Drgania
2014
Andrzej Reński
Drgania
2014
Andrzej Reński
Drgania
Tematyka:
- Modele fizyczne i matematyczne pojazdu
- Charakterystyki
- Generowanie drgań
- Oddziaływanie drgań na człowieka.
Model fizyczny pojazdu
Model płaski o 4 stopniach swobody
12
1
2
n
2
1
n
l
l
z
l
z
z
+
=
12
2
n
1
n
l
z
z
−
=
θ
Równanie Lagrange
i
i
i
i
Q
q
V
q
T
q
T
dt
d
=
δ
δ
+
δ
δ
−
δ
δ
T – energia kinetyczna,
V – energia potencjalna,
q
i
– współrzędna uogólniona,
Q
i
– siła uogólniona (w przypadku drgań
swobodnych Q
i
= 0)
Energia kinetyczna układu:
2
2
k
2
k
2
1
k
1
k
2
2
z
m
2
1
z
m
2
1
J
2
1
z
m
2
1
T
+
+
θ
+
=
Energia potencjalna:
(
)
(
)
2
2
k
2
n
2
z
2
1
k
1
n
1
z
2
2
k
2
k
2
1
k
1
k
z
z
k
2
1
z
z
k
2
1
z
k
2
1
z
k
2
1
V
−
+
−
+
+
=
lub
2
2
k
2
k
2
1
k
1
k
2
12
2
n
1
n
2
12
1
2
n
2
1
n
z
m
2
1
z
m
2
1
l
z
z
J
2
1
l
l
z
l
z
m
2
1
T
+
+
−
+
+
=
0
z
k
z
k
z
l
J
l
l
m
z
l
J
l
m
1
k
1
z
1
n
1
z
2
n
2
12
2
1
1
n
2
12
2
2
=
−
+
−
+
+
(
)
0
z
k
k
z
k
z
m
1
k
1
k
1
z
1
n
1
z
1
k
1
k
=
+
+
−
0
z
k
z
k
z
l
J
l
m
z
l
J
l
l
m
2
k
2
z
2
n
2
z
2
n
2
12
2
1
1
n
2
12
2
1
=
−
+
+
+
−
(
)
0
z
k
k
z
k
z
m
2
k
2
k
2
z
2
n
2
z
2
k
2
k
=
+
+
−
Jesli:
to:
0
1
1
1
1
1
2
12
2
2
=
−
+
+
k
z
n
z
n
z
k
z
k
z
l
J
l
m
0
2
2
2
2
2
2
12
2
1
=
−
+
+
k
z
n
z
n
z
k
z
k
z
l
J
l
m
(
)
0
z
k
k
z
k
z
m
1
k
1
k
1
z
1
n
1
z
1
k
1
k
=
+
+
−
(
)
0
z
k
k
z
k
z
m
2
k
2
k
2
z
2
n
2
z
2
k
2
k
=
+
+
−
m l
1
l
2
– J = 0
Podział modelu pojazdu o 4
stopniach swobody na 2
modele o 2 stopniach
swobody
DRGANIA WYMUSZONE
Model o 2 stopniach swobody
reprezentujący przednią lub tylną
część samochodu lub jedną stronę
jego przedniej lub tylnej części
(tzw. model ćwiartki pojazdu)
Wymuszenie kinematyczne nierównościami drogi
Równania ruchu
0
)
z
z
(
k
)
z
z
(
c
z
m
k
n
z
k
n
z
n
=
−
+
−
+
)
z
h
(
k
)
z
z
(
k
)
z
z
(
c
z
m
k
k
k
n
z
k
n
z
k
k
−
=
+
−
+
+
−
+
Układ równań ruchu:
0
)
z
z
(
k
)
z
z
(
c
z
m
k
n
z
k
n
z
n
=
−
+
−
+
)
z
h
(
k
)
z
z
(
k
)
z
z
(
c
z
m
k
k
k
n
z
k
n
z
k
k
−
=
+
−
+
+
−
+
Po uporządkowaniu względem niewiadomych:
0
z
k
z
c
z
k
z
c
z
m
k
z
k
z
n
z
n
z
n
=
−
−
+
+
h
k
z
)
k
k
(
z
c
z
m
z
k
z
c
k
k
k
z
k
z
k
k
n
z
n
z
=
+
+
+
+
−
−
Transformacja Fouriera
ω
ω
π
=
ω
+∞
∞
−
∫
d
e
)
(
f
~
2
1
)
t
(
f
t
i
)
ω
(
f
~
∫
+∞
∞
−
ω
−
=
ω
dt
e
)
t
(
f
)
(
f
~
t
i
jest transformatą Fouriera
0
z
k
z
c
z
k
z
c
z
m
k
z
k
z
n
z
n
z
n
=
−
−
+
+
h
k
z
)
k
k
(
z
c
z
m
z
k
z
c
k
k
k
z
k
z
k
k
n
z
n
z
=
+
+
+
+
−
−
po transformacji Fouriera:
0
)
ω
c
i
k
(
z~
)
ω
c
i
k
ω
m
(
z~
z
z
k
z
z
2
n
=
−
−
+
+
+
−
k
z
k
z
2
k
k
z
z
n
k
h
~
)
ω
c
i
k
k
ω
m
(
z~
)
ω
c
i
k
(
z~
=
+
+
+
−
+
−
−
Układ równań
Transmitancja
h
~
)
c
i
k
(
)
c
i
k
k
m
(
)
c
i
k
m
(
)
c
i
k
(
k
z~
2
z
z
z
k
z
2
k
z
z
2
z
z
k
n
ω
−
−
−
ω
+
+
+
ω
−
ω
+
+
ω
−
ω
−
−
−
=
h
~
z~
)
ω
i(
H
n
zn
=
Transmitancja dla bryły nadwozia względem nierówności
drogi
Transmitancja
h
~
)
c
i
k
(
)
c
i
k
k
m
(
)
c
i
k
m
(
)
c
i
k
(
k
z~
2
z
z
z
k
z
2
k
z
z
2
z
z
k
n
ω
−
−
−
ω
+
+
+
ω
−
ω
+
+
ω
−
ω
−
−
−
=
h
~
z~
)
ω
i(
H
n
zn
=
Transmitancja dla bryły nadwozia względem nierówności
drogi
2
z
z
z
k
z
2
k
z
z
2
z
z
k
zn
)
ω
c
i
k
(
)
ω
c
i
k
k
ω
m
(
)
ω
c
i
k
ω
m
(
)
ω
c
i
k
(
k
)
ω
i(
H
−
−
−
+
+
+
−
+
+
−
−
−
−
=
2
z
z
z
k
z
2
k
z
z
2
z
z
k
zn
)
ω
c
i
k
(
)
ω
c
i
k
k
ω
m
(
)
ω
c
i
k
ω
m
(
)
ω
c
i
k
(
k
)
ω
i(
H
−
−
−
+
+
+
−
+
+
−
−
−
−
=
Transmitancja:
( )
ω
i
H
h
z
z
0
0
n
=
Współczynnik wzmocnienia – stosunek amplitud
odpowiedzi i wymuszenia jako funkcja częstotliwości
wymuszenia
ω
lub f
0
100
200
300
400
500
600
0
20
40
60
80
100
120
Angular velocity [rad/s]
B
od
y
ac
ce
le
ra
tio
n
ga
in
[
s
-2
]
1
2
3
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0
20
40
60
80
100
120
Angular velocity [rad/s]
Ti
re
d
ef
le
ct
io
n
ga
in
1
2
3
Wykresy współczynnika
wzmocnienia dla
przyśpieszeń nadwozia i
ugięć opony dla trzech
różnych wartości
bezwymiarowego
współczynnika
tłumienia:
γ
1 >
γ
2 >
γ
3
)
i(
H
)
i(
H
zn
2
n
z
ω
ω
=
ω
0
0
dyn
k
zk
h
z
)
ω
i(
H
=
Współczynnik wzmocnienia przyśpieszeń pionowych:
Współczynnik wzmocnienia ugięć opony:
0
0
dyn
k
zk
h
z
)
ω
i(
H
=
F
k dyn
= k
k
z
k dyn
Współczynnik wzmocnienia ugięć opony:
Jest istotny przy obliczaniu siły pionowej pomiędzy
oponą i nawierzchnią F
k
dyn :
(
)
m
k
k
k
k
ω
k
z
k
z
n
0
+
=
k
z
k
k
0
m
k
k
ω
+
=
m
k
ω
z
n
0
≈
lub
Częstotliwość drgań własnych nietłumionych nadwozia
Częstotliwość drgań własnych nietłumionych koła:
n
0
z
m
2
c
ω
=
γ
Bezwymiarowy współczynnik tłumienia:
>
<
=
>
<
=
∞
→
)
x
(
h
Ω
d
d
ΔΩ
)
x
(
h
Δ
lim
)
Ω
(
G
2
2
L
h
Gęstość widmowa nierówności drogi:
gdzie:
L – długość odcinka pomiarowego
Ω
0
= 2π/L – podstawowa częstotliwość kołowa nierówności
drogi [rad/m]
L
n
– długośc fali nierówności n-tej składowej harmonicznej
Ω = 2π/L
n
- częstotliwość kołowa n-tej składowej
harmonicznej nierówności drogi [rad/m]. Ω jest
wielokrotnością częstotliwości podstawowej Ω
0
<h
2
(x)> - wartość średnia kwadratowa wysokości nierówności
drogi h(x) mierzonej wzdłuż drogi x
Gęstości widmowe
nierówności dróg o
różnych nawierzchniach:
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
asfalt bardzo
dobrej jakości,
⋅
⋅
⋅
bardzo
dobry beton,
- - - - - - - - -
szuter,
bruk,
droga
nieutwardzona
w
ref
ref
h
h
Ω
Ω
)
Ω
(
G
)
Ω
(
G
−
=
Linearyzacja wykresu gęstości widmowej nierówności drogi
gdzie:
Ω
ref
- czestotliwość
kołowa odniesienia, zwykle Ω
ref
= 1 rad/m
G
h
(Ω
ref
) – wartość gęstości widmowej dla częstotliwości
odniesienia
Wartości G
h
(Ω
ref
) oraz w dla różnych dróg w [Mitschke]
Linearyzacja wykresu gęstości widmowej nierówności drogi
Wartości parametrów opisujących widmo
nierówności drogi; na podstawie [Mitscke 2]
Rodzaj drogi
Stan nawierzchni
ocena subiektywna
Wartości średnie dla Ω
ref
= 1 m
-1
w
Φ
h
(Ω
ref
) [cm
3
]
Cementobeton
bardzo dobry
dobry
średni
zły
2,29
1,97
1,97
1,72
0,6
4,5
6,7
56
Asfaltobeton
bardzo dobry
dobry
średni
2,20
2,18
2,18
1,3
6
22
Szuter
dobry
średni
zły
bardzo zły
2,26
2,26
2,15
2,15
9
21
43
158
Bruk
dobry
średni
zły
bardzo zły
1,75
1,75
1,81
1,81
14
23
36
323
Droga
nieutwardzona
dobry
średni
zły
bardzo zły
2,25
2,25
2,14
2,14
32
155
602
16300
w
ref
ref
h
h
Ω
Ω
)
Ω
(
G
)
Ω
(
G
−
=
ω = v Ω
)
Ω
(
G
v
1
)
ω
(
G
h
h
=
)
ω
(
G
)
ω
i(
H
)
ω
(
G
h
2
z
z
=
Dla danej prędkości jazdy v
Gęstość widmowa przyśpieszeń pionowych nadwozia
wynosi
Obliczanie widma gęstości
widmowej przyśpieszeń
pionowych nadwozia z widma
gęstości widmowej nierówności
drogi i charakterystyki
amplitudowo-częstotliwościowej
dla przyśpieszeń nadwozia dla
różnych wartości
bezwymiarowego współczynnika
tłumienia
γ
1
(linia 1) >
γ
2
(linia 2) >
γ
3
(linia 3)
Obliczanie gęstości widmowej
ugięć dynamicznych opon z
widma gęstości widmowej
nierówności drogi i
charakterystyki
amplitudowo-częstotliwościowej
dla ugięć opon dla różnych
wartości bezwymiarowego
współczynnika tłumienia
γ
1
(linia 1) >
γ
2
(linia 2) >
γ
3
(linia 3)
∫
ω
ω
ω
ω
=
σ
2
1
d
)
(
G
z
2
z
2
z
z
sk
z
σ
=
σ
=
Wariancja pionowych przyśpieszeń
nadwozia:
Wartość średnia kwadratowa (RMS = root-mean-square
value) przyśpieszeń nadwozia jest równa pierwiastkowi
kwadratowemu z wariancji, a także równa odchyleniu
standardowemu i wartości skutecznej (dla średniej wartości
przyśpieszenia = 0)
Oddziaływanie drgań na człowieka
Linie jednakowego komfortu wg normy ISO 2631. Dopuszczalne czasy
ekspozycji, kryterium średniej szkodliwości.
8 h
Porównanie tercjowego (szerokość pasma 1/3 oktawy) widma przyśpieszeń
pionowych nadwozia z liniami dopuszczalnych czasów ekspozycji wg normy
ISO 2631 dla średniego stopnia szkodliwości