NIEPEWNOŚĆ POMIARU

     Zgodnie z zaleceniami międzynarodowymi 

„niepewność 

pomiaru”

  w  nowym  i  rozszerzonym  znaczeniu  jest 

podstawowym  pojęciem,  które  należy  wiązać  z  wynikiem 
pomiaru. 
 
Pojęcie  to  w  dużym  zakresie  zastępuje  stosowane 
dotychczas pojęcie 

„błędu pomiaru”.

 

 
     Najogólniej niepewność pomiaru wiąże się z określoną 
wartością 

rozrzutu  wartości

,  które  można  przypisać 

wielkości  mierzonej,  o  błędzie  zaś  mówi  się  w  przypadku 
wyraźnego  odstępstwa  (różnicy)  wyniku  pomiaru  od 
wartości rzeczywistej lub poprawnej. 
 

          Błąd  pomiaru

  można  i  należy  wyeliminować.  To,  co 

pozostaje  po  wyeliminowaniu  błędu  pomiaru,  jest 

niepewnością pomiaru

.

1. Podstawowe pojęcia

          1.1.  Wynik  pomiaru

  –  wartość  przypisana  wielkości 

mierzonej  uzyskana  drogą  pomiaru,  wraz  z  niepewnością  tej 
wartości.  Wynik  pomiaru  bez  oszacowanej  niepewności 
pomiaru nazywany jest wynikiem pomiaru surowym i nie ma 
większego znaczenia w dalszych jego zastosowaniach.
 

     1.2. Niepewność pomiaru

 – parametr związany z wynikiem 

pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w 
uzasadniony sposób przypisać mierzonej wielkości. 
Niepewność pomiaru może być wyrażona za pomocą 
odchylenia standardowego, połową szerokości przedziału 
odpowiadającego określonemu poziomowi ufności lub 
wyznaczona na podstawie zakładanego rozkładu 
prawdopodobieństwa opartego na posiadanych informacjach 
lub doświadczeniu. 

1. Podstawowe pojęcia

1.3.

 

Niepewność standardowa

 – 

niepewność wyniku pomiaru 
wyrażona przez odchylenie 
standardowe.

1.4. Szacowanie typu A 
niepewności

 – metoda 

szacowania niepewności za 
pomocą analizy statystycznej 
serii pojedynczych wyników.

15. Szacowanie typu B 
niepewności

 – metoda 

szacowania niepewności za 
pomocą metod innych niż analiza 
statystyczna serii pojedynczych 
wyników. 

1. Podstawowe pojęcia

1.6. 

Złożona 

niepewność 

standardowa

 

– 

niepewność  standardowa  wyniku  pomiaru 
otrzymanego  na  podstawie  pomiaru  kilku 
wielkości.

1.7. 

Niepewność 

rozszerzona

 

– 

wielkość 

określająca  przedzwartości  wokół  wyniku 
pomiaru,  taki,  że  można  oczekiwać,  iż 
obejmuje  on  dużą  część  rozkładu  wartości, 
które  można  w  określony  sposób  przypisać 
wielkości  mierzonej.  Niepewność  rozszerzona 
bywa  traktowana  jako  poziom  ufności  lub 
niepewność całkowita.

1.8. Współczynnik pokrycia k

 – współczynnik  

liczbowy zastosowany jako mnożnik złożonej 
niepewności standardowej w celu otrzymania 
niepewności rozszerzonej. Przyjmuje się 
zwykle dla rozkładu normalnego i rozkładu 
Studenta wartości z przedziału od 2 do 3. Dla 
rozkładów innych współczynnik pokrycia 
obliczany jest na podstawie zależności 
wynikających z tych rozkładów. 

1. Podstawowe pojęcia

1.9.  Błąd  pomiaru

  –  różnica  między  wynikiem 

pomiaru  a  wartością  rzeczywistą  mierzonej 
wielkości.  Ponieważ  wartość  rzeczywista  nie 
może  być  określona,  w  praktyce  stosuje  się 
wartość poprawną.
 

1.10.Błąd 

przypadkowy

 

– 

różnica 

między 

wynikiem  pomiaru  a  średnią  z  nieskończonej 
liczby  pomiarów  tej  samej  wielkości  mierzonej, 
wykonanych 

w 

warunkach 

powtarzalności. 

Ponieważ można wykonać tylko skończoną liczbę 
pomiarów, 

można 

więc 

dokonać 

jedynie 

oszacowania błędu przypadkowego.
 

