!"#$%& %'()*%& +$#!+$#,-'.,-/& '("#$0& 1)',2(#(%$.,& 34$& 1(#)'!5& !2'$+6.7& +$#7)$4.!2(&
z matematyki (5(%68'798-!9& (3& )(:7& ;<=<>& $%6!)$& %'(),& 1)',3$#.!& 3(& )('%68'$.6$& '$3$?&
'& %"',"#:6-/& 3'6$0*%& +$#!+$#,:6@& 34$#!2(& +(A!& "07A,B& '3$98-,+& .6!& #,4:(& 1(3-'$"&
egzamin7@&$4!&6&%&-'$"6!&1)',2(#(%$?&3(&+$#7),>
!"#$%& #!.& '("#$0& (1)$-(%$.,& %& C!.#)$4.!9& D(+6"96& E2'$+6.$-,9.!9& %!& %"1*01)$-,&
z 1)$-(%.6:$+6& %,A"',-/& 7-'!4.6& ()$'& %& :(."74#$-96& '& !:"1!)#$+6& '& (:)F2(%,-/& :(+6"96&
egzaminacyjnych.

G$+,& .$3'6!9F@& A!& '!"#$%@& :#*),& 1)',2(#(%$46H+,& +$#7)',"#(+@& "1!0.6& "%(9!& '$3$.6!&
i 1)',-',.6&"6F&3(&!2'$+6.$-,9.,-/&"7:-!"*%>

I7546:$-9$&%"1*0J6.$."(%$.$&1)'!'&KE&%&)$+$-/&E7)(1!9":6!2(&L7.37"'7&M1(0!-'.!2(>

I7546:$-9$&9!"#&3,"#),57(%$.$&5!'10$#.6!>

S

!"#$%&'(!

1. N$)#(HB&5!'%'24F3.$&46-'5,............................................................................ 1

2. I(#F26&6&16!)%6$"#:6........................................................................................... 1

3. Logarytmy........................................................................................................ 2

4. M64.6$>&N"1*0-',..6:&3%7+6$.(%, ................................................................ 2

5. Wzór dwumianowy Newtona........................................................................... 2

6. N'(),&":)*-(.!2(&+.(A!.6$........................................................................... 3

7. C6826 ................................................................................................................. 3

8. Funkcja kwadratowa ........................................................................................ 4

9. Geometria analityczna...................................................................................... 4

10. Planimetria ....................................................................................................... 6

11. Stereometria ................................................................................................... 12

12. Trygonometria................................................................................................ 14

13. Kombinatoryka............................................................................................... 15

14. O$-/7.!:&1)$%3(1(3(56!?"#%$ .................................................................... 15

15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16

16. P$546-$&%$)#(H-6&J7.:-96&#),2(.(+!#),-'.,-/............................................... 17

1

1. W

ARTO ! BEZWZGL"DNA LICZBY

Warto ! bezwzgl"dn# liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:

dla

0

dla

0

x

x

x

x

x

!

" #

$

%

&

Liczba x jest to odleg$o ! na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególno ci:

0

x

x

x

$ "

Dla dowolnych liczb x, y mamy:

x

y

x

y

' (

'

x

y

x

y

$ (

'

x y

x

y

) "

)

Ponadto, je li

0

y *

, to

x

x

y

y

"

Dla dowolnych liczb

a

oraz

0

r mamy warunki równowa%ne:

x a

r

a r

x

a

r

$ (

+

$ ( ( '

lub

x a

r

x

a r

x

a

r

$

+

( $

'

2. P

OT"GI I PIERWIASTKI

Niech

n

b"dzie liczb# ca$kowit# dodatni#. Dla dowolnej liczby

a

definiujemy jej

n

–t# pot"g":

razy

...

n

n

a

a

a

" ) )

!"

Pierwiastkiem arytmetycznym

n

a

stopnia

n

z liczby

0

a nazywamy liczb"

0

b tak#,

%e

n

b

a

"

.

W szczególno ci, dla dowolnej liczby

a

zachodzi równo !:

2

a

a

"

.

Je%eli

0

a % oraz liczba

n

jest nieparzysta, to

n

a

oznacza liczb"

0

b % tak#, %e

n

b

a

"

.

Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniej#.

