Data ostatniej aktualizacji: piątek, 2 grudnia 2011, godzina 16:39 

Marek Cieciura, Janusz Zacharski 

 

 
 
 

 

 
 
 
 
 
 

PODSTAWY PROBABILISTYKI  

Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ  

W INFORMATYCE 

 
 
 

CZĘŚĆ IV 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 
 

Na prawach rękopisu 

 
 
 
 
 

Warszawa, wrzesień   2011 

 

2 

Statystyka jest bardziej sposobem myślenia lub wnioskowania niŜ pęczkiem recept  

na młócenie danych w celu odsłonięcia odpowiedzi - Calyampudi Radhakrishna Rao 

Podręcznik:  

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ  

W INFORMATYCE 

publikowany jest w częściach podanych poniŜej  

Nr 

Tytuł 

I.

    Wprowadzenie 

II.

    Statystyka opisowa 

III.

    Rachunek prawdopodobieństwa 

IV.

    Statystyka matematyczna 

V.

    Przykłady zastosowań w informatyce 

VI.

    Dowody wybranych twierdzeń   

VII.

    Tablice statystyczne 

Autorzy  proszą  o  przesyłanie  wszelkich  uwagi  i  propozycji  dotyczących  zawartości 
podręcznika  z  wykorzystaniem  formularza  kontaktowego  zamieszczonego  w  portalu 

http://cieciura.net/mp/

  

Publikowane  części  będą  na  bieŜąco  poprawiane,  w  kaŜdej  będzie  podawana  data  ostatniej 
aktualizacji. 

Podręcznik udostępnia się na warunku licencji 

Creative Commons (CC)

: Uznanie Autorstwa 

– UŜycie Niekomercyjne – Bez Utworów ZaleŜnych (CC-BY-NC-ND),co oznacza: 

•

 

  Uznanie  Autorstwa  (ang.  Attribution  -  BY):  zezwala  się  na  kopiowanie, 

dystrybucję,  wyświetlanie  i  uŜytkowanie  dzieła  i  wszelkich  jego  pochodnych  pod 
warunkiem umieszczenia informacji o twórcy. 

•

 

  UŜycie  Niekomercyjne  (ang.  Noncommercial  -  NC):  zezwala  się  na 

kopiowanie,  dystrybucję,  wyświetlanie  i  uŜytkowanie  dzieła  i  wszelkich  jego 
pochodnych tylko w celach niekomercyjnych.. 

•

 

  Bez  Utworów  ZaleŜnych  (ang.  No  Derivative  Works  -  ND):  zezwala  się  na 

kopiowanie,  dystrybucję,  wyświetlanie  tylko  dokładnych  (dosłownych)  kopii  dzieła, 
niedozwolone jest jego zmienianie i tworzenie na jego bazie pochodnych.

 

Podręcznik  i  skorelowany  z  nim  portal,  są  w  pełni  i  powszechnie  dostępne, stanowią  więc 

Otwarte Zasoby Edukacyjne 

- OZE (ang. Open Educational Resources – OER). 

 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

3 

SPIS TREŚCI 

14. STATYSTYKI I ICH ROZKŁADY....................................................................................... 5 

14.1.

 

P

RÓBA JAKO ZMIENNA LOSOWA WIELOWYMIAROWA

............................................................ 5 

14.2.

 

P

ODSTAWOWE STATYSTYKI I ICH ROZKŁADY

........................................................................ 6 

14.2.1. Wykazy statystyk .......................................................................................................... 6

 

14.2.2. Rozkład średniej z próby .............................................................................................. 7

 

14.2.3. Rozkład statystyk związanych z wariancją z próby ....................................................... 8

 

15. ESTYMACJA PARAMETRÓW.......................................................................................... 12 

15.1.

 

W

PROWADZENIE

............................................................................................................... 12 

15.2.

 

E

STYMACJA PUNKTOWA

.................................................................................................... 12 

15.2.1. Klasyfikacja estymatorów i nierówność Rao-Cramera ............................................... 13

 

15.2.2. Estymacja wartości oczekiwanej rozkładu normalnego .............................................. 14

 

15.2.3. Estymatory wariancji rozkładu normalnego ............................................................... 15

 

15.2.4. Metoda największej wiarygodności otrzymywania estymatorów ................................. 17

 

15.2.5. Zestawienie estymatorów parametrów rozkładu zmiennej losowej i ich własności...... 19

 

15.3.

 

E

STYMACJA PRZEDZIAŁOWA

.............................................................................................. 20 

15.3.1. Uwagi wstępne........................................................................................................... 20

 

15.3.2. Wyznaczenie przedziału ufności dla wartości oczekiwanej rozkładu normalnego ....... 21

 

15.3.3. Tabela przedziałów ufności........................................................................................ 24

 

15.3.4. Wyznaczanie wielkości próby..................................................................................... 28

 

15.3.5. Wykorzystanie arkusza Excel ..................................................................................... 30

 

16. WERYFIKACJA HIPOTEZ ................................................................................................ 31 

16.1

 

W

PROWADZENIE

................................................................................................................ 31 

16.1.1. Uwagi wstępne........................................................................................................... 31

 

16.1.2. Pzykład konstrukcji testu parametrycznego do weryfikacji hipotezy o wartości 
oczekiwanej........................................................................................................................... 34

 

16.1.3. Pzykład konstrukcji testu parametrycznego do weryfikacji hipotezy o równości wartości 
oczekiwanych ........................................................................................................................ 35

 

16.1.4. Uwagi o weryfikacji hipotez parametrycznych ........................................................... 37

 

16.2.

 

T

ESTY PARAMETRYCZNE DLA JEDNEJ PRÓBY

...................................................................... 38 

16.2.1. Testy do weryfikacji hipotezy o wartości oczekiwanej................................................. 38

 

16.2.2. Testy do weryfikacji hipotezy o wariancji i odchyleniu standardowym ....................... 43

 

16.2.3. Testy do weryfikacji hipotezy o wskaźniku struktury ................................................... 44

 

16.3.

 

T

ESTY PARAMETRYCZNE DLA DWÓCH PRÓB

........................................................................ 45 

16.3.1. Testy do porównywania wartości oczekiwanych dla prób niezaleŜnych ...................... 45

 

16.3.2. Testy do porównywania wartości oczekiwanych – próby zaleŜne................................ 53

 

16.3.3. Testy do porównywania wariancji.............................................................................. 57

 

16.3.4. Testy do porównywania wskaźników struktury ........................................................... 59

 

16.4.

 

T

ESTY NIEPARAMETRYCZNE DLA JEDNEJ PRÓBY

................................................................. 61 

16.4.1. Ocena losowości próby .............................................................................................. 61

 

16.4.2. Test zgodności chi kwadrat ........................................................................................ 62

 

16.4.3. Ocena normalności rozkładu ..................................................................................... 65

 

16.4.4. Test niezaleŜności chi kwadrat ................................................................................... 68

 

16.5.

 

T

ESTY NIEPARAMETRYCZNE DLA DWÓCH PRÓB

................................................................... 73 

16.5.1. Test zgodności rozkładów dla prób niepowiązanych (test Wilcoxona) ........................ 73

 

16.5.2. Test zgodności rozkładów dla prób powiązanych (test rangowanych znaków) ............ 75

 

16.6.

 

A

LGORYTMIZACJA OBLICZEŃ

............................................................................................. 77 

16.6.1. Wykorzystanie arkusza Excel ..................................................................................... 77

 

16.6.2.Zasady wyboru testu przy dwóch próbach................................................................... 78

 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

4 

17. ANALIZA KORELACJI I REGRESJI DWÓCH ZMIENNYCH...................................... 79 

17.1.

 

W

PROWADZENIE

............................................................................................................... 79 

17.2.

 

A

NALIZA KORELACJI

.......................................................................................................... 80 

17.2.1. Uwagi wstępne........................................................................................................... 80

 

17.2.2. Estymacja współczynnika korelacji cech populacji..................................................... 80

 

17.2.3. Weryfikacja hipotez o współczynniku korelacji........................................................... 82

 

17.2.4. Współczynnik korelacji Spearmana ............................................................................ 84

 

17.2.5. Współczynnik korelacji Cramera................................................................................ 87

 

17.3.

 

A

NALIZA REGRESJI

............................................................................................................ 88 

17.3.1. Uwagi wstępne........................................................................................................... 88

 

17.3.2. Estymatory współczynników regresji.......................................................................... 88

 

17.3.3. Rozkłady estymatorów współczynników regresji......................................................... 92

 

17.3.4. Estymacja przedziałowa współczynników regresji...................................................... 92

 

17.3.5. Weryfikacja hipotez o współczynnikach regresji......................................................... 94

 

18. WPROWADZENIE DO ZAAWANSOWANYCH METOD STATYSTYCZNYCH......... 96 

18.1.

 

C

HARAKTERYSTYKA ZAAWANSOWANYCH METOD STATYSTYCZNYCH

................................. 96 

18.2.

 

A

LGORYTMIZACJA WYBORU METOD STATYSTYCZNYCH

.................................................... 100 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

5 

14. STATYSTYKI I ICH ROZKŁADY 

Począwszy  od  tego  rozdziału  będziemy  przedstawiali  teorię  i  zastosowania  statystyki 
matematycznej.  RozwaŜymy  najpierw  sytuacje,  w  których  badana  jest  jedna  cecha  populacji  lub 
dwie  cechy  róŜnych  populacji  tak,  Ŝe  moŜna  je  traktować  jako  zmienne  losowe  niezaleŜne. 
Wówczas o próbach pobranych z tych populacji mówimy, Ŝe są niepowiązane. 

14.1. Próba jako zmienna losowa wielowymiarowa 

W  dalszych  rozwaŜaniach  będzie  potrzebna  nowa  definicja  próby  umoŜliwiająca  korzystanie  
w statystyce z rachunku prawdopodobieństwa. 
Badana  jest  cecha  X  populacji.  Niech  X

1

,  X

2

,  ...  X

n

  będą  zmiennymi  losowymi  niezaleŜnymi  

o jednakowym rozkładzie, takim jak rozkład cechy X. Próba losowa n-elementowa ze względu na 
cechę X (próba n elementowa)

 jest to zmienna losowa n-wymiarowa  

                                                                   (X

1

, X

2

, ..., X

n

)                                                    (14.1) 

Interpretacja 
Zmienna  losowa  X

1

  jest  modelem  wartości  cechy  X  pierwszego  elementu  wylosowanego  

z populacji do próby, X

2

 modelem drugiego elementu itd. PoniewaŜ do próby losujemy elementy 

metodą  ze  zwracaniem,  więc  kaŜdy  element  populacji  ma  te  same  szanse  być  
wylosowany, dlatego przyjmuje się, Ŝe zmienne losowe są niezaleŜne.  
KaŜdą wartość   
                                                                   (x

1

, x

2

, ..., x

n

)                 

                          (14.2) 

próby (14.1) nazywamy realizacją próby lub takŜe próbą. 
Przykład 14.1 
RozwaŜamy  populację  gospodarstw  domowych  na  terenie  Warszawy.  Populację  tę  badamy  ze 
względu  na  cechę  X  –  liczba  osób  w  gospodarstwie.  Z  populacji  pobieramy  próbę 
pięcioelementową.  Losujemy  ze  zwracaniem  pięć  gospodarstw  domowych.  Przypuśćmy,  
Ŝ

e otrzymaliśmy wartości cechy X: 2, 3, 1, 3, 4. Zatem zmienna losowa X

1 

oznaczająca liczbę osób 

w  wylosowanym  pierwszym  gospodarstwie  przyjęła  wartość  2,  zmienna  losowa  X

2

  oznaczająca 

liczbę osób w wylosowanym drugim gospodarstwie przyjęła wartość 3 itd.  
Próba 
                                                         (X

1

, X

2

, X

3

, X

4

, X

5

) 

 

                                       (14.3) 

przyjęła wartość 
                                                                 (2, 3, 1, 3, 4) 

 

                                        (14.4) 

Przypuśćmy,  Ŝe  badanie  powtórzono  i  otrzymano  teraz  następujące  wartości  cechy  X:  3,1,1,2,2. 
Otrzymaliśmy inną wartość próby (14.3), mianowicie 

 

 

                                                                (3, 1 ,1, 2, 2)                                                              (14.5) 
Ciągi (14.4) i (14.5) są realizacjami próby (14.3). 

 

Statystyki 
Aby moŜna było przeprowadzić analizę statystyczną naleŜy przekształcić próbę, czyli rozpatrywać 
funkcje próby. Funkcje próby (14.1) nazywamy statystykami  
                                                             U

n

 = g(X

1

, X

2

, ..., X

n

)                                                     (14.6) 

Przykład 14.2  
Jeśli  interesujemy  się  średnią  liczbą  osób  w  gospodarstwach  domowych  wybranych  do  próby,  
to naleŜy rozwaŜyć zmienną losową  

                                              

1

2

3

4

5

5

X +X +X +X +X

U =

5

  

ś

rednia arytmetyczna z próby 

                          

(14.7)

 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

6 

Zmienna  ta  jest  funkcją  próby  (14.3),  jest  zatem  statystyką.  Wartościami  (realizacjami)  tej 
statystyki, dla realizacji próby (14.4) i (14.5) są liczby 

5

2+3+1+3+4

u =

=2,6

5

   i 

5

3+1+1+2+2

u =

=1,8

5

 

 

14.2. Podstawowe statystyki i ich rozkłady 

14.2.1. Wykazy statystyk 

Przedstawimy teraz dwa wykazy najczęściej stosowanych statystyk. 
•

  Wykaz statystyk klasycznych, tj. statystyk, których wartości zaleŜą od wszystkich zmiennych 

losowych wchodzących w skład próby. 

•

  Wykaz  statystyk  pozycyjnych,  tj.  statystyk,  których  wartości  zaleŜą  tylko  od  niektórych 

zmiennych losowych wchodzących w skład próby, głównie od tych, które zajmują odpowiednią 
pozycję w próbie. 

                                                                                         Tabela 14.1 Wykaz statystyk klasycznych 

Lp 

Postać 

Nazwa / Komentarz 

1 

n

n

i

i 1

1

X

X

n

=

=

∑

 

Ś

rednia z próby 

2 

n

2

2

n

i

n

i 1

1

S

(X

X )

n

=

=

−

∑

 

Wariancja z próby (obciąŜona

1

) 

3 

n

2

n

i

n

i 1

1

S

(X

X )

n

=

=

−

∑

 

Odchylenie standardowe z próby 

4 

n

2

2

n

i

n

i 1

1

ˆS

(X

X )

n 1

=

=

−

−

∑

 

Wariancja z próby (nieobciąŜona

2

) 

5 

n

o2

2

n

i

i 1

1

S

(X

m)

n

=

=

−

∑

 

m=EX 

6 

2

o2

n

n

i

n

2

i 1

nS

X

m

U

=

−





=

=





σ

σ





∑

 

m=EX, σ=DX 

7 

2

2

n

n

i

n

n

2

i 1

nS

X

X

U

=





−

=

=





σ

σ





∑

 

 

8 

n

k

n

i

i 1

1

U

X

n

=

=

∑

 

Moment z próby rzędu k 

9 

n

k

n

i

n

i 1

1

U

(X

X )

n

=

=

−

∑

 

Moment centralny z próby rzędu k 

10 

n

n

n

X

m

U

n 1

S

−

=

−  

 

 

11 

 
 

n

Y

W( ) = 

n

ω

 

Y

n

- liczba jedynek w próbie - 

patrz poniŜsza uwaga 

Wskaźnik struktury wariantu ω. 

 

                                                 

1

 Wyjaśnienie nazwy w podpukcie 15.2.1. 

2

 Jak wyŜej 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

7 

                                                                                                        Tabela 14.2. Wykaz statystyk pozycyjnych 

Podobnie definiuje się inne statystyki pozycyjne np. decyle z próby i centyle z próby. 
Uwaga:  KaŜdemu  elementowi  próby  przyporządkowujemy  1,  gdy  element  ma  wartość  cechy  X 
równą  wariantowi  ω  lub  0  w  przeciwnym  przypadku.  Wtedy  próba  (X

1

,  X

2

,  ...,  X

n

)  jest  ciągiem 

zmiennych  losowych  o  rozkładach  zerojedynkowych,  a  kaŜda  realizacja  próby  jest  ciągiem  
n- elementowym zer lub jedynek. 

