20-1

Wykład 20

20. Elektrostatyka II

20.1 Obliczanie potencjału

Rozważmy np. różnicę potencjałów (napięcie) pomiędzy środkiem i powierzchnią

naładowanej powłoki kulistej.

Ponieważ E = 0 (wzdłuż drogi całkowania) więc

0

d

=

−

=

−

∫

B

A

A

B

V

V

r

E

tzn. w środku

i na powierzchni jest ten sam potencjał.
Z powyższego wzoru wynika, że

r

V

E

d

d

−

=

(20.1)

Przykład 1

Obliczyć potencjał

V

i pole E w odległości

r

od dipola ustawionego wzdłuż osi

x

.

Moment dipolowy

p = qL

i dodatkowo

r

>>

L

.

L

-q

+q

θ

r

P

y

x

Jeżeli

r

>>

L

to punkt

P

jest odległy od ładunku +

q

o:

r

– (1/2)

L

cos

θ

oraz od –

q

o:

r

+ (1/2)

L

cos

θ

Całkowity potencjał jest sumą

θ

θ

θ

θ

2

2

2

cos

4

cos

cos

2

1

)

(

cos

2

1

L

r

qL

k

L

r

q

k

L

r

q

k

V

−

=

+

−

+

−

=

20-2

Dla

r

>>

L

otrzymujemy ostatecznie

3

2

cos

r

x

kp

r

p

k

V

=

≈

θ

)

1

cos

3

(

2

3

−

=

−

=

θ

∂

∂

r

kp

x

V

E

x

θ

θ

∂

∂

sin

cos

3

3

r

kp

y

V

E

y

=

−

=

Teraz rozpatrzmy pole i różnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt
o polu powierzchni S znajdujących się w odległości d od siebie. Jeżeli ładunki na pły-
tach wynoszą odpowiednio +Q i –Q to gęstości ładunków wynoszą Q/S i –Q/S.

∆

V = – Ed

Zgodnie z naszymi obliczeniami

∆

V =

σ

d/

ε

0

S

Qd

V

0

ε

=

∆

(20.2)

Na zakończenie zaznaczmy, że powierzchnia każdego przewodnika jest powierzchnią
stałego potencjału (

powierzchnią ekwipotencjalną

).

20.2

Pojemność

Kondensator

- układ przewodników, który może gromadzić ładunek elektryczny.

Definicja

pojemności

U

Q

V

Q

C

=

∆

=

(20.3)

Jednostka farad. 1F = 1C/1V.
Powszechnie stosuje się

µ

F, nF, pF.

Dla kondensatora płaskiego na podstawie (20.3) i (20.2)

d

S

U

Q

C

0

ε

=

=

(20.4)

20-3

20.3

Energia pola elektrycznego

Początkowo nie naładowany kondensator ładuje się od 0 do napięcia U. Wtedy ła-

dunek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU.
Praca zużyta na przeniesienie ładunku dq z okładki "–" na "+" wynosi

dW = Udq

Całkowita praca wynosi więc

C

Q

q

C

q

q

U

W

Q

Q

2

0

0

2

1

d

d

=













=

=

∫

∫

(20.5)

Dla kondensatora płaskiego

ES

Q

czyli

S

Q

E

0

0

,

ε

ε

=

=

Podstawiamy to do wzoru na energię i otrzymujemy

(

)

C

ES

W

2

2

0

ε

=

Podstawiając wyrażenie na C dostajemy

Sd

E

W

2

2

0

ε

=

Sd - objętość kondensatora, więc

gęstość energii

w = W/Sd

2

0

2

1

E

w

ε

=

(20.6)

Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni jest pole E to możemy uważać, że jest tam zmagazy-

nowana energia w ilości

2

0

2

1

E

ε

na jednostkę objętości

.

20.4

Dielektryki

Rozważaliśmy pole elektryczne od przewodników w próżni.

Stwierdzamy, że umieszczenie materiału

nieprzewodzącego (dielektryka)

między okład-

kami kondensatora powoduje zwiększenie pojemności od wartości C do wartości C'.

C

C'

=

κ

gdzie

κ

jest

względną przenikalnością elektryczną

(stałą dielektryczną).

