=W

W=W

0

0

=U

=U

e

e

mo

mo

ż

ż

emy napisa

emy napisa

ć

ć

:

:

γ

γ

e

U

W

T

N

−

=

=

N

T

⋅

=

γ

Sk

Sk

ą

ą

d otrzymujemy zwi

d otrzymujemy zwi

ą

ą

zek potencja

zek potencja

ł

ł

ó

ó

w geoidy i elipsoidy z

w geoidy i elipsoidy z

wysoko

wysoko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

geoidy

geoidy

(wysoko

(wysoko

ś

ś

ci

ci

ą

ą

geometryczn

geometryczn

ą

ą

)

)

zwany

zwany

r

r

ó

ó

wnaniem

wnaniem

Brunsa

Brunsa

:

:

(8)

(8)

(9)

(9)

6

Janusz Walo

Janusz Walo

11

11

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Podstawowe r

(Podstawowe r

ó

ó

wnanie geodezji fizycznej

wnanie geodezji fizycznej

…

…

III )

III )

Wz

Wz

ó

ó

r na potencja

r na potencja

ł

ł

zak

zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cy odnosz

cy odnosz

ą

ą

cy si

cy si

ę

ę

do punktu

do punktu

P

P

0

0

na

na

geoidzie ma posta

geoidzie ma posta

ć

ć

:

:

γ

δ

−

=

∂

∂

−

=

0

g

n

T

g

U

W

T

−

=

0

kt

kt

ó

ó

ry po zr

ry po zr

ó

ó

ż

ż

niczkowaniu wzgl

niczkowaniu wzgl

ę

ę

dem normalnych do geoidy i elipsoidy

dem normalnych do geoidy i elipsoidy

przyjmie posta

przyjmie posta

ć

ć

:

:

Otrzyman

Otrzyman

ą

ą

r

r

ó

ó

ż

ż

nic

nic

ę

ę

przyspiesze

przyspiesze

ń

ń

δ

δ

g

g

rzeczywistego i normalnego, obu

rzeczywistego i normalnego, obu

wzi

wzi

ę

ę

tych w tym samym punkcie na geoidzie, nazywamy

tych w tym samym punkcie na geoidzie, nazywamy

zak

zak

ł

ł

ó

ó

ceniem

ceniem

grawimetrycznym

grawimetrycznym

lub rzadziej

lub rzadziej

w

w

ł

ł

a

a

ś

ś

ciw

ciw

ą

ą

anomali

anomali

ą

ą

grawimetryczn

grawimetryczn

ą

ą

.

.

(10)

(10)

Janusz Walo

Janusz Walo

12

12

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Podstawowe r

(Podstawowe r

ó

ó

wnanie geodezji fizycznej

wnanie geodezji fizycznej

…

…

IV )

IV )

Przyspieszenie normalne na geoidzie mo

Przyspieszenie normalne na geoidzie mo

ż

ż

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

...

+

∂

∂

+

=

N

n

e

e

γ

γ

γ

Po wstawieniu za

Po wstawieniu za

N

N

wyra

wyra

ż

ż

enia z wzoru

enia z wzoru

Brunsa

Brunsa

mamy:

mamy:

Dodaj

Dodaj

ą

ą

c do obydwu stron warto

c do obydwu stron warto

ść

ść

przyspieszenia na geoidzie

przyspieszenia na geoidzie

g

g

0

0

otrzymamy:

otrzymamy:

...

+

⋅

∂

∂

+

=

e

e

e

T

n

γ

γ

γ

γ

...

+

⋅

∂

∂

+

−

=

−

e

e

o

e

o

T

n

g

g

γ

γ

γ

γ

7

Janusz Walo

Janusz Walo

13

13

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Podstawowe r

(Podstawowe r

ó

ó

wnanie geodezji fizycznej

wnanie geodezji fizycznej

…

…

V )

V )

Zaniedbuj

Zaniedbuj

ą

ą

c r

c r

ó

ó

ż

ż

nic

nic

ę

ę

kierunk

kierunk

ó

ó

w normalnych do geoidy i elipsoidy

w normalnych do geoidy i elipsoidy

otrzymamy wyra

otrzymamy wyra

ż

ż

enie nazywane

enie nazywane

podstawowym r

podstawowym r

ó

ó

wnaniem geodezji

wnaniem geodezji

fizycznej

fizycznej

albo

albo

podstawowym r

podstawowym r

ó

ó

wnaniem r

wnaniem r

ó

ó

ż

ż

niczkowym grawimetrii

niczkowym grawimetrii

:

:

N

U

g

g

albo

T

n

n

T

g

ZZ

⋅

+

=

∆

⋅

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∆

δ

γ

γ

R

R

ó

ó

wnanie powy

wnanie powy

ż

ż

sze spe

sze spe

ł

ł

nia

nia

trzecie zagadnienie brzegowe teorii potencja

trzecie zagadnienie brzegowe teorii potencja

ł

ł

u

u

na powierzchni geoidy (kombinacja liniowa potencja

na powierzchni geoidy (kombinacja liniowa potencja

ł

ł

u zak

u zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cego i jego

cego i jego

pochodnej w kierunku normalnej). Jest

pochodnej w kierunku normalnej). Jest

warunkiem brzegowym

warunkiem brzegowym

teorii

teorii

potencja

potencja

ł

ł

u.

u.

