Matematyka 1

Macierze

dr inż. Rajmund Stasiewicz

2013/2014, semestr I (zimowy)

ELEKTROTECHNIKA

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

1 / 28

Podstawowe definicje i własności

Definicja 1:

Macierzą rzeczywistą (zespoloną)

A wymiaru m × n gdzie m, n ∈ N

nazywamy prostokątną tablicę złożoną z m · n liczb rzeczywistych
(zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach, postaci:

A =









a

11

a

12

· · ·

a

1n

a

21

a

22

· · ·

a

2n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

m1

a

m2

· · ·

a

mn









= [a

ij

]

m×n

a

ij

, [a

ij

], A

m×n

, A, B, C , . . . , X , · · · ∈ R

m×n

, A, B, C , . . . , X , · · · ∈ C

m×n

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

2 / 28

Podstawowe definicje i własności

Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy
macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn
jest równa n ma ona postać A

n

(A

n×n

). Liczbę wierszy (kolumn)

nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.

Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy
macierzą zerową.

Macierz kwadratową A = [a

ij

]

n×n

nazywamy macierzą diagonalną,

jeśli dla i 6= j wszystkie elementy a

ij

= 0.

Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej
przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy
przez I

n

(I ).

Macierz kwadratową stopnia n ­ 2, w której wszystkie elementy
stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą
trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod
główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

3 / 28

Podstawowe definicje i własności

Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy
macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn
jest równa n ma ona postać A

n

(A

n×n

). Liczbę wierszy (kolumn)

nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.

Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy
macierzą zerową.

Macierz kwadratową A = [a

ij

]

n×n

nazywamy macierzą diagonalną,

jeśli dla i 6= j wszystkie elementy a

ij

= 0.

Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej
przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy
przez I

n

(I ).

Macierz kwadratową stopnia n ­ 2, w której wszystkie elementy
stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą
trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod
główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

3 / 28

Podstawowe definicje i własności

Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy
macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn
jest równa n ma ona postać A

n

(A

n×n

). Liczbę wierszy (kolumn)

nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.

Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy
macierzą zerową.

Macierz kwadratową A = [a

ij

]

n×n

nazywamy macierzą diagonalną,

jeśli dla i 6= j wszystkie elementy a

ij

= 0.

Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej
przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy
przez I

n

(I ).

Macierz kwadratową stopnia n ­ 2, w której wszystkie elementy
stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą
trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod
główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

3 / 28

Podstawowe definicje i własności

Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy
macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn
jest równa n ma ona postać A

n

(A

n×n

). Liczbę wierszy (kolumn)

nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.

Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy
macierzą zerową.

Macierz kwadratową A = [a

ij

]

n×n

nazywamy macierzą diagonalną,

jeśli dla i 6= j wszystkie elementy a

ij

= 0.

Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej
przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy
przez I

n

(I ).

Macierz kwadratową stopnia n ­ 2, w której wszystkie elementy
stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą
trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod
główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

3 / 28

Podstawowe definicje i własności

Macierz A, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy
macierzą kwadratową. W przypadku, gdy liczba wierszy i kolumn
jest równa n ma ona postać A

n

(A

n×n

). Liczbę wierszy (kolumn)

nazywamy stopniem macierzy kwadratowej.

Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy aij = 0 nazywamy
macierzą zerową.

Macierz kwadratową A = [a

ij

]

n×n

nazywamy macierzą diagonalną,

jeśli dla i 6= j wszystkie elementy a

ij

= 0.

Macierz diagonalną stopnia n, w której wszystkie elementy na głównej
przekątnej są równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy
przez I

n

(I ).

Macierz kwadratową stopnia n ­ 2, w której wszystkie elementy
stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą
trójkątną dolną, zaś tą w której wszystkie elementy stojące pod
główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną górną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

3 / 28

Działania na macierzach

Definicja 2:

Dwie macierze

A = [a

ij

] i B = [b

ij

]

są równe

, gdy mają te same

wymiary m × n oraz a

ij

= b

ij

dla każdego 1 ¬ i ¬ m oraz 1 ¬ j ¬ n.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

4 / 28

Działania na macierzach

Suma i różnica macierzy
Niech A = [a

ij

] i B = [b

ij

] będą macierzami wymiaru m × n. Sumą

(różnicą) macierzy A i B jest macierz określona w następujący sposób:

