Matematyka 1
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
(cz 5 - Zastosowania pochodnych)
dr inż. Rajmund Stasiewicz
2013/2014, semestr I (zimowy)
ELEKTROTECHNIKA
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
1 / 17
Monotoniczność funkcji
Twierdzenie (warunki monotoniczności funkcji):
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na przedziale (a, b), to funkcja f jest:
malejąca na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) < 0,
rosnąca na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) > 0,
niemalejąca na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) 0,
nierosnąca na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) ¬ 0,
stałą na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) = 0.
Przykład 1:
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
2 / 17
Monotoniczność funkcji
Twierdzenie (warunki monotoniczności funkcji):
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na przedziale (a, b), to funkcja f jest:
malejąca na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) < 0,
rosnąca na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) > 0,
niemalejąca na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) 0,
nierosnąca na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) ¬ 0,
stałą na przedziale (a, b) ⇔ f
0
(x ) = 0.
Przykład 1:
Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
2 / 17
Ekstrema funkcji
Definicja 1:
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ R
1
minimum lokalne właściwe
, jeżeli ∃
δ>0
∀
x ∈S(x
0
,δ)
f (x ) > f (x
0
).
2
maksimum lokalne właściwe
, jeżeli ∃
δ>0
∀
x ∈S(x
0
,δ)
f (x ) < f (x
0
).
3
minimum lokalne
, jeżeli ∃
δ>0
∀
x ∈S(x
0
,δ)
f (x ) f (x
0
).
4
maksimum lokalne
, jeżeli ∃
δ>0
∀
x ∈S(x
0
,δ)
f (x ) ¬ f (x
0
).
Uwaga:
Ekstrema globalne (absolutne) oznaczają największą lub namniejszą
wartość funkcji w określonym zbiorze.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
3 / 17
Ekstrema funkcji
Definicja 1:
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ R
1
minimum lokalne właściwe
, jeżeli ∃
δ>0
∀
x ∈S(x
0
,δ)
f (x ) > f (x
0
).
2
maksimum lokalne właściwe
, jeżeli ∃
δ>0
∀
x ∈S(x
0
,δ)
f (x ) < f (x
0
).
3
minimum lokalne
, jeżeli ∃
δ>0
∀
x ∈S(x
0
,δ)
f (x ) f (x
0
).
4
maksimum lokalne
, jeżeli ∃
δ>0
∀
x ∈S(x
0
,δ)
f (x ) ¬ f (x
0
).
Uwaga:
Ekstrema globalne (absolutne) oznaczają największą lub namniejszą
wartość funkcji w określonym zbiorze.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
3 / 17
Ekstrema funkcji
Twierdzenie Fermata:
Jeżeli funkcja f ma:
ekstremum lokalne w punkcie x
0
,
pochodną f
0
(x
0
),
to f
0
(x
0
) = 0.
Uwaga:
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa..
Przykład 2:
Sprawdź twierdzenie dla funkcji f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
4 / 17
Ekstrema funkcji
Twierdzenie Fermata:
Jeżeli funkcja f ma:
ekstremum lokalne w punkcie x
0
,
pochodną f
0
(x
0
),
to f
0
(x
0
) = 0.
Uwaga:
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa..
Przykład 2:
Sprawdź twierdzenie dla funkcji f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
4 / 17
Ekstrema funkcji
Definicja 2:
Punkt x
0
∈ D
f
nazywamy
punktem krytycznyn
funkcji f , jeżeli
f
0
(x
0
) = 0 albo f
0
(x
0
) nie istnieje.
Fakt (o lokalizacji ekstremów funkcji):
Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach krytycznych.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
5 / 17
Ekstrema funkcji
Definicja 2:
Punkt x
0
∈ D
f
nazywamy
punktem krytycznyn
funkcji f , jeżeli
f
0
(x
0
) = 0 albo f
0
(x
0
) nie istnieje.