_____

*

_____

Niech

m

,

n

b"d# liczbami ca$kowitymi dodatnimi. Definiujemy:

$

dla

0

a * :

1

n

n

a

a

$

"

oraz

0

1

a "

$

dla

0

a

:

m

n

m

n

a

a

"

$

dla

0

a ,

:

1

m

n

n

m

a

a

$

"

Niech r, s b"d# dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Je li

0

a ,

i

0

b ,

, to zachodz#

równo ci:

r

s

r s

a a

a

'

)

"

- .

s

r

r s

a

a

)

"

r

r s

s

a

a

a

$

"

-

.

r

r

r

a b

a b

)

"

)

r

r

r

a

a

b

b

/ 0 "

1 2

3 4

Je%eli wyk$adniki r, s s# liczbami ca$kowitymi, to powy%sze wzory obowi#zuj#
dla wszystkich liczb

0

a *

i

0

b *

.

2

3.

L

OGARYTMY

Niech

0

a ,

i

1

a *

. Logarytmem log

a

c liczby

0

c ,

przy podstawie a nazywamy wyk$adnik

b pot"gi, do której nale%y podnie ! podstaw" a, aby otrzyma! liczb" c:

log

b

a

c

b

a

c

" +

"

Równowa%nie:

log

a

c

a

c

"

Dla dowolnych liczb

0

x ,

,

0

y , oraz

r zachodz# wzory:

-

.

log

log

log

a

a

a

x y

x

y

)

"

'

log

log

r

a

a

x

r

x

" )

log

log

log

a

a

a

x

x

y

y

"

$

Wzór na zamian" podstawy logarytmu:
je%eli

0

a ,

,

1

a *

,

0

b ,

,

1

b *

oraz

0

c ,

, to

log

log

log

a

b

a

c

c

b

"

log

x oraz lg x oznacza

10

log x .

4.

S

ILNIA

.

W

SPÓ#CZYNNIK DWUMIANOWY

Silni# liczby ca$kowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb ca$kowitych
od 1 do n w$#cznie:

! 1 2 ...

n

n

" ) ) )

Ponadto przyjmujemy umow", %e

0! 1

" .

Dla dowolnej liczby ca$kowitej

0

n

zachodzi zwi#zek:

-

.

-

.

1 !

!

1

n

n

n

'

"

)

'

_____

*

_____

Dla liczb ca$kowitych n, k spe$niaj#cych warunki

0

k

n

( (

definiujemy wspó$czynnik

dwumianowy

n

k

/ 0

1 2

3 4

(symbol Newtona):

-

.

!

!

!

n

n

k

k n k

/ 0

"

1 2

$

3 4

Zachodz# równo ci:

-

.-

.

-

.

1

2 ...

1

1 2 3 ...

n

n n

n

n k

k

k

$

$

) )

$ '

/ 0

"

1 2

) ) ) )

3 4

n

n

k

n k

/ 0 /

0

"

1 2 1

2

$

3 4 3

4

1

0

n

/ 0

"

1 2

3 4

1

n

n

/ 0

"

1 2

3 4

5.

W

ZÓR DWUMIANOWY

N

EWTONA

Dla dowolnej liczby ca$kowitej dodatniej

n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:

-

.

1

1

...

...

0

1

1

n

n

n

n k

k

n

n

n

n

n

n

n

a b

a

a b

a

b

ab

b

k

n

n

$

$

$

/ 0

/ 0

/ 0

/

0

/ 0

'

"

'

' '

' '

'

1 2

1 2

1 2

1

2

1 2

$

3 4

3 4

3 4

3

4

3 4

3

6. W

ZORY SKRÓCONEGO MNO$ENIA

Dla dowolnych liczb

a, b:

-

.

2

2

2

2

a b

a

ab b

'

"

'

'

-

.

3

3

2

2

3

3

3

a b

a

a b

ab

b

'

"

'

'

'

-

.

2

2

2

2

a b

a

ab b

$

"

$

'

-

.

3

3

2

2

3

3

3

a b

a

a b

ab

b

$

"

$

'

$

Dla dowolnej liczby ca$kowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór:

-

.

-

.

1

2

1

2

1

...

...

n

n

n

n

n k

k

n

n

a

b

a b a

a

b

a

b

ab

b

$

$

$

$

$

$

$

"

$

'

' '

' '

'

W szczególno ci:

-

.-

.

2

2

a

b

a b a b

$

"

$

'

-

.-

.

2

1

1

1

a

a

a

$ "

$

'

-

.

-

.

3

3

2

2

a

b

a b a

ab b

$

"

$

'

'

-

.

-

.

3

2

1

1

1

a

a

a

a

$ "

$

' '

-

.

-

.

3

3

2

2

a

b

a b a

ab b

'

"

'

$

'

-

.

-

.

3

2

1

1

1

a

a

a

a

' "

'

$ '

-

.

-

.

1

1

1 1

...

n

n

a

a

a

a

$

$ "

$

' ' '

7. C

I%GI

5

Ci#g arytmetyczny

Wzór na n–ty wyraz ci#gu arytmetycznego

- .

n

a

o pierwszym wyrazie

1

a i ró%nicy r:

-

.