A ± B = [a

ij

]

m×n

± [b

ij

]

m×n

= [a

ij

± b

ij

]

m×n

Przykład 1:

Dane są macierze:

A =

"

2

1

2

−1 0 4

#

,

B =

"

−4 3

1

2

2

−1

#

Oblicz A + B oraz A − B.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

5 / 28

Działania na macierzach

Suma i różnica macierzy
Niech A = [a

ij

] i B = [b

ij

] będą macierzami wymiaru m × n. Sumą

(różnicą) macierzy A i B jest macierz określona w następujący sposób:

A ± B = [a

ij

]

m×n

± [b

ij

]

m×n

= [a

ij

± b

ij

]

m×n

Przykład 1:

Dane są macierze:

A =

"

2

1

2

−1 0 4

#

,

B =

"

−4 3

1

2

2

−1

#

Oblicz A + B oraz A − B.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

5 / 28

Działania na macierzach

Iloczyn macierzy przez liczbę
Niech A będzie macierzą wymiaru m × n oraz niech α będzie liczbą
rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem macierzy A przez liczbę α jest
macierz określona w następujący sposób:

αA = α[a

ij

]

m×n

= [αa

ij

]

m×n

Przykład 2:

Dane są macierze A oraz liczba α:

A =

"

2

1

2

−1 0 4

#

,

α = −3

Oblicz α · A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

6 / 28

Działania na macierzach

Iloczyn macierzy przez liczbę
Niech A będzie macierzą wymiaru m × n oraz niech α będzie liczbą
rzeczywistą lub zespoloną. Iloczynem macierzy A przez liczbę α jest
macierz określona w następujący sposób:

αA = α[a

ij

]

m×n

= [αa

ij

]

m×n

Przykład 2:

Dane są macierze A oraz liczba α:

A =

"

2

1

2

−1 0 4

#

,

α = −3

Oblicz α · A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

6 / 28

Własności działań na macierzach

Niech A, B, C ∈ R

m×n

(A, B, C ∈ C

m×n

), niech 0 oznacza macierz zerową

wymiaru m × n oraz niech α, β ∈ R (α, β ∈ C). Wówczas

1

A + B = B + A

2

A + (B + C ) = (A + B) + C

3

A + 0 = A = 0 + A

4

A + (−A) = A − A = 0

5

α(A ± B) = αA ± αB

6

(α + β)A = αA + βA

7

1 · A = A

8

0 · A = 0

9

(α · β)A = α(βA) = (αA)β

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

7 / 28

Działania na macierzach

Iloczyn macierzy
Niech A będzie macierzą wymiaru m × n, zaś macierz B wymiaru n × k.
Iloczynem macierzy A i B jest macierz C = [c

ij

]

m×k

, w której elementy c

ij

określone są wzorem:

c

ij

= a

i 1

b

1j

+ a

i 2

b

2j

+ . . . + a

in

b

nj

AB = [a

i 1

b

1j

+ a

i 2

b

2j

+ . . . + a

in

b

nj

]

m×k

Przykład 3:

Dane są macierze:

A =

"

2

1

2

−1 0 4

#

,

B =






−4 3

2

2

−1 1






Oblicz A · B oraz B · A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

8 / 28

Działania na macierzach

Iloczyn macierzy
Niech A będzie macierzą wymiaru m × n, zaś macierz B wymiaru n × k.
Iloczynem macierzy A i B jest macierz C = [c

ij

]

m×k

, w której elementy c

ij

określone są wzorem:

c

ij

= a

i 1

b

1j

+ a

i 2

b

2j

+ . . . + a

in

b

nj

AB = [a

i 1

b

1j

+ a

i 2

b

2j

+ . . . + a

in

b

nj

]

m×k

Przykład 3:

Dane są macierze:

A =

"

2

1

2

−1 0 4

#

,

B =






−4 3

2

2

−1 1






Oblicz A · B oraz B · A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

8 / 28

Własności działań na macierzach

Niech A

1

, A

2

∈ R

m×n

(A

1

, A

2

∈ C

m×n

), B

1

, B

2

∈ R

n×k

(B

1

, B

2

∈ C

n×k

),

C

1

, C

2

∈ R

k×p

(C

1

, C

2

∈ C

k×p

), α ∈ R (α ∈ C). Wówczas

1

AB 6= BA (w ogólnym przypadku)

2

0A = 0, A0 = 0, gdzie 0 jest macierzą zerową odpowiedniego
wymiaru

3

IA = A, AI = A, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego
wymiaru

4

(AB)C = A(BC );

5

A(B

1

+ B

2

) = AB

1

+ AB

2

;

6

(A

1

+ A

2

)B = A

1

B + A

2

B;

7

(αA)B = α(AB) = (AB)α = A(αB).

