1
Analiza danych pomiarowych
Przyczyny niepewności wyników eksperymentu:
• błędy grube
• błędy systematyczne
• błędy przypadkowe
Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te uzyskane instrumentem
o bardzo dużej precyzji i przy wysokiej dbałości eksperymentalnej,
nie są dokładne, lecz mają przybliżony charakter.
Błąd gruby
• wynika z niedbałości lub ewidentnej pomyłki
eksperymentatora,
wyraźnej niesprawności sprzętu albo nieoczekiwanego zaburzenia
układu pomiarowego
• objawia się istnieniem jednego wyniku znacząco odstającego od
pozostałych, uzyskanych w danej serii pomiarów
• wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest zazwyczaj łatwo
zauważalny i należy go odrzucić.
2
23,3 ppm; 24,5 ppm; 27,9 ppm ; 33,5 ppm; 0,02 ppm
ppm =
g/g
W wątpliwych sytuacjach trzeba stosować czasami
skomplikowane testy statystyczne !!!!
x
i
– wyniki pomiarów
(oznaczone symbolem )
x
0
– wartość prawdziwa
błąd gruby
BŁĘDY „GRUBE” ODRZUCAMY
Błędy grube
Błąd systematyczny
• błąd polegający na
stałym lub zmiennym, systematycznym odchyleniu
wyniku pomiaru od rzeczywistej
wartości wielkości mierzonej
• przesunięcie wyniku następuje zwykle
w tę sama stronę
• metody statystyczne nie mają tu zastosowania.
3
niedoskonałość przyrządów pomiarowych
błędne wyskalowanie, niewyzerowanie
błąd paralaksy
w analityce – złe wzorce
nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru
do warunków skalowania (inne warunki pomiaru
próbki i wzorca)
Oddziaływania systematyczne:
x
i
– wyniki pomiarów
(oznaczone symbolem )
x
0
– wartość prawdziwa
Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy
powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między
wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą,
natomiast rozrzut wyników poszczególnych pomiarów
jest mały. Błędy te są powodowane
oddziaływaniami
systematycznymi
Błędy (niepewności) systematyczne
4
Błędy przypadkowe
powstaje na skutek działania
czynników losowych
jest miarą rozrzutu
otrzymywanych wyników
wokół wartości najbardziej prawdopodobnej.
błędu przypadkowego w zasadzie
nie da się
wyeliminować
a także nie da się go oszacować
przed dokonaniem pomiaru
staramy się tak zaprojektować i przeprowadzić pomiar,
aby wartość błędu przypadkowego była jak najmniejsza
po zakończeniu pomiaru dokonujemy oceny wielkości
błędu losowego przy użyciu narzędzi statystycznych.
niedokładność odczytu (niedokładna ocena części
działki miernika, niezbyt staranne wyznaczenie
optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych)
fluktuacja warunków pomiaru (temperatura,
ciśnienie, wilgotność, napięcie w sieci elektrycznej)
obecność źródeł zakłócających;
nieokreśloność mierzonej wielkości;
niedoskonałość zmysłów obserwatora;
Oddziaływania przypadkowe:
5
x
i
– wyniki pomiarów
(oznaczone symbolem )
x
0
– wartość prawdziwa
Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchyleniem
wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej. Fluktuacje czasowe i
przestrzenne wielkości nie mierzonej. Charakter losowy.
Źródłem błędów przypadkowych są tzw.
oddziaływania
przypadkowe:
Błędy (niepewności) przypadkowe
WIELKOŚCI MIERZONE
W pomiarach bezpośrednich
W pomiarach pośrednich
Pomiar kilku wielkości x
1
,x
2
,…x
n
Obliczenie wielkości pośredniej
zgodnie ze wzorem funkcyjnym:
y=f(x
1
,x
2
,…x
n
)
Na przykład pomiar okresu drgań
i długości wahadła matematycznego.
Obliczenie wartości przyspieszenia
ziemskiego g.
Pomiar jednej wielkości
(np. pomiar masy ciała,
pomiar temperatury, itd.
6
2
2
T
l
4
g
g
l
2
T
l, T – wielkości wejściowe, zmierzone w pomiarach
bezpośrednich, mają swoje niepewności
Czy wzór powyższy jest słuszny w każdych
warunkach?
Jak policzyć niepewność g?
Pomiar wielkości T nie wpływa na pomiar
wielkości l (wielkości nieskorelowane)
Zgodnie z Przewodnikiem niepewności
klasyfikujemy na dwie kategorie
w zależności od metody ich obliczania:
TYPU A
TYPU B
7
BŁĄD
NIEPEWNOŚĆ
Omyłka, uchyb, błąd
*)
,
niepewność
SYNONIMY?
* -
Asystent zwraca się do studentki:
A z jakim błędem wyznaczyła Pani grubość próbki?
Studentka:
No, wie Pan! Ja nie robię błędów
Anegdota (podobno autentyczna). Przeczytane w pracy:
Marek W.Gutowski: Wykład wprowadzający do zajęć na I Pracowni Fizycznej
METODA TYPU A
Błędy (niepewności) przypadkowe
Metoda szacowania niepewności, która
opiera się na obliczeniach statystycznych
(statystyczna analiza serii pomiarów –
n
4)
8
Najczęściej pomiar jednokrotny
METODA TYPU B
Błędy (niepewności) systematyczne
Metoda szacowania niepewności, która
Wykorzystuje inne metody niż statystyczne:
doświadczenie eksperymentatora
porównanie z wcześniej wykonywanymi
podobnymi pomiarami
certyfikat producenta wykorzystywanych
w pomiarach przyrządów
analiza materiału wzorcowego (odniesienia)
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH BEZPOŚREDNICH
n
x
x
n
1
i
i
n
1
i
2
i
x
x
x
1
n
1
S
)
x
(
u
1. Wykonujemy serię (skończoną) pomiarów
2. Wielkością najbardziej prawdopodobną
jest średnia arytmetyczna :
3.
Niepewność standardowa pojedynczego
pomiaru u(x)
(tzw. odchylenie
standardowe
pojedynczego
pomiaru S
x
)
9
Eksperymentatora bardziej interesuje niepewność
wyniku czyli wartości średniej
Niepewność standardowa średniej:
1
n
n
x
x
n
S
S
x
u
n
1
i
2
i
x
x
10
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A W POMIARACH POŚREDNICH
)
x
,...
x
,
x
(
f
y
K
2
1
K
2
1
x
,...
x
,
x
)
x
(
u
),...
x
(
u
),
x
(
u
K
2
1
x
1
, x
2
,…,x
K
– wielkości wejściowe nieskorelowane, każde określone
w pomiarach bezpośrednich. Znamy: oraz niepewności
standardowe średnich:
PYTANIE 1. Jak obliczyć wielkość y ?
PYTANIE 2. Jak obliczyć niepewność standardową
wielkości y ?
(*)
K
2
1
x
,...,
x
,
x
f
y
1
x
2
x
K
x
y
1.
Schemat przenoszenia wielkości wejściowych
11
2.
Niepewność y nazywa się złożoną niepewnością
standardową (ang. combined standard uncertainty)
K
1
i
i
2
2
i
c
)
x
(
u
x
f
)
y
(
u
)
x
(
u
1
)
x
(
u
2
)
x
(
u
K
)
y
(
u
c
Schemat przenoszenia niepewności
wielkości wejściowych
Metoda szacowania niepewności wykorzystująca
inne metody niż statystyczne:
wcześniejsze doświadczenie eksperymentatora
specyfikacja producenta odnośnie używanego
w pomiarach przyrządu (klasa przyrządu)
z kalibracji (wcześniej wykonanej)
badania na materiale odniesienia (chemia
analityczna)
Najczęściej jeden lub dwa pomiary
METODA TYPU B
12
100
pomiaru
zakres
K
x
k
Parametry metrologiczne aparatury:
Klasa przyrządu K
(dana przez producenta)
Niepewność pomiaru wynikająca z klasy
przyrządu
kx:
Dla woltomierza klasy 0,2 na zakresie 50 V
popełniamy „błąd”
kx = 0,1 V
Rozdzielczość przyrządu :
Dla pomiarów długości:
1 mm dla linijki ; 0,1 mm dla suwmiarki;
0,01 mm dla śruby mikrometrycznej
Dla pomiarów temperatury:
0,1 °C dla termometru lekarskiego;
10 °C dla termometru „zaokiennego”
Dla mierników wychyłowych – „odstęp”
pomiędzy kreskami (ew. połowa)
13
x
x
x
k
d
g
Rozdzielczość przyrządu:
Dla mierników analogowych - zmiana
ostatniej cyfry np. 5,23 V ( niepewność 0,01 V)
Niepewność wynikająca z rozdzielczości
aparatury
d
Maksymalna (graniczna) niepewność
pomiaru szacowana metodą typu B wynosi:
OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU B W POMIARACH POŚREDNICH
x
1
y
x
2
x
K
K
2
1
x
,...,
x
,
x
f
y
x
1,
x
2
, …,x
K
– wielkości pomiarów jednokrotnych
14
Maksymalna (graniczna) niepewność pomiaru
g
(y)
może być oszacowana tzw. metodą różniczki zupełnej
g
x
1
g
x
2
g
x
K
g
(y)
i
g
K
1
i
i
g
x
x
f
y
UWAGA: Metoda „różniczki zupełnej” prowadzi do zawyżonych wyników
niepewności (zwłaszcza dla K
> 3)
15
A w jaki sposób obliczyć niepewność wielkości, która
uzależniona jest od oddziaływań systematycznych i
przypadkowych ?