Fakt (o lokalizacji ekstremów funkcji):
Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach krytycznych.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
5 / 17
Ekstrema funkcji
Twierdzenie (I warunek wystarczający istnienia ekstremum):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
jest ciągła w punkcie x
0
,
rosnąca na sąsiedztwie S (x
−
0
, δ) a malejąca na sąsiedztwie S (x
+
0
, δ),
to w punkcie x
0
ma maksimum lokalne właściwe.
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
jest ciągła w punkcie x
0
,
malejąca na sąsiedztwie S (x
−
0
, δ) a rosnąca na sąsiedztwie S (x
+
0
, δ),
to w punkcie x
0
ma minimum lokalne właściwe.
Przykład 3:
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
6 / 17
Ekstrema funkcji
Twierdzenie (I warunek wystarczający istnienia ekstremum):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
jest ciągła w punkcie x
0
,
rosnąca na sąsiedztwie S (x
−
0
, δ) a malejąca na sąsiedztwie S (x
+
0
, δ),
to w punkcie x
0
ma maksimum lokalne właściwe.
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
jest ciągła w punkcie x
0
,
malejąca na sąsiedztwie S (x
−
0
, δ) a rosnąca na sąsiedztwie S (x
+
0
, δ),
to w punkcie x
0
ma minimum lokalne właściwe.
Przykład 3:
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
6 / 17
Ekstrema funkcji
Twierdzenie (II warunek wystarczający istnienia ekstremum):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
f
0
(x
0
) = f
00
(x
0
) = · · · = f
(n−1)
(x
0
) = 0,
f
(n)
(x
0
) < 0,
n jest liczbą parzystą, gdzie n 2,
to w punkcie x
0
ma maksimum lokalne właściwe.
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
f
0
(x
0
) = f
00
(x
0
) = · · · = f
(n−1)
(x
0
) = 0,
f
(n)
(x
0
) > 0,
n jest liczbą parzystą, gdzie n 2,
to w punkcie x
0
ma minimum lokalne właściwe.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
7 / 17
Ekstrema funkcji
Twierdzenie (II warunek wystarczający istnienia ekstremum cd.):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
f
0
(x
0
) = f
00
(x
0
) = · · · = f
(n−1)
(x
0
) = 0,
f
(n)
(x
0
) 6= 0,
n jest liczbą nieparzystą, gdzie n 2,
to w punkcie x
0
nie ma ekstremum lokalnego.
Przykład 4:
Wykorzystując powyższe twierdzenie wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
8 / 17
Ekstrema funkcji
Twierdzenie (II warunek wystarczający istnienia ekstremum cd.):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
f
0
(x
0
) = f
00
(x
0
) = · · · = f
(n−1)
(x
0
) = 0,
f
(n)
(x
0
) 6= 0,
n jest liczbą nieparzystą, gdzie n 2,
to w punkcie x
0
nie ma ekstremum lokalnego.
Przykład 4:
Wykorzystując powyższe twierdzenie wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
8 / 17
Ekstrema funkcji
Algorytm szukania ekstremów globalnych funkcji
w przedziale domkniętym [a, b]
1
Znaleźć punkty krytyczne funkcji w przedziale (a, b) (tj. w punktach,
w których pochodna funkcji jest równa 0 lub nie istnieje).
2
Obliczyć wartość funkcji f na krańcach przedziału [a, b] oraz w
punktach krytycznych.
3
Spośród powyższych wartości wybrać wartość największą (będzie to
maksimum globalne funkcji) i wartość najmniejszą (minimum globalne
funkcji) na przedziale [a, b].
Przykład 5:
Wyznacz ekstrema globalne funkcji: f (x ) = x
2
− 4x + 7 w przedziale [0, 3]
oraz w przedziale [−3, 1].
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
9 / 17
Ekstrema funkcji
Algorytm szukania ekstremów globalnych funkcji
w przedziale domkniętym [a, b]
1
Znaleźć punkty krytyczne funkcji w przedziale (a, b) (tj. w punktach,
w których pochodna funkcji jest równa 0 lub nie istnieje).
2
Obliczyć wartość funkcji f na krańcach przedziału [a, b] oraz w
punktach krytycznych.