14.2.2. Rozkład średniej z próby 

Ś

rednia z próby n-elementowej jest to statystyka 

n

n

i

i=1

1

X =

X

n

∑

 

Parametry średniej  

Jeśli cecha X populacji ma wartość oczekiwaną m i wariancję 

2

σ , to  

n

EX =m , 

2

2

n

σ

D X =

n

, 

n

σ

DX =

n

 

Rozkład średniej  
Jeśli  cecha  X  populacji  ma  rozkład  normalny  N(m,  σ),  to  średnia  arytmetyczna 

n

X   ma  rozkład 

normalny N 

σ

m,

n













. Twierdzenie to wynika z własności rozkładu normalnego

3

.  

Rozkład asymptotyczny średniej 
Jeśli  cecha  X  populacji  ma  wartość  oczekiwaną  m  i  wariancję 

2

σ

>0 ,  to  dla  duŜych  n  średnia 

arytmetyczna 

n

X

 ma rozkład asymptotycznie normalny N 

σ

m,

n













. 

Twierdzenie to wynika z faktów:  

a) na podstawie tw. Lindeberga-Levy’ego

4

 suma 

n

i

i=1

X

∑

ma rozkład asymptotycznie normalny,  

b) funkcja liniowa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny. 
Oba  rozkłady  średniej  (dokładny  i  asymptotyczny)  potwierdzają  znany  nam  fakt,  wynikający  
z prawa wielkich liczb Chinczyna, Ŝe średnia arytmetyczna duŜej liczby zmiennych losowych ma 
rozkład skupiony przy wartości oczekiwanej. Teraz ten fakt został ujęty ilościowo. 

                                                 

3

 

Patrz podpunkt 21.1.1.

 

części VII Wybrane twierdzenia z dowodami

 

4

 Patrz podpunkt 9.2.2 części III Rachunek prawdopodobieństwa 

Nazwa statystyki 

Symbol 

Definicja statystyki 

Mediana z próby 
 M

e

 

Statystyka przyjmująca dla kaŜdej realizacji 
próby medianę w tej realizacji  

Kwantyl rzędu p z próby 
K

p

 

Statystyka przyjmująca dla kaŜdej realizacji 
próby kwantyl rzędu p  w tej realizacji 

Kwartyl pierwszy, drugi i trzeci z próby  
Q

1

, Q

2

, Q

3

 

Statystyka przyjmująca dla kaŜdej realizacji 
próby odpowiedni kwartyl w tej realizacji 

Rozstęp z próby 
R

o

 

Statystyka przyjmująca dla kaŜdej realizacji 
próby rozstęp w tej realizacji 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

8 

Przykład 14.1 
Cecha X populacji ma rozkład normalny N(3,1). Obliczymy prawdopodobieństwa 

16

400

P( X-3 <0,1), P( X -3 <0,1), P( X -3 <0,1) . 

Rozwiązanie  

(

)

(

)

P X-3 <0,1 =2Φ 0,1 -1=2 0,5398-1=0,08

⋅

 

Statystyka 

16

X

ma rozkład 

1

N 3,

16













, czyli rozkład 

1

N 3,

4













. Zatem 

16

16

1

1

P( X -3 <0,1)=P X -3 : <0,1:

=2Φ(0,4)-1= 2 0,4556-1=0,30

4

4





⋅









 

 Statystyka 

400

X

ma rozkład 

1

N 3,

400













czyli rozkład 

1

N 3,

.

20













 Zatem 

400

400

1

1

P( X -3 <0,1)=P X -3 :

<0,1:

=2Φ(2)-1=2 0,97725-1=0,955

20

20





⋅









 

Obliczyliśmy  prawdopodobieństwa,  Ŝe  zmienne  losowe  X, 

16

X

, 

400

X

przyjmą  wartości  

z otoczenia o promieniu 0,1 swoich wartości oczekiwanych. Widać, Ŝe to prawdopodobieństwo dla 
zmiennej losowej X jest małe, umiarkowanej wartości dla średniej 

16

X  i bardzo duŜe dla średniej 

400

X

. Potwierdza to wcześniej sformułowaną właściwość średniej z próby, o przyjmowaniu przez 

nią  wartości  z  prawdopodobieństwem  bliskim  jedności  mało  róŜniących  się  od  jej  wartości 
oczekiwanej (a  takŜe cechy  populacji),  gdy  próba jest  liczna.  Wynika  stąd,  Ŝe  wartości  statystyki 

n

X  mogą słuŜyć do oceny wartości oczekiwanej, gdy wartość ta nie jest znana, a próba ma duŜo 

elementów. 

 

14.2.3. Rozkład statystyk związanych z wariancją z próby 

Wariancja z próby n-elementowej jest to statystyka 

n

2

2

n

i

n

i 1

1

S

(X

X )

n

=

=

−

∑

 

Odchylenie standardowe z próby n-elementowej jest to statystyka 

n

2

n

i

n

i 1

1

S

(X

X )

n

=

=

−

∑

 

Interpretacja  
ZauwaŜmy,  Ŝe  dla  realizacji  próby,  której  elementy  mało  róŜnią  się  od  siebie  realizacja 

2
n

s

 

statystyki 

2
n

S   jest  liczbą  bliską  zeru,  natomiast  dla  realizacji  próby,  której  elementy  róŜnią  się 

znacznie od siebie, ta realizacja jest duŜą liczbą. Podobne uwagi dotyczą odchylenia standardowego 
z  próby.  Zatem  statystyki 

2
n

S

i  S

n

  są  miarami  zróŜnicowania elementów  próby  względem  średniej  

z próby. 
Z wariancją z próby związane są statystyki 

(

)

n

2

2
nn

i

n

i=1

1

ˆS =

X -X

n-1

∑

  oraz 

(

)

n

2

o2
n

i

i=1

1

S =

X -m

n

∑

 

gdzie m jest wartością oczekiwaną cechy X populacji.  

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

9 

ZauwaŜmy, Ŝe między statystykami 

2

o2

n

n

ˆS i S występują związki 

2

2

n

n

n

ˆS =

S

n-1

  oraz   

2
n

nS =(n-1)

(

)

n

2

2
nn

i

n

i=1

ˆS =

X -X

∑

 

Rozkłady statystyk

  

2

o2

n

n

2

2

nS

nS

i

σ

σ

 

Zakładamy, Ŝe cecha X populacji ma rozkład normalny N(m, σ). Wtedy statystyka  

2

o2

n

n

i

2

i=1

nS

X -m

=

σ

σ













∑

 

jest sumą kwadratów n niezaleŜnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym N(0, 1), zatem 
ma rozkład 

2

χ z n stopniami swobody

5

.  

Natomiast statystyka 

2

2

n

n

i

n

2

i=1

nS

X -X

=

σ

σ













∑

 

róŜni  się  tym  od  statystyki 

o2
n

2

nS

σ

,  Ŝe  zamiast  róŜnicy  X

i

  -  m  występuje  róŜnica 

i

n

X - X .  MoŜna 

udowodnić, Ŝe ma ona takŜe rozkład 

2

χ , tyle, Ŝe z  n-1 stopniami swobody. Zatem prawdziwe jest 

twierdzenie:. 

Jeśli  cecha  X  populacji  ma  rozkład  normalny  N(m,  σ),  to  statystyka 

o2
n

2

nS

σ

  ma  rozkład 

2

χ   

z n stopniami swobody. Statystyka 

2
n

2

nS

σ

 ma rozkład 

2

χ

 z n-1 stopniami swobody. 

ZbieŜność statystyk

   

2

2

o2

n

n

n

ˆ

S ,S ,S  

Jeśli  cecha  populacji  X  ma  wariancję 

2

σ ,  to  ciągi 

( )

( )

( )

2

2

o2

n

n

n

ˆ

S , S , S

  są  zbieŜne  według 

prawdopodobieństwa  do  wariancji

2

σ ,  natomiast  ciągi 

( )

( )

( )

o

n

n

n

ˆ

S , S , S są  zbieŜne  według 

prawdopodobieństwa do odchylenia standardowego 

σ

.  

Wynika  stąd,  Ŝe  dla  licznej  próby  wartości  statystyk 

2

2

o2

n

n

n

ˆ

S , S , S   mogą  słuŜyć  do  oceny  wariancji 

2

σ

, natomiast wartości statystyk

o

n

n

n

ˆ

S ,S ,S do oceny odchylenia standardowego 

σ

. 

Wartość oczekiwana statystyk 

2

2

o2

n

n

n

ˆ

S , S , S  

2

2

2

2

o2

2

n

n

n

n-1

ˆ

ES =

σ

,

E S =σ ,

E S =σ .

n

 

                                                 

5

 

Patrz ppkt 6.2.5 - definicja rozkładu chi kwadrat.

 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

10 

W tabelach 14.2. i 14.3. podano zestawienie wybranych statystyk wraz z ich rozkładami

6

. 

Tabela 14.2. Rozkłady statystyk dla jednej cechy populacji 

Rozkład cechy populacji 

Statystyka 

Rozkład statystyki 

n

X  

Normalny 

σ

N m,

n













 

2

n

2

nS

σ

 

2

χ z n-1 stopniami swobody 

o2

n

2

nS

σ

 

2

χ z n stopniami swobody 

Normalny N(m,

σ

) 

n

n

X -m

n-1

S

 

Studenta z n-1 stopniami swobody 

Dowolny z wartością 

oczekiwaną m i wariancją 

0

2

>

σ

 

n

X

 

Asymptotycznie normalny 

σ

N(m,

)

n

dla duŜych n 

Zerojedynkowy 

p

1

)

0

X

(

P

p

)

1

X

(

P

−

=

=

=

=

 

p- prawdopodobieństwo 

sukcesu 

Wskaźnik struktury 

(częstość sukcesu) 

n

Y

n

 

Y

n

- liczba jedynek w 

próbie 

Asymptotycznie normalny 

p(1-p)

N p,

n

















, 

Dla przypadku, gdy X: N(m, 

σ

), podane w tabeli 14.3. rozkłady statystyk moŜna zilustrować  

w sposób następujący. 

 

Rys. 14.1. Rozkłady wybranych statystyk 

                                                 

6

 Patrz punkt 21.1. części VII Wybrane twierdzenia z dowodami  

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

11 

Tabela 14.4. Rozkłady statystyk dla dwóch niezaleŜnych cech populacji 

Rozkład cechy X  Rozkład cechy Y 

Statystyka 

Rozkład statystyki 

Normalny 

N(m, 

σ

1

) 

Normalny 

N(m, 

σ

2

) 

1

2

n

n

2

2

1

2

1

2

X -Y

σ

σ

+

n

n

 

Normalny 

N(0,1) 

Normalny 

N(m, 

σ

) 

Normalny 

N(m, 

σ

) 

1

2

1

2

n

n

1 2

1

2

2

2

1

2

1 n

2 n

X -Y

nn

(n +n -2)

n +n

nS +n S

 

Studenta z n

1

 + n

2

 -2 

stopniami swobody 

Normalny 

N(m

1

, σ ) 

Normalny 

N(m

2

, σ ) 

1

2

2
nn

2
n

ˆS

ˆS

 

Snedecora z parą 

(n

1

-1, n

2

-1) stopni 

swobody 

Dowolny  

z wartością 

oczekiwaną m

1

  

i z wariacją  

2

1

σ  

Dowolny  

z wartością 

oczekiwaną m

2

  

i z wariacją

2
2

σ  

1

2

1

2

n

n

2

2

n

n

1

2

X -Y

S

S

+

n

n

 

Asymptotycznie normalny 

N(0,1) 

 
 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

12 

15. ESTYMACJA PARAMETRÓW 

15.1. Wprowadzenie

 

W teorii estymacji wyróŜnia się: estymację parametryczną i estymację nieparametryczną. 

Estymacja  parametryczna

  dotyczy  szacowania  nieznanych  parametrów  rozkładu.  Problem 

estymacji parametrycznej, odnoszący się do jednej cechy jest następujący: 
Populacja  badana  jest  ze  względu  na  cechę  X  o  rozkładzie  zaleŜnym  od  parametru  Q,  tzn. 
dystrybuanta tej cechy jest postaci F

Q

 (x), przy czym dla kaŜdego Q naleŜącego do pewnego zbioru 

Ω

  –  przestrzeni  parametru  Q,  dystrybuanta  ta  jest  znana.  Przy  tych  załoŜeniach  wnioskowanie  

o  rozkładzie  cechy  X  sprowadza  się  do  oszacowania  (estymacji)  na  podstawie  próby  wartości 
parametru Q. 
WyróŜnia  się  dwa  sposoby  szacowania  parametru  Q:  oszacowanie  punktowe  i  oszacowanie 
przedziałowe.  

Estymacja  nieparametryczna

  dotyczy  szacowania  postaci  funkcyjnej  rozkładu,  np.  w  postaci 

dystrybuanty.  MoŜna  w  tym  celu  stosować,  analogicznie  jak  przy  estymacji  parametrycznej, 
oszacowanie  punktowe  lub  przedziałowe.  Przy  szacowaniu  przedziałowym  wyznacza  się  obszar 
(pas) ufności

. 

15.2. Estymacja punktowa 

Estymacja punktowa parametru Q polega na: 

 Wybraniu pewnej statystyki U

n

 o rozkładzie zaleŜnym od parametru Q.  

 Obliczeniu na podstawie próby wartości u

n

 statystyki U

n

 

 Przyjęciu, Ŝe u

n

 jest oszacowaniem parametru Q, co zapisujemy 

n

ˆQ = u  

i czytamy: oceną parametru Q jest u

n

.  

Statystyka U

n

 nazywa się wówczas estymatorem parametru Q. 

Znanych jest szereg metod wyznaczania estymatorów. NajwaŜniejsze z nich to: metoda momentów, 
metoda największej wiarygodności, metoda najmniejszych kwadratów – autor Carl Gauss, metoda 
estymacji bayesowskiej i metoda estymacji minimaksowej. 
PoniŜej  podano  istotę  pierwszej  z  wymienionych  metod,  druga  zostanie  scharakteryzowana  
w punkcie 15.2.4, a trzecia w punkcie 17.3.2.(łacznie z nawiązaniem do poprzednich) 
Metoda  momentów  została  opracowana  pod  koniec  XIX  wieku  przez  angielskiego  statystyka  
K.  Pearsona.  Zgodnie  z  tą  metodą  przyjmuje  się,  Ŝe  estymatorem  momentu  cechy  populacji  jest 
odpowiadający  mu  moment  z  próby,  zaś  estymatorem  funkcji  momentów  populacji  jest  ta  sama 
funkcja momentów z próby. 
Przykład 15.1 
Badana  jest  cecha  X  populacji.  Zgodnie  z  metodą  momentów  przyjmujemy,  Ŝe  estymatorem 

wartości  oczekiwanej  m  jest  średnia  z  próby 

n

n

i

i 1

1

X

X

n

=

=

∑

,  natomiast  estymatorem  wariancji  σ

2

 

jest wariancja z próby 

(

)

n

2

2
n

i

n

i=1

1

S =

X -X

n

∑

. 

 

NaleŜy podkreślić, Ŝe charakterystyki liczbowe opisane w ramach statystyki opisowej pokrywają się 
z estymatorami wyznaczonymi metodą momentów. 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

13 

15.2.1. Klasyfikacja estymatorów i nierówność Rao-Cramera

 

Estymator zgodny

 parametru Q jest to estymator U

n

 zbieŜny wg prawdopodobieństwa do Q, tzn. 

n

n

lim P( U -Q <ε)=1

→∞

dla dowolnego ε >0

 

Estymator  nieobciąŜony

  parametru  Q  jest  to  estymator  U

n

  o  wartości  oczekiwanej  równej 

parametrowi Q 

EU

n

 = Q 

Estymator  najefektywniejszy

  parametru  Q  jest  to  estymator  nieobciąŜony  tego  parametru  

o najmniejszej wariancji spośród wszystkich estymatorów nieobciąŜonych parametru Q. 
Estymator obciąŜony

 parametru Q jest to estymator U

n

 taki, Ŝe 

EU

n

 ≠ Q 

Estymator  asymptotycznie  nieobciąŜony

  parametru  Q  jest  to  estymator  U

n

  o  granicy  wartości 

oczekiwanej równej parametrowi Q 

n

n

lim EU =Q

→∞

 

Estymator  asymptotycznie  najefektywniejszy

  parametru  Q  jest  to  estymator  nieobciąŜony  lub 

asymptotycznie nieobciąŜony taki, Ŝe  

2

n

2

n

n

D U

lim

=1

D U

→∞

(

 

gdzie

n

U

(

 jest estymatorem najefektywniejszym parametru Q. 