1

1

n

a

a

n

r

"

'

$

Wzór na sum"

1

2

...

n

n

S

a

a

a

"

'

' '

pocz#tkowych n wyrazów ci#gu arytmetycznego:

-

.

1

1

2

1

2

2

n

n

a

n

r

a

a

S

n

n

'

$

'

"

) "

)

Mi"dzy s#siednimi wyrazami ci#gu arytmetycznego zachodzi zwi#zek:

1

1

dla

2

2

n

n

n

a

a

a

n

$

'

'

"

5

Ci#g geometryczny

Wzór na n–ty wyraz ci#gu geometrycznego

- .

n

a

o pierwszym wyrazie

1

a i ilorazie q:

1

1

dla

2

n

n

a

a q

n

$

" )

Wzór na sum"

1

2

...

n

n

S

a

a

a

"

'

' '

pocz#tkowych n wyrazów ci#gu geometrycznego:

1

1

1

dla

1

1

dla

1

n

n

q

a

q

S

q

n a

q

!

$

)

*

6

"

$

#

6 )

"

&

Mi"dzy s#siednimi wyrazami ci#gu geometrycznego zachodzi zwi#zek:

2

1

1

dla

2

n

n

n

a

a

a

n

$

'

"

)

5

Procent sk$adany

Je%eli kapita$ pocz#tkowy K z$o%ymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat
wynosi %

p

w skali rocznej, to kapita$ ko&cowy

n

K wyra%a si" wzorem:

1

100

n

n

p

K

K

/

0

"

) '

1

2

3

4

4

8.

F

UNKCJA KWADRATOWA

Posta! ogólna funkcji kwadratowej:

- .

2

f x

ax

bx c

"

'

'

,

0

a *

,

x

R

7

.

Wzór ka%dej funkcji kwadratowej mo%na doprowadzi! do postaci kanonicznej:

- .

-

.

2

f x

a x

p

q

"

$

' , gdzie

2

b

p

a

" $

,

4

q

a

8

" $

,

2

4

b

ac

8 "

$

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzcho$ku w punkcie o wspó$rz"dnych

-

.

,

p q

.

Ramiona paraboli skierowane s# do góry, gdy

0

a ,

, do do$u, gdy

0

a %

.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej

- .

2

f x

ax

bx c

"

'

'

(liczba pierwiastków

trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwi#za& równania

2

0

ax

bx c

'

' " ), zale%y

od wyró%nika

2

4

b

ac

8 "

$

:

$

je%eli

0

8 %

, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy

nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwi#za&
rzeczywistych),

$

je%eli

0

8 "

, to funkcja kwadratowa ma dok$adnie jedno miejsce zerowe (trójmian

kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dok$adnie jedno

rozwi#zanie rzeczywiste):

1

2

2

b

x

x

a

"

" $

$

je%eli

0

8 ,

, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy

ma dwa ró%ne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwi#zania
rzeczywiste):

1

2

b

x

a

$ $ 8

"

2

2

b

x

a

$ ' 8

"

Je li

0

8

, to wzór funkcji kwadratowej mo%na doprowadzi! do postaci iloczynowej:

- .

-

.-

.

1

2

f x

a x

x

x

x

"

$

$

Wzory Viéte’a
Je%eli

0

8

to

1

2

1

2

b

c

x

x

x x

a

a

$

'

"

)

"

9.

G

EOMETRIA ANALITYCZNA

5

Odcinek

D$ugo ! odcinka o ko&cach w punktach

-

.

,

A

A

A

x

y

"

,

-

.

,

B

B

B

x

y

"

dana jest wzorem:

-

. -

.

2

2

B

A

B

A

AB

x

x

y

y

"

$

'

$

Wspó$rz"dne rodka odcinka AB:

,

2

2

A

B

A

B

x

x

y

y

'

'

/

0

1

2

3

4

x

y

O

!

,

"

B

B

B

x

y

!

,

"

A

A

A

x

y

5

#

Wektory

Wspó rz!dne wektora

AB

!

:

$

%

,

B

A

B

A

AB

x

x

y

y

"

&

&

!

Je"eli

$

%

1

2

,

u

u u

"

!

,

$

%

1

2

,

v

v v

"

!

s# wektorami, za$ a jest liczb#, to

$

%

1

1

2

2

,

u

v

u

v u

v

' "

'

'

!

!

$

%

1

2

,

a u

a u a u

( "

(

(

!

#

Prosta

Równanie ogólne prostej:

0

Ax

By C

'

' " ,

gdzie

2

2

0

A

B

'

) (tj. wspó czynniki A, B nie s# równocze$nie równe 0).

Je"eli

0

A "

, to prosta jest równoleg a do osi Ox; je"eli

0

B "

, to prosta jest równoleg a

do osi Oy; je"eli

0

C "

, to prosta przechodzi przez pocz#tek uk adu wspó rz!dnych.

Je"eli prosta nie jest równoleg a do osi Oy, to ma ona
równanie kierunkowe:

y

ax b

"

'

Liczba a to wspó czynnik kierunkowy prostej:

tg

a

*

"

Wspó czynnik b wyznacza na osi Oy punkt,
w którym dana prosta j# przecina.

Równanie kierunkowe prostej o wspó czynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt

!

0

0

,

P

x

y

"

:

!

0

0

y

a x

x

y

"

&

'

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty

!

,

A

A

A

x

y

"

,

!

,

B

B

B

x

y

"

:

!

!

!

!

0

A

B

A

B

A

A

y

y

x

x

y

y

x

x

&

&

&

&

&

"

#

Prosta i punkt

Odleg o$% punktu

!

0

0

,

P

x y

"

od prostej o równaniu

0

Ax

By C

'

' " jest dana wzorem:

0

0

2

2

Ax

By

C

A

B

'

'

'

#

Para prostych

Dwie proste o równaniach kierunkowych

1

1

y

a x b

"

'

2

2

y

a x b

"

'

spe niaj# jeden z nast!puj#cych warunków:

&

s# równoleg e, gdy

1

2

a

a

"

&

s# prostopad e, gdy

1 2

1

a a " &

&

tworz# k#t ostry

+

i

1

2

1 2

tg

1

a

a

a a

+

&

"

'

b

x

O

y

y

ax b

"

'

6

Dwie proste o równaniach ogólnych:

1

1

1

0

A x

B y C

'

'

"

2

2

2

0

A x

B y C

'

'

"

&

s# równoleg e, gdy

1

2

2

1

0

A B

A B

&

"

&

s# prostopad e, gdy

1

2

1

2

0

A A

B B

'

"

&

tworz# k#t ostry

+

i

1

2

2

1

1

2

1

2

tg

A B

A B

A A

B B

+

&

"

'

#

Trójk#t

Pole trójk#ta ABC o wierzcho kach

!

,

A

A

A

x

y

"

,

!

,

B

B

B

x

y

"

,

!

,

C

C

C

x

y

"

, jest dane

wzorem:

!

!

!

!

1

2

ABC

B

A

C

A

B

A

C

A

P

x

x

y

y

y

y

x

x

,

"

&

&

&

&

&

&rodek ci!"ko$ci trójk#ta ABC, czyli punkt przeci!cia jego $rodkowych, ma wspó rz!dne:

,

3

3

A

B

C

A

B

C

x

x

x

y

y

y

'

'

'

'

-

.

/

0

1

2

#

Przekszta cenia geometryczne

&

przesuni!cie o wektor

$ %

,

u

a b

"

!

przekszta ca punkt

!

,

A

x y

"

na punkt

!

,

A

x

a y b

3 "

'

'

&

symetria wzgl!dem osi Ox przekszta ca punkt

!

,

A

x y

"

na punkt

!

,

A

x

y

3 "

&

&

symetria wzgl!dem osi Oy przekszta ca punkt

!

,

A

x y

"

na punkt

!

,

A

x y

3 " &

&

symetria wzgl!dem punktu

!

,

a b

przekszta ca punkt

!

,

A

x y

"

na punkt

!

2

, 2

A

a

x b

y

3 "

&

&

&

jednok adno$% o $rodku w punkcie

!

0, 0

i skali

0

s )

przekszta ca punkt

!

,

A

x y

"

na punkt

!

,

A

sx sy

3 "

#

Równanie okr!gu

Równanie okr!gu o $rodku w punkcie

!

,

S

a b

"

i promieniu

0

r 4

:

!

!

2

2

2

x a

y b

r

&

'

&

"

lub

2

2

2

2

0

x

y

ax

by c

'

&

&

' " gdy

2

2

2

0

r

a

b

c

"

'

& 4

10.

P

LANIMETRIA

#

Cechy przystawania trójk#tów

A

B

C

D

E

F

7

To, "e dwa trójk#ty ABC i DEF s# przystaj#ce (

ABC

DEF

,

5 ,

), mo"emy stwierdzi%

na podstawie ka"dej z nast!puj#cych

cech przystawania trójk tów

:

&

cecha przystawania „bok – bok – bok”:

odpowiadaj#ce sobie boki obu trójk#tów maj# te same d ugo$ci:

AB

DE

"

,

AC

DF

"

,

BC

EF

"

&

cecha przystawania „bok – k#t – bok”:

dwa boki jednego trójk#ta s# równe odpowiadaj#cym im bokom drugiego trójk#ta
oraz k#t zawarty mi!dzy tymi bokami jednego trójk#ta ma tak# sam# miar!
jak odpowiadaj#cy mu k#t drugiego trójk#ta, np.

AB

DE

"

,

AC

DF

"

,

BAC

EDF

"

"

"

&

cecha przystawania „k#t – bok – k#t”:

jeden bok jednego trójk#ta ma t! sam# d ugo$%, co odpowiadaj#cy mu bok drugiego
trójk#ta oraz miary odpowiadaj#cych sobie k#tów obu trójk#tów, przyleg ych do boku,
s# równe, np.

AB

DE

"

,

BAC

EDF

"

"

"

,

ABC

DEF

"

"

"

#

Cechy podobie'stwa trójk#tów

To, "e dwa trójk#ty ABC i DEF s# podobne (

~

ABC

DEF

,

,

), mo"emy stwierdzi%

na podstawie ka"dej z nast!puj#cych

cech podobie!stwa trójk tów

:

&

cecha podobie'stwa „bok – bok – bok”:

d ugo$ci boków jednego trójk#ta s# proporcjonalne do odpowiednich d ugo$ci boków

drugiego trójk#ta, np.

AB

AC

BC

DE

DF

EF

"

"

&

cecha podobie'stwa „bok – k#t – bok”:

d ugo$ci dwóch boków jednego trójk#ta s# proporcjonalne do odpowiednich d ugo$ci
dwóch boków drugiego trójk#ta i k#ty mi!dzy tymi parami boków s# przystaj#ce, np.

AB

AC

DE

DF

"

,

BAC

EDF

"

"

"

&

cecha podobie'stwa „k#t – k#t – k#t”:

dwa k#ty jednego trójk#ta s# przystaj#ce do odpowiednich dwóch k#tów drugiego
trójk#ta (wi!c te" i trzecie k#ty obu trójk#tów s# przystaj#ce):

BAC

EDF

"

"

"

,

ABC

DEF

"

"

"

,

ACB

DFE

"

"

"

A

B

C

D

E

F

8

Przyjmujemy oznaczenia w trójk#cie ABC:

a, b, c – d ugo$ci boków, le"#cych odpowiednio

naprzeciwko wierzcho ków A, B, C

2 p

a b c

" ' ' – obwód trójk#ta

* ,

6

,

7

– miary k#tów przy

wierzcho kach A, B, C

a

h ,

b

h ,

c

h – wysoko$ci opuszczone

z wierzcho ków A, B, C

R, r – promienie okr!gów opisanego

i wpisanego

#

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

W trójk#cie ABC k#t

7

jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy

2

2

2

a

b

c

'

"

.

#

Zwi#zki miarowe w trójk#cie prostok#tnym

Za ó"my, "e k#t

7

jest prosty. Wówczas:

2

c

h

AD DB

"

(

c

ab

h

c

"

sin

cos

a

c

c

*

6

" (

" (

1

tg

tg

a

b

b

*

6

" (

" (

1

2

R

c

"

2

a b c

r

p c

' &

"

" &

#

Twierdzenie sinusów

2

sin

sin

sin

a

b

c

R

*

6

7

"

"

"

#

Twierdzenie cosinusów

2

2

2

2

cos

a

b

c

bc

*

"

'

&

2

2

2

2

cos

b

a

c

ac

6

"

'

&

2

2

2

2

cos

c

a

b

ab

7

"

'

&

#

Wzory na pole trójk#ta

1

1

1

2

2

2

ABC

a

b

c

P

a h

b h

c h

,

" ( (

" ( (

" ( (

1

sin

2

ABC

P

a b

7

,

"

( (

2

2

1

sin

sin

2

sin

sin

sin

2

sin

ABC

P

a

R

6

7

*

6

7

*

,

(

"

"

(

(

(

!

!

!

4

ABC

abc

P

rp

p p a

p b

p c

R

,

"

"

"

&

&

&

#

Trójk#t równoboczny

a – d ugo$% boku

h – wysoko$% trójk#ta

3

2

a

h "

2

3

4

a

P

,

"

C

A

B

a

b

c

!

"

c

A

C

.

a

b

h

c

B

"

!

D

9

#

Twierdzenie Talesa

Je"eli proste równoleg e AA3 i BB3 przecinaj# dwie proste, które przecinaj# si! w punkcie O, to

OA

OB

OA

OB

"

3

3

.

