Algebra

linio

w

a

IS

Egzamin

p

opra

wk

o

wy

(13.02.2009)

1.

P

o

da



deni j

e

grup

y

i

ia

la.

Spra

wdzi



,

zy

dwuelemen

to

wy

zbi

or

G

=

fa;

bg

z

dzia

laniem



zdenio

w

an

ym

przez:

a



a

=

b



b

=

a;

a



b

=

b



a

=

b;

jest

grup



a

przemienn



a.

2.

P

o

da



p

osta



trygonometry zn



a

li zb

y

zesp

olonej

i

regu

ly

mno

_

zenia,

dzielenia

i

p

ot

ego

w

ania

li zb

zesp

olon

y

h

w

p

osta i

trygonometry znej.

(a)

Przedsta

wi



w

p

osta i

trygonometry znej

li zb

e

1

i

p

3 ,

a

nast

epnie

znale



z



jej

trze i



a

p

ot

eg

e

(1

i

p

3)

3

i

przedsta

wi



j



a

w

p

osta i

algebrai znej

a

+

ib.

(b)

Przedsta

wi



w

p

osta i

algebrai znej

a

+

ib

wyra

_

zenie

(1

i)

12

(1

+

i)

10

:

Obli zenia

wyk

ona



nie

k

orzysta

j



a

i

k

orzysta

j



a

z

p

osta i

trygonometry znej

li zb

zes-

p

olon

y

h.

Wyniki

p

or

owna



.

( )

Znale



z



pierwiastki

zesp

olone

trze iego

stopnia

z

li zb

y

-i,

tzn.

3

p

i.

Wynik

p

o

da



w

p

osta i

algebrai znej.

3.

P

o

da



deni j

e

przestrzeni

linio

w

ej

nad

ia

lem

li zb

o

wym.

P

ok

aza



,

_

ze

zbi

or

w

ektor

ow

p

osta i

(x;

2y

;

x

y

),

gdzie

x

i

y

s



a

li zbami

rze zywist

ymi

t

w

orzy

p

o

dprzestrze



n

przestrzeni

w

ek-

toro

w

ej

R

3

.

Jaki

jest

jej

wymiar?

P

o

da



w

ektory

bazo

w

e

dla

tej

p

o

dprzestrzeni.

4.

P

o

da



deni j

e

niezale

_

zno



s i

linio

w

ej

w

ektor

ow.

Czy

w

ektory

(1;

1;

0),

(2;

1;

1)

i

(3;

0;

2)

s



a

linio

w

o

niezale

_

zne?

5.

Spra

wdzi



,

_

ze

(1;

1;

0),

(3;

1;

1)

i

(2;

0;

2)

t

w

orz



a

baz

e

w

R

3

.

Jakie

wsp

o

lrz

edne

b

edzie

mia

l

w

tej

bazie

w

ektor

(4;

2;

3).

6.

P

o

da



deni j

e

przkszta

l enia

linio

w

ego

f

:

V

!

V

0

,

j



adra

przekszta

l enia

linio

w

ego

i

obrazu

przekszta

l enia

linio

w

ego.

Znale



j



adro

przkszta

l enia

f

:

V

3

!

V

2

;

f

(x;

y

;

z

)

=

(x;

y

2z

).

P

o

da



jego

wymiar

i

w

ektory

(lub

w

ektor)

bazo

w

e.

7.

Zna

jd



z

ma ierz

przekszta

l enia

f

:

R

3

!

R

2

danego

przez

f

(x;

y

;

z

)

=

(x

y

;

y

+

z

)

w

baza

h

o

dp

o

wiednio

f(1;

1;

1),

(1;

1;

1),

(2;

1;

0)g

i

f(1;

1),

(1;

1)g.

1

8.

Co

to

jest

rz



ad

ma ierzy?

Zau

w

a

_

za

j



a

zwi



azki

mi

edzy

k

olumnami

ma ierzy

znale



z



jej

rz



ad

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

1

2

3

2

2

1

1

4

1

3

4

2

5

1

4

10

3

4

7

6

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

:

9.

Dok

on

uj



a

rozwini

e ia

Lapla e'a

wzgl

edem

pierwszej

k

olumn

y

lub

ostatniego

wiersza

obli zy



wyzna znik

ma ierzy

o

wymiarze

n



n

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

a

b

0

:

:

:

0

0

0

a

b

:

:

:

0

0

0

0

a

:

:

:

0

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

0

0

:

:

:

a

b

b

0

0

0

0

a

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

;

.

10.

Obli zy



wyzna znik,

p

o

spro

w

adzeniu

go

do

p

osta i

tr

ojk



atnej

































1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

































:

11.

Rozwi



aza



uk

lad

r

owna



n

k

orzysta

j



a

ze

wzor

ow

Cramera

3x

5y

+

2z

=

4

2x

+

3y

2z

=

2

x

+

2y

z

=

2:

12.

Obli zy



w

arto



s i

i

w

ektory

w

lasne

ma ierzy

2

4

1

1

1

1

3

5

i

spra

wdzi



,

zy

w

ektory

w

lasne

s



a

ortogonalne.

13.

Meto

d



a

Grama-S

hmidta

ut

w

orzy



zbi

or

ortonormaln

y

w

ektor

ow

ze

zbioru

fx

1

;

x

2

g,

gdzie

x

1

=

(1;

2);

x

2

=

(2;

1):

2