Zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa

Zadanie 1 Dany jest rozkład ZLS X:

x

i

−2

0

2

3

p

i

0, 2

c

0, 4

0, 1

Wyznaczyć: a) stałą c, b) wykres i histogram prawdopodobieństwa, c)dystrybuantę i jej wykres,

d)prawdopodobieństwa za pomocą funkcji rozkładu prawdopodobieństwa P (X = 2), P (X < 2),

P (X ­ 0), P (−2 < X < 2), P (|X + 1| < 2), e) prawdopodobieństwa za pomocą dystrybuanty

P (X = 3), P (X < 3), P (X ­ 2), P (−1 < X < 4), P (|X − 1| > 1), f ) EX i V arX.

Zadanie 2 Dany jest rozkład ZLS Y :

y

i

−3

−1

2

3

4

p

i

0, 1

c

0, 2

0, 3

0, 2

Wyznaczyć: a) stałą c, b) wykres i histogram prawdopodobieństwa, c)dystrybuantę i jej wykres,

d)prawdopodobieństwa za pomocą funkcji rozkładu prawdopodobieństwa P (X = 4), P (X < 3),

P (X ­ 0), P (−1 < X < 3),

P (|X − 2| > 2), e) prawdopodobieństwa za pomocą dystrybuanty P (X = 3), P (X < 2), P (X ­ 3),

P (−1 < X < 4), P (|X − 1| < 2), f ) EX i V arX.

Zadanie 3 Dana jest dystrybuanta ZLS X

x

(−∞, −2i

(−2, 0i

(0, 3i

(3, 5i

(5, ∞)

F (x)

0

0, 1

0, 4

0, 8

1

Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa ZL X.

Izabela Jóźwik

1

Zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa

Zadanie 4 Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

f (x) =























6x(1 − x)

dla x ∈ h0, 1i

0

dla x /

∈ h0, 1i.

a)wyznaczyć dystrybuantę i naszkicować jej wykres, b) przy użyciu funkcji gęstości prawdopodo-

bieństwa wyznaczyć prawdopodobieństwo P (X <

1
2

), c) za pomocą dystrybuanty wyznaczyć praw-

dopodobieństwa P (−1 < X <

1
4

), P (X > 1) d) obliczyć EX i V arX.

Zadanie 5 Dana jest funkcja

f (x) =























cx

2

dla x ∈ (1, 2)

0

dla x /

∈ (1, 2).

a) dobrać stałą c tak, aby f była funkcją gęstości ZLC X, b) wyznaczyć dystrybuantę i naszkicować

jej wykres, c) obliczyć prawdopodobieństwa P (X ¬ 1, P (X

2

− X < 0) d) obliczyć EX i V arX.

Zadanie 6 Dana jest funkcja

f (x) =























ce

−2x

dla x > 0

0

dla x ¬ 0.

a) dobrać stałą c tak, aby f była funkcją gęstości ZLC X, b) wyznaczyć dystrybuantę i naszkicować

jej wykres, c) obliczyć prawdopodobieństwa P (| X − 1 |< 1), P (X ­

1
2

) d) obliczyć EX i V arX.

Izabela Jóźwik

2

Zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa

Zadanie 7 Dana jest funkcja

f (x) =























c sin x

dla x ∈ h0, πi

0

dla x /

∈ h0, πi.

a) dobrać stałą c tak, aby f była funkcją gęstości ZLC X, b) wyznaczyć dystrybuantę i naszkicować

jej wykres, c) obliczyć prawdopodobieństwa P (| X |¬

π

2

), P (X

2

­

π

2

9

) d) obliczyć EX.

Zadanie 8 Dana jest funkcja

f (x) =











































x

dla x ∈ h0, 1i

c − x

dla x ∈ h1, 2i.

0

dla x /

∈ h0, 2i.

a) dobrać stałą c tak, aby f była funkcją gęstości ZLC X, b) wyznaczyć dystrybuantę i naszkicować

jej wykres, c) obliczyć prawdopodobieństwa P (4X

2

− 4X < 3), P (

1
2

¬ X < 2) d) obliczyć EX i

V arX.

Zadanie 9 Czy funkcje:

a)

F (x) =











































0

dla x < 0.

c sin x

dla x ∈ h0,

π

2

i

1

dla x >

π

2

.

Izabela Jóźwik

3

Zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa

b)

F (x) =











































0

dla x < 0.

c cos x

dla x ∈ h0,

π

2

i

1

dla x >

π

2

.

mogą być dystrybuantami pewnej ZLC. Jeżeli tak, to ile powinno wynosić c?

Zadanie 10 Niech X v N(

3
2

, 2). Obliczyć:

P (X < 2, 5), P (| X |> 0, 5), P (0, 5 < X < 2), P (|X| > −0, 5), P (|2X − 1| < 1).

Zadanie 11 Niech X v N(18, 3).

a)Podać wzór na gęstość i naszkicować wykres gęstości prawdopodobieństwa uwzględniając jej wła-

sności, b) obliczyć: P (X < 12), P (X > −4), P (|X| > 21).

Zadanie 12 Wyniki ze sprawdzianu szóstoklasisty w pewnej szkole mają rozkład N (26, 5). Obli-

czyć prawdopodobiestwo, że uczeń tej szkoły otrzyma ze sprawdzianu a) mniej niż 32 punkty b)

nie mniej niż 24 punkty c) liczbę punktów w przedziale od 25 do 34 d) maksymalną liczbę punktów

(40p.)