#

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Je"eli proste AA3 i BB3 przecinaj# dwie proste, które przecinaj# si! w punkcie O oraz

OA

OB

OA

OB

"

3

3

, to proste AA3 i BB3 s# równoleg e.

#

Czworok#ty

Trapez

Czworok#t, który ma co najmniej jedn# par!
boków równoleg ych.
Wzór na pole trapezu:

2

a b

P

h

'

"

(

Równoleg"obok

Czworok#t, który ma dwie pary boków
równoleg ych.

Wzory na pole równoleg oboku:

1

sin

sin

2

P

ah

a b

AC BD

*

+

"

" ( (

" (

(

(

Romb

Czworok#t, który ma dwie pary boków
równoleg ych jednakowej d ugo$ci.

Wzory na pole rombu:

2

1

sin

2

P

ah

a

AC BD

*

"

"

(

" (

(

Deltoid

Czworok#t, który ma o$ symetrii, zawieraj#c#
jedn# z przek#tnych.

Wzór na pole deltoidu:

1

2

P

AC BD

" (

(

A

B

C

D

h

a

b

E

B

A

3

A

3

B

O

B

A

3

A

3

B

O

A

B

C

D

*

h

a

b

+

a

A

B

C

D

*

h

A

B

C

D

10

#

Ko o

Wzór na pole ko a o promieniu r:

2

P

r

8

"

Obwód ko a o promieniu r:

2

Ob

r

8

"

#

Wycinek ko a

Wzór na pole wycinka ko a o promieniu r
i k#cie $rodkowym

* wyra"onym

w stopniach:

2

360

P

r

*

8

"

(

#

D ugo$% uku wycinka ko a o promieniu r
i k#cie $rodkowym

* wyra"onym

w stopniach:

2

360

l

r

*

8

"

(

#

#

K#ty w okr!gu

Miara k#ta wpisanego w okr#g jest równa
po owie miary k#ta $rodkowego, opartego
na tym samym uku.

Miary k#tów wpisanych w okr#g, opartych
na tym samym uku, s# równe.

#

Twierdzenie o k#cie mi!dzy styczn# i ci!ciw#

Dany jest okr#g o $rodku w punkcie O i jego ci!ciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego
okr!gu w punkcie A. Wtedy

2

AOB

CAB

" (

"

"

, przy czym wybieramy ten z k#tów

$rodkowych AOB, który jest oparty na uku znajduj#cym si! wewn#trz k#ta CAB.

r

O

r

O

*

B

A

O

*

*

*

2*

A

B

A

C

B

O

A

C

B

O

11

#

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Dane s#: prosta przecinaj#ca okr#g w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okr!gu
w punkcie C. Je"eli proste te przecinaj# si! w punkcie P, to

2

PA PB

PC

(

"

#

Okr#g opisany na czworok#cie

Na czworok#cie mo"na opisa% okr#g wtedy
i tylko wtedy, gdy sumy miar jego
przeciwleg ych k#tów wewn!trznych
s# równe 180°:

180

* 7

6 9

' " ' "

#

#

Okr#g wpisany w czworok#t

W czworok#t wypuk y mo"na wpisa% okr#g
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy d ugo$ci jego
przeciwleg ych boków s# równe:

a c

b d

' " '

B

C

9

*

6

7

A

D

c

a

r

A

B

C

D

b

d

C

B

P

A

.

12

11.

S

TEREOMETRIA

Twierdzenie o trzech prostych prostopad ych

Prosta k przebija p aszczyzn! w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostok"tnym prostej k na t!
p aszczyzn!. Prosta m le#y na tej p aszczy$nie i przechodzi przez punkt P.
Wówczas prosta m jest prostopad a do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopad a
do prostej l.

Oznaczenia

P –

pole powierzchni ca kowitej

p

P –

pole powierzchni podstawy

b

P –

pole powierzchni bocznej

V

–

obj!to%&

Prostopad o%cian

!

"

2

#

$

$

P

ab bc

ac

#

V

abc

gdzie a, b, c s" d ugo%ciami kraw!dzi
prostopad o%cianu

Graniastos up prosty

2

b

P

p h

#

%

p

V

P h

#

%

gdzie 2 p jest obwodem podstawy
graniastos upa

P

m

l

k

A

C

D

E

H

B

F

G

a

b

c

I

J

h

F

A

B

C

D

E

G

H

13

Ostros up

1

3

p

V

P h

!

"

gdzie h jest wysoko!ci" ostros upa

Walec

2

!

b

P

rh

#

$

%

2

!

&

P

r r

h

#

2

!

V

r h

#

gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysoko!ci" walca

Sto#ek

!

b

P

rl

#

$

%

!

&

P

r r

l

#

2

1

3

!