Interpretacja 
Jeśli  estymator  jest  estymatorem  zgodnym  parametru  Q,  to  dla  duŜej  próby  
z prawdopodobieństwem bliskim 1 ocena parametru i parametr mało róŜnią się. 
Jeśli estymator parametru Q jest nieobciąŜony, to otrzymujmy oceny bez błędu systematycznego. 
Jeśli  bowiem  byłoby 

n

EU <Q ,  to  otrzymywalibyśmy  oceny  średnio  zaniŜone.  Natomiast,  gdyby 

n

EU >Q , to otrzymywalibyśmy oceny średnio zawyŜone. 

Jeśli estymator jest estymatorem najefektywniejszym parametru Q, to jego rozkład jest najbardziej 
skupiony  przy  parametrze  Q,  zatem  otrzymujemy  oceny  bliŜsze  parametrowi  Q,  niŜ  przy  innych 
estymatorach. 
Estymator  asymptotycznie  nieobciąŜony  jest  praktycznie  estymatorem  nieobciąŜonym,  gdy  próba 
jest  liczna,  takŜe  estymator  asymptotycznie  najefektywniejszy  jest  praktycznie,  dla  duŜej  próby, 
estymatorem najefektywniejszym. 
Zgodność, a  nieobciąŜoność estymatora 
PoniŜsze twierdzenie jest uŜyteczne przy badaniu zgodności estymatora. 
Jeśli U

n

 jest estymatorem  nieobciąŜonym lub asymptotycznie nieobciąŜonym parametru Q  oraz 

2

n

n

lim D U =0

→∞

 

to U

n

 jest estymatorem zgodnym tego parametru. 

Nierówność Rao-Cramera  
Jeśli cecha populacji X jest zmienną losową skokową o funkcji prawdopodobieństwa zaleŜnej od 
parametru Q 

k

k

P(X=x )=p (Q)  

i U

n

 jest estymatorem nieobciąŜonym parametru Q oraz spełnione są warunki regularności

7

, to 

wariancja estymatora U

n

 spełnia tzw. nierówność Rao-Cramera 

                                                 

7

 Leitner Roman, Zacharski Janusz: Zarys matematyki wyŜszej dla studentów, część III, WNT, Warszawa 1998 - str. 298 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

14 

2

n

2

k

k

k

1

D U

d

n

lnp (Q) p (Q)

dQ

≥













∑

 

przy czym dla estymatora najefektywniejszego zachodzi równość w powyŜszej nierówności. 
Jeśli  cecha  populacji  X  jest  zmienną  losową  ciągłą  o  gęstości  f

Q

(x)  zaleŜnej  od  parametru  Q  

i  U

n

  jest  estymatorem  nieobciąŜonym  parametru  Q  oraz  spełnione  są  warunki  regularności

8

,  to 

wariancja estymatora U

n

 spełnia nierówność  Rao-Cramera  w poniŜszej postaci 

2

n

2

Q

Q

-

1

D U

n

ln f (x) f (x)dx

Q

∞

∞

≥

∂









∂





∫

 

przy czym dla estymatora najefektywniejszego zachodzi równość w powyŜszej nierówności. 

Efektywność estymatora 

Efektywność estymatora nieobciąŜonego U

n

 parametru Q jest to liczba 

2

n

n

2

n

D U

e =

D U

(

 

gdzie 

2

n

D U

(

jest wariancją estymatora najefektywniejszego parametru Q. 

Oczywiście 

1

e

0

n

≤

<

 

Estymator U

n

 jest estymatorem najefektywniejszym wtedy i tylko wtedy, gdy e

n

 = 1.  

15.2.2. Estymacja wartości oczekiwanej rozkładu normalnego

 

Cecha  X  populacji  ma  rozkład  normalny  N(m,

σ

),  przy  czym 

σ

  jest  znane.  Przyjmiemy, 

Ŝ

e 

estymatorem warto

ś

ci oczekiwanej jest 

ś

rednia z próby 

n

n

i

i 1

1

X

X

n

=

=

∑

 

Zgodność 

Cecha X ma rozkład z warto

ś

ci

ą

 oczekiwana m. 

Ś

rednia z próby 

n

X

  jest estymatorem zgodnym 

warto

ś

ci oczekiwanej m, gdy

Ŝ

 na podstawie prawa wielkich liczb Chinczyna

9

 

                                          

n

n

lim P( X - m <

ε

)=1

→∞

dla dowolnego ε >0 

 

NieobciąŜoność 

Poniewa

Ŝ

   

n

n

n

n

k

k

k=1

k=1

k=1

1

1

1

1

EX =E

X =

EX =

m= nm=m

n

n

n

n













∑

∑

∑

 

wi

ę

c 

ś

rednia z próby jest estymatorem nieobci

ąŜ

onym warto

ś

ci oczekiwanej. 

 

Efektywność 

Obliczymy  najpierw  wariancj

ę

  estymatora  najefektywniejszego  warto

ś

ci  oczekiwanej  rozkładu 

normalnego, a nast

ę

pnie wariancj

ę

 

ś

redniej z próby i porównamy otrzymane wielko

ś

ci. 

                                                 

8 

Patrz  jw

 

9 

Patrz

 

 ppkt 9.4.3. części III Rachunek prawdopodobieństwa

 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

15 

Je

ś

li 

n

U%

 jest estymatorem najefektywniejszym, to jego wariancja jest równa prawej stronie   

nierówno

ś

ci Rao-Cramera 

{

}

2

n

2

m

m

-

1

1

D U =

= ozn.

M

n

lnf (x) f (x)dx

m

∞

∞

=

∂









∂





∫

%

 

gdzie: 

2

2

-(x-m) /(2σ )

m

1

f (x)=

e

σ

2

π

 

Zatem 

2

m

2

1

(x-m)

lnf (x)=ln

-

2σ

σ

2π

 i 

m

2

(x-m)

lnf (x)=

m

σ

∂

∂

 

2

2

2

m

4

4

4

2

-

n

n

n

n

M=

(x-m) f (x)dx=

D X=

σ

=

σ

σ

σ

σ

∞

∞

∫

 

Czyli    

2

2

n

2

1

σ

D U =

=

1

n

n

σ

(

  

wariancja estymatora najefektywniejszego wartości oczekiwanej rozkładu normalnego 

2

n

n

n

2

2

2

2

2

n

k

k

2

2

2

k=1

k=1

k=1

1

1

1

1

σ

D X =D

X =

D X =

σ

=

n

σ

=

n

n

n

n

n













∑

∑

∑

 

Zatem 

2

n

D X   =

2

n

D U

(

,  wi

ę

c 

ś

rednia  z  próby  jest  estymatorem  najefektywniejszym  warto

ś

ci 

oczekiwanej rozkładu normalnego.  

Z  powy

Ŝ

szego  wynika, 

Ŝ

e 

ś

rednia  z  próby 

n

X

  jest  estymatorem  zgodnym,  nieobci

ąŜ

onym  

i najefektywniejszym warto

ś

ci oczekiwanej rozkładu normalnego. 

15.2.3. Estymatory wariancji rozkładu normalnego

 

Estymatorami wariancji s

ą

 statystyki 

(

)

n

2

2

n

i

n

i=1

1

S =

X -X

n

∑

  

(

)

n

2

o2

n

i

i=1

1

S =

X -m

n

∑

  

(

)

n

2

2

n

i

n

i=1

1

ˆS =

X -X

n-1

∑

 

Zbadamy własno

ś

ci tych estymatorów przy zało

Ŝ

eniu, i

Ŝ

 rozkład cechy jest normalny. 

W  ppkt  14.2.3.  stwierdzili

ś

my, 

Ŝ

e  statystyki 

2

o2

n

n

2

2

nS

nS

i

σ

σ

  maj

ą

  rozkłady  chi  kwadrat  z  n-1  

i n stopniami swobody oraz, 

Ŝ

e rozkład chi kwadrat z n stopniami swobody ma warto

ść

 oczekiwan

ą

 

równ

ą

 n i wariancj

ę

 2n. 

NieobciąŜoność

10

 

2
n

2

nS

E

=n-1

σ

  

oraz   

2

2

n

n

2

2

nS

n

E

=

ES

σ

σ

  

zatem 

2

2

n

n-1

ES =

σ

n

 

 

o2
n

2

nS

E

=n

σ

 

 

oraz  

o2

o2

n

n

2

2

nS

n

E

=

ES

σ

σ

 

 

zatem 

o2

2

n

ES =

σ  

2

2

2

2

2

n

n

n

n

n

n n-1

ˆ

ES =E

S =

ES =

σ

=σ

n-1

n-1

n-1 n

 

                                                 

10

 W    21.2  części  VI  Wybrane  twierdzenia  wraz  z  dowodami  oceniono  obciąŜoność  wariancji  bez  załoŜenia  o 

normalności rozkładu 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

16 

Wnioski 

Statystyki 

o2
n

S  i 

2
n

ˆS   s

ą

 estymatorami nieobci

ąŜ

onymi wariancji 

2

σ . 

Statystyka 

2
n

S

 jest estymatorem obci

ąŜ

onym wariancji 

2

σ ale  

2

2

2

n

n

n

n-1

lim ES = lim

σ

=

σ

n

→∞

→∞

 

czyli jest estymatorem asymptotycznie nieobci

ąŜ

onym wariancji 

2

σ . 

Zgodność 

Przy badaniu zgodno

ś

ci estymatorów wariancji 

2

σ   wykorzystamy  twierdzenie  podane  w  punkcie 

15.2.1.  Poniewa

Ŝ

  rozwa

Ŝ

ane  estymatory  wariancji  s

ą

  nieobci

ąŜ

one  lub  asymptotycznie 

nieobci

ąŜ

one,  to  zgodnie  z  tym  twierdzeniem  b

ę

d

ą

  estymatorami  zgodnymi,  gdy  ich  wariancje 

zbie

Ŝ

ne s

ą

 do zera. Obliczymy te wariancje 

2

2

n

2

nS

D

=2(n-1)

σ

 

oraz 

2

2

2

2 2

n

n

2

4

nS

n

D

=

D S ,

σ

σ

  zatem 

(

)

2 2

4

n

2

2 n-1

D S =

σ

0

n

→

 

o2

2

n

2

nS

D

=2n

σ

   

oraz 

o2

2

2

o2

n

n

2

4

nS

n

D

=

ES ,

σ

σ

  zatem 

4

2 o2

n

2σ

D S =

0

n

→

 

(

)

(

)

(

)

2

2

4

2 2

2

2

2 2

4

n

n

n

2

2

2

2 n-1

n

n

n

2σ

ˆ

D S =D

S =

D S =

σ

=

0

n-1

n

n-1

n-1

n-1

→  

Wniosek. Statystyki 

2

n

S , 

2

o

n

S , 

2

n

Sˆ  są estymatorami zgodnymi wariancji 

2

σ  

Efektywność 
Jeśli 

n

U

(

jest estymatorem najefektywniejszym wariancji 

2

σ ,  to  jego  wariancja jest  równa  prawej 

stronie nierówności Rao-Cramera, czyli 

{

}

2

2

2

n

2

2

σ

σ

-

1

1

D U =

= ozn.

M

n

lnf (x) f (x)dx

σ

∞

∞

=

∂









∂





∫

%

 

gdzie: 

2

2

2

-(x-m) /(2σ )

σ

1

f (x)=

e

σ

2π

 

Zatem 

2

2

2

2

σ

1

1

(x-m)

lnf (x)=- lnσ -ln

-

2

2σ

2π

 

2

2

2

2

2

2

4

4

σ

1

(x-m)

(x-m) -σ

lnf (x)=-

+

=

σ

2σ

2σ

2σ

∂

∂

 

2

2

2

2

σ

σ

-

M = n

lnf (x) f (x)dx

σ

∞

∞

∂









∂





∫

=

2

2

2

2

4

σ

-

(x-m) -σ

n

f (x)dx

2σ

∞

∞













∫

= 

2

2

2

4

2

2

4

8

σ

σ

σ

-

-

-

4

4

4

4

4

4

4

8

8

8

4

n

=

(x-m) f (x)dx-2σ

(x-m) f (x)dx+σ

f (x)dx =

4σ

n

1

2σ

n

=

µ

-2σ +σ =

3σ -2σ +σ =

=

4σ

2σ

4σ

2σ

∞

∞

∞

∞

∞

∞





























∫

∫

∫

 

4

2

n

4

1

2σ

D U =

=

1

n

n

2σ

(

 

  

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

17 

Porównując otrzymany wynik z wcześniej obliczonymi wariancjami estymatorów stwierdzamy, Ŝe 

4

2 o2

2

n

n

2σ

D S =D U =

n

(

 

n

2

4

4

n

n

2 2

D U

2σ 2σ

n-1

e =

=

:

=

ˆ

n

n-1

n

D S

(

 

n

2

4

4

n

2 2

2

D U

2σ 2(n-1)σ

n

=

:

=

D S

n

n

n-1

(

 

Wnioski z powyŜszych równości 

Statystyka 

(

)

n

2

o2
n

i

i=1

1

S =

X -m

n

∑

jest  estymatorem  najefektywniejszym  wariancji  σ

2

  rozkładu 

normalnego. 

Statystyka 

(

)

n

2

2
n

i

n

i=1

1

ˆS =

X -X

n-1

∑

nie  jest  estymatorem  najefektywniejszym  wariancji  σ

2

  rozkładu 

normalnego, ma efektywność (n-1)/n, jest więc estymatorem asymptotycznie najefektywniejszym.  

Statystyka 

(

)

n

2

2
n

i

n

i=1

1

S =

X -X

n

∑

jest  estymatorem  asymptotycznie  najefektywniejszym  wariancji  σ

2

 

rozkładu normalnego.  
PoniewaŜ  statystyka  ta  nie  jest  estymatorem  nieobciąŜonym,  więc  nie  moŜe  być  estymatorem 
najefektywniejszym i nie moŜna mówić o efektywności tego estymatora. 

Estymatory odchylenia standardowego 

Estymatory odchylenia standardowego przedstawione są w tabeli 15.2.  
ZauwaŜmy,  Ŝe  pierwiastek  kwadratowy  estymatora  nieobciąŜonego  wariancji  σ

2

  nie  musi  być 

estymatorem nieobciąŜonym odchylenia standardowego σ. 

15.2.4. Metoda największej wiarygodności otrzymywania estymatorów

 

Cecha X populacji ma rozkład zaleŜny od  s parametrów Q

1

, ... , Q

s 

 

(X

1

, ... , X

n

) – próba 

(x

1

, ... , x

n

)  – realizacja próby.  

Funkcja wiarygodności jest to funkcja s zmiennych Q

1

, ... , Q

s

  

•

   w przypadku cechy populacji X skokowej przyporządkowuje kaŜdemu moŜliwemu punktowi  

(Q

1

, ... , Q

s

) prawdopodobieństwo otrzymania realizacji próby (x

1

, ... , x

n

) 

L(Q

1

, ... , Q

s

) = P(X

1 

= x

1

, … , X

n 

= x

n

) = P(X

1 

= x

1

) …  P(X

n 

= x

n

) 

•

  w  przypadku  cechy  populacji  X  ciągłej  przyporządkowuje  kaŜdemu  moŜliwemu  punktowi  

(Q

1

, ... , Q

m

) gęstość próby w punkcie będącym realizacją próby (x

1

, ... , x

n

) 

L(Q

1

, ... , Q

s

) = f (x

1

, ... , x

n

) = f

1

(x

1

) … f

n

(x

n

) 

Metoda  największej  wiarygodności  (MNW)  otrzymywania  estymatorów  polega  na  wyznaczeniu, 
dla danej realizacji próby, takich ocen 

1

s

ˆ

ˆ

Q , ...,Q , parametrów Q

1

, ... , Q

s

, by funkcja wiarygodności 

w punkcie (

1

s

ˆ

ˆ

Q , ...,Q ) osiągała wartość największą. 