Zamiast AA . . . A

|

{z

}

k czynnikow

będziemy pisali A

k

. Zauważmy, że dla każdego

naturalnego k ­ 2 iloczyn A

k

istnieje, tylko wtedy, gdy A

n×n

.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

9 / 28

Własności działań na macierzach

Niech A

1

, A

2

∈ R

m×n

(A

1

, A

2

∈ C

m×n

), B

1

, B

2

∈ R

n×k

(B

1

, B

2

∈ C

n×k

),

C

1

, C

2

∈ R

k×p

(C

1

, C

2

∈ C

k×p

), α ∈ R (α ∈ C). Wówczas

1

AB 6= BA (w ogólnym przypadku)

2

0A = 0, A0 = 0, gdzie 0 jest macierzą zerową odpowiedniego
wymiaru

3

IA = A, AI = A, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego
wymiaru

4

(AB)C = A(BC );

5

A(B

1

+ B

2

) = AB

1

+ AB

2

;

6

(A

1

+ A

2

)B = A

1

B + A

2

B;

7

(αA)B = α(AB) = (AB)α = A(αB).

Zamiast AA . . . A

|

{z

}

k czynnikow

będziemy pisali A

k

. Zauważmy, że dla każdego

naturalnego k ­ 2 iloczyn A

k

istnieje, tylko wtedy, gdy A

n×n

.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

9 / 28

Własności działań na macierzach

Niech A

1

, A

2

∈ R

m×n

(A

1

, A

2

∈ C

m×n

), B

1

, B

2

∈ R

n×k

(B

1

, B

2

∈ C

n×k

),

C

1

, C

2

∈ R

k×p

(C

1

, C

2

∈ C

k×p

), α ∈ R (α ∈ C). Wówczas

1

AB 6= BA (w ogólnym przypadku)

2

0A = 0, A0 = 0, gdzie 0 jest macierzą zerową odpowiedniego
wymiaru

3

IA = A, AI = A, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego
wymiaru

4

(AB)C = A(BC );

5

A(B

1

+ B

2

) = AB

1

+ AB

2

;

6

(A

1

+ A

2

)B = A

1

B + A

2

B;

7

(αA)B = α(AB) = (AB)α = A(αB).

Zamiast AA . . . A

|

{z

}

k czynnikow

będziemy pisali A

k

. Zauważmy, że dla każdego

naturalnego k ­ 2 iloczyn A

k

istnieje, tylko wtedy, gdy A

n×n

.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

9 / 28

Własności działań na macierzach

Niech A

1

, A

2

∈ R

m×n

(A

1

, A

2

∈ C

m×n

), B

1

, B

2

∈ R

n×k

(B

1

, B

2

∈ C

n×k

),

C

1

, C

2

∈ R

k×p

(C

1

, C

2

∈ C

k×p

), α ∈ R (α ∈ C). Wówczas

1

AB 6= BA (w ogólnym przypadku)

2

0A = 0, A0 = 0, gdzie 0 jest macierzą zerową odpowiedniego
wymiaru

3

IA = A, AI = A, gdzie I jest macierzą jednostkową odpowiedniego
wymiaru

4

(AB)C = A(BC );

5

A(B

1

+ B

2

) = AB

1

+ AB

2

;

6

(A

1

+ A

2

)B = A

1

B + A

2

B;

7

(αA)B = α(AB) = (AB)α = A(αB).

Zamiast AA . . . A

|

{z

}

k czynnikow

będziemy pisali A

k

. Zauważmy, że dla każdego

naturalnego k ­ 2 iloczyn A

k

istnieje, tylko wtedy, gdy A

n×n

.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

9 / 28

Transpozycja macierzy

Definicja 3:

Macierz B = [b

ji

]

n×m

nazywamy

macierzą transponowaną

do macierzy

A = [a

ij

]

m×n

, jeżeli b

ji

= a

ij

, gdzie 1 ¬ i ¬ m oraz 1 ¬ j ¬ n.

Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez A

T

(B = A

T

).