1.11.Błąd systematyczny

 – różnica między 

średnią  z nieskończonej liczby pomiarów 
wykonanych w warunkach powtarzalności, a 
wartością rzeczywistą wielkości mierzonej. Błąd 
systematyczny i jego przyczyny nie mogą być 
znane dokładnie, jednak w wielu przypadkach 
możliwe jest znaczne jego wyeliminowanie. 

1. Podstawowe pojęcia

1.12. 

Poziom 

ufności, 

„poziom 

ufności”

 

– 

prawdopodobieństwo  z  jakim  wartość  rzeczywista 
wielkości  mierzonej  mieści  się  w  przedziale  wokół 
wyniku pomiaru określonym niepewnością pomiaru. 

   Terminy „confidence level” i „level of confidence”. 
   Polskim odpowiednikiem pierwszego z nich jest 
termin poziom ufności. Ponieważ nie ma przyjętego 
powszechnie odpowiednika dla drugiego z nich, a 
ma on podobne choć nieco inne znaczenie, stąd 
stosujemy dla niego termin powstały z 
odpowiednika pierwszego  przez dodanie 
cudzysłowu, czyli „poziom ufności”. Można mówić o 
poziomie ufności wtedy gdy u(x

i

) jest otrzymane 

tylko z szacowań typu A. 
Analogiczne uwagi można podać odnośnie 
przedziału ufności. 

2. Zasady określania niepewności 

pomiaru.

 

2.1. Szacowanie typu A niepewności standardowej.

          Jeśli  wykonano  n  pojedynczych  pomiarów  X

i,k

 

wielkości 

wejściowej 

X

i

, 

o 

oszacowaniu 

x

i

 

równającemu  się  X

i

,  to  niepewność  standardowa 

tego oszacowania wynosi:
 
 
gdzie          jest odchyleniem średnim kwadratowym 
średniej obliczonym wg wzoru:
 

gdzie:
X

i,k

  –  jest  to  wynik  k-tego  pojedynczego  pomiaru 

wielkości X

i

;

        - jest wartością średnią n pomiarów. 

 

 

i

i

X

s

x

u



 

i

X

s

 









1

1

2

,













n

n

X

X

X

s

n

k

i

k

i

i

i

X

2.2. Szacowanie typu B niepewności 

standardowej

 

2.2.1. 

Jeśli 

oszacowanie 

x

i

 

jest 

wzięte 

z 

dokumentacji  producenta,  świadectwa  kalibracji, 
literatury czy innych źródeł i jego niepewność jest 
pewną wielokrotnością odchylenia standardowego, 
to  niepewność  standardowa  u(x

i

)  może  być 

przyjęta    jako  równa  tej  podanej  niepewności 
podzielonej przez tą wielokrotność. 

W  przypadkach,  kiedy  można  założyć,  że  przy 
obliczaniu 

przedziałów 

niepewności 

przyjęto 

rozkład 

normalny, 

odchylenie 

standardowe 

otrzymuje  się  dzieląc  podaną  niepewność  przez 
odpowiedni  współczynnik  związany  z  rozkładem 
normalnym. 

Dla „poziomów ufności” 90%, 95%, 99% wartości 
odpowiednich współczynników wynoszą 1,64; 1,96; 
2,58. 

2.2. Szacowanie typu B niepewności 

standardowej

2.2.2.  Jeśli  wiadomo,  że  wartość  wielkości 
wejściowej  X

i

  leży  w  przedziale  od  a

-

  do  a

+

  z 

prawdopodobieństwem 

100% 

i 

rozkład 

możliwych 

wartości 

tej 

wielkości 

jest 

prostokątny (równomierny), to można przyjąć:

gdzie: 

 

3

a

x

u

i



2









a

a

a

2.3. Określanie złożonej niepewności 

standardowej.

 

Zakłada  się,  że  wielkość  mierzona  Y  jako  wielkość 
wyjściowa  jest  wyrażona  przez  wielkości  wejściowe  X

1

, 

X

2

, ..., X

N

 za pomocą wzoru:

 
                                        Y = f(X

1

, X

2

, ..., X

N

)

 Niepewność  standardową  złożoną  wielkości  y  będącej 
oszacowaniem  wartości  fizycznej  Y,  oznaczoną  u

c

(y), 

oblicza się ze wzoru:
 

gdzie  wielkość  u(x

i

)  jest  niepewnością  standardową 

obliczoną w wyniku szacowania typu A lub szacowania typu 
B, 
       jest pochodną cząstkową funkcji f względem x

i

. 

       
       jest względną niepewnością standardową dla x

i

. 