Estymatory,  których  wartościami  są  oceny  parametrów  Q

1

,  ...  ,Q

s

  uzyskiwanymi  metodą 

największej wiarygodności nazywamy estymatorami największej wiarygodności (ENW). 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

18 

Interpretacja 
MNW opiera się na następującej intuicji: skoro otrzymano realizację próby (x

1

, ... , x

n

), to musiała 

ona  być  bardziej  wiarygodna  od  innych  realizacji,  tzn.  w  przypadku  cechy  skokowej 
prawdopodobieństwo  uzyskania  takiej  realizacji  powinno  być  największe,  natomiast  
w przypadku cechy ciągłej gęstość próby dla otrzymanej realizacji powinna być największa. 
ENW  mają  rozkłady  asymptotycznie  normalne  i  są  estymatorami  zgodnymi  oraz  asymptotycznie 
nieobciąŜonymi i asymptotycznie najefektywniejszymi ( przy dość ogólnych załoŜeniach). 
Przykład 15.2 
Wyznaczymy metodą największej wiarogodności na podstawie próby 

1

2

n

(x , x ,..., x ) estymator 

wartości oczekiwanej cechy X o rozkładzie N(m,σ)  
Uwzględniając, Ŝe gęstość rozkładu normalnego ma postać 

2

2

(x m)

2

1

f (x)

e

2

−

−

σ

=

σ

π

 

otrzymuje się funkcję wiarogodności w postaci 

n

2

2

2

1

n

i

2

2

2

i 1

1

n

(x m)

(x

m)

(x m)

2

2

2

1

1

1

L(m)

e

...

e

e

2

2

2

=

−

−

−

−

−

−

σ

σ

σ

∑





=

= 



σ

π

σ

π

σ

π





 

Przy poszukiwaniu maksimum funkcji L(m) wygodniej posługiwać się logarytmem tej funkcji, 
gdyŜ łatwiej jest znaleźć maksimum lnL(m), aniŜeli maksimum L(m), a obie funkcja L(m) i ln L(m) 
przyjmują maksimum w tym samym punkcie, co funkcja, a na ogół. 
Logarytm funkcji L(m) jest równy 

n

2

i

2

i 1

1

1

1

ln L(m) n ln

n ln

(x

m)

2

2

=

=

+

−

−

σ

σ

π

∑

 

Po zróŜniczkowaniu względem parametru m otrzymujemy 

n

n

i

i

2

2

2

i 1

i 1

d ln L(m)

1

1

1

(x

m)

x

n m

dm

=

=

= −

−

=

−

⋅

σ

σ

σ

∑

∑

 

Po przyrównaniu pochodnej do zera otrzymujemy 

n

i

2

2

i 1

1

1

ˆ

x

n m 0

=

−

⋅

=

σ

σ

∑

 

skąd 

n

i

i 1

1

ˆ

m

x

n

=

=

∑

 

Zatem estymator wartości oczekiwanej cechy X o rozkładzie N(m,σ) jest równy średniej 
arytmetycznej elementów próby.  
Druga pochodna jest równa 

2

n

i

2

2

2

2

i 1

d

d d ln L(m)

d

1

1

1

ln L(m)

x

n m

n 0

dm

dt

dm

dt

=





=

=

−

⋅

= −

<





σ

σ

σ





∑

 

czyli  ˆm zapewnia maksimum funkcji L(m) 
 
Kolejne przykłady wyznaczania estymatorów metoda największej wiarogogodności zamieszczono 
w punkcie 21.3. części VI Wybrane twierdzenia wraz z dowodami: 

•

  Estymator parametru p rozkładu zero-jedynkowego. 

•

  Estymator parametru Θ rozkładu wykładniczego. 

•

  Estymator parametru λ rozkładu Poissona. 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

19 

15.2.5. Zestawienie estymatorów parametrów rozkładu zmiennej losowej i ich własności 

Tabela 15.2. Zestawienie estymatorów 

Własności estymatora 

Parametr 

Estymator 

Zgodny 

NieobciąŜony 

Najefektywniejszy 

Wartość 

oczekiwana m 

rozkładu 

normalnego 

n

n

k

k=1

1

X =

X

n

∑

 

TAK 

TAK 

TAK 

(

)

n

2

2
n

i

n

i=1

1

S =

X -X

n

∑

 

TAK 

Asymptotycznie 

nieobciąŜony 

Brak oceny

11

 

(

)

n

2

02
n

i

i=1

1

S =

X -m

n

∑

 

TAK 

TAK 

TAK 

Wariancja σ

2

 

rozkładu 

normalnego 

(

)

n

2

2
n

i

n

i=1

1

ˆS =

X -X

n-1

∑

 

TAK 

TAK 

Asymptotycznie 

najefektywniejszy 

0
n

S

,

n

ˆS ,

n

S  

 

TAK 

Asymptotycznie 

nieobciąŜone 

Asymptotycznie 

najefektywniejsze 

(

)

n

max

min

n

U = X

-X

d  

X

max

 – największy 

element w próbie 

X

min

 – najmniejszy 

element w próbie 

d

n

 – współczynnik 

liczbowy, tak 

dobrany, by estymator 

był nieobciąŜony 

TAK 

TAK 

DuŜa efektywność 

dla małych prób 

Odchylenie 

standardowe 

n

n

k

k=1

1

U =

π

/2

X -m

n

∑

 

TAK 

TAK 

Efektywność  

1/(π-2) 

Parametr λ 

rozkładu 

Poissona 

n

n

k

k=1

1

X =

X

n

∑

 

TAK 

TAK 

TAK 

Parametr p 

rozkładu zero-

jedynkowego 

Y

n

/n, gdzie Y

n

 

oznacza liczbę 

jedynek  

w próbie 

TAK 

TAK 

TAK 

 

 

                                                 

11

  Statystyka  jest  estymatorem  asymptotycznie  najefektywniejszym  wariancji  rozkładu  normalnego,  ale  poniewaŜ 

statystyka ta nie jest estymatorem nieobciąŜonym, więc nie moŜe być estymatorem najefektywniejszym i nie moŜna 
mówić o efektywności tego estymatora. 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

20 

15.3. Estymacja przedziałowa 

15.3.1. Uwagi wstępne 

Oszacowanie przedziałowe nieznanego parametru polega na wyznaczeniu przedziału ufności. 

X – cecha populacji, Q – parametr rozkładu cechy X, 1 - α - poziom ufności  ( 0< α <1). 

Jeśli istnieją dwie statystyki 

*

**

n

n

U , U  takie, Ŝe  

*

**

n

n

P(U

Q U )=1-

≤

≤

α   to przedział losowy 

 

 

                                  

*

**

n

n

<U ; U >

12

                                                               (15.1) 

nazywamy przedziałem ufności parametru Q na poziomie ufności 1 - α. 

Jeśli na podstawie próby obliczymy wartości 

*

**

n

n

u , u  statystyk 

*

**

n

n

U , U

, to otrzymujemy liczbowy 

przedział  

                                                              

*

**

n

n

u ; u

<

>                                                               (15.2) 

będący wartością (realizacją) przedziału (15.1). Parametr Q moŜe naleŜeć do przedziału (15.2) lub 
nie  naleŜeć.  Jeśli  jednak  poziom  ufności  1  -  α  jest  bliski  jedności,  to  bardzo  rzadko  będziemy 
otrzymywać liczbowe przedziały ufności (15.2) do których parametr Q nie naleŜy. 
Granice  przedziału  ufności  są  zmiennymi  losowymi.  Zatem  dla  róŜnych  realizacji  próby 
otrzymujemy na ogół róŜne realizacje przedziałów ufności. Gdybyśmy oszacowanie przedziałowe 
powtórzyli wiele razy, to częstość realizacji, do których szacowany parametr naleŜy byłaby bliska 
poziomowi  ufności  i  tak  np.  jeśli  próbę  powtórzono  100  razy  i  poziom  ufności  przyjęto  0,99,  to 
częstość  tych  realizacji,  do  których  parametr  naleŜy  byłaby  bliska  0,99,  a  więc  średnio  tylko  do 
jednej ze 100 realizacji szacowany parametr nie będzie naleŜał.  

Błąd bezwzględny. Błąd względny 

Jeśli realizacja (15.2) ma postać 

n

n

<u - ε; u + ε> , to liczbę ε nazywamy błędem bezwzględnym, zaś 

liczbę 

n

ε

δ

=

u

 błędem względnym oszacowania parametru na poziomie istotności 1 - α. 

Na poniŜszym rysunku przedstawiono kilka z moŜliwych realizacji przedziałów ufności dla 
wartości oczekiwanej. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 15.4. Ilustracja szacowania m za pomocą przedziałów ufności 

Niektóre  z  nich  pokrywają  prawdziwą  wartość  parametru  m,  a  niektóre  nie.  Sumarycznie,  tzn. 
odnosząc  się  do  wszystkich  realizacji  przedziałów  ufności  otrzymywanych  tą  metodą  naleŜy 
stwierdzić, Ŝe z częstością bliską 1-α pokrywają prawdziwą wartość parametru. 

                                                 

12

 

RozwaŜa się takŜe jednostronne przedziały ufności postaci (-∞; U

n

> lub <U

n

;-∞).

 

m 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

21 

15.3.2. Wyznaczenie przedziału ufności dla wartości oczekiwanej rozkładu normalnego 

Dla zilustrowania sposobu postępowania przy określeniu przedziału ufności wyznaczymy go dla 
wartości oczekiwanej rozkładu normalnego w dwóch przypadkach: przy znanej i nieznanej 
wariancji. 
Znana wariancja. 
Cecha X ma rozkład normalny N(m,σ), σ jest znane. 
Do budowy przedziału ufności na poziomie 1 – α wybieramy statystykę do oszacowania wartości 
oczekiwanej  w  postaci  średniej  arytmetycznej  próby 

n

X

,  która  jak  wiadomo  (21-3.1)  jest 

estymatorem najefektywniejszym. Jak wiadomo

13

, średnia arytmetyczna ma rozkład 

n

X : N(m,

)

n

σ  

zaleŜny od wartości oczekiwanej m.                         
Standaryzujemy 

n

X , tzn. przekształcamy ją w statystykę 

n

U    

n

n

X

m

U

n

−

=

σ

 

Statystyka U

n

  ma rozkład N(0,1)

14

 

.

 

Wyznaczamy przedział liczbowy 

u , u

α

α

< −

>  tak aby 

n

X

m

P[ u

u ] 1

n

α

α

−

−

≤

≤

= − α

σ

                                (15-3.2) 

gdzie u

α

 

zaleŜy od poziomu ufności 1 - α. 

 

 
Rozwiązujemy nierówność pod znakiem prawdopodobieństwa względem m 

n

u

X

m u

n

n

α

α

σ

σ

−

≤

−

≤

 

n

n

X

u

m

X

u

n

n

α

α

σ

σ

−

−

≤ −

≤ −

+

 

n

n

X

u

m X

u

n

n

α

α

σ

σ

+

≥

≥

−

 

n

n

X

u

m X

u

n

n

α

α

σ

σ

−

≤

≤

+

                                        (15-3.3) 

ZaleŜność (15-3.3 ) określa szukany przedział ufności, spełnia on warunek  

n

n

P(X

u

m X

u

) 1

n

n

α

α

σ

σ

−

≤

≤

+

= − α                              (15-3.4) 

Dla jego określenia naleŜy jeszcze wyznaczyć u

α

. Uwzględniając (3.6-2) i rozkład normalny U

n  

n

n

n

P( u

U

u ) P(U

u ) P(U

u )

(u )

( u )

α

α

α

α

α

α

−

≤

≤

=

≤

−

≤ −

= φ

− φ −

 

qdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0,1). 

PoniewaŜ  ( u ) 1

(u )

α

α

Φ −

= − Φ

 - patrz poniŜszy rysunek 

                                                 

13

 Podpunkt 19.1.1 części VI Wybrane twierdzenia z dowodami 

14

 

Podpunkt 20.5.5 części VI Wybrane twierdzenia z dowodami 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

22 

 

 

Rysunek 15.14a. Wyznaczanie granicy przedziału ufności 

to 

n

P( u

U

u )

(u ) 1

(u ) 2 (u ) 1

α

α

α

α

α

−

≤

≤

= φ

− + φ

= φ

−  

Uwzględniając (15-3.2) mamy  równanie do wyznaczenia u

α

 

2 (u ) 1

α

φ

− =1-α 

Zatem u

α

 wyznacza się z zaleŜności 

(u ) 1

2

α

α

φ

= −

                                                   (15-3.5) 

Uwagi dotyczące przedziału ufności (15.3) 

1.

  PołoŜenie końców przedziału jest losowe (bo średnia z próby ma wartość zaleŜną od realizacji 

próby). 

2.

  Długość przedziału jest stała. 

3.

  Długość przedziału zaleŜy od poziomu ufności 1–α (bo 

α

u   zaleŜy  od  α),  im  większy    poziom 

ufności, tym dłuŜszy przedział ufności – patrz rys. 15.3. 

4.

  Długość  przedziału  jest  odwrotnie  proporcjonalna  do  pierwiastka  liczebności  próby,  zatem  ze 

wzrostem  liczebności  próby  zwiększa  się  dokładność  oszacowania,  jednak  nadmierne 
powiększanie próby nie jest korzystne, bowiem powoduje małe zwiększanie się dokładności. 

5.

  Długość  przedziału  ufności  zaleŜy  od  odchylenia  standardowego  σ  cechy  X.  Jeśli  X  oznacza 

wynik  pomiaru,  to  σ  oznacza  dokładność  pomiaru,  a  więc  zwiększanie  dokładności  pomiarów 
powoduje zmniejszenie błędu oszacowania. 

Z  powyŜszych  uwag  wynika,  Ŝe  potrzebny  jest  kompromis  między  zaufaniem  do  oszacowania 
(poziomem  ufności),  a  błędem  oszacowania,  bowiem  zwiększenie  ufności  powoduje  zwiększenie 
błędu, zmniejszenie błędu powoduje zmniejszenie ufności oszacowania.  
Stosowanie  przedziału  ufności  (15.3)  wymaga  spełnienia  załoŜenia,  Ŝe  odchylenie  standardowe  σ 
jest znane. ZałoŜenie to w zagadnieniach praktycznych jest niezmiernie rzadko spełnione. 
Nieznana wariancja 
Cecha X ma rozkład normalny N(m,σ), σ jest znane.. 
Konstrukcja  przedziału  ufności  dla  wartości  oczekiwanej  rozkładu  normalnego,  gdy  σ    nie  jest 
znane  wymaga  innego,  niŜ  poprzednio  przekształcenia  średniej  z  próby,  mianowicie 
wykorzystujemy twierdzenie, Ŝe statystyka 

n

n

n

X -m

U =

n-1

S

 

ma rozkład Studenta z n-1 stopniami swobody

15

. Dalej postępujemy podobnie jak poprzednio.  

                                                 

15

 

Podpunkt 21.1.2 części VI Wybrane twierdzenia z dowodami

 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

23 

Wyznaczamy liczbę 

α

u  tak, by  

α

n

α

P(-u

U

u )=1- α

≤

≤

 

co jest równowaŜne wyraŜeniu 

n

α

P( U

u )=α

≥

 

Liczbę 

α

u  spełniającą powyŜszy związek odczytujemy z tablic rozkładu Studenta z n-1 stopniami 

swobody  i  poziomu  prawdopodobieństwa  α  (pkt  6  części  VII  „Tablice  statystyczne”)  lub 
znajdujemy ją przy pomocy programu komputerowego. Mamy 

n

α

α

n

X -m

P(-u

n-1 u )=1-α

S

≤

≤

 

Rozwiązując względem m występującą w powyŜszym związku nierówność otrzymujemy przedział 
ufności 

α

n

α

n

n

n

u S

u S

<X -

;X +

n-1

n-1

>  

przedział ufności dla wartości oczekiwanej rozkładu normalnego

 

α

n

u S

ε

=

n-1

  

błąd bezwzględny (połowa długości przedziału ufności)

 

Tym  razem  nie  tylko  końce  przedziału  ufności  są  losowe,  takŜe  losowa  jest  długość  przedziału 
ufności. 
Próba o duŜej liczności 
RozwaŜymy  jeszcze  jedną  sytuację.  Nie  mamy  informacji,  Ŝe  rozkład  cechy  jest  normalny,  za  to 
wiemy,  Ŝe  próba  jest  liczna.  Wówczas  statystyka 

n

X

  ma  rozkład  w  przybliŜeniu  normalny, 

σ

N m,

n













).  Postępując,  jak  przy  konstrukcji  przedziału  (15.3)  i  zastępując  σ  odchyleniem 

standardowym z próby ( o ile σ nie jest znane) otrzymujemy przedział ufności 

α

n

α

n

n

n

u S

u S

<X -

;X +

n

n

>   

- przedział ufności dla wartości oczekiwanej dowolnego rozkładu.

 

Podsumowanie 
Znalezione  powyŜej trzy  przedziały  ufności  dla  wartości  oczekiwanej  oraz  przedziały  ufności  dla 
innych  parametrów  są  przedstawione  w  tabeli  15.3.  Uogólniając  powyŜszej  przedstawione  
postępowanie naleŜy stwierdzić, Ŝe konstrukcja przedziału ufności dla parametru Q polega na: 
1.

  Wybraniu statystyki o rozkładzie zaleŜnym od Q, najlepiej by statystyka ta była estymatorem 

najefektywniejszym tego parametru lub estymatorem o wysokiej efektywności. 