R

R

ó

ó

wnanie to wi

wnanie to wi

ąż

ąż

e anomalie i zak

e anomalie i zak

ł

ł

ó

ó

cenia grawimetryczne z wysoko

cenia grawimetryczne z wysoko

ś

ś

ciami

ciami

geoidy. Dla przybli

geoidy. Dla przybli

ż

ż

enie sferycznego r

enie sferycznego r

ó

ó

wnanie przyjmie posta

wnanie przyjmie posta

ć

ć

:

:

R

T

r

T

g

2

−

∂

∂

−

≈

∆

(11)

(11)

(12)

(12)

Janusz Walo

Janusz Walo

14

14

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wz

(Wz

ó

ó

r

r

Stokes

Stokes

’

’

a

a

…

…

I )

I )

Stokes

Stokes

w 1849r.

w 1849r.

poda

poda

ł

ł

rozwi

rozwi

ą

ą

zanie zagadnienia brzegowego geodezji

zanie zagadnienia brzegowego geodezji

fizycznej. Podstaw

fizycznej. Podstaw

ą

ą

rozwi

rozwi

ą

ą

zania by

zania by

ł

ł

o za

o za

ł

ł

o

o

ż

ż

enie,

enie,

ż

ż

e potencja

e potencja

ł

ł

zak

zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cy w przestrzeni zewn

cy w przestrzeni zewn

ę

ę

trznej jest funkcj

trznej jest funkcj

ą

ą

harmoniczn

harmoniczn

ą

ą

(spe

(spe

ł

ł

nia r

nia r

ó

ó

wnanie

wnanie

Laplace

Laplace

’

’

a

a

).

).

Aby tak by

Aby tak by

ł

ł

o musz

o musz

ą

ą

by

by

ć

ć

spe

spe

ł

ł

nione pewne

nione pewne

warunki:

warunki:

1.

1.

ś

ś

adne masy nie b

adne masy nie b

ę

ę

d

d

ą

ą

znajdowa

znajdowa

ć

ć

si

si

ę

ę

ponad geoid

ponad geoid

ą

ą

(stosowa

(stosowa

ć

ć

nale

nale

ż

ż

y odpowiednie redukcje grawimetryczne np. redukcj

y odpowiednie redukcje grawimetryczne np. redukcj

ę

ę

wolnopowietrzn

wolnopowietrzn

ą

ą

)

)

2.

2.

Elipsoida ekwipotencjalna ma tak

Elipsoida ekwipotencjalna ma tak

ą

ą

sam

sam

ą

ą

mas

mas

ę

ę

jak geoida, a

jak geoida, a

ś

ś

rodki ich mas pokrywaj

rodki ich mas pokrywaj

ą

ą

si

si

ę

ę

.

.

3.

3.

Osie g

Osie g

ł

ł

ó

ó

wnych moment

wnych moment

ó

ó

w bezw

w bezw

ł

ł

adno

adno

ś

ś

ci geoidy i elipsoidy

ci geoidy i elipsoidy

pokrywaj

pokrywaj

ą

ą

si

si

ę

ę

ze sob

ze sob

ą

ą

.

.

8

Janusz Walo

Janusz Walo

15

15

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wz

(Wz

ó

ó

r

r

Stokes

Stokes

’

’

a

a

…

…

II )

II )

Pochodn

Pochodn

ą

ą

potencja

potencja

ł

ł

u zak

u zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cego mo

cego mo

ż

ż

na zapisa

na zapisa

ć

ć

:

:

(

) (

)

∑

∞

=

⋅

+

=

∂

∂

−

=

2

,

1

1

n

n

T

n

R

r

T

g

λ

ϑ

δ

Po wstawieniu do r

Po wstawieniu do r

ó

ó

wnania podstawowego r

wnania podstawowego r

ó

ó

wnania geodezji fizycznej

wnania geodezji fizycznej

(12)

(12)

otrzymamy rozwini

otrzymamy rozwini

ę

ę

cie anomalii grawimetrycznej w szereg harmonicznych

cie anomalii grawimetrycznej w szereg harmonicznych

sferycznych:

sferycznych:

(13)

(13)

(14)

