Drgania

2014

Andrzej Reński

Drgania

Tematyka:

- Modele fizyczne i matematyczne pojazdu

- Charakterystyki

- Generowanie drgań

- Oddziaływanie drgań na człowieka.

Model fizyczny pojazdu

Model płaski o 4 stopniach swobody

12

1

2

n

2

1

n

l

l

z

l

z

z

+

=

12

2

n

1

n

l

z

z

−

=

θ

Równanie Lagrange

i

i

i

i

Q

q

V

q

T

q

T

dt

d

=

δ

δ

+

δ

δ

−









δ

δ



T – energia kinetyczna,

V – energia potencjalna,

q

i

– współrzędna uogólniona,

Q

i

– siła uogólniona (w przypadku drgań

swobodnych Q

i

= 0)

Energia kinetyczna układu:

2

2

k

2

k

2

1

k

1

k

2

2

z

m

2

1

z

m

2

1

J

2

1

z

m

2

1

T









+

+

θ

+

=

Energia potencjalna:

(

)

(

)

2

2

k

2

n

2

z

2

1

k

1

n

1

z

2

2

k

2

k

2

1

k

1

k

z

z

k

2

1

z

z

k

2

1

z

k

2

1

z

k

2

1

V

−

+

−

+

+

=

lub

2

2

k

2

k

2

1

k

1

k

2

12

2

n

1

n

2

12

1

2

n

2

1

n

z

m

2

1

z

m

2

1

l

z

z

J

2

1

l

l

z

l

z

m

2

1

T













+

+









−

+









+

=

0

z

k

z

k

z

l

J

l

l

m

z

l

J

l

m

1

k

1

z

1

n

1

z

2

n

2

12

2

1

1

n

2

12

2

2

=

−

+

−

+

+





(

)

0

z

k

k

z

k

z

m

1

k

1

k

1

z

1

n

1

z

1

k

1

k

=

+

+

−



0

z

k

z

k

z

l

J

l

m

z

l

J

l

l

m

2

k

2

z

2

n

2

z

2

n

2

12

2

1

1

n

2

12

2

1

=

−

+

+

+

−





(

)

0

z

k

k

z

k

z

m

2

k

2

k

2

z

2

n

2

z

2

k

2

k

=

+

+

−



Jesli:

to:

0

1

1

1

1

1

2

12

2
2

=

−

+

+

k

z

n

z

n

z

k

z

k

z

l

J

l

m



0

2

2

2

2

2

2

12

2

1

=

−

+

+

k

z

n

z

n

z

k

z

k

z

l

J

l

m



(

)

0

z

k

k

z

k

z

m

1

k

1

k

1

z

1

n

1

z

1

k

1

k

=

+

+

−



(

)

0

z

k

k

z

k

z

m

2

k

2

k

2

z

2

n

2

z

2

k

2

k

=

+

+

−



m l

1

l

2

– J = 0

Podział modelu pojazdu o 4
stopniach swobody na 2
modele o 2 stopniach
swobody

DRGANIA WYMUSZONE

Model o 2 stopniach swobody
reprezentujący przednią lub tylną
część samochodu lub jedną stronę
jego przedniej lub tylnej części
(tzw. model ćwiartki pojazdu)

Wymuszenie kinematyczne nierównościami drogi

Równania ruchu

0

)

z

z

(

k

)

z

z

(

c

z

m

k

n

z

k

n

z

n

=

−

+

−

+







)

z

h

(

k

)

z

z

(

k

)

z

z

(

c

z

m

k

k

k

n

z

k

n

z

k

k

−

=

+

−

+

+

−

+







Układ równań ruchu:

0

)

z

z

(

k

)

z

z

(

c

z

m

k

n

z

k

n

z

n

=

−

+

−

+







)

z

h

(

k

)

z

z

(

k

)

z

z

(

c

z

m

k

k

k

n

z

k

n

z

k

k

−

=

+

−

+

+

−

+







Po uporządkowaniu względem niewiadomych:

0

z

k

z

c

z

k

z

c

z

m

k

z

k

z

n

z

n

z

n

=

−

−

+

+





h

k

z

)

k

k

(

z

c

z

m

z

k

z

c

k

k

k

z

k

z

k

k

n

z

n

z

=

+

+

+

+

−

−







Transformacja Fouriera

ω

ω

π

=

ω

+∞

∞

−

∫

d

e

)

(

f

~

2

1

)

t

(

f

t

i

)

ω

(

f

~

∫

+∞

∞

−

ω

−

=

ω

dt

e

)

t

(

f

)