3
Spośród powyższych wartości wybrać wartość największą (będzie to
maksimum globalne funkcji) i wartość najmniejszą (minimum globalne
funkcji) na przedziale [a, b].
Przykład 5:
Wyznacz ekstrema globalne funkcji: f (x ) = x
2
− 4x + 7 w przedziale [0, 3]
oraz w przedziale [−3, 1].
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
9 / 17
Wklęsłość i wypukłość funkcji
Definicja 3:
1
Funkcja f jest wypukła w przedziale (a, b), jeśli
∀
x
1
,x
2
∈(a,b)
∀
λ∈(0,1)
f (x
1
+ λ(x
2
− x
1
) ¬ f (x
1
) + λ(f (x
2
) − f (x
1
)).
2
Funkcja f jest wklęsła w przedziale (a, b), jeśli
∀
x
1
,x
2
∈(a,b)
∀
λ∈(0,1)
f (x
1
+ λ(x
2
− x
1
) f (x
1
) + λ(f (x
2
) − f (x
1
)).
Twierdzenie:
Jeżeli dla każdego x ∈ (a, b) funkcja f spełnia nierówność:
1
f
00
(x ) > 0 to funkcja f jest wypukła,
2
f
00
(x ) < 0 to funkcja f jest wklęsła.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
10 / 17
Wklęsłość i wypukłość funkcji
Definicja 3:
1
Funkcja f jest wypukła w przedziale (a, b), jeśli
∀
x
1
,x
2
∈(a,b)
∀
λ∈(0,1)
f (x
1
+ λ(x
2
− x
1
) ¬ f (x
1
) + λ(f (x
2
) − f (x
1
)).
2
Funkcja f jest wklęsła w przedziale (a, b), jeśli
∀
x
1
,x
2
∈(a,b)
∀
λ∈(0,1)
f (x
1
+ λ(x
2
− x
1
) f (x
1
) + λ(f (x
2
) − f (x
1
)).
Twierdzenie:
Jeżeli dla każdego x ∈ (a, b) funkcja f spełnia nierówność:
1
f
00
(x ) > 0 to funkcja f jest wypukła,
2
f
00
(x ) < 0 to funkcja f jest wklęsła.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
10 / 17
Wklęsłość i wypukłość funkcji
Definicja 4:
Jeżeli w punkcie x
0
funkcja zmienia się z wypukłej we wklęsłą lub na
odwrót, wówczas punkt (x
0
, f (x
0
)) nazywamy
punktem przegięcia
funkcji
(wykresu funkcji) f co oznaczamy skrótowo p.p.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
(x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia,
istnieje f
00
(x
0
),
to f
00
(x
0
) = 0.
Uwaga:
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa np. f (x ) = x
4
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
11 / 17
Wklęsłość i wypukłość funkcji
Definicja 4:
Jeżeli w punkcie x
0
funkcja zmienia się z wypukłej we wklęsłą lub na
odwrót, wówczas punkt (x
0
, f (x
0
)) nazywamy
punktem przegięcia
funkcji
(wykresu funkcji) f co oznaczamy skrótowo p.p.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
(x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia,
istnieje f
00
(x
0
),
to f
00
(x
0
) = 0.
Uwaga:
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa np. f (x ) = x
4
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
11 / 17
Wklęsłość i wypukłość funkcji
Definicja 4:
Jeżeli w punkcie x
0
funkcja zmienia się z wypukłej we wklęsłą lub na
odwrót, wówczas punkt (x
0
, f (x
0
)) nazywamy
punktem przegięcia
funkcji
(wykresu funkcji) f co oznaczamy skrótowo p.p.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
(x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia,
istnieje f
00
(x
0
),
to f
00
(x
0
) = 0.
Uwaga:
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa np. f (x ) = x
4
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
11 / 17
Wklęsłość i wypukłość funkcji
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
w punkcie x
0
ma pochodną właściwą lub niewłaściwą,
f
00
(x ) < 0 na sąsiedztwie S (x
−
0
, δ) i f
00
(x ) > 0 na sąsiedztwie
S (x
+
0
, δ) lub odwrotenie tj. f
00
(x ) > 0 na sąsiedztwie S (x
−
0
, δ) i
f
00
(x ) < 0 na sąsiedztwie S (x
+
0
, δ),
to (x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia jej wykresu.