V

r h

#

gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysoko!ci", l d ugo!ci" tworz"cej sto#ka

Kula

2

4

!

P

r

#

3

4

3

!

V

r

#

gdzie r jest promieniem kuli

O

h

r

O

h

r

S

l

r

O

E

D

A

B

C

S

h

14

12.

T

RYGONOMETRIA

Definicje funkcji trygonometrycznych

sin

y

r

'

!

cos

x

r

'

!

tg

y

x

'

! , gdy

0

x (

gdzie

2

2

0

r

x

y

!

&

)

jest

promieniem wodz"cym punktu M

Wykresy funkcji trygonometrycznych

sin

y

x

!

cos

y

x

!

tg

y

x

!

Zwi"zki mi$dzy funkcjami tego samego k"ta

2

2

sin

cos

1

'

'

&

!

sin

tg

cos

'

'

'

!

dla

2

k

#

'

#

(

&

k – ca kowite

Niektóre warto!ci funkcji trygonometrycznych

0

30

45

60

90

'

0

6

#

4

#

3

#

2

#

sin

'

0

1

2

2

2

3

2

1

cos

'

1

3

2

2

2

1

2

0

tg

'

0

3

3

1

3

nie

istnieje

x

y

M

=(x, y)

M’

O

'

r

15

Funkcje sumy i ró#nicy k"tów

Dla dowolnych k"tów

' ,

*

zachodz" równo!ci:

$

%

$

%

$

%

$

%

sin

sin

cos

cos sin

sin

sin

cos

cos sin

cos

cos

cos

sin

sin

cos

cos

cos

sin

sin

' *

'

*

'

*

' *

'

*

'

*

' *

'

*

'

*

' *

'

*

'

*

&

!

&

+

!

+

&

!

+

+

!

&

Ponadto mamy równo!ci:

$

%

$

%

tg

tg

tg

tg

tg

tg

1 tg

tg

1 tg

tg

'

*

'

*

' *

' *

'

*

'

*

&

+

&

!

+

!

+

"

&

"

które zachodz" zawsze, gdy s" okre!lone i mianownik prawej strony nie jest zerem.

Funkcje podwojonego k"ta

2

2

2

2

sin 2

2 sin

cos

cos 2

cos

sin

2 cos

1 1 2 sin

'

'

'

'

'

'

'

'

!

!

+

!

+ ! +

13.

K

OMBINATORYKA

Wariacje z powtórzeniami

Liczba sposobów, na które z

n ró#nych elementów mo#na utworzy% ci"g, sk adaj"cy si$

z

k niekoniecznie ró#nych wyrazów, jest równa n

k

.

Wariacje bez powtórze&

Liczba sposobów, na które z

n ró#nych elementów mo#na utworzy% ci"g, sk adaj"cy si$

z

k (

1

k

n

, ,

) ró#nych wyrazów, jest równa

$

%

$

%

$

%

!

1 ...

1

!

n

n n

n k

n k

"

+ " "

+ & !

+

Permutacje

Liczba sposobów, na które

1

n -

ró#nych elementów mo#na ustawi% w ci"g, jest równa

!

n

.

Kombinacje

Liczba sposobów, na które spo!ród

n ró#nych elementów mo#na wybra% k (

0

k

n

, ,

)

elementów, jest równa

n

k

. /

0 1

2 3

.

14.

R

ACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA

W asno!ci prawdopodobie"stwa

! "

0

1

P A

#

#

dla ka#dego zdarzenia

A $ %

! "

1

P % &

% – zdarzenie pewne

! "

0

P ' &

'

– zdarzenie niemo#liwe (pusty podzbiór

% )

! "

! "

P A

P B

#

gdy

A

B

$ $ %

! "

! "

1

P A

P A

( & )

, gdzie A( oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia

A

!

"

! "

! "

!

"

P A

B

P A

P B

P A

B

*

&

+

)

,

, dla dowolnych zdarze" ,

A B $ %

!

"

! "

! "

P A

B

P A

P B

*

#

+

, dla dowolnych zdarze"

,

A B $ %

16

Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobie"stwa

Niech % b$dzie sko"czonym zbiorem wszystkich zdarze" elementarnych. Je#eli wszystkie
zdarzenia jednoelementowe s% jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobie"stwo zdarzenia

A $ % jest równe

! "

A

P A &

%

gdzie

A

oznacza liczb$ elementów zbioru A, za!

%

– liczb$ elementów zbioru % .

15.

P

ARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH

&rednia arytmetyczna

&rednia arytmetyczna n liczb

1

2

,

,...,

n

a a

a jest równa:

1

2

...

n

a

a

a

a

n

+

+ +

&

&rednia wa#ona

&rednia wa#ona n liczb

1

2

,

,...,

n

a a

a , którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi

1

2

,

,...,

n

w w

w

jest równa:

1

1

2

2

1

2

...