Przykład 4:

Dana jest macierze:

A =

"

2

1

2

−1 0 4

#

,

Wyznacz macierz transponowaną do A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

10 / 28

Transpozycja macierzy

Definicja 3:

Macierz B = [b

ji

]

n×m

nazywamy

macierzą transponowaną

do macierzy

A = [a

ij

]

m×n

, jeżeli b

ji

= a

ij

, gdzie 1 ¬ i ¬ m oraz 1 ¬ j ¬ n.

Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez A

T

(B = A

T

).

Przykład 4:

Dana jest macierze:

A =

"

2

1

2

−1 0 4

#

,

Wyznacz macierz transponowaną do A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

10 / 28

Własności działań na macierzach

Niech A ∈ R

m×n

(A ∈ C

m×n

), B ∈ R

n×m

(B ∈ C

n×m

), α ∈ R (α ∈ C).

Wówczas:

1

(A ± B)

T

= A

T

± B

T

2

(αA)

T

= αA

T

3



A

T



T

= A

4

(AB)

T

= B

T

A

T

5

(A

r

)

T

=



A

T



r

6

I

T

= I

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

11 / 28

Macierz symetryczna i antysymetryczna

Definicja 4:

Macierz kwadratową A nazywamy

macierzą symetryczną

jeżeli

A = A

T

.

Przykład 5:

A =






1

2

3

2

0

−1

3

−1

5






,

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

12 / 28

Macierz symetryczna i antysymetryczna

Definicja 4:

Macierz kwadratową A nazywamy

macierzą symetryczną

jeżeli

A = A

T

.

Przykład 5:

A =






1

2

3

2

0

−1

3

−1

5






,

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

12 / 28

Macierz symetryczna i antysymetryczna

Definicja 5:

Macierz kwadratową B nazywamy

macierzą antysymetryczną

jeżeli

B

T

= −B

.

Przykład 6:

A =






0

1

2

−1 0 −3
−2 3

0






,

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

13 / 28

Macierz symetryczna i antysymetryczna

Definicja 5:

Macierz kwadratową B nazywamy

macierzą antysymetryczną

jeżeli

B

T

= −B

.

Przykład 6:

A =






0

1

2

−1 0 −3
−2 3

0






,

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

13 / 28

Własności macierzy symetrycznej i antysymetrycznej

1

Dla dowolnej macierzy A macierze AA

T

i A

T

A są symetryczne.

2

Dla macierzy kwadratowej A macierz A + A

T

jest symetryczna

natomiast macierz A − A

T

jest antysymetryczna. Wtedy macierz A

można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy
symetrycznej i antysymetrycznej

A =

1

2



A + A

T



+

1

2



A − A

T



R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

14 / 28

Własności macierzy symetrycznej i antysymetrycznej

1

Dla dowolnej macierzy A macierze AA

T

i A

T

A są symetryczne.

2

Dla macierzy kwadratowej A macierz A + A

T

jest symetryczna

natomiast macierz A − A

T

jest antysymetryczna. Wtedy macierz A

można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy
symetrycznej i antysymetrycznej

A =

1

2



A + A

T



+

1

2



A − A

T



R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

14 / 28

Wyznaczniki

Definicja 6:

Wyznacznikiem macierzy

kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej

macierzy rzeczywistej (zespolonej) A = [a

ij

] przypisuje liczbę rzeczywistą

(zespoloną) det A = |A|.
Funkcja ta jest określona indukcyjnie:

1

jeśli macierz A jest stopnia 1, a więc A = [a

11

], to det A = a

11

;

2

jeśli macierz A ma stopień n ­ 2, to

det A = (−1)

1+1

a

11

det A

11

+ . . . + (−1)

1+n

a

1n

det A

1n

,

gdzie A

ij

oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną z macierzy A

przez skreślenie i -tego wiersza i j -tej kolumny.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

15 / 28

Wyznaczniki

Reguła obliczania wyznacznika stopnia 2

Niech A =

"

a

11

a

12

a

21

a

22

#

.

Wyznacznik macierzy A jest definiowany jako

det A =







a

11

a

12

a

21

a

22







= a

11

a

22

− a

12

a

21

.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

16 / 28

Wyznaczniki

Reguła obliczania wyznacznika stopnia 3 - schemat Sarrusa

Niech A =






a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33






.

Wówczas wyznacznik macierzy A przy wykorzystaniu metody Sarrusa
obliczamy w następujący sposób:

det A =









a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33









=









a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33









a

11

a

12

a

21

a

22

a

31

a

23

=

= (a

11

a

22

a

33

+ a

12

a

23

a

31

+ a

13

a

21

a

23

) − (a

13

a

22

a

31

+ a

11

a

23

a

32

+ a

12

a

21

a

33

).

