2013/2014

Ekonometria

Materiał dodatkowy do listy 6

Wyznaczenie decyzji optymalnej – zastosowanie warstwic

Szczegóły rozwiązania/„uzasadnienie rozwiązania ” (jedno z możliwych podejść)

Rozpatrujemy funkcję celu postaci

f (x

1

, x

2

) = c

1

x

1

+ c

2

x

2

−→ max, c

1

> 0, c

2

> 0, x

1

­ 0, x

2

­ 0.

W tym przypadku warstwice W

z

(f ) są prostymi postaci:

c

1

x

1

+ c

2

x

2

= z,

czyli

x

2

=

−

c

1

c

2

x

1

+

z

c

2

. Zauważmy, że są to funkcje malejące, ponieważ

−

c

1

c

2

< 0.

Zadanie 2, 3 i 4 – określenie decyzji optymalnej:

1. wyznaczamy równania warstwic przechodzących przez poszczególne wierzchołki

zbioru decyzji dopuszczalnych D,

2. wybieramy ten wierzchołek, przez który przechodzi warstwica o największym

wyrazie wolnym

z

c

2

; tym samym wybieramy punkt zbioru D, w którym funkcja

celu osiąga największą wartość (c

1

x

1

+ c

2

x

2

= z). Decyzja optymalna to właśnie

współrzędne wierzchołka wybranego w opisany powyżej sposób.

Przykład – zadanie 3 (szkic fragmentu rozwiązania).

Funkcja celu: f (x

1

, x

2

) = 60x

1

+ 20x

2

−→ max, x

1

­ 0, x

2

­ 0, gdzie x

1

– wielkość

produkcji wyrobu W

1

, x

2

– wielkość produkcji wyrobu W

2

.

Warstwice W

z

(f ) są prostymi równoległymi (wszystkie mają bowiem taki sam współ-

czynnik kierunkowy równy

−3, mogą się różnić wyrazami wolnymi z/20) postaci:

x

2

=

−3x

1

+

z

20

.

D = czworokąt ABCE, gdzie A = (0, 0), B = (300, 0), C =

(

133

1

3

, 333

1

3

)

, E = (0, 400).

Warstwica przechodząca przez punkt B dana jest wzorem x

2

=

−3x

1

+ 900 (punkt

B należy do prostej o szukanym wzorze, a zatem 0 =

−3 · 300 + z/20). Stąd

z/20 = 900

⇔ z = 18 000 ← wartość funkcji celu dla argumentów x

1

= 300, x

2

= 0.

Natomiast warstwica przechodząca przez punkt C dana jest wzorem x

2

=

−3x

1

+ 733

1

3

(

333

1

3

=

−3 · 133

1

3

+ z/20

)

. Zatem z/20 = 733

1

3

⇔ z = 14 666

1

3

.

Tak więc D

opt.

=

{(300, 0)}. Przy przyjętych ograniczeniach zysk jest największy i wynosi

18 000 zł, gdy przedsiębiorstwo produkuje tylko wyrób W

1

w liczbie 300 sztuk.

Agnieszka Mruklik