2.

  Przekształceniu wybranej statystyki w statystykę 

n

U   wyraŜoną  wzorem,  w  którym  występuje 

Q. Rozkład 

n

U powinien być znany i zaleŜeć tylko od Q. 

3.

  Wyznaczeniu przedziału liczbowego 

1

2

<u ;u > , tak by 

1

n

2

P(u

U

u )=1-α

≤

≤

. 

4.

  Rozwiązaniu względem Q nierówności 

1

n

2

u

U

u

≤

≤

. 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

24

15.3.3. Tabela przedziałów ufności

 

Tabela 15.3. Zestawienie przedziałów ufności 

Parametr 

Rozkład cechy 

Przedział ufności 

Wyznaczanie liczby  u

α

 

Nr 

Wartość 

oczekiwana 

m 

Normalny 

N(m,σ), 

σ - jest znane 

u

u

X

; X

n

n

α

α

σ

σ

<

−

+

>

 

 

2

α

1

)

u

(

−

=

Φ

α

 

Φ -dystrybuanta rozkładu N(0,1) 

PU-1 

Wartość 

oczekiwana 

m 

Normalny 

N(m,σ), 

σ - nie jest znane 

Su

Su

X

; X

n 1

n 1

α

α

<

−

+

>

−

−

 

α

)

u

|

T

(|

P

1

n

=

≥

α

−

 

T

n-1

 zmienna losowa o rozkładzie Studenta z n-1 

stopniami swobody 

PU-2 

Wartość 

oczekiwana 

m 

Dowolny 

Liczna próba 

n ≥ 100 

Su

Su

X

; X

n

n

α

α

<

−

+

>  

2

α

1

)

u

(

−

=

Φ

α

 

Φ -dystrybuanta  N(0,1) 

PU-3 

Wariancja σ

2

  Normalny N(m,σ) 

2

2

1

2

nS nS

;

u

u

 

2

1

)

u

Y

(

P

2

)

u

Y

(

P

2

1

n

1

1

n

α

−

=

≥

α

=

≥

−

−

 

Y

n-1 

ma rozkład χ

2 

z n – 1 stopniami swobody 

PU-4 

Odchylenie 

standardowe 

σ 

Normalny 

N(m,σ), 

2

2

1

2

nS

nS

;

u

u

 

2

1

)

u

Y

(

P

2

)

u

Y

(

P

2

1

n

1

1

n

α

−

=

≥

α

=

≥

−

−

 

Y

n-1

 ma rozkład χ

2

 z n – 1 stopniami swobody 

PU-5 

Wskaźnik 

struktury p 

Rozkład zero- 

jedynkowy 

p

1

)

0

X

(

P

,

p

)

1

X

(

P

−

=

=

=

=

 

liczna próba 

n ≥ 100 

W(1 W)

W(1 W)

W u

; W u

n

n

α

α

−

−

−

+

 

W - wskaźnik struktury w próbie  
W=Y

n

/n Y

n

 – licznba jedynek w próbie 

2

α

1

)

u

(

−

=

Φ

α

 

Φ -dystrybuanta  rozkładu normalnego N(0,1) 

PU-6 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

25 

Przykład 15.3  
Badano  ceny  drukarek  Canon  BC250  w  40  wylosowanych  punktach  sprzedaŜy.  Otrzymano,  Ŝe 
ś

rednia  cena  drukarki  wynosi  358,37.  Zakładając,  Ŝe  cena  drukarki  w  całej  populacji  ma  rozkład 

normalny  N(m,  σ)  na  poziomie  ufności  1-α  =  0,95  wyznaczymy  na  podstawie  40  elementowej 
próby przedział ufności dla średniej ceny drukarki przyjmując, Ŝe odchylenie standardowe populacji 
jest równe 20. 

Rozwiązanie.  

Zastosujemy  przedział  ufności  PU-1: 

α

α

σ

u

σ

u

<X-

; X+

n

n

> .  PoniewaŜ  1-α  =  0,95,  czyli  α  =  0.05  

i 

α

2

 = 0.025. Równanie do wyznaczenia u

α

 ma postać 

α

α

Φ

(u )=1-

2

= 0,975, stąd u

α

=1,96, więc błąd 

bezwzględny, czyli połowa długości przedziału ufności 

α

σ

u

ε

=

n

 

20 1,96

40

⋅

=

 = 6,198. 

Ś

rednia arytmetyczna ceny jest równa  x = 358,37. 

Zatem  szukanym  przedziałem  ufności  jest  przedział  <358,37–6,2;358,37+6,2  =  <352,17;364,57> 

Błąd względny δ= 

ε

6,2

100%=

100%

x

358,37

= 1,55%. 

Długość  połowy  przedziału  ufności  równą 

α

σ

u

n

ε =

zwraca  funkcja  UFNOŚĆ  arkusza  Excel  na 

podstawie odchylenia standardowego σ i liczebności próby.  

 

 

Zwracamy uwagę, Ŝe otrzymany wynik jest identyczny jak obliczony powyŜej.

 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

26 

Przykład 15.4 
Dla danych z przykładu 15.3 obliczymy błędy bezwzględny i względny oszacowania parametru m 
na poziomie ufności 1 - α = 0,99. 

Rozwiązanie  

Mamy 

α

α

Φ

(u )=1-

2

= 0,995, stąd 

α

u =2,576 , więc błąd bezwzględny, czyli połowa długości 

przedziału ufności 

α

σ

u

ε

 =

n

40

576

,

2

20 ⋅

=

=8,15, błąd względny δ = 

ε

8,15

=

=2,27%

x 358,37

 

 

Widzimy,  Ŝe  powiększanie  poziomu  ufności  (zaufania  do  otrzymanego  oszacowania)  powoduje 
powiększenie  obu  błędów  bezwzględnego  i  względnego.  Dlatego  w  praktyce  nie  moŜna 
przyjmować  zbyt  duŜych  poziomów  ufności,  gdyŜ  prowadzi  to  do  duŜych  błędów  oszacowania 
(przedziały ufności mają wtedy duŜą długość).  
Niektórzy praktycy przyjmują, Ŝe oszacowanie jest:  

•

  Bardzo dobre, gdy błąd względny jest równy najwyŜej 2%; 

•

  Dobre, gdy błąd względny jest zawarty między 2% i 5%; 

•

  Dostateczne, gdy błąd względny jest zawarty między 5% i 10%; 

•

  Niedostateczne, gdy błąd względny jest większy od 10%.  

Przykład 15.5 
Na poziomie 0,95 obliczmy przedział ufności dla średniej ceny monitorów 17 calowych na 
podstawie 12 elementowej próby: 733, 685, 761, 812, 708, 735, 639, 730, 703, 694, 714, 664 
zakładając, Ŝe cena ma rozkład normalny.   
Rozwiązanie 

Stosujemy przedział ufności PU-2  

α

α

Su

Su

<X-

; X+

n-1

n-1

>  

Obliczamy:  x = 714,83 oraz s 

10

2

i

i 1

1

(x

714,83)

12

=

−

∑

=43,19 

Liczba 

α

u   spełnia  związek

n-1

α

P(|T | u )=α

≥

,  który  dla  danych  zadania  przybiera  postać 

11

α

P(|T |   u )  = 0,01.

≥

 Z tablicy rozkładu Studenta dla 11 stopni swobody i poziomu prawdopodo-

bieństwa  0,05  (pkt  6  części  VII  „Tablice  statystyczne”)  odczytujemy,  Ŝe 

α

u =  2,201,  więc 

α

Su

43,19 2,201 95,064

ε

=

=

=

=28,66

3,317

n-1

11

⋅

. 

Zatem 

przedział 

ufności 

jest 

równy 

8, 6 0, 23 ; 8, 6 0, 23     8,37 ; 8, 63

<

−

+

> = <

>  

Długość  połowy  przedziału  ufności  równą 

α

ˆs u

45,11 2, 201 99, 287

'

3, 464

n

12

⋅

ε =

=

=

=  28,66  zwraca 

narzędzie Statystyka opisowa modułu Analiza danych pakietu Excel 

Kolumna1 

Ś

rednia 

714,8333333 

Błąd standardowy 

13,02261048 

Mediana 

711 

Tryb 

#N/D! 

Odchylenie standardowe 

45,11164601 

Wariancja próbki 

2035,060606 

Poziom ufności (95,0%) 

28,6625724 

 

Zwraca się uwagę, Ŝe otrzymany wynik jest identyczny jak obliczony powyŜej.

 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

27 

Przykład 15.6 
Jako  miarę  dokładności  przyrządu  przyjęto  odchylenie  standardowe  pomiarów  dokonanych  tym 
przyrządem.  Zakładamy,  Ŝe  pomiary  pochodzą  z  populacji  normalnej  N(m,σ).  Dokonano  20 
pomiarów i otrzymano wariancję z próby 6,5. Na poziomie ufności 0,9 oszacuj przedziałem ufności 
wariancję i odchylenie standardowe wszystkich moŜliwych pomiarów. 
Rozwiązanie 

Dane n = 20, s

2

 =6,5, 1- α = 0, 9, rozkład cechy populacji N(m, σ). 

Stosujemy przedziały ufności PU-4 i PU-5 

2

2

1

2

nS nS

;

u

u

 , 

2

2

1

2

nS

nS

;

u

u

 

 Liczby u

1

 i  u

2 

 spełniają  związki 

n-1

1

n-1

2

α

P(Y

u )=

2

α

P(Y

u )=1-

2

≥

≥

 

w których Y

n-1 

oznacza zmienną losową o rozkładzie χ

2

 z n-1 stopniami swobody.  

19

1

19

2

0,1

P(Y

u )=

=0,05

2

0,1

P(Y

u )=1-

=0,95

2

≥

≥

 

Z tablicy rozkładu χ

2

 (pkt 5 części VII „Tablice statystyczne”) odczytujemy, Ŝe u

1

 = 30,1 u

2

 = 10,1 

Przedział ufności dla wariancji 

20 6,5 20 6,5

;

4,3;12,9

30,1

10,1

⋅

⋅

=<

>  

Przedział ufności dla odchylenia standardowego 

4,3 ; 12,9

2,1 ; 3,6

<

> = <

>  

 

Przykład 15.7 
Na  400  obrotów  anteny  radarowej  obiekt  znajdujący  się  w  obszarze  obserwacji  radaru  został 
wykryty 350 razy. Literą p oznaczamy prawdopodobieństwo wykrycia obiektu przy jednym obrocie 
anteny (niezawodność radaru). Znajdziemy przedział ufności dla p na poziomie ufności 0,95. 

Rozwiązanie 

Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartość 1, gdy w jednym obrocie anteny obiekt został 
wykryty, zaś wartość 0, gdy nie został wykryty. Zmienna losowa X ma rozkład zerojedynkowy z 
parametrem p. Prawdopodobieństwo p oszacujemy przedziałem ufności PU-6 

α

α

W(1-W)

W(1-W)

W-u

; W+u

n

n

 

gdzie  w  jest  wskaźnikiem  struktury  w  próbie  (oszacowaniem  wskaźnika  struktury  p  w  populacji) 

k

w =

n

, k - liczba jedynek w próbie. 

Dla danych w zadaniu mamy 

%

5

,

87

875

,

0

400

350

n

k

w

=

=

=

=

 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

28 

α

α

α

0,05

Φ

(u )=1- =1-

=0,975

u =1,96

2

2

⇒

 

α

w(1-w)

0,875 0,125

ε

 = u

=1,96

=3,2%

n

400

<87,5%-3,2% ; 87,5%+3,2%>= <84,2% ; 90,7%>

⋅

 

Odp. Niezawodność radaru z ufnością 0,95 jest zawarta między 84,2% a 90,7%. 

 

 15.3.4. Wyznaczanie wielkości próby 

Zagadnienie  
Wyznaczyć  liczebność  próby  n  tak  by  błąd  bezwzględny  oszacowania  parametru  przedziałem 
ufności wynosił ε , przy poziomie ufności 1 - α . 
Zasady wyznaczania wielkości próby podano w poniŜej tabeli. 

Tabela 15.4. Wyznaczanie liczebności próby n przy poziomie ufności 1 - α 

ZałoŜenia 

Etapy wyznaczania liczebności próby 

Nr 

Cecha X ma 

rozkład 

normalny  

N(m, σ), σ jest 

znana

16

 

1) Wyznaczamy liczbę u

α

 : 

α

α

Φ

(u )=1-

2

 

2) Obliczamy 

2

u

n

α





σ

= 



ε





 

LP-1 

Cecha X ma 

rozkład 

normalny  

N(m, σ), σ nie 

jest znana 

Rozkład cechy 

X nie jest znany. 

Próba jest liczna 

1) Pobieramy próbę o małej liczebności n

0

 (wstępną próbę) i szacujemy 

odchylenie standardowe σ za pomocą odchylenia standardowego s

0 

z tej próby 

2) Obliczamy 

2

0

α

s  u

n =

1

ε





+









 

3)  Jeśli  n-n

0

  >  0,  to  naleŜy  powiększyć  próbę  o  n-n

0

  elementów.  

Jeśli  
n – n

0

  ≤  0, to poprzestajemy na pobraniu wstępnej próby. 

LP-2 

Cecha X ma 

rozkład 

zerojedynkowy. 

Próba jest 

liczna. 

Dokładność 

oszacowania 

dokładnością ε 

17

 

1) Wyznaczamy liczbę u

α

 : 

α

α

Φ

(u )=1-

2

 

2) Obliczamy 

2
α

2

u

n = 

k

ε

 gdzie 

w oszacowanie wskaźnika na podstawie wstępnej próby, 

w(1 w)

w 0,5 

k

0, 25

nie mamy Ŝadnych informacji o w

0, 21

jesli wiemy, Ŝe wadliwość nie moŜe przekroczyć30%

−



−



≤



=









 

LP-3 

Uwaga: Przy obliczaniu n zawsze przyjmujemy zaokrąglenie w górę 
 

                                                 

16

 Patrz przedział ufności PU-1 

17

 Patrz przedział ufności PU-6 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

29 

Przykład 15.8 
W  doświadczeniu  chemicznym  bada  się  czas  trwania  reakcji  chemicznej.  Czas  ten  modelujemy 
zmienną losową X o rozkładzie normalnym N(m, 5 sek). 
Ile  razy  naleŜy  powtórzyć  to  doświadczenie,  by  oszacować  przedziałem  ufności  średni  czas  m 
trwania tej reakcji na poziomie ufności 0,95 tak, by błąd bezwzględny wynosił 2 s? 

Rozwiązanie 

Korzystamy z zasady LP-1 podanej w tabeli 15.3 

2

α

σ

 u

n =

ε













 

α

0, 05

(u ) 1

1

0,975

2

2

α

Φ

= −

= −

=

  ⇒   u

α

=1,96, 

24

2

5

96

,

1

n

2

≈













⋅

=

 

Odp. NaleŜy doświadczenie powtórzyć 24 razy. 
 
Przykład 15.9  
Cecha X populacji ma rozkład normalny o nieznanych parametrach. W celu oszacowania wartości 
oczekiwanej  przedziałem  ufności  o  długości  1,  na  poziomie  ufności  0,96,  pobrano  wstępną  
5- elementową próbę i otrzymano odchylenie standardowe s

0

=0,8. Jak wielką próbę naleŜy pobrać? 

Rozwiązanie 

Korzystamy z zasady LP-2 podanej w tabeli 15.3 

0, 04

(u ) 1

1

0,98

u

2,05

2

2

α

α

α

Φ

= −

= −

=

⇒

=

 

2

0

s  u

n

1

α





=

+





ε





= 

2

0,8 2, 05

1 12

0,5

⋅





+ ≈









 

Odp. NaleŜy pobrać próbę 12 elementową, czyli naleŜy dobrać jeszcze 7 elementów. 
 