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

17 / 28

Wyznaczniki

Definicja 7:

Niech A = [a

ij

] będzie macierzą kwadratową stopnia n ­ 2.

Dopełnieniem

algebraicznym

elementu a

ij

macierzy A nazywamy liczbę:

D

ij

= (−1)

i +j

det A

ij

,

gdzie A

ij

oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną przez skreślenie i -tego

wiersza i j -tej kolumny macierzy A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

18 / 28

Wyznaczniki

Przykład 7:

Wyznacz dopełnienie algebraiczne elementu a

32

= 2 i elementu a

24

macierzy B.

B =








1

0

3

−1

3

1

−1

0

2

4

−4

0

1

2

0

2








R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

19 / 28

Wyznaczniki

Twierdzenie (rozwinięcie Laplace’a)

Niech A = [a

ij

] będzie macierzą kwadratową stopnia n ­ 2. Dla ustalonych

liczb naturalnych i oraz j , gdzie 1 ¬ i , j ¬ n, wyznacznik macierzy A
obliczamy korzystając z następujących wzorów:

1

det A = a

i 1

D

i 1

+ a

i 2

D

i 2

+ . . . + a

in

D

in

,

co oznacza, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów
elementów i -tego wiersza i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten
nazywamy rozwinięciem Laplace’a względem i -tego wiersza.

2

detA = a

1j

D

1j

+ a

2j

D

2j

+ . . . + a

nj

D

nj

,

co oznacza, że wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów
elementów j -tej kolumny i ich dopełnień algebraicznych. Wzór ten
nazywamy rozwinięciem Laplace’a względem j -tej kolumny.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

20 / 28

Wyznaczniki

Własności wyznacznika

1

Jeżeli przestawimy między sobą dwa wiersze (dwie kolumny), to
wyznacznik zmieni znak.

2

Jeżeli pomnożymy wszystkie elementy pewnego wiersza (pewnej
kolumny) przez wspólny czynnik, to wyznacznik zostanie też
pomnożony przez ten czynnik.

3

Wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza
(dowolnej kolumny) dodamy odpowiadające im elementy innego
wiersza (innej kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

21 / 28

Wyznaczniki

Własności wyznacznika

1

Jeżeli przestawimy między sobą dwa wiersze (dwie kolumny), to
wyznacznik zmieni znak.

2

Jeżeli pomnożymy wszystkie elementy pewnego wiersza (pewnej
kolumny) przez wspólny czynnik, to wyznacznik zostanie też
pomnożony przez ten czynnik.

3

Wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza
(dowolnej kolumny) dodamy odpowiadające im elementy innego
wiersza (innej kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

21 / 28

Wyznaczniki

Własności wyznacznika

1

Jeżeli przestawimy między sobą dwa wiersze (dwie kolumny), to
wyznacznik zmieni znak.

2

Jeżeli pomnożymy wszystkie elementy pewnego wiersza (pewnej
kolumny) przez wspólny czynnik, to wyznacznik zostanie też
pomnożony przez ten czynnik.

3

Wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza
(dowolnej kolumny) dodamy odpowiadające im elementy innego
wiersza (innej kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

21 / 28

Wyznaczniki

4

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz
złożony) z samych zer jest równy zero.

5

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny
(dwa wiersze) jest równy zero.

6

Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny
(pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego
wiersza) są zastąpione tymi składnikami.

7

Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe:
det A = det A

T

.

8

Niech A = [a

ij

]

m×n

, B = [b

ij

]

m×n

, wtedy det(AB) = det A · det B.

9

det I

n

= 1

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

22 / 28

Wyznaczniki

4

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz
złożony) z samych zer jest równy zero.

5

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny
(dwa wiersze) jest równy zero.

6

Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny
(pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego
wiersza) są zastąpione tymi składnikami.

7

Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe:
det A = det A

T

.

8

Niech A = [a

ij

]

m×n

, B = [b

ij

]

m×n

, wtedy det(AB) = det A · det B.

9

det I

n

= 1

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

22 / 28

Wyznaczniki

4

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz
złożony) z samych zer jest równy zero.

5

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny
(dwa wiersze) jest równy zero.

6

Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny
(pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego
wiersza) są zastąpione tymi składnikami.

7

Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe:
det A = det A

T

.