Przykład 6:
Wyznacz punkty przegięcia funkcji f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
12 / 17
Wklęsłość i wypukłość funkcji
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia):
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
w punkcie x
0
ma pochodną właściwą lub niewłaściwą,
f
00
(x ) < 0 na sąsiedztwie S (x
−
0
, δ) i f
00
(x ) > 0 na sąsiedztwie
S (x
+
0
, δ) lub odwrotenie tj. f
00
(x ) > 0 na sąsiedztwie S (x
−
0
, δ) i
f
00
(x ) < 0 na sąsiedztwie S (x
+
0
, δ),
to (x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia jej wykresu.
Przykład 6:
Wyznacz punkty przegięcia funkcji f (x ) = x
2
oraz g (x ) = x
3
.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
12 / 17
Badanie funkcji
Pochodne a wykres funkcji
f
0
f
00
f
000
Własności funkcji
f
0
(x ) > 0
f
00
(x ) > 0
rosnąca i wypukła
f
0
(x ) > 0
f
00
(x ) < 0
rosnąca i wklęsła
f
0
(x ) < 0
f
00
(x ) > 0
malejąca i wypukła
f
0
(x ) < 0
f
00
(x ) < 0
malejąca i wklęsła
f
0
(x ) = 0
f
00
(x
0
) > 0
minimum lokalne właściwe
f
0
(x ) = 0
f
00
(x
0
) < 0
maksimum lokalne właściwe
f
00
(x ) = 0
f
000
(x
0
) 6= 0
punkt przegięcia
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
13 / 17
Badanie funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
1
Ustalenie dziedziny funkcji.
2
Wskazanie podstawowych własności funkcji:
parzystość lub nieparzystość,
okresowość,
miejsca zerowe,
ciągłość.
3
Obliczanie granic lub wartości funkcji na ”krańcach” dziedziny.
4
Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
5
Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:
wyznaczenie dziedziny pochodnej funkcji i jej obliczenie,
wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema,
ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji,
ustalenie ekstremów funkcji,
obliczenie granic lub wartości pochodnej na ”krańcach” jej dziedziny.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
14 / 17
Badanie funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
1
Ustalenie dziedziny funkcji.
2
Wskazanie podstawowych własności funkcji:
parzystość lub nieparzystość,
okresowość,
miejsca zerowe,
ciągłość.
3
Obliczanie granic lub wartości funkcji na ”krańcach” dziedziny.
4
Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
5
Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:
wyznaczenie dziedziny pochodnej funkcji i jej obliczenie,
wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema,
ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji,
ustalenie ekstremów funkcji,
obliczenie granic lub wartości pochodnej na ”krańcach” jej dziedziny.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
14 / 17
Badanie funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
1
Ustalenie dziedziny funkcji.
2
Wskazanie podstawowych własności funkcji:
parzystość lub nieparzystość,
okresowość,
miejsca zerowe,
ciągłość.
3
Obliczanie granic lub wartości funkcji na ”krańcach” dziedziny.
4
Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
5
Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:
wyznaczenie dziedziny pochodnej funkcji i jej obliczenie,
wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema,
ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji,
ustalenie ekstremów funkcji,
obliczenie granic lub wartości pochodnej na ”krańcach” jej dziedziny.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
14 / 17
Badanie funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
1
Ustalenie dziedziny funkcji.
2
Wskazanie podstawowych własności funkcji:
parzystość lub nieparzystość,
okresowość,
miejsca zerowe,
ciągłość.
3
Obliczanie granic lub wartości funkcji na ”krańcach” dziedziny.
4
Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
5
Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:
wyznaczenie dziedziny pochodnej funkcji i jej obliczenie,
wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema,
ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji,
ustalenie ekstremów funkcji,
obliczenie granic lub wartości pochodnej na ”krańcach” jej dziedziny.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
14 / 17
Badanie funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
1
Ustalenie dziedziny funkcji.