Przykład 15.10 
Cecha X populacji ma rozkład normalny N(m, σ), σ nie jest znana. Jak wielką próbę naleŜy pobrać, 
by na poziomie ufności 0, 98 oszacować wartość oczekiwaną m z błędem, co najwyŜej równym 0,5, 
gdy na podstawie wstępnej próby 50 elementowej otrzymano odchylenie standardowe 3,0? 
Rozwiązanie 

Korzystamy z zasady LP-2 podanej w tabeli 15.3 

1 – α = 0, 98  ε = 0,5 

0

n

50

=

  

0

s

3, 0

=

 

α

0, 04

(u ) 1

1

0,98

2

2

α

Φ

= −

= −

=

  ⇒  u

α

 

= 2,05 

2

0

s  u

n

1

α





=

+





ε





 

2

3, 0 2, 05

1 153

0,5

⋅





=

+ ≈









 

Odp. NaleŜy wziąć próbę 153 elementową, naleŜy więc jeszcze dobrać 103 elementy. 
 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

30 

Przykład 15.11 
Mamy  oszacować  przedziałem  ufności  wadliwość  p  partii  towaru  na  poziomie  ufności  
1- α = 0,96, z dokładnością ε = 0,05. Jak wielka powinna być próba? 
Rozwiązanie  

α

α

0,04

Φ

(u )=1- =1-

=0,98

2

2

  ⇒  u

α

 

= 2,05 

2
α

2

w(1-w)

n = u

ε

 

Jeśli nie mamy Ŝadnych informacji o wadliwości w, to w miejsce iloczynu w(1-w) podstawiamy ¼ 
(największą wartość iloczynu). 

2

2

1/4

n = 2,05

421

0,05

≈

 

Jeśli  natomiast  wiemy,  Ŝe  wadliwość  nie  moŜe  przekroczyć  30%,  to  iloczyn  w  (1-w)  nie  moŜe 

przekroczyć liczby 0,3 

⋅

0,7 = 0,21, zatem 

2

2

0,21

n=2,05

353

0,05

≈

 
 

15.3.5. Wykorzystanie arkusza Excel 

Lp  Zakres analizy statystycznej 

Funkcje 

statystyczne 

Narzędzia statystyczne 

1.

 

Estymacja długości połowy przedziału 
ufności dla wartości oczekiwanej przy 
znanej wariancji 

UFNOŚĆ 

 

2.

 

Estymacja długości połowy przedziału 
ufności dla wartości oczekiwanej przy 
nieznanej wariancji 

 

STATYSTYKA 

OPISOWA 

 

 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

31 

16. WERYFIKACJA HIPOTEZ  

16.1 Wprowadzenie 

16.1.1. Uwagi wstępne  

Teoria weryfikacji hipotez zajmuje się metodami sprawdzania hipotez statystycznych.  

Hipoteza  statystyczna

  to  kaŜde  przypuszczenie  dotyczące  nieznanego  rozkładu  badanej  cechy 

(cech). Hipoteza dotycząca jedynie wartości parametrów cechy nazywa się hipotezą parametryczną, 
natomiast  hipoteza  precyzująca,  do  jakiego  typu  rozkładów  naleŜy  rozkład  cechy  populacji,  nosi 
nazwę hipotezy nieparametrycznej. 
Przykład 16.1 
Wiemy, Ŝe cecha X populacji ma rozkład N(m, 3). Przypuszczenie, Ŝe „wartość oczekiwana cechy 
X jest równa 5” jest hipotezą parametryczną. 
ZałóŜmy  teraz,  Ŝe  nie  mamy  Ŝadnej  informacji  o  rozkładzie  cechy  X  populacji.  Przypuszczenie 
„rozkład cechy X jest normalny” jest hipotezą nieparametryczną. 
 
Test statystyczny jest to metoda weryfikacji (sprawdzania) hipotez statystycznych, przy czym 

•

 

Test parametryczny jest to test do weryfikacji hipotez parametrycznych. 

•

 

Test nieparametryczny jest to test do weryfikacji hipotez nieparametrycznych. 

Zajmiemy się najpierw hipotezami i testami parametrycznymi dla jednej i dwóch prób.  

Rozpatrzmy  cechę  X  populacji,  o  rozkładzie  zaleŜnym  od  parametru  Q 

∈

 

Ω

,  gdzie 

Ω

  jest 

podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, zwanym przestrzenią parametru.  
O parametrze Q wysuwamy dwie hipotezy: 

•

  Hipotezę  zerową,  (główną,  sprawdzaną),  Ŝe  parametr  Q  ma  wartość  równą  Q

0

∈

 

Ω

,  co 

zapisujemy H

0

 (Q = Q

0

) i czytamy: hipoteza H zero, Ŝe parametr Q jest równy Q zero. 

•

  Hipotezę alternatywną, Ŝe parametr Q przyjmuje dowolną wartość z przestrzeni parametru róŜną 

od Q

0

, co zapisujemy H

1

 ( Q

∈

 Ω- Q

0

) 

W zagadnieniach tu rozwaŜanych hipoteza alternatywna będzie miała jedną z czterech poniŜszych 
postaci 
                                           H

1

 (Q ≠ Q

0

),  H

1

 (Q > Q

0

), H

1 

(Q < Q

0

), H

1

 (Q = Q

1

).                 (16.1) 

Przy weryfikacji hipotez podejmujemy jedną z dwu decyzji 

•

  Odrzucić hipotezę zerową i przyjąć alternatywną. 

•

  Przyjąć hipotezę zerową i odrzucić alternatywną. 

PoniewaŜ decyzje przy weryfikacji hipotez podejmujemy na podstawie próby, więc decyzja moŜe 
być błędna mimo iŜ test został wykonany poprawnie. 
Hipoteza  zerowa  odzwierciedla  z  reguły  pytanie,  na  które  naleŜy  uzyskać  odpowiedź. Występują 
równieŜ przypadki, Ŝe taką rolę spełnia hipoteza alternatywna, ale łatwiej jest weryfikować hipotezę 
zerową.  Hipotezę  alternatywną  ustala  się  na  podstawie  przesłanek,  jakimi  dysponuje  się  przed 
pobraniem próby, tzn. postać hipotezy alternatywnej określona jest wiedzą o problemie badawczym 
nie opierającą się o wnioski z analizy prób. Tak więc hipoteza alternatywna wyraŜa skrystalizowane 
a priori przypuszczenie o treści róŜnej od treści hipotezy sprawdzanej. 
Opis testu parametrycznego 
X - cecha populacji, Q – parametr rozkładu cechy X. 
Wysuwamy hipotezy: zerową H

0

 (Q = Q

0

) i alternatywną H

1

, która ma jedną z postaci (16.1).  

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

32 

Postępowanie przy weryfikacji powyŜszych hipotez jest następujące 

1.

  Wybieramy pewną statystykę 

n

U o rozkładzie zaleŜnym od parametru Q oraz pewną liczbę 

α

 z 

przedziału  (0,1)  i  wyznaczamy  podzbiór  K  zbioru  liczb  rzeczywistych  tak  by  spełniony  był 
warunek 

                                                                

n

0

P(U

K/Q=Q ) = α

∈

                                        (16.2) 

czyli by prawdopodobieństwo, iŜ statystyka U

n

 przyjmie wartość ze zbioru K, przy załoŜeniu, Ŝe 

prawdziwa jest hipoteza zerowa było równe 

α

. 

2.

  Pobieramy próbę

18

 i obliczamy wartość u

n

 statystyki  U

n

 

 

3.

  Podejmujemy decyzje   

 

odrzucamy   H

0

 ,   gdy  u

n

∈

K 

                                                                                 (16.3)   

przyjmujemy H

0

,  gdy 

K

u

n

∉

                                                                                   (16.4) 

Wykorzystywaną  statystykę  Un  nazywamy  sprawdzianem,  zbiór  K  –  zbiorem  krytycznym,  
a liczbę 

α

 poziomem istotności. 

Przy weryfikacji hipotez przyjmuje się mały poziom istotności (bliski 0, ale dodatni). 
Uzasadnienie podejmowanych decyzji: 

•

  Decyzja (16.3): Jeśli hipoteza H

0

  (Q  =  Q

0

)  jest  prawdziwa,  to  prawdopodobieństwo  zdarzenia 

U

n

∈

K jest zgodnie z (16.2) równe 

α

, a więc tak małe, Ŝe uwaŜamy, iŜ zajście tego zdarzenia jest 

w  praktyce  niemoŜliwe.  PoniewaŜ  jednak  to  zdarzenie  dla  pobranej  próby  zaszło,  więc 
wnioskujmy, Ŝe załoŜenie, przy którym prawdopodobieństwo tego zdarzenia zostało obliczone 
jest nieprawdziwe. Stąd teŜ odrzucamy H

0

. 

•

  Decyzja (16.4): Jeśli zdarzenie U

n

∈

K, przy załoŜeniu, Ŝe hipoteza H

0

 (Q = Q

0

) jest prawdziwa, 

nie  zaszło,  to  nie  ma  powodu,  by  twierdzić,  Ŝe  H

0 

nie  jest  prawdziwa,  bowiem  nie  ma  nic 

nadzwyczajnego  w  fakcie,  Ŝe  nie  zaszło  zdarzenie  o  małym  prawdopodobieństwie.  Dlatego 
hipotezę  H

0

  przyjmujemy  lub  ostroŜniej:  mówimy,  Ŝe  nie  ma  podstaw  do  odrzucenia  tej 

hipotezy. 

Przy podejmowaniu decyzji moŜna zawsze popełnić jeden z dwu błędów 

•

  Błąd  I  rodzaju  -  błąd  polegający  na  odrzuceniu  hipotezy  zerowej  H

0

,  gdy  ta  hipoteza  jest 

prawdziwa.  Odrzucenie  H

0

,  gdy  jest  ona  prawdziwa  moŜna  jako  zdarzenie  losowe  zapisać 

U

n

∈

K/Q=Q

0

.  Prawdopodobieństwo  tego  zdarzenia,  zgodnie  ze  wzorem  (16.2)  jest  równe 

poziomowi istotności 

α

, zatem prawdopodobieństwo błędu I rodzaju 

n

0

P(U

K/Q = Q )=α

∈

. 

•

  Błąd  II  rodzaju  -  błąd  polegający  na  przyjęciu  hipotezy  zerowej  H

0

,  gdy  ta  hipoteza  jest 

fałszywa. Przypuśćmy, Ŝe hipoteza alternatywna jest postaci H

1

(Q = Q

1

). Wtedy błąd II rodzaju: 

przyjęcie H

0

, gdy ta hipoteza jest fałszywa, jako zdarzenie losowe moŜna zapisać

n

1

U

K/Q=Q

∉

, 

a  prawdopodobieństwo  tego  zdarzenia  oznaczmy  β,  zatem  prawdopodobieństwo  błędu  II 
rodzaju 

n

1

P(U

K/Q=Q )=β

∉

.  

Jak widzimy prawdopodobieństwo błędu I rodzaju jest równe poziomowi istotności α, a więc jest 
znane na podstawie metody weryfikacji, natomiast prawdopodobieństwo błędu II rodzaju wymaga 
obliczenia, co wcale nie musi być łatwe, dlatego często rezygnujemy z jego wyznaczania. 

                                                 

18

 

WyróŜnia się dwa rodzaje prób: niepowiązane i powiązane. JeŜeli wartości określonej cechy mierzone są u róŜnych 

elementów  to  otrzymywane  próby  nazywamy  niepowiązanymi.  Z  kolei  jeŜeli  wartości  cechy  mierzone  sa  u  tych 
samych elementów np. w róŜnych momentach czasu to otrzymywane próby nazywamy powiązanymi.  

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

33 

W zaleŜności od postaci hipotezy alternatywnej przyjmuje się róŜną postać zbioru krytycznego.  
I tak: 

Zbiór krytyczny prawostronny jest to 
zbiór postaci 

2

K

k ; )

=<

∞

. Wzór (16.2) 

przybiera teraz postać 

n

2

0

P(U

k /Q=Q )=α

≥

 

 

 

Rys.  16.1. Prawostronny zbiór krytyczny 

Zbiór krytyczny lewostronny jest to 
zbiór postaci 

1

K (

;k

= −∞

> . Wzór 

(16.2) przybiera teraz postać 

n

1

0

P(U

k /Q=Q )=α

≤

 

Jeśli gęstość statystyki Un / Q=Q

0

 ma 

wykres symetryczny względem osi O

y 

(rozkład normalny, rozkład Studenta), to 
zbiór krytyczny lewostronny moŜna 
zapisać w postaci 

>

−

−∞

=

k

;

(

K

. Wzór 

(16.2) przybiera teraz postać 

α

=

=

≥

)

Q

Q

|

k

U

(

P

0

n

 identyczną jak 

dla zbioru krytycznego prawostronnego. 
 

 
 
 

 

Rys.  16.2. Lewostronny zbiór krytyczny 

Zbiór krytyczny dwustronny jest to zbiór 
postaci

1

2

K (

; k

k ; )

= −∞

> ∪ <

∞

. Zbiór 

ten w przypadku symetrycznego 
względem osi Oy rozkładu statystyki  
U

n

 / Q=Q

0

 przyjmuje postać 

K=(- ;-k> <k; )

∞

∪

∞  

W pierwszym przypadku liczby k

1

 i k

2

 

wyznaczamy z relacji 

n

1

0

P(U

k /Q=Q )=α/2

≤

 

n

2

0

P(U

k /Q = Q )=α/2

≥

   

 

W drugim przypadku liczba k spełnia 
relację 

n

P(|U | k)=α

≥

 

 

 
 
 

 

Rys.  16.3. Dwustronny zbiór krytyczny 

Zbiór  krytyczny  naleŜy  wybrać  tak,  by  przy  ustalonym  prawdopodobieństwie  błędu  I  rodzaju 
(poziomie istotności), prawdopodobieństwo błędu II rodzaju było najmniejsze. 

•

  Jeśli  hipoteza  alternatywna  ma  postać  H

1

  (Q  >  Q

0

),  to  przyjmujemy  zbiór  krytyczny 

prawostronny. 

•

  Jeśli  hipoteza  alternatywna  ma  postać  H

1

  (Q  <  Q

0

),  to  przyjmujemy  zbiór  krytyczny 

lewostronny. 

•

  Jeśli  hipoteza  alternatywna  ma  postać  H

1

  (Q  ≠  Q

0

),  to  przyjmujemy  zbiór  krytyczny 

dwustronny.  

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

34 

16.1.2. Pzykład konstrukcji testu parametrycznego do weryfikacji hipotezy o wartości 
oczekiwanej

 

Badana jest cecha X populacji generalnej ma rozkład normalny N(m,σ), przy czym σ jest znane.   
O wartości oczekiwanej wysuwamy hipotezy: 

•

  zerową  H

0

 (m=m

0

) 

•

  alternatywną  H

1

 (m>m

0

)     

a)

  ZałóŜmy,  Ŝe  hipoteza  zerowa  jest  prawdziwa  i  Ŝe  przyjęto  hipotezę  alternatywną  postaci  

H

1

  (m>m

0

).  Hipotezy  weryfikujemy  na  podstawie  o  próbę 

1

1

2

n

(x , x ,..., x )   przy  poziomie 

istotności α. Wtedy róŜnica 

0

n

m

X

−

 obliczona na podstawie próby powinna przyjąć wartość 

bliską  zeru,  bowiem  statystyka 

n

X   jest  estymatorem  najefektywniejszym  parametru  m. 