2
B
2
A
c
u
u
)
x
(
u
Standardowa niepewność
całkowita
PAMIĘTAJ !!!
Do obliczania wielkości pośrednich i niepewności
używaj wielkości niezaokrąglonych
16
Przedstawianie błędów pomiarowych
i zaokrąglanie wyników
W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy w postaci:
X
R
= X
M
± ΔX
gdzie:
X
R
- wartość rzeczywista wielkości mierzonej,
X
M
- wartość uzyskana w wyniku pomiaru,
ΔX - niepewność lub błąd pomiaru.
Powyższy zapis oznacza, że:
- najlepszym przybliżeniem wartości mierzonej jest według
eksperymentatora liczba X
M
;
- z rozsądnym prawdopodobieństwem szukana wartość znajduje się
gdzieś pomiędzy X
m
- ΔX i X
m
+
ΔX.
17
Przedstawianie błędów pomiarowych
i zaokrąglanie wyników II
Błąd pomiaru ΔX
jest wielkością oszacowaną
.
Nie ma więc sensu podawać wszystkich cyfr, które otrzymujemy z
obliczeń. Obliczone wartości X
m
i ΔX podajemy zaokrąglone.
Oznacza to, że przybliżamy wartości otrzymane z obliczeń.
Cyframi znaczącymi
danej liczby różnej od zera nazywamy
wszystkie jej cyfry z wyjątkiem występujących na początku zer.
Do cyfr znaczących zalicza się również zera końcowe, jeśli są one
wynikiem obliczeń, a nie zaokrągleń. Oznacza to, że pierwsza
liczba znacząca musi być różna od zera, natomiast druga, trzecia i
dalsze mogą być zerami.
Przedstawianie błędów pomiarowych
i zaokrąglanie wyników III
Przy zaokrąglaniu
wyniku pomiaru
stosowane są powszechnie
przyjęte zasady zaokrągleń : liczbę kończącą się cyframi
0-4
zaokrąglamy w dół, a 5 - 9 w górę .
Oszacowane
błędy
zaokrąglamy zawsze w górę,
ponieważ w
żadnym przypadku nie wolno pomniejszać błędów. Zawsze lepiej
podać zawyżoną wartość błędu niż go niedoszacować .
Obliczenia wykonujemy zawsze z większą liczbą cyfr, niż chcemy
podać wynik. Zaokrągleń dokonujemy dopiero po zakończeniu
obliczeń.
Błędy
pomiarów zaokrąglane są do pierwszej cyfry znaczącej
(wyjątek: 1, 2). Ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku pomiaru
powinna stać na tym samym miejscu dziesiętnym, co błąd pomiaru.
18
PRZEPIS „KUCHENNY” ZAOKRĄGLANIA :
1. Zaokrąglanie zaczynasz od niepewności
ZAWSZE W GÓRĘ DO JEDNEGO LUB
DWÓCH MIEJSC ZNACZĄCYCH
Do jednego miejsca znaczącego, gdy
na skutek zaokrąglenia błąd ten nie
zwiększy się nie więcej niż o 10%
0,12501 może być tylko 0,2 lub 0,13
Którą wybieramy?
Sprawdzamy:
(0,2 – 0,12501)/0,12501=0,5998 ( blisko 60%)
Zatem niepewność = 0,13
19
1.
Wynik pomiaru musi być przedstawiony o kilka
miejsc dziesiętnych dalej niż niepewność np.
123,37
6
02
0,13
2. Patrzymy na cyfrę:
3. W zależności od wartości tej cyfry postępujemy
według następujących zasad:
Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół
tzn. gdyby wynik był 123,37489 to dostaniemy
123,37
0,13
Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy w
górę tzn. dla wyniku 123,37602 zostanie:
123,38
0,13
Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, a
po niej następują jakiekolwiek cyfry różne od
zera
W sytuacji np. wyniku 123,3750000001
lub 123,3753210023
zaokrąglamy do
123,38
0,13
20
ZAPAMIĘTAJ !
PRAWIDŁOWO ZAOKRĄGLONE:
WARTOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNEJ
I JEJ NIEPEWNOŚĆ MAJĄ TAKĄ
SAMĄ ILOŚĆ MIEJSC DZIESIĘTNYCH !
21
22
23
24