20-4

20.4.1 Dielektryki, pogląd atomistyczny

Dwie możliwości:

•

cząsteczki polarne np. H

2

O mające trwałe momenty dipolowe p

•

cząsteczki (atomy) mają indukowany (przez zewnętrzne pole E) moment dipolowy

(przykład z atomem wodoru - Wykład 19).

Przykład 2

Atom wodoru umieszczony w zewnętrznym polu E

0

.

Siła F = – eE

0

przesuwa chmurę elektronową o x

0

względem rdzenia (protonu). Wów-

czas atom ma moment indukowany p = ex

0

.

Pole w miejscu protonu

E = E

0

+ E

chmura

0

3

0

x

R

ke

E

E

−

=

Ponieważ proton (rdzeń) w położeniu równowagi więc E = 0, skąd dostajemy

0

3

0

E

ek

R

x

=

Indukowany moment dipolowy jest zatem równy

0

3

0

E

k

R

ex

p

=

=

Elektryczne momenty dipolowe p dążą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a
momenty indukowane są równoległe do pola. Materiał w polu E zostaje

spolaryzowany

(rysunek).

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

W rezultacie dodatni ładunek gromadzi się na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni

dielektryka. Wewnątrz nie pojawia się żaden ładunek.

Indukowany ładunek powierzch-

20-5

niowy

q' pojawia się więc gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym.

Wybieramy powierzchnię Gaussa (linia przerywana).

ES=(q – q')/

ε

0

E = (q – q')/(

ε

0

S)

Pojemność takiego kondensatora

C

q

q

q

d

S

q

q

q

Ed

q

V

q

C

'

'

'

0

−

=

−

=

=

=

ε

Dzieląc przez C otrzymamy

'

'

q

q

q

C

C

−

=

= κ

20.4.2 Dielektryki - rozważania ilościowe.

Jeżeli każda cząsteczka ma średni moment dipolowy

p

skierowany zgodnie z po-

lem E i jeżeli w dielektryku jest N cząsteczek to całkowity moment dipolowy p

całk

=

N

p

Z drugiej strony ładunek (indukowany) jest na powierzchni więc

p

całk

= q'd

Łącząc te wyrażenia

q'd = N

p

q'd = (nSd)

p

gdzie n jest ilością cząsteczek w jednostce objętości.

q' = nS

p

Podstawiamy to do wzoru na

κ

p

nS

q

q

q

q

q

−

=

−

=

'

κ

Obliczyliśmy, że

0

3

0

E

k

R

ex

p

=

=

20-6

Podstawiając E = (q – q')/(

ε

0

S)

S

q

q

R

S

q

q

k

R

p

'

4

)

'

(

3

0

3

−

=

−

=

π

ε

Wstawiając to do wyrażenia na

κ

κ

π

π

π

κ

1

4

1

1

'

4

1

1

'

4

3

3

3

n

R

q

q

q

n

R

S

S

q

q

n

R

q

q

−

=

−

−

=

−

−

=

Obliczamy

κ

κ

= 1 + 4

π

nR

3

20.5

Trzy wektory elektryczne

Przypomnijmy, że: E

0

= q/

ε

0

S

Pokazaliśmy, że wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany
ładunek daje pole przeciwne do E

0

)

E = (q – q')/(

ε

0

S)

lub

E = E

0

/

κ

= q/(

ε

0

S

κ

)

Łącząc te równania dostajemy

S

q

S

q

S

q

0

0

0

'

ε

ε

κ

ε

−

=

Mnożąc przez

ε

0

i przenosząc wyrazy otrzymujemy

S

q

S

q

S

q

'

0

0

+

=

κε

ε

Przepisujemy to równanie w postaci

D

=

ε

0

E

+ P

(20.8)

D

,

E

,

P

są wektorami odpowiednio:

indukcji elektrycznej, natężenia pola, polaryzacji

.

Na rysunku pokazane są odpowiednie wektory.

D

- ładunek swobodny

ε

0

E

- wszystkie ładunki

P

- ładunek polaryzacyjny

20-7

+ + + + + + + + + + +

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+ + + + + + + + + + +

D

ε

0

E

P