(14)

(

) (

)

∑

∞

=

⋅

−

=

∆

2

,

1

1

n

n

T

n

R

g

λ

ϑ

(

)

(

)

(

)

∑ ∑

∞

=

=

⋅

⋅

+

⋅

=

∆

2

0

2

cos

sin

cos

,

n

n

m

nm

nm

nm

P

m

K

m

J

R

M

G

g

ϑ

λ

λ

κ

λ

ϑ

Janusz Walo

Janusz Walo

16

16

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wz

(Wz

ó

ó

r

r

Stokes

Stokes

’

’

a

a

…

…

III )

III )

Wsp

Wsp

ó

ó

ł

ł

czynniki we wzorze

czynniki we wzorze

(14)

(14)

mo

mo

ż

ż

na wyznaczy

na wyznaczy

ć

ć

dysponuj

dysponuj

ą

ą

c

c

wystarczaj

wystarczaj

ą

ą

c

c

ą

ą

liczb

liczb

ą

ą

warto

warto

ś

ś

ci anomalii w punktach r

ci anomalii w punktach r

ó

ó

wnomiernie

wnomiernie

rozmieszczonych na powierzchni Ziemi. Mo

rozmieszczonych na powierzchni Ziemi. Mo

ż

ż

na te

na te

ż

ż

je wyznaczy

je wyznaczy

ć

ć

poprzez ca

poprzez ca

ł

ł

kowanie anomalii po ca

kowanie anomalii po ca

ł

ł

ej powierzchni.

ej powierzchni.

Wed

Wed

ł

ł

ug koncepcji

ug koncepcji

Stokes

Stokes

’

’

a

a

nie wyznacza si

nie wyznacza si

ę

ę

bezpo

bezpo

ś

ś

rednio

rednio

wsp

wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik

czynnik

ó

ó

w, ale wykorzystuje si

w, ale wykorzystuje si

ę

ę

wz

wz

ó

ó

r ca

r ca

ł

ł

kowy opisuj

kowy opisuj

ą

ą

cy

cy

potencja

potencja

ł

ł

zak

zak

ł

ł

ó

ó

caj

caj

ą

ą

cy postaci:

cy postaci:

(

)

( )

σ

ψ

π

σ

d

g

P

n

n

R

T

n

n

⋅

∆

⋅













−

+

=

∫∫ ∑

∞

=

cos

1

1

2

4

2

gdzie

gdzie

∆

∆

g

g

oznacza anomali

oznacza anomali

ę

ę

przyporz

przyporz

ą

ą

dkowan

dkowan

ą

ą

elementowi

elementowi

d

d

σ

σ

, a

, a

ψ

ψ

to

to

odleg

odleg

ł

ł

o

o

ść

ść

sferyczna elementu

sferyczna elementu

d

d

σ

σ

od punktu, w kt

od punktu, w kt

ó

ó

rym liczymy warto

rym liczymy warto

ść

ść

potencja

potencja

ł

ł

u

u

T

T

.

.

(15)

(15)

9

Janusz Walo

Janusz Walo

17

17

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wz

(Wz

ó

ó

r

r

Stokes

Stokes

’

’

a

a

…

…

IV )

IV )

Ostatecznie wyra

Ostatecznie wyra

ż

ż

enie (15) mo

enie (15) mo

ż

ż

na zapisa

na zapisa

ć

ć

w postaci:

w postaci:

( )

( )

∫∫

⋅

⋅

∆

=

σ

σ

ψ

π

d

S

g

R

T

4

gdzie wyra

gdzie wyra

ż

ż

enie

enie

S(

S(

ψ

ψ

)

)

nosi nazw

nosi nazw

ę

ę

funkcji

funkcji

Stokes

Stokes

’

’

a

a

postaci:

postaci:

(16)

(16)

( )

(

)













+

−

−

−

+

=

−

+

=

∑

∞

=

2

sin

2

sin

ln

cos

3

2

sin

6

cos

5

1

2

sin

1

cos

1

1

2

2

2

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

n

n

P

n

n

S

(17)

(17)

Wstawiaj

Wstawiaj

ą

ą

c wyra

c wyra

ż

ż

enie (16) do wzoru

enie (16) do wzoru

Brunsa

Brunsa

dostaniemy

dostaniemy

wzory

wzory

Stokes

Stokes

’

’

a

a

lub

lub

ca

ca

ł

ł

ki

ki

Stokes

Stokes

’

’

a

a

pozwlaj

pozwlaj

ą

ą

ce

ce

na wyznaczenie geoidy z danych

na wyznaczenie geoidy z danych

grawimetrycznych:

grawimetrycznych:

( )

( )

∫∫

⋅

⋅

∆

=

=

σ

σ

ψ

γ

π

γ

d

S

g

R

T

N

m

m

4

(18)