...

n

n

n

w a

w a

w a

w

w

w

- +

-

+ +

-

+

+ +

&rednia geometryczna

&rednia geometryczna n nieujemnych liczb

1

2

,

,...,

n

a a

a jest równa:

1

2

...

n

n

a a

a

- - -

Mediana

Median% uporz%dkowanego w kolejno!ci niemalej%cej zbioru

n danych liczbowych

1

2

3

...

n

a

a

a

a

#

#

# #

jest:

)

dla

n nieparzystych:

1

2

n

a

+

(!rodkowy wyraz ci%gu)

)

dla

n parzystych:

1

2

2

1

2

n

n

a

a

+

.

/

+

0

1

2

3

(!rednia arytmetyczna !rodkowych wyrazów ci%gu)

Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancj%

n danych liczbowych

1

2

,

,...,

n

a a

a o !redniej arytmetycznej a jest liczba:

!

" !

"

!

"

! "

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

...

...

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n

4

)

+

)

+ +

)

+

+ +

&

&

)

Odchylenie standardowe

4

jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

17

16. T

!"#$ %& '()*$#%+,-.CJI TRYGONOMETRYCZNYCH

[ ]

sin

cos

!

tg

[ ]

!

[ ]

sin

cos

!

tg

[ ]

!

0

0,0000

0,0000

90

46

0,7193

1,0355

44

1

0,0175

0,0175

89

47

0,7314

1,0724

43

2

0,0349

0,0349

88

48

0,7431

1,1106

42

3

0,0523

0,0524

87

49

0,7547

1,1504

41

4

0,0698

0,0699

86

50

0,7660

1,1918

40

5

0,0872

0,0875

85

51

0,7771

1,2349

39

6

0,1045

0,1051

84

52

0,7880

1,2799

38

7

0,1219

0,1228

83

53

0,7986

1,3270

37

8

0,1392

0,1405

82

54

0,8090

1,3764

36

9

0,1564

0,1584

81

55

0,8192

1,4281

35

10

0,1736

0,1763

80

56

0,8290

1,4826

34

11

0,1908

0,1944

79

57

0,8387

1,5399

33

12

0,2079

0,2126

78

58

0,8480

1,6003

32

13

0,2250

0,2309

77

59

0,8572

1,6643

31

14

0,2419

0,2493

76

60

0,8660

1,7321

30

15

0,2588

0,2679

75

61

0,8746

1,8040

29

16

0,2756

0,2867

74

62

0,8829

1,8807

28

17

0,2924

0,3057

73

63

0,8910

1,9626

27

18

0,3090

0,3249

72

64

0,8988

2,0503

26

19

0,3256

0,3443

71

65

0,9063

2,1445

25

20

0,3420

0,3640

70

66

0,9135

2,2460

24

21

0,3584

0,3839

69

67

0,9205

2,3559

23

22

0,3746

0,4040

68

68

0,9272

2,4751

22

23

0,3907

0,4245

67

69

0,9336

2,6051

21

24

0,4067

0,4452

66

70

0,9397

2,7475

20

25

0,4226

0,4663

65

71

0,9455

2,9042

19

26

0,4384

0,4877

64

72

0,9511

3,0777

18

27

0,4540

0,5095

63

73

0,9563

3,2709

17

28

0,4695

0,5317

62

74

0,9613

3,4874

16

29

0,4848

0,5543

61

75

0,9659

3,7321

15

30

0,5000

0,5774

60

76

0,9703

4,0108

14

31

0,5150

0,6009

59

77

0,9744

4,3315

13

32

0,5299

0,6249

58

78

0,9781

4,7046

12

33

0,5446

0,6494

57

79

0,9816

5,1446

11

34

0,5592

0,6745

56

80

0,9848

5,6713

10

35

0,5736

0,7002

55

81

0,9877

6,3138

9

36

0,5878

0,7265

54

82

0,9903

7,1154

8

37

0,6018

0,7536

53

83

0,9925

8,1443

7

38

0,6157

0,7813

52

84

0,9945

9,5144

6

39

0,6293

0,8098

51

85

0,9962

11,4301

5

40

0,6428

0,8391

50

86

0,9976

14,3007

4

41

0,6561

0,8693

49

87

0,9986

19,0811

3

42

0,6691

0,9004

48

88

0,9994

28,6363

2

43

0,6820

0,9325

47

89

0,9998

57,2900

1

44

0,6947

0,9657

46

90

1,0000

–

0

45

0,7071

1,0000

45