Zadanie 13 Wydajność produkcji w pewnej hucie żelaza jest ZL o rozkładzie normalnym z war-

tością oczekiwaną 12 ton na godzinę i odchyleniem standardowym 2 tony na godzinę. Obliczyć

prawdopodobieństwo tego, że a) wydajność produkcji będzie mniejsza niż 15 ton na godzinę b) wy-

dajność produkcji będzie większa niż 7 ton na godzinę c) wydajność produkcji będzie większa niż 7

ton na godzinę i mniejsza niż 15 ton na godzinę.

Izabela Jóźwik

4

Zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa

Zadanie 14 Niech X będzie ZLC o rozkładzie prostokątnym. Wyznaczyć jej dystrybuantę, EX,

V arX, jeżeli funkcja gęstości jest postaci

f (x) =























1

b−a

dla x ∈ ha, bi

0

dla x /

∈ ha, bi.

.

Zadanie 15 Niech X będzie ZLC o rozkładzie wykładniczym. Wyznaczyć jej dystrybuantę, EX,

V arX, jeżeli funkcja gęstości jest postaci

f (x) =























1

λ

exp (−

x
λ

)

dla x ­ 0

0

dla pozostałych x.

.

Izabela Jóźwik

5

ODPOWIEDZI

ODPOWIEDZI

1. a) c = 0, 3 c) F (x) =























































































0

dla x ¬ −2

0, 2

dla − 2 < x ¬ 0

0, 5

dla 0 < x ¬ 2

0, 9

dla 2 < x ¬ 3

1

dla x > 3.

d)P (X = 2) = 0, 4; P (X < 2) = 0, 5; P (X ­ 0) = 0, 8; P (−2 < X < 2) = 0, 3; P (| X + 1 |<

2) = 0, 5 e) P (X = 3) = 0, 1; P (X < 3) = 0, 9; P (X ­ 2) = 0, 5; P (< −1 < X < 4) = 0, 8;

P (| X − 1 |> 1) = 0, 3 e) EX = 0, 7; V arX = 2, 81.

2. a) c = 0, 2 c) F (x) =











































































































0

dla x ¬ −3

0, 1

dla − 3 < x ¬ −1

0, 3

dla − 1 < x ¬ 2

0, 5

dla 2 < x ¬ 3

0, 8

dla 4 < x ¬ 4

1

dla x > 4

d)P (X = 4) = 0, 2; P (X < 3) = 0, 5;

P (X ­ 0) = 0, 7; P (< −1 < X < 3) = 0, 2; P (| X − 2 |> 2) = 0, 3; e) P (X = 3) = 0, 3;

P (X < 2) = 0, 3; P (X ­ 3) = 0, 5; P (< −1X < 4) = 0, 5; P (| X − 1 |< 3) = 0, 7 e) EX = 1, 6,

V arX = 5, 24

3.

x

i

−2

0

3

5

p

i

0, 1

0, 3

0, 4

0, 2

4. a) F (x) =











































0

dla x ¬ 0

3x

2

− 2x

3

dla 0 < x ¬ 1

1

dla x > 1.

, b) P (X <

1
2

) =

1
2

c) P (X > 1) = 1 P (−1 < X <

Izabela Jóźwik

6

ODPOWIEDZI

1
4

) =

1
8

d) EX =

1
2

, V arX =

1

20

.

5. a) c =

3
7

, b) F (x) =











































0

dla x ¬ 1

1
7

(x

3

− 1)

dla 1 < x ¬ 2

1

dla x > 2.

, c) P (X ¬ 1) = 0, P (X

2

−

7
2

x + 3 < 0) =

37
56

d) EX =

15
28

.

6. a) c = 2, b) F (x) =























0

dla x ¬ 0

1 − e

−2x

dla x > 0.

, c) P (| X − 1 |< 1) = 0, P (X ­

1
2

) =

1
e

d)

EX = 1.

7. a) c =

1
2

, b) F (x) =











































0

dla x ¬ 0

−

1
2

(cos x − 1)

dla 0 < x ¬ π

1

dla x > π.

, c) P (| X |¬

π

2

) =

1
2

, P (X

2

­

π

2

9

) =

3
4

d) EX = 1 − π.

8. a) c = 2, b) F (x) =



































































0

dla x ¬ 0

1
2

x

2

dla 0 < x ¬ 1

−

1
2

x

2

+ 2x − 1

dla 1 < x ¬ 2

1

dla x > 2.

c) P (4X

2

− 4X < 3) =

3
4

, P (

1
2

¬ X <

2) =

7
8

d) EX = 1

9. a) tak, c = 1, b) nie

10. P (X < 2, 5) = 0, 6915, P (| X |> 0, 5 = 0, 8502), P (0, 5 < X < 2) = 0, 3721, P (|X| >

−0, 5) = 1, P (|2X − 1| < 1) = 0, 1747

11. a) f (x) =

1

3

√

2π

exp



−

(x−18)

2

18



, x ∈ R, b)P (X < 12) = 0, 0228, P (X > −4) = 1, P (|X| >

21) = 0, 1587

12. a) 0, 8849 b) 0, 6554, c) 0, 5245, d) 0

13. a) 0, 9332 b) 0, 0062, c) 0, 927

Izabela Jóźwik

7

ODPOWIEDZI

14. EX =

1
2

(b + a), V arX =

1

12

(b − a)

2

, F (x) =











































0

dla x ¬ a

x−a

b−a

dla a < x ¬ b

1

dla x > b.

15. EX = λ, V arX = λ

2

, F (x) =























1 − exp (−

x
λ

)

dla x ­ 0

0

dla pozostałych x.

.

Izabela Jóźwik

8