(18)

Janusz Walo

Janusz Walo

18

18

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wz

(Wz

ó

ó

r

r

Stokes

Stokes

’

’

a

a

…

…

V )

V )

Do praktycznych zastosowa

Do praktycznych zastosowa

ń

ń

wzoru (18) wybra

wzoru (18) wybra

ć

ć

nale

nale

ż

ż

y dogodny

y dogodny

uk

uk

ł

ł

ad wsp

ad wsp

ó

ó

ł

ł

rz

rz

ę

ę

dnych biegunowych na sferze jednostkowej, w kt

dnych biegunowych na sferze jednostkowej, w kt

ó

ó

rym

rym

element powierzchni wyra

element powierzchni wyra

ż

ż

a zale

a zale

ż

ż

no

no

ść

ść

:

:

α

ψ

ψ

σ

d

d

d

⋅

⋅

= sin

(19)

(19)

10

Janusz Walo

Janusz Walo

19

19

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wz

(Wz

ó

ó

r

r

Stokes

Stokes

’

’

a

a

…

…

VI )

VI )

Wprowadzaj

Wprowadzaj

ą

ą

c

c

(19)

(19)

do wzoru

do wzoru

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(18)

(18)

dostaniemy:

dostaniemy:

Niestety warto

Niestety warto

ść

ść

funkcji

funkcji

S(

S(

ψ

ψ

)

)

w punkcie

w punkcie

P

P

jest niesko

jest niesko

ń

ń

czona, co

czona, co

uniemo

uniemo

ż

ż

liwia jej praktyczne zastosowanie do wyznaczenia wysoko

liwia jej praktyczne zastosowanie do wyznaczenia wysoko

ś

ś

ci geoidy.

ci geoidy.

W zwi

W zwi

ą

ą

zku z tym zast

zku z tym zast

ę

ę

puje si

puje si

ę

ę

j

j

ą

ą

funkcj

funkcj

ą

ą

o znacznie korzystniejszym

o znacznie korzystniejszym

przebiegu postaci:

przebiegu postaci:

(

) ( )

∫ ∫

⋅

⋅

⋅

⋅

∆

=

π π

α

ψ

ψ

ψ

α

ψ

γ

π

2

0 0

sin

,

4

d

d

S

g

R

N

m

(20)

(20)

( )

( )

ψ

ψ

ψ

sin

2

1

⋅

=

S

F

(21)

(21)

Janusz Walo

Janusz Walo

20

20

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wz

(Wz

ó

ó

r

r

Stokes

Stokes

’

’

a

a

…

…

VII )

VII )

Funkcja

Funkcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

S(

S(

ψ

ψ

)

)

i funkcja

i funkcja

F(

F(

ψ

ψ

)

)

…

…

11

Janusz Walo

Janusz Walo

21

21

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wz

(Wz

ó

ó

r

r

Stokes

Stokes

’

’

a

a

…

…

VIII )

VIII )

Ostatecznie zatem wz

Ostatecznie zatem wz

ó

ó

r

r

Stokes

Stokes

’

’

a

a

przyjmie posta

przyjmie posta

ć

ć

:

:

(

) ( )

∫ ∫

⋅

⋅

⋅

∆

=

π π

α

ψ

ψ

α

ψ

γ

π

2

0 0

,

2

d

d

F

g

R

N

m

(22)

(22)

Janusz Walo

Janusz Walo

22

22

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wzory

(Wzory

Vening

Vening

-

-

Meinesza

Meinesza

…

…

I )

I )

W roku 1928 holenderski geodeta

W roku 1928 holenderski geodeta

F.Vening

F.Vening

-

-

Meinesz

Meinesz

(prawie 80 lat po

(prawie 80 lat po

opublikowaniu teorii

opublikowaniu teorii

Stokes

Stokes

’

’

a

a

)

)

przedstawi

przedstawi

ł

ł

metod

metod

ę

ę

wykorzystania

wykorzystania

anomalii grawimetrycznych do wyznaczenia odchyle

anomalii grawimetrycznych do wyznaczenia odchyle

ń

ń

pionu na

pionu na

geoidzie. Wykorzysta

geoidzie. Wykorzysta

ł

ł

w tym celu prost

w tym celu prost

ą

ą

zale

zale

ż

ż

no

no

ść

ść

geometryczn

geometryczn

ą

ą

:

:

ds

dN

−

=

θ

(23)

(23)

12

Janusz Walo

Janusz Walo

23

23

Koncepcja

Koncepcja

Stokes

Stokes

’

’

a

a

(Wzory

(Wzory

Vening

Vening

-

-

Meinesza

Meinesza

…

…

II )

II )

C.d.n.

C.d.n.

…

…