(

f

~

t

i

jest transformatą Fouriera

0

z

k

z

c

z

k

z

c

z

m

k

z

k

z

n

z

n

z

n

=

−

−

+

+





h

k

z

)

k

k

(

z

c

z

m

z

k

z

c

k

k

k

z

k

z

k

k

n

z

n

z

=

+

+

+

+

−

−







po transformacji Fouriera:

0

)

ω

c

i

k

(

z~

)

ω

c

i

k

ω

m

(

z~

z

z

k

z

z

2

n

=

−

−

+

+

+

−

k

z

k

z

2

k

k

z

z

n

k

h

~

)

ω

c

i

k

k

ω

m

(

z~

)

ω

c

i

k

(

z~

=

+

+

+

−

+

−

−

Układ równań

Transmitancja

h

~

)

c

i

k

(

)

c

i

k

k

m

(

)

c

i

k

m

(

)

c

i

k

(

k

z~

2

z

z

z

k

z

2

k

z

z

2

z

z

k

n

ω

−

−

−

ω

+

+

+

ω

−

ω

+

+

ω

−

ω

−

−

−

=

h

~

z~

)

ω

i(

H

n

zn

=

Transmitancja dla bryły nadwozia względem nierówności
drogi

Transmitancja

h

~

)

c

i

k

(

)

c

i

k

k

m

(

)

c

i

k

m

(

)

c

i

k

(

k

z~

2

z

z

z

k

z

2

k

z

z

2

z

z

k

n

ω

−

−

−

ω

+

+

+

ω

−

ω

+

+

ω

−

ω

−

−

−

=

h

~

z~

)

ω

i(

H

n

zn

=

Transmitancja dla bryły nadwozia względem nierówności
drogi

2

z

z

z

k

z

2

k

z

z

2

z

z

k

zn

)

ω

c

i

k

(

)

ω

c

i

k

k

ω

m

(

)

ω

c

i

k

ω

m

(

)

ω

c

i

k

(

k

)

ω

i(

H

−

−

−

+

+

+

−

+

+

−

−

−

−

=

2

z

z

z

k

z

2

k

z

z

2

z

z

k

zn

)

ω

c

i

k

(

)

ω

c

i

k

k

ω

m

(

)

ω

c

i

k

ω

m

(

)

ω

c

i

k

(

k

)

ω

i(

H

−

−

−

+

+

+

−

+

+

−

−

−

−

=

Transmitancja:

( )

ω

i

H

h

z

z

0

0

n

=

Współczynnik wzmocnienia – stosunek amplitud
odpowiedzi i wymuszenia jako funkcja częstotliwości
wymuszenia

ω

lub f

0

100

200

300

400

500

600

0

20

40

60

80

100

120

Angular velocity [rad/s]

B

od

y

ac

ce

le

ra

tio

n

ga

in

[

s

-2

]

1

2

3

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

0

20

40

60

80

100

120

Angular velocity [rad/s]

Ti

re

d

ef

le

ct

io

n

ga

in

1

2

3

Wykresy współczynnika
wzmocnienia dla
przyśpieszeń nadwozia i
ugięć opony dla trzech
różnych wartości
bezwymiarowego
współczynnika
tłumienia:

γ

1 >

γ

2 >

γ

3

)

i(

H

)

i(

H

zn

2

n

z

ω

ω

=

ω



0

0

dyn

k

zk

h

z

)

ω

i(

H

=

Współczynnik wzmocnienia przyśpieszeń pionowych:

Współczynnik wzmocnienia ugięć opony:

0

0

dyn

k

zk

h

z

)

ω

i(

H

=

F

k dyn

= k

k

z

k dyn

Współczynnik wzmocnienia ugięć opony:

Jest istotny przy obliczaniu siły pionowej pomiędzy
oponą i nawierzchnią F

k

dyn :

(

)

m

k

k

k

k

ω

k

z

k

z

n

0

+

=

k

z

k

k

0

m

k

k

ω

+

=

m

k

ω

z

n

0

≈

lub

Częstotliwość drgań własnych nietłumionych nadwozia

Częstotliwość drgań własnych nietłumionych koła:

n

0

z

m

2

c

ω

=

γ

Bezwymiarowy współczynnik tłumienia:

>

<

=

>

<

=

∞

→

)

x

(

h

Ω

d

d

ΔΩ

)

x

(

h

Δ

lim

)

Ω

(

G

2

2

L

h

Gęstość widmowa nierówności drogi:

gdzie:

L – długość odcinka pomiarowego

Ω

0

= 2π/L – podstawowa częstotliwość kołowa nierówności

drogi [rad/m]

L

n

– długośc fali nierówności n-tej składowej harmonicznej

Ω = 2π/L

n

- częstotliwość kołowa n-tej składowej

harmonicznej nierówności drogi [rad/m]. Ω jest
wielokrotnością częstotliwości podstawowej Ω

0

<h

2

(x)> - wartość średnia kwadratowa wysokości nierówności

drogi h(x) mierzonej wzdłuż drogi x

Gęstości widmowe
nierówności dróg o
różnych nawierzchniach:

⋅⋅



⋅⋅



⋅⋅

asfalt bardzo

dobrej jakości,

⋅



⋅



⋅



bardzo

dobry beton,

- - - - - - - - -

szuter,









bruk,



droga

nieutwardzona

w

ref

ref

h

h

Ω

Ω

)

Ω

(

G

)

Ω

(

G

−













=

Linearyzacja wykresu gęstości widmowej nierówności drogi

gdzie:

Ω

ref

- czestotliwość

kołowa odniesienia, zwykle Ω

ref

= 1 rad/m

G

h

(Ω

ref

) – wartość gęstości widmowej dla częstotliwości

odniesienia

Wartości G

h

(Ω

ref

) oraz w dla różnych dróg w [Mitschke]

Linearyzacja wykresu gęstości widmowej nierówności drogi

Wartości parametrów opisujących widmo
nierówności drogi; na podstawie [Mitscke 2]

Rodzaj drogi

Stan nawierzchni
ocena subiektywna

Wartości średnie dla Ω

ref

= 1 m

-1

w

Φ

h

(Ω

ref

) [cm

3

]

Cementobeton

bardzo dobry
dobry
średni
zły

2,29
1,97
1,97
1,72

0,6
4,5
6,7

56

Asfaltobeton

bardzo dobry
dobry
średni

2,20
2,18
2,18

1,3

6

22

Szuter

dobry
średni
zły
bardzo zły

2,26
2,26
2,15
2,15

9

21
43

158

Bruk

dobry
średni
zły
bardzo zły

1,75
1,75
1,81
1,81

14
23
36

323

Droga
nieutwardzona

dobry
średni
zły
bardzo zły

2,25
2,25
2,14
2,14

32

155
602

16300

w

ref

ref

h

h

Ω

Ω

)

Ω

(

G

)

Ω

(

G

−













=

ω = v Ω

)

Ω

(

G

v

1

)

ω

(

G

h

h

=

)

ω

(

G

)

ω

i(

H

)

ω

(

G

h

2

z

z





=

Dla danej prędkości jazdy v

Gęstość widmowa przyśpieszeń pionowych nadwozia
wynosi

Obliczanie widma gęstości
widmowej przyśpieszeń
pionowych nadwozia z widma
gęstości widmowej nierówności
drogi i charakterystyki
amplitudowo-częstotliwościowej
dla przyśpieszeń nadwozia dla
różnych wartości
bezwymiarowego współczynnika
tłumienia

γ

1

(linia 1) >

γ

2

(linia 2) >

γ

3

(linia 3)

Obliczanie gęstości widmowej
ugięć dynamicznych opon z
widma gęstości widmowej
nierówności drogi i
charakterystyki
amplitudowo-częstotliwościowej
dla ugięć opon dla różnych
wartości bezwymiarowego
współczynnika tłumienia

γ

1

(linia 1) >

γ

2

(linia 2) >

γ

3

(linia 3)

∫

ω

ω

ω

ω

=

σ

2

1

d

)

(

G

z

2

z





2

z

z

sk

z







σ

=

σ

=

Wariancja pionowych przyśpieszeń
nadwozia:

Wartość średnia kwadratowa (RMS = root-mean-square
value) przyśpieszeń nadwozia jest równa pierwiastkowi
kwadratowemu z wariancji, a także równa odchyleniu
standardowemu i wartości skutecznej (dla średniej wartości
przyśpieszenia = 0)

Oddziaływanie drgań na człowieka

Linie jednakowego komfortu wg normy ISO 2631. Dopuszczalne czasy
ekspozycji, kryterium średniej szkodliwości.

8 h

Porównanie tercjowego (szerokość pasma 1/3 oktawy) widma przyśpieszeń
pionowych nadwozia z liniami dopuszczalnych czasów ekspozycji wg normy
ISO 2631 dla średniego stopnia szkodliwości