Przyjmując  oznaczenia                        oraz  u

i

(y)=c

i

u(x

i

)  można 

napisać:

Względna niepewność złożona wielkości y wynosi          . 

 

 

























N

i

i

i

c

x

u

x

f

y

u

1

2

2

i

x

f





 

i

i

x

x

u

i

i

x

f

c







 

 







N

i

i

c

y

u

y

u

1

2

 

y

y

u

c

2.4. Określanie niepewności rozszerzonej

 

2.4.1. Określenie 

złożonej niepewności 

standardowej u

c

(y),

 którą zaleca się podawać, gdy 

ma ona być przedmiotem dalszych obliczeń, nie 
zawsze jest wystarczające. 
Oblicza się wtedy tzw. niepewność rozszerzoną, 
którą zaleca się podawać gdy jest to wynik 
końcowy i nie będzie on podlegał dalszej 
„obróbce” oraz dla pewnych zastosowań w handlu, 
w przemyśle, w przepisach prawnych, w ochronie 
zdrowia i zapewnieniu bezpieczeństwa, gdzie jest 
potrzebne podanie przedziału wartości, wewnątrz 
którego z dużym prawdopodobieństwem mieści się 
wartość rzeczywista wielkości. 

2.4. Określanie niepewności 

rozszerzonej.

2.4.2. 

Niepewność  rozszerzoną  U

  oblicza  się 

wg wzoru:

 
                                          U = ku

c

(y)

 gdzie  u

c

(y) jest niepewnością złożoną y, 

            k jest współczynnikiem pokrycia.
- dla 

normalnego 

rozkładu 

prawdopodobieństwa  i  rozkładu  t-Studenta 
współczynnik  k  przyjmuje  wartości  z  przedziału 
od 2 do 3. 

Wartości 

odpowiadające 

odpowiednim 

poziomom  i  liczbie  efektywnych  stopni  swobody 
zebrane są w ogólnodostępnych tablicach.

- 

dla 

prostokątnego 

rozkładu 

prawdopodobieństwa  współczynnik  k  oblicza  się 
z zależności:

        
 
(gdzie p jest założonym poziomem ufności). 

 

3

p

p

k



3.   Zasady podawania niepewności 

pomiaru.

 
3.1. Gdy jako miarę podaje się  złożoną niepewność 
standardową, powinno się:
-   -  podać pełną definicję mierzonej wielkości;
-  - 

jasno 

i 

jednoznacznie 

podać 

wartość 

oszacowania  y  dla  wielkości  fizycznej  Y  i  jego 
niepewność używając tych samych jednostek;
-   jeśli  zachodzi  potrzeba,  podać  względną 
niepewność standardową.

-       Zalecane są cztery sposoby zapisu u

c

(y). 

3.   Zasady podawania niepewności 

pomiaru

Przykłady  (w  których  podana  jest  wartość  masy 
wzorca m):

1)    m  =  100,02147g  ze  złożoną  niepewnością 
standardową u

c

 = 0,00035g

2)    m  =  100,02147(35)g,  gdzie  liczba  w  nawiasie 
jest wartością złożonej niepewności standardowej u

c

 

wyrażoną  w  jednostkach  ostatniego  rzędu  wartości 
liczbowej wielkości mierzonej.

3)    m  =  100,02147(0,00035)g,  gdzie  liczba  w 
nawiasie 

jest 

wartość 

złożonej 

niepewności 

standardowej  wyrażona  w  jednostkach  podawanego 
wyniku.

4)   m = (100,021470,00035)g, gdzie  niepewność 

jest złożoną niepewnością standardową u

c

.

Zaleca się stosować raczej sposoby 1) - 3), a jeśli 4), 
to  koniecznie  z  objaśnieniem  co  oznacza  liczba 
stojąca za znakiem „ ”.

3.   Zasady podawania niepewności 

pomiaru

3.1.  Gdy  jako 

miarę  niepewności  dla  y  stosuje  się 

niepewność rozszerzoną U

, to powinno się:

-         podać definicję wielkości mierzonej;
-         podać wynik pomiaru jako Y = y  U, stosując 

te same jednostki
          dla y i U;
-       podać  wartość  u

c

  oraz  wartość  k,  zastosowaną 

do obliczenia U;
                jeśli  potrzeba,  to  również  względną 
niepewność rozszerzoną; 
-       podać przybliżony „poziom ufności”.