8

Niech A = [a

ij

]

m×n

, B = [b

ij

]

m×n

, wtedy det(AB) = det A · det B.

9

det I

n

= 1

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

22 / 28

Wyznaczniki

4

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz
złożony) z samych zer jest równy zero.

5

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny
(dwa wiersze) jest równy zero.

6

Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny
(pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego
wiersza) są zastąpione tymi składnikami.

7

Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe:
det A = det A

T

.

8

Niech A = [a

ij

]

m×n

, B = [b

ij

]

m×n

, wtedy det(AB) = det A · det B.

9

det I

n

= 1

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

22 / 28

Wyznaczniki

4

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz
złożony) z samych zer jest równy zero.

5

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny
(dwa wiersze) jest równy zero.

6

Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny
(pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego
wiersza) są zastąpione tymi składnikami.

7

Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe:
det A = det A

T

.

8

Niech A = [a

ij

]

m×n

, B = [b

ij

]

m×n

, wtedy det(AB) = det A · det B.

9

det I

n

= 1

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

22 / 28

Wyznaczniki

4

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający kolumnę złożoną (wiersz
złożony) z samych zer jest równy zero.

5

Wyznacznik macierzy kwadratowej mający jednakowe dwie kolumny
(dwa wiersze) jest równy zero.

6

Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolumny
(pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego
wiersza) są zastąpione tymi składnikami.

7

Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe:
det A = det A

T

.

8

Niech A = [a

ij

]

m×n

, B = [b

ij

]

m×n

, wtedy det(AB) = det A · det B.

9

det I

n

= 1

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

22 / 28

Wyznaczniki

Operacje elementarne:

1

w

i

←→ w

j

- zamiana i -tego oraz j -tego wiersza

2

k

i

←→ k

j

- zamiana i -tej oraz j -tej kolumny

3

cw

i

- pomnożenie i -tego wiersza przez liczbę c, gdzie c 6= 0

4

ck

j

- pomnożenie j -tej kolumny przez liczbę c, gdzie c 6= 0

5

w

i

+ cw

j

- dodanie do elementów i -tego wiersza odpowiadających

elementów j -tego wiersza pomnożonych przez liczbę c

6

k

i

+ ck

j

- dodanie do elementów i -tej kolumny odpowiadających

elementów j -tej kolumny pomnożonych przez liczbę c

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

23 / 28

Wyznaczniki

Operacje elementarne:

1

w

i

←→ w

j

- zamiana i -tego oraz j -tego wiersza

2

k

i

←→ k

j

- zamiana i -tej oraz j -tej kolumny

3

cw

i

- pomnożenie i -tego wiersza przez liczbę c, gdzie c 6= 0

4

ck

j

- pomnożenie j -tej kolumny przez liczbę c, gdzie c 6= 0

5

w

i

+ cw

j

- dodanie do elementów i -tego wiersza odpowiadających

elementów j -tego wiersza pomnożonych przez liczbę c

6

k

i

+ ck

j

- dodanie do elementów i -tej kolumny odpowiadających

elementów j -tej kolumny pomnożonych przez liczbę c

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

23 / 28

Wyznaczniki

Operacje elementarne:

1

w

i

←→ w

j

- zamiana i -tego oraz j -tego wiersza

2

k

i

←→ k

j

- zamiana i -tej oraz j -tej kolumny

3

cw

i

- pomnożenie i -tego wiersza przez liczbę c, gdzie c 6= 0

4

ck

j

- pomnożenie j -tej kolumny przez liczbę c, gdzie c 6= 0

5

w

i

+ cw

j

- dodanie do elementów i -tego wiersza odpowiadających

elementów j -tego wiersza pomnożonych przez liczbę c

6

k

i

+ ck

j

- dodanie do elementów i -tej kolumny odpowiadających

elementów j -tej kolumny pomnożonych przez liczbę c

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

23 / 28

Wyznaczniki

Operacje elementarne:

1

w

i

←→ w

j

- zamiana i -tego oraz j -tego wiersza

2

k

i

←→ k

j

- zamiana i -tej oraz j -tej kolumny

3

cw

i

- pomnożenie i -tego wiersza przez liczbę c, gdzie c 6= 0

4

ck

j

- pomnożenie j -tej kolumny przez liczbę c, gdzie c 6= 0

5

w

i

+ cw

j

- dodanie do elementów i -tego wiersza odpowiadających

elementów j -tego wiersza pomnożonych przez liczbę c

6

k

i

+ ck

j

- dodanie do elementