20-1
Wykład 20
20. Elektrostatyka II
20.1 Obliczanie potencjału
Rozważmy np. różnicę potencjałów (napięcie) pomiędzy środkiem i powierzchnią
naładowanej powłoki kulistej.
Ponieważ E = 0 (wzdłuż drogi całkowania) więc
0
d
=
−
=
−
∫
B
A
A
B
V
V
r
E
tzn. w środku
i na powierzchni jest ten sam potencjał.
Z powyższego wzoru wynika, że
r
V
E
d
d
−
=
(20.1)
Przykład 1
Obliczyć potencjał
V
i pole E w odległości
r
od dipola ustawionego wzdłuż osi
x
.
Moment dipolowy
p = qL
i dodatkowo
r
>>
L
.
L
-q
+q
θ
r
P
y
x
Jeżeli
r
>>
L
to punkt
P
jest odległy od ładunku +
q
o:
r
– (1/2)
L
cos
θ
oraz od –
q
o:
r
+ (1/2)
L
cos
θ
Całkowity potencjał jest sumą
θ
θ
θ
θ
2
2
2
cos
4
cos
cos
2
1
)
(
cos
2
1
L
r
qL
k
L
r
q
k
L
r
q
k
V
−
=
+
−
+
−
=
20-2
Dla
r
>>
L
otrzymujemy ostatecznie
3
2
cos
r
x
kp
r
p
k
V
=
≈
θ
)
1
cos
3
(
2
3
−
=
−
=
θ
∂
∂
r
kp
x
V
E
x
θ
θ
∂
∂
sin
cos
3
3
r
kp
y
V
E
y
=
−
=
Teraz rozpatrzmy pole i różnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt
o polu powierzchni S znajdujących się w odległości d od siebie. Jeżeli ładunki na pły-
tach wynoszą odpowiednio +Q i –Q to gęstości ładunków wynoszą Q/S i –Q/S.
∆
V = – Ed
Zgodnie z naszymi obliczeniami
∆
V =
σ
d/
ε
0
S
Qd
V
0
ε
=
∆
(20.2)
Na zakończenie zaznaczmy, że powierzchnia każdego przewodnika jest powierzchnią
stałego potencjału (
powierzchnią ekwipotencjalną
).
20.2
Pojemność
Kondensator
- układ przewodników, który może gromadzić ładunek elektryczny.
Definicja
pojemności
U
Q
V
Q
C
=
∆
=
(20.3)
Jednostka farad. 1F = 1C/1V.
Powszechnie stosuje się
µ
F, nF, pF.
Dla kondensatora płaskiego na podstawie (20.3) i (20.2)
d
S
U
Q
C
0
ε
=
=
(20.4)
20-3
20.3
Energia pola elektrycznego
Początkowo nie naładowany kondensator ładuje się od 0 do napięcia U. Wtedy ła-
dunek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU.
Praca zużyta na przeniesienie ładunku dq z okładki "–" na "+" wynosi
dW = Udq
Całkowita praca wynosi więc
C
Q
q
C
q
q
U
W
Q
Q
2
0
0
2
1
d
d
=
=
=
∫
∫
(20.5)
Dla kondensatora płaskiego
ES
Q
czyli
S
Q
E
0
0
,
ε
ε
=
=
Podstawiamy to do wzoru na energię i otrzymujemy
(
)
C
ES
W
2
2
0
ε
=
Podstawiając wyrażenie na C dostajemy
Sd
E
W
2
2
0
ε
=
Sd - objętość kondensatora, więc
gęstość energii
w = W/Sd
2
0
2
1
E
w
ε
=
(20.6)
Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni jest pole E to możemy uważać, że jest tam zmagazy-
nowana energia w ilości
2
0
2
1
E
ε
na jednostkę objętości
.
20.4
Dielektryki
Rozważaliśmy pole elektryczne od przewodników w próżni.
Stwierdzamy, że umieszczenie materiału
nieprzewodzącego (dielektryka)
między okład-
kami kondensatora powoduje zwiększenie pojemności od wartości C do wartości C'.
C
C'
=
κ
gdzie
κ
jest
względną przenikalnością elektryczną
(stałą dielektryczną).
20-4
20.4.1 Dielektryki, pogląd atomistyczny
Dwie możliwości:
•
cząsteczki polarne np. H
2
O mające trwałe momenty dipolowe p
•
cząsteczki (atomy) mają indukowany (przez zewnętrzne pole E) moment dipolowy
(przykład z atomem wodoru - Wykład 19).
Przykład 2
Atom wodoru umieszczony w zewnętrznym polu E
0
.
Siła F = – eE
0
przesuwa chmurę elektronową o x
0
względem rdzenia (protonu). Wów-
czas atom ma moment indukowany p = ex
0
.
Pole w miejscu protonu
E = E
0
+ E
chmura
0
3
0
x
R
ke
E
E
−
=
Ponieważ proton (rdzeń) w położeniu równowagi więc E = 0, skąd dostajemy
0
3
0
E
ek
R
x
=
Indukowany moment dipolowy jest zatem równy
0
3
0
E
k
R
ex
p
=
=
Elektryczne momenty dipolowe p dążą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a
momenty indukowane są równoległe do pola. Materiał w polu E zostaje
spolaryzowany
(rysunek).
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
W rezultacie dodatni ładunek gromadzi się na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni
dielektryka. Wewnątrz nie pojawia się żaden ładunek.
Indukowany ładunek powierzch-
20-5
niowy
q' pojawia się więc gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym.
Wybieramy powierzchnię Gaussa (linia przerywana).
ES=(q – q')/
ε
0
E = (q – q')/(
ε
0
S)
Pojemność takiego kondensatora
C
q
q
q
d
S
q
q
q
Ed
q
V
q
C
'
'
'
0
−
=
−
=
=
=
ε
Dzieląc przez C otrzymamy
'
'
q
q
q
C
C
−
=
= κ
20.4.2 Dielektryki - rozważania ilościowe.
Jeżeli każda cząsteczka ma średni moment dipolowy
p
skierowany zgodnie z po-
lem E i jeżeli w dielektryku jest N cząsteczek to całkowity moment dipolowy p
całk
=
N
p
Z drugiej strony ładunek (indukowany) jest na powierzchni więc
p
całk
= q'd
Łącząc te wyrażenia
q'd = N
p
q'd = (nSd)
p
gdzie n jest ilością cząsteczek w jednostce objętości.
q' = nS
p
Podstawiamy to do wzoru na
κ
p
nS
q
q
q
q
q
−
=
−
=
'
κ
Obliczyliśmy, że
0
3
0
E
k
R
ex
p
=
=
20-6
Podstawiając E = (q – q')/(
ε
0
S)
S
q
q
R
S
q
q
k
R
p
'
4
)
'
(
3
0
3
−
=
−
=
π
ε
Wstawiając to do wyrażenia na
κ
κ
π
π
π
κ
1
4
1
1
'
4
1
1
'
4
3
3
3
n
R
q
q
q
n
R
S
S
q
q
n
R
q
q
−
=
−
−
=
−
−
=
Obliczamy
κ
κ
= 1 + 4
π
nR
3
20.5
Trzy wektory elektryczne
Przypomnijmy, że: E
0
= q/
ε
0
S
Pokazaliśmy, że wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany
ładunek daje pole przeciwne do E
0
)
E = (q – q')/(
ε
0
S)
lub
E = E
0
/
κ
= q/(
ε
0
S
κ
)
Łącząc te równania dostajemy
S
q
S
q
S
q
0
0
0
'
ε
ε
κ
ε
−
=
Mnożąc przez
ε
0
i przenosząc wyrazy otrzymujemy
S
q
S
q
S
q
'
0
0
+
=
κε
ε
Przepisujemy to równanie w postaci
D
=
ε
0
E
+ P
(20.8)
D
,
E
,
P
są wektorami odpowiednio:
indukcji elektrycznej, natężenia pola, polaryzacji
.
Na rysunku pokazane są odpowiednie wektory.
D
- ładunek swobodny
ε
0
E
- wszystkie ładunki
P
- ładunek polaryzacyjny
20-7
+ + + + + + + + + + +
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+ + + + + + + + + + +
D
ε
0
E
P