2
Wskazanie podstawowych własności funkcji:
parzystość lub nieparzystość,
okresowość,
miejsca zerowe,
ciągłość.
3
Obliczanie granic lub wartości funkcji na ”krańcach” dziedziny.
4
Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.
5
Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:
wyznaczenie dziedziny pochodnej funkcji i jej obliczenie,
wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema,
ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji,
ustalenie ekstremów funkcji,
obliczenie granic lub wartości pochodnej na ”krańcach” jej dziedziny.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
14 / 17
Badanie funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji cd.
6
Zbadanie drugiej pochodnej funkcji:
wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej i jej obliczenie,
wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć punkty przegięcia,
ustalenie przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji,
wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji,
obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegięcia.
7
Sporządzenie tabelki (zestawienie powyższych informacji).
8
Sporządzenie wykresu funkcji.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
15 / 17
Badanie funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji cd.
6
Zbadanie drugiej pochodnej funkcji:
wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej i jej obliczenie,
wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć punkty przegięcia,
ustalenie przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji,
wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji,
obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegięcia.
7
Sporządzenie tabelki (zestawienie powyższych informacji).
8
Sporządzenie wykresu funkcji.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
15 / 17
Rozwinięcie Taylora funkcji
Definicja 5:
Niech funkcja f ma w pewnym otoczeniu O(x
0
) punktu x
0
pochodną
rzędu n + 1. Wtedy mamy
wzór Taylora z resztą Lagrange’a
:
f (x ) = f (x
0
)+f
0
(x
0
)(x −x
0
)+
f
00
(x
0
)
2!
(x −x
0
)
2
+· · ·+
f
(n)
(x
0
)
n!
(x −x
0
)
n
+R
n
(x )
dla pewnego punktu c między x i x
0
, gdzie
R
n
(x ) =
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
jest resztą Lagrange’a.
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
16 / 17
Rozwinięcie Taylora funkcji
Definicja 6:
Niech funkcja f ma w pewnym otoczeniu O(x
0
) punktu x
0
= 0 pochodną
rzędu n + 1. Wtedy mamy
wzór Maclaurina
:
f (x ) = f (0) + f
0
(0)x +
f
00
(0)
2!
x
2
+ · · · +
f
(n)
(0)
n!
x
n
+
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
x
n+1
dla pewnego liczby c ∈ (0, 1).
R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)
ELEKTROTECHNIKA
17 / 17
Document Outline
- Monotonicznosc funkcji
- Ekstrema funkcji
- Ekstrema funkcji
- Ekstrema funkcji
- Ekstrema funkcji
- Ekstrema funkcji
- Ekstrema funkcji
- Ekstrema funkcji
- Wklesłosc i wypukłosc funkcji
- Wklesłosc i wypukłosc funkcji
- Wklesłosc i wypukłosc funkcji
- Badanie funkcji
- Badanie funkcji
- Badanie funkcji
- Rozwiniecie Taylora funkcji
- Rozwiniecie Taylora funkcji
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyk10 prad
rach zarz cz1
rach. - ćwiczania 7, podstawy rachunkowości
ban-wyk10, UE Katowice FiR, bankowość
rachunkowość i finanse, AR Poznań - Leśnictwo, finanse i rach
mik-wyk10, UE Katowice FiR, mikroekonomia
AUE tem rach
rach fin ćw,12
wszystkie cw rach wyn
mat1
Ostatni zestaw zadan z Rach
E Mat1 wyk03 macierze
C05 rach pstwa zadania
7327016krotkoterm rach dec, Ogrodnictwo, Magisterskie, Semestr II mgr, Fakultet - Zarządzanie
rach test, rachunkowość finansowa
fpr-wyk10, FIR UE Katowice, SEMESTR IV, Finanse przedsiębiorstw, Finanse Przedsiębiorstwa
więcej podobnych podstron