Natomiast, gdy róŜnica ta jest duŜa (ze względu na kształt hipotezy alternatywnej powinna być 
dodatnia), to moŜna sądzić, Ŝe hipoteza zerowa jest fałszywa. 
Wygodniej jest posługiwać się postacią standaryzowaną statystyki 

0

n

m

X −

, czyli statystyką  

n

/

m

X

U

0

n

n

σ

−

=

 

Statystyka U

n

/m = m

0

 ma rozkład normalny N(0,1). Mała wartość tej statystyki przemawia za 

przyjęciem  hipotezy  zerowej,  natomiast  duŜa  wartość  za  przyjęciem  hipotezy  alternatywnej. 
Dlatego  zbiór  krytyczny  przyjmujemy  prawostronny  (potwierdza  się  zasada  wyboru  zbioru 
krytycznego  K  =  <k  ;  ∞))  na  danym  poziomie  istotności  α.  Liczba  k  spełnia  związek  
P(U

n

 ≥ k/m = m

0

). Stąd 

α

=

Φ

−

)

k

(

1

, czyli  Φ(k)=1-α . Liczba k jest liczbą graniczną w tym 

sensie,  Ŝe  przyjmujemy, iŜ  wartości u

n 

statystyki  U

n

,  obliczone  na podstawie  próby  są  duŜe, 

gdy u

n

 ≥ k, natomiast są małe w przeciwnym przypadku. Zatem 

Jeśli u

n

 ≥ k, czyli 

K

u

n

∈

, to H

0

 odrzucamy i przyjmujemy H

1

 

Jeśli u

n

 < k, czyli 

K

u

n

∉

, to H

0

 przyjmujmy i odrzucamy H

1

 

b)

  ZałóŜmy teraz, Ŝe hipoteza alternatywna ma postać H

1

 (m< m

0

). TakŜe w tym przypadku mała 

wartość  statystyki  U

n

  przemawia  za  przyjęciem  hipotezy  zerowej,  natomiast  duŜa  wartość 

bezwzględna,  ale  ujemna  za  przyjęciem  hipotezy  alternatywnej.  Dlatego  zbiór  krytyczny 
przyjmujemy  lewostronny  K  =  (-∞  ;  -k>  na  danym  poziomie  istotności  α.  Liczba  k  spełnia 
związek 

0

P(Un -k/m = m )=α

≤

. Stąd  Φ(-k) = α

1-Φ(k) = α

⇒

, czyli  Φ(k)=1-α .  

c)

  ZałóŜmy  wreszcie,  Ŝe  hipoteza  alternatywna  ma  postać  H

1

  (m≠m

0

).  W  tym  jak  

i w poprzednich przypadkach mała wartość statystyki U

n

 przemawia za przyjęciem hipotezy 

zerowej,  natomiast  wartości  o  duŜym  module  (dodatnie lub  ujemne)  za  przyjęciem  hipotezy 
alternatywnej.  Dlatego  zbiór  krytyczny  przyjmujemy  dwustronny  K=(- ; -k>  < k; )

∞

∪

∞   na 

danym poziomie istotności α. Liczba k spełnia związek  

n

0

P( U

k/m=m ) = α

≥

. Stąd 

[

]

2 1-Φ(k)  = α , czyli 

α

Φ

(k)=1-

2

 

Przykład 16.2 
Czas  wykonania  detalu  modelowany  jest  zmienną  losową  o  rozkładzie  normalnym  
N(m,  2  min.).  W  celu  weryfikacji  hipotez:  zerowej,  Ŝe  średni  czas  wykonania  detalu  wynosi  
3 min i alternatywnej, Ŝe wynosi 4,6 min., pobrano próbę 9 elementową, której średnia wyniosła 3,4 
min. Zweryfikujemy powyŜsze hipotezy na poziomie istotności 0,015. 
Rozwiązanie 
X - zmienna losowa oznaczająca czas wykonania detalu, 
Rozkład zmiennej losowej X: N(m, 2 min.)  
Hipotezy: H

0

 (m =3), H

1

 (m =4,6) 

Poziom istotności: α = 0,015 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

35 

Liczebność próby n = 9 
Ś

rednia z próby 

9

x = 3,4 

 

 

 

 

 

 

Sprawdzian U

n

 =

0

X-m

σ

/ n

. Wartość sprawdzianu 

9

3, 4 3, 0

u

0, 6

2 / 9

−

=

=

  

 

Zbiór krytyczny prawostronny K = <k; ∞) 
Liczba k spełnia związek Φ(k) =1- α = 1- 0,015 =0,985⇒ k = 2,17  
(na podstawie tablicy – pkt 4 części VII „Tablice statystyczne”). 
. 

K = <2,17 ; ∞) 

 

u

9

 = 0,6 

 

PoniewaŜ 

K

u

9

∉

, więc hipotezę H

0

 przyjmujemy. 

Przy podjęciu tej decyzji moŜna popełnić błąd drugiego rodzaju. Obliczymy prawdopodobieństwo 
tego błędu. 

9

n

1

9

9

X -3,0

β

=P(U

K/Q=Q )=P(U <2,17/m=4,6)=P

<2,17/m=4,6 =

2/ 9

X -4,6

1,6

=P

<2,17-

/m=4,6 =Φ(-0,23)=1-Φ(0,23)=0,4

2/ 9

2/ 9





∉





















 

Odp.  Hipotezę,  Ŝe  średni  czas  wykonania  detalu  wynosi  3  min.  naleŜy  przyjąć.  Prawdo-
podobieństwo,  Ŝe  powyŜsza  decyzja  jest  błędna  wynosi  0,4,  a  więc  jest  wysokie,  dlatego  moŜna 
polecić podjęcie ostroŜniejszej decyzji: nie ma podstaw do odrzucenia powyŜszej hipotezy. 

 

16.1.3. Pzykład konstrukcji testu parametrycznego do weryfikacji hipotezy o równości 
wartości oczekiwanych 

Zakładamy, Ŝe badane cechy X i Y populacji generalnej są niezaleŜne i mają rozkłady normalne 

1

1

X : N(m , )

σ

 oraz 

2

2

Y : N(m ,

)

σ

, przy czym 

σ

1

 i 

σ

2

 są znane.  

O wartościach oczekiwanych wysuwamy hipotezy: 

•

  zerową  H

0

 (m

1

=m

y2

 

•

  alternatywną  H

1

 (m

1≠

m

2

)    

Hipotezy  weryfikujemy  na  podstawie  niezaleŜnych  prób 

1

1

2

n

(x , x ,..., x ) i 

2

1

2

n

(y , y ,..., y )   na 

poziomie istotności α.  
Do weryfikacji hipotezy wykorzystujemy średnie arytmetyczne z prób 

1

1

n

n

i

i 1

1

1

X

X

n

=

=

∑

  

2

2

n

n

i

i 1

2

1

Y

Y

n

=

=

∑

                                         (16.5) 

które są estymatorami nieobciąŜonymi i najefektywniejszymi wartości oczekiwanych – patrz tabela 
15.2.

 

Gdyby  hipoteza  H

0

  była  prawdziwa,  wówczas  róŜnica  pomiędzy  średnimi  arytmetycznymi 

1

n

X i 

2

n

Y nie powinna być zbyt duŜa. 

Jak wiadomo, średnie arytmetyczne 

1

n

X i 

2

n

Y mają rozkłady 

1

1

n

1

1

X : N(m ,

)

n

σ

  

2

2

n

2

2

Y : N(m ,

)

n

σ

 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

36 

Zatem zmienna losowa 

1

2

n

n

X

Y

−

ma rozkład:  

2

2

1

2

1

2

1

2

N(m

m ,

)

n

n

σ

σ

−

+

 

czyli zmienna 

1

2

n

n

1

2

2

2

1

2

1

2

(X

Y ) (m

m )

n

n

−

−

−

σ

σ

+

 

ma rozkład N(0,1). 
JeŜeli załoŜymy, Ŝe hipoteza 

o

1

2

H : m

m

=

 jest prawdziwa, to 

1

2

m

m

0

−

=

 i wobec tego zmienna 

1

2

1

2

n

n

n ,n

2

2

1

2

1

2

X

Y

U

n

n

−

=

σ

σ

+

 

będzie miała rozkład normalny N(0,1). 
Znajdziemy taką liczbę k

α

, aby przy ustalonym α był spełniony warunek 

 

(

)

1

2

n ,n

P U

k

α

>

= α                                            (16-3.4) 

Jest on równowaŜny warunkowi 

{

}

1

2

n ,n

P

k

U

k

1

α

α

−

≤

≤

= − α                                           (16-3.5) 

Ale 

{

}

1

2

1

2

1

2

n ,n

n ,n

n ,n

P

k

U

k

P(U

k ) P((U

k )

(k )

( k )

α

α

α

α

α

α

−

≤

≤

=

≤

−

≤ −

= φ

− φ −

  

qdzie Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N(0,1). 

PoniewaŜ  ( u ) 1 u

α

α

Φ −

= −

to  

{

}

1

2

n ,n

P

k

U

k

(k ) 1

(k ) 2 (k ) 1

α

α

α

α

α

−

≤

≤

= φ

− + φ

= φ

−  

Równanie do wyznaczenia k

α

  

ma postać  2 (k ) 1

α

φ

−

=1-α 

Zatem u

α

 wyznacza się z zaleŜności 

(u ) 1

2

α

α

φ

= −

  

Na podstawie u

α

 wyznacza się zbiór krytyczny   (

; k ) (k ; )

α

α

−∞ −

∪

∞

. 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

37 

16.1.4. Uwagi o weryfikacji hipotez parametrycznych 

Uwaga 1.

  O związku poziomu istotności z decyzjami 

JeŜeli odrzuci się hipotezę zerową na danym poziomie istotności, to odrzuci się ją takŜe na kaŜdym 
poziomie istotności większym od danego. 
JeŜeli  przyjmie  się  hipotezę  zerową  na  danym  poziomie  istotności,  to  przyjmie  się  ją  takŜe  na 
kaŜdym poziomie istotności mniejszym od danego. 
Czytelnik jest proszony o wykonanie ilustracji graficznej powyŜszych twierdzeń. 
Uwaga 2.

 O granicznym poziomie istotności 

Graniczny poziom istotności (oznaczenie  ˆα ) to liczba taka, Ŝe 

  dla wszystkich poziomów istotności 

ˆ

α

α

≥  hipotezę zerową odrzucamy 

  natomiast dla wszystkich poziomów istotności 

ˆ

α

 < α  hipotezę zerową przyjmujemy. 

ˆα  wyznacza się na podstawie rozkładu sprawdzianu U

n

 , przykładowo dla prawostronnego zbioru 

krytycznego  ˆα = 

n

0

ˆ

P(U

k/Q=Q )

≥

, gdzie  ˆk  jest otrzymaną wartością sprawdzianu. 

Uwaga 3.

 O odrzucaniu hipotezy zerowej 

Jeśli w wyniku testowania hipotez otrzymaliśmy decyzję o odrzuceniu hipotezy zerowej na danym 
poziomie  istotności  i  poziom  graniczny  jest  mniejszy  od  danego,  to  moŜna  ją  takŜe  odrzucić  na 
poziomie  równym  poziomowi  granicznemu,  więc  moŜna  zmniejszyć  prawdopodobieństwo 
popełnienia błędu II rodzaju, zatem utwierdzić się bardziej w przekonaniu, Ŝe podjęliśmy właściwą 
decyzję. 
Przykład 16.3 
Cecha  X  populacji  ma  rozkład  normalny  N(m,2).  O  parametrze  m  wysunięto  hipotezy  
H

0

(m = 3) i H

1

(m = 1), które postanowiono zweryfikować na poziomie istotności 0,025. W tym celu 

pobrano próbę 16 elementową i otrzymano średnią z próby równą 1,5. Zweryfikujemy te hipotezy  
i obliczymy poziom graniczny. 
Rozwiązanie 

Sprawdzian U

n

=

n

/

m

X

0

σ

−

. Wartość sprawdzianu u

16

 = 

1,5 3, 0

3

2 / 16

−

= −  

Zbiór krytyczny prawostronny K =( -∞; -k> 
Liczba k spełnia związek Φ(k) =1- α = 1- 0,025 =0,975

⇒

k =1,96. K = (- ∞; -1,96> 

PoniewaŜ 

K

u

16

∈

, więc hipotezę H

0

 odrzucamy, na poziomie istotności 0,025. 

Poziom graniczny  ˆα  spełnia zaleŜność

ˆ

Φ

(-3)=1-α =0,99865  ˆ

α

≈ 0,00135 

Wniosek.  Hipotez

ę

  H

0

  nale

Ŝ

y  odrzuci

ć

  na  poziomie  istotno

ś

ci  równym  0,00135  (a  wi

ę

c  bardzo 

małym), co utwierdza nas w podj

ę

tej wcze

ś

niej decyzji - decyzja na podstawie poziomu istotno

ś

ci 

α

 

oraz poziomu granicznego  ˆ

α

, poniewa

Ŝ

  ˆ

α

≈ 0,00135<.0,025=

α

.

 

Uwaga 4. O hipotezie alternatywnej 
Nale

Ŝ

y  podkre

ś

li

ć

, 

Ŝ

e  decyzja  o  wysuni

ę

ciu  hipotezy  alternatywnej  w  postaci  H

1

(Q>Q

0

)  lub  

w  postaci  H

1

(Q<Q

0

)  nie  mo

Ŝ

e  by

ć

  podj

ę

ta  na  podstawie  wyników  próby,  powinna  natomiast 

wynika

ć

 z analizy rozwa

Ŝ

anego zjawiska i stosowanych testów. Je

ś

li wi

ę

c nie mamy dostatecznie 

mocnych argumentów za przyj

ę

ciem hipotezy alternatywnej w jednej z dwu powy

Ŝ

szych postaci, to 

zaleca si

ę

 przyj

ąć

 posta

ć

 H

1

(Q

≠

Q

0

). Konsekwencj

ą

 tego faktu jest stosowanie zbioru krytycznego 

dwustronnego, natomiast przy poprzednich hipotezach alternatywnych stosuje si

ę

 zbiory krytyczne 

jednostronne.  Nale

Ŝ

y  jeszcze  podkre

ś

li

ć

, 

Ŝ

e  przy  stosowaniu  testów  opartych  na  zbiorach 

krytycznych  dwustronnych  (testów  dwustronnych)  otrzymuje  si

ę

  wi

ę

ksze  prawdopodobie

ń

stwo 

bł

ę

du II rodzaju, ni

Ŝ

 przy stosowaniu testów jednostronnych. 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

38 

Uwaga 5. O analogii przedziału ufności oraz zbioru krytycznego 
W tym miejscu zwraca si

ę

 uwag

ę

 na analogi

ę

 przedziału ufno

ś

ci budowanego w ramach estymacji 

parametrycznej  oraz  zbioru  krytycznego  okre

ś

lanego  przy  konstrukcji  testu  parametrycznego  do 

weryfikacji  hipotez  o  parametrach  rozkładu.  Poka

Ŝ

emy  to  na  przykładzie  cechy  X  o  nieznanej 

warto

ś

ci oczekiwanej, która ma rozkład N(m, σ) ze znanym σ. 

 

 

Rys. 16.4. Związek pomiędzy przedziałem ufności a zbiorem krytycznym 

16.2. Testy parametryczne dla jednej próby 

16.2.1. Testy do weryfikacji hipotezy o wartości oczekiwanej 

Zało

Ŝ

ymy, 

Ŝ

e badana cecha X populacji generalnej ma rozkład normalny N(m, σ), przy czym σ jest 

znane. W podpunkcie 16.1.3. pokazali

ś

my w jaki sposób konstruuje si

ę

 test do weryfikacji hipotez: 

•

  zerowej  H

0

 (m=m

0

) 

•

  alternatywnej  H

1

 (m>m

0

)  

Tak samo post

ę

puje si

ę

 przy konstrukcji testu dla innych hipotez alternatywnych: H

1

 (m< m

0

) lub  

H

1

 (m

≠

m

0

).    

W analogiczny sposób konstruuje si

ę

 testy w dwóch innych przypadkach: 

•

 

σ

 nieznane 

•

 

σ

 nieznane, próba liczna 

Zostały one przedstawione w tabeli 16.1. 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

39

                                                                     Tabela 16.1. Zestawienie testów do weryfikacji hipotezy o wartości oczekiwanej na podstawie próby o liczności n 

 

 

Nr testu 

TP-1 

TP-2 

TP-3 

 

 

Rozkład cechy 

N(m,σ) 

N(m,σ) 

Dowolny 

 

 

Warunki stosowania 

σ

 znane 

σ

 nieznane 

σ

 nieznane, próba 

liczna 

 

 

Hipoteza zerowa 

0

0

H (m=m )  

0

0

H (m=m )  

0

0

H (m=m )  

 

 

Sprawdzian 

0

X m

/ n

−

σ

 

0

X m

S / n 1

−

−

 

0

X-m
S/ n

 

 

 

Rozkład sprawdzianu 

pod warunkiem m=m

0

 

N(0,1) 

Studenta z n-1 

stopniami swobody 

N(0,1) 

Wariant testu 

Hipoteza 

alternatywna 

Zbiór krytyczny 

TP-1 

TP-2 

TP-3 

A 

1

0

H (m>m )  

k ; )

<

∞  

α

−

=

Φ

1

)

k

(

 

α

=

≥

−

2

)

k

|

T

(|

P

1

n

 

B 

1

0

H (m<m )

 

(

; k

−∞ − >  

α

−

=

Φ

1

)

k

(

 

α

=

≥

−

2

)

k

|

T

(|

P

1

n

 

α

−

=

Φ

1

)

k

(

 

C 

1

0

H (m m )

≠

 

(

; k

k ; )

−∞ − > ∪ <

∞  

(k) 1

2

α

Φ

= −

 

α

=

≥

−

)

k

|

T

(|

P

1

n

 

(k) 1

2

α

Φ

= −

 

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

40 

 

Przykład 16.4 
Czasy  wykonania  pewnego  zło

Ŝ

onego  zestawienia  (w  sekundach)  w  zale

Ŝ

no

ś

ci  od  danych  były 

nast

ę

puj

ą

ce:  

123   146   151   149   162   133   142   156   155   137 

Zweryfikowa

ć

 na poziomie 

α

 = 0,05 hipoez

ę

 H

0

 (m=140) wzgl

ę

dem  H

1

 (m>140) przy zało

Ŝ

eniu, 

Ŝ

e rozpatrywany czas ma rozkład  N(m, 

σ

),  w dwóch przypadkach: a) 

σ

 = 12 b) 

σ

 nieznane 

Rozwiązanie 
a) 

σ

 = 12 

Wykorzystujemy  test  TP-1.  Na  podstawie  próby  obliczamy 

ś

redni  czas  wykonania  zestawienia 

x =145,4. 

Warto

ść

 sprawdzianu 

0

n

X m

U

/ 10

−

=

σ

 jest równa 

10

145, 4 140

5, 4

5, 4

u

1, 423

12 / 3,163 3, 794

12 / 10

−

=

=

=

=

 

Z  tablic  rozkładu  normalnego  wyznaczamy  warto

ść

  k  dla  której  (k) 1

Φ

= − α   =  0,95  otrzymuj

ą

c 

k=1,64. Zatem zbiór krytyczny ma posta

ć

K=

)

;

64

,

1

∞

<

. Warto

ść

 sprawdzianu nie nale

Ŝ

y do zbioru 

krytycznego, czyli hipotez

ę

 zerow

ą

 przyjmujemy.  

Wysuni

ę

te  hipotezy  mo

Ŝ

na  zweryfikowa

ć

  korzystaj

ą

c  z  funkcji  statystycznej  TEST.Z      arkusza 

kalkulacyjnego  Excel,  podaj

ą

c  warto

ść

  oczekiwan

ą

  140  z  H

0

  w  polu  X    oraz  odchylenie 

standardowe 12 w polu Sigma.  

 

Wynik  formuły  to  krytyczny  poziom  istotno

ś

ci  ˆ

α ≈

  0,0774  przy  weryfikacji  hipotezy  dla 

prawostronnego zbioru krytycznego. Poniewa

Ŝ

  ˆα

≈

 0,0774 > 0.05 = 

α

 wi

ę

c H

0

 przyjmujemy

19

. 

Mo

Ŝ

emy  na  zako

ń

czenie  przekona

ć

  si

ę

, 

Ŝ

e  rzeczywi

ś

cie  ˆ

α ≈

  0,0774  jest  krytycznym  poziomem 

istotno

ś

ci.  Wstawiaj

ą

c  warto

ść

  sprawdzianu    u

10

=1,423    do  funkcji  ROZKLAD.NORMALNY.S 

otrzymujemy 0,9226 .  

                                                 

19

 Patrz uwaga 2 w punkcie 16.1.4. 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

41 

 

Otrzymany wynik 0,9226  = 1 -  ˆα  = 1 - 0,0774. 
b) 

σ

 nieznane.  

Zamiast  testu  TP-1  wykorzystamy  test  TP-2,  a uwzgl

ę

dniaj

ą

c  posta

ć

  hipotezy  alternatywnej  jego 

wersj

ę

 TP-2C. 

Na podstawie próby obliczamy: 

•

 

ś

redni czas wykonania zestawienia  x =145,4. 

•

  wariancj

ę

 z próby 

10

2

2

i

i 1

1

s

(x

x)

10

=

=

−

∑

= 126,24, czyli 

2

s

s

126, 24 11, 24

=

=

=

 

Zatem warto

ść

 sprawdzianu 

0

n

X m

U

S / n 1

−

=

−

 

10

145, 4 140 145, 4 140

u

1, 44

3, 75

11, 24 / 9

−

−

=

=

=

 

Z tablic rozkładu Studenta 

9

P(| T | k) 0,1

≥

=

 otrzymujemy k=1,833. Uwzgl

ę

dniaj

ą

c posta

ć

 H

1

 zbiór 

krytyczny jest nast

ę

puj

ą

cy  K= k ; )

<

∞ =

)

;

833

,

1

∞

<

. Warto

ść

 sprawdzianu nie nale

Ŝ

y do zbioru 

krytycznego, czyli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.  
Wysuni

ę

te hipotezy mo

Ŝ

na zweryfikowa

ć

 korzystaj

ą

c z funkcji statystycznej TEST.Z   arkusza 

kalkulacyjnego Excel, podaj

ą

c warto

ść

 oczekiwan

ą

 140 z H

0

 w pole X oraz nie wypełniaj

ą

c pola 

Sigma.  

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

42 

 

Wynik formuły jest równy krytycznemu poziomowi istotno

ś

ci   ˆ

α

 = 0,0747 dla prawostronnego 

zbioru krytycznego krytycznego. Poniewa

Ŝ

  ˆα

≈

 0,0747 > 0.05 = 

α

 wi

ę

c H

0

 przyjmujemy. 

Mo

Ŝ

emy  na  zako

ń

czenie  sprawdzi

ć

,  czy  rzeczywi

ś

cie  ˆ

α ≈

  0,07467  jest  krytycznym  poziomem 

istotno

ś

ci.  Wstawiaj

ą

c  warto

ść

  sprawdzianu    u

10

=1,44    do  funkcji  ROZKLAD.T  otrzymujemy 

0,0918. 

 

Otrzymany wynik 0,0918 jest  ró

Ŝ

ny od  ˆ

α

 = 0,0747. Spowodowane jest to tym, 

Ŝ

e w arkuszu Excel 

wykorzystano  rozkład  normalny,  co  oznacza, 

Ŝ

e  zastosowany  został  test  dla  prób  o  du

Ŝ

ych 

liczno

ś

ciach, mimo 

Ŝ

e liczno

ść

 próby wynosiła zaledwie 10. 

Dowodem  tego  jest  wstawienie  warto

ś

ci  sprawdzianu    u

10

=1,44    do  funkcji 

ROZKLAD.NORMALNY.S 

  

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

43 

 

Otrzymany wynik 0,925 jest równy w przybli

Ŝ

eniu 1 -  ˆ

α

 = 1 – 0,0747

 

16.2.2. Testy do weryfikacji hipotezy o wariancji i odchyleniu standardowym 

Cecha  X  populacji  ma  rozkład  normalny  N(m, 

σ

),  parametr  m  mo

Ŝ

e  by

ć

  znany  lub  nieznany. 

Hipoteza zerowa H

0

 (

σ

 = 

σ

0

) 

                                            Tabela 16.2. Testy do weryfikacji hipotezy o wariancji i odchyleniu standardowym 

Hipoteza 

alternatywna 

Sprawdzian U

n

 

Rozkład sprawdzianu 

Zbiór krytyczny K 

Wyznaczanie  

liczby k 

Nr testu 

1

0

H (

σ

>

σ

)  

2

k ;

<

∞ ) 

n-1

2

P(Y

k )=

α

≥

 

TP-4A 

1

0

H (

σ

<

σ

)  

1

0 ; k

<

>  

n-1

1

P(Y

k )=1-

α

≥

 

TP-4B 

1

0

H (

σ

σ

)

≠

 

2

o

2

n

nS

σ

 

Rozkład 

χ

2

 z n-1 stopniami 

swobody 

1

2

<0 ; k >

k ; )

∪

∪ <

∞

 

n-1

1

P(Y

k )=

α

/2

≥

 

n-1

2

P(Y

k )=1-

α

/2

≥

 

TP-4C 

Y

n-1

 zmienna losowa o rozkładzie 

χ

2

 z n-1 stopniami swobody 

Uwaga

  

Hipoteza H

0

 (

σ

 = 

σ

0

), jest równowa

Ŝ

na hipotezie H

0

 (

σ

2 

= 

2
0

σ ), hipoteza 

1

0

H (

σ

>

σ

)  jest równowa

Ŝ

na 

hipotezie  H

1

  (

σ

2

  >

2
0

σ ),    itd.,  zatem  hipoteza  o  odchyleniu  standardowym  jest  równowa

Ŝ

na 

odpowiedniej hipotezie o wariancji, co wykorzystuje si

ę

 przy weryfikacji hipotez o tym parametrze. 

Przykład 16.4  
Popyt  na  pewien  towar  modelujemy  zmienn

ą

  losow

ą

  X  o  rozkładzie  normalnym.  W  próbie  10 

elementowej otrzymali

ś

my 

ś

redni

ą

 1250 kg i odchylenie standardowe 50 kg. 

a)

  Na poziomie istotno

ś

ci 0,02 sprawdzimy hipotezy H

0

(m = 1350 kg) i H

1

(m 

≠

1350 kg) 

b)

  Na poziomie istotno

ś

ci 0,05 sprawdzimy hipotezy H

0

(

σ

 =45) i H

1

(

σ

 >45)  

Rozwiązanie 
Cecha populacji X - popyt na towar. Rozkład cechy X: normalny N(m, 

σ

), parametry m i 

σ

 nie s

ą

 

znane. 
Liczebno

ść

 próby n = 10. Charakterystyki próby 

10

10

x =1250 kg, s =50 kg  

a) Stosujemy test TP – 2C.  Sprawdzian 

1

n

/

S

m

X

U

0

n

−

−

=

 jego warto

ść

 

10

1250 1350

u

6

50 / 9

−

=

= −  

    Zbiór krytyczny K= (

; k

k ; )

−∞ − > ∪ <

∞  

STATYSTYKA MATEMATYCZNA 

 

44 

Wyznaczanie  liczby  k   

α

=

≥

−

)

k

|

T

(|

P

1

n

. 

9

P(|T | k) 0,02

k 2,821

≥

=

⇒ =

    (na  podstawie 

tablicy rozkładu Studenta – pkt 6 cz

ęś

ci VII „Tablice statystyczne”) 

10

0

10

K (

; 2,821

2,821, ; )

u

K

H odrzucamy

u

6

= −∞ −

> ∪ <

∞ 

⇒

∈

⇒



= −



 

 b) Stosujemy test TP – 4A. Sprawdzian 

2
n

n

2
o

nS

U =

σ

, jego warto

ść

 

2

10

2

10 50

u

12,34

45

⋅

=

=

 

     Zbiór krytyczny K = (k; 

∞

). Wyznaczanie liczb

ę

 k 

n-1

P(Y

k)

≥

= α       

     

9

P(Y

k) 0,05

k 16,919

≥

=

⇒

=

 (na podstawie tablicy rozkładu χ

2

 – pkt 5 cz

ęś

ci VII „Tablice 

statystyczne”). 

10

0

10

K (16,919; )

u

K

H przyjmujemy

u

12,34

=

∞ 

⇒

∉

⇒



=



 

Przykład 16.5 
Dokonano  10  pomiarów  nat

ęŜ

enia  pr

ą

du.  Otrzymano  z  tej  próby  wariancj

ę

  2,3.  Zakładamy,  

Ŝ

e nat

ęŜ

enie to jest zmienn

ą

 losow

ą

 o rozkładzie normalnym.  

Na poziomie istotno

ś

ci 0,04 sprawd

ź

 hipotezy: zerow

ą

, 

Ŝ

e nat

ęŜ

enie pr

ą

du ma wariancj

ę

 równ

ą

 2  

i alternatywn

ą

, 

Ŝ

e nat

ęŜ

enie pr

ą

du ma wariancj

ę

 ró

Ŝ

n

ą

 od 2. 

Rozwiązanie 
X – nat

ęŜ

enie pr

ą

du 

Rozkład cechy X: normalny N(m, 

σ

). Liczebno

ść

 próby n =10. Wariancja z próby 

2

10

s =2,3  

Hipotezy H

0

 (

σ

2

 = 2,0)  H

1

 (

σ

2

 

≠

 2,0) Poziom istotno

ś

ci 

α

 =0,04 

Stosujemy test TP-4C. Sprawdzian U

n

=

2
n

2
o

nS

σ

, 

jego warto

ść

 u

10

 = 

10 2,3

11,5

2, 0

⋅

=

 

Zbiór krytyczny K=

1

2

0 ;k

k ; )

<

> ∪ <

∞  

n-1

2

P(Y

k )

/ 2

≥

= α

  

⇒

9

2

P(Y

k ) 0,02

≥

=

⇒

 k

2

 = 19,679 

n-1

1

P(Y

k ) 1

/ 2

≥

= − α

   

⇒

9

1

P(Y

k ) 0,98

≥

=

⇒

 k

1

 =2,532 

K = 

)

;

679

,

19

532

,

2

;

0

∞

<

∪

>

<

 

u

10

 =11,5 

Poniewa

Ŝ

 

10

u

K,

∉

 wi

ę

c hipotez

ę

 H

0

 przyjmujemy. 
 

 

16.2.3. Testy do weryfikacji hipotezy o wskaźniku struktury 

Cecha X populacji ma rozkład zerojedynkowy  P(X=1)=p, P(X=0)=1-p,

p (0;1)

∈

 

Hipoteza zerowa 

)

p

p

(

H

0

0

=

. Próba liczna n 

≥

100 

                                                                            Tabela 16.3. Test do weryfikacji hipotezy o wskaźniku struktury 

Hipoteza 

alternatywna 

Sprawdzian 

n

U  

Rozkład sprawdzianu 

Zbiór krytyczny K 

Wyznaczanie  

liczby k 

Nr 

testu 

1

0

H (p p )

>

 

k ; )

<

∞ ) 

α

−

=

Φ

1

)

k

(

 

TP-5A 

1

0

H (p p )

<

 

(

;k

−∞

> (

; k)

−∞

 

α

−

=

Φ

1

)

k

(

 

TP-5B 

1

0

H (p p )

≠

 

0

0

0

W-p

n

p (1-p )

 

Asymptotycznie 

normalny N(0,1) 

(

; k

k ; )

−∞ − > ∪ <

∞

 

(k) 1

2

α

Φ

= −

 

TP-5C 

W – wskaźnik struktury w próbie, w= r/n, r – liczba jedynek w próbie. 
Φ

 – dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1) 

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE 

 

45 

Przykład 16.6 

W  próbie  1000  osób  uprawnionych  do  głosowania,  320  osób  oświadczyło,  Ŝe  będzie  głosować  
w  wyborach  na  pewną  partię.  Czy  otrzymany  wynik  jest  sprzeczny  z  przypuszczeniem,  Ŝe  na  tą 
partię moŜe głosować 35% wyborców? Sprawdzimy odpowiednie hipotezy na poziomie istotności 
0,02. 

Rozwiązanie 

X – zmienna losowa przyjmująca wartość 1, gdy wyborca będzie głosował na daną partię, wartość 
0, gdy nie będzie głosował na tą partię. 

Zmienna losowa X na rozkład zerojedynkowy 

p

1

)

0

X

(

P

,

p

)

1

X

(

P

−

=

=

=

=

 

Liczebność próby n =1000. Liczba jedynek w próbie r = 320 

Wskaźnik struktury w próbie

32

,

0

1000

320

n

r

w

=

=

=

 

Poziom istotności α = 0,02 
Hipotezy

0

1

H (p=0,35), H (p 0,35)

<

 

Stosujemy test TP-5B 

Sprawdzian Un =

n

)

p

1

(

p

p

W

0

0

0

−

−

. Wartość sprawdzianu 

2

1000

65

,

0

35

,

0

35

,

0

32

,

0

u

n

−

=

⋅

−

=

  

Zbiór krytyczny K =

>

−

−∞

k

;

(

 

α

−

=

Φ

1

)

k

(

= 0,98  

k 2,05

⇒ =

  

>

−

−∞

=

05

,

2

;

(

K

 

u

n

 = -2 

PoniewaŜ 

,

K

u

10

∉

 więc hipotezę H

0

 przyjmujemy. Otrzymany wynik nie przeczy przypuszczeniu, 

Ŝ

e na partię moŜe głosować 35% wyborców

. 

 

 

16.3. Testy parametryczne dla dwóch prób  

16.3.1. Testy do porównywania wartości oczekiwanych dla prób niezaleŜnych 

ZałoŜymy, Ŝe badana cecha X populacji generalnej ma rozkład normalny N(m, 

σ

), przy czym 

σ

 jest 

znane. W podpunkcie 16.1.3. pokazaliśmy w jaki sposób konstruuje się test do weryfikacji hipotez: 

•

 

zerowej  H

0

 (m

1

=m

2

) 

•

 

alternatywnej  H

1

 (m

1

≠

m

2

)     

Tak samo postępuje się przy konstrukcji testu dla innych hipotez alternatywnych: H

1

 (m

1

>m

2

)  lub 

H

1

 (m

1

< m

2

)     

 

W analogiczny sposób konstruuje się testy w trzech innych przypadkach: 

•

  σ

1

 

σ

2

 są równe i nieznane  

•

  σ

1

 

σ

2 

nie są równe i nieznane 

•

 

próby są liczne, n

1

, n

2 

≥

 100 

Wszystkie rozpatrzone dotąd testy zostały przedstawione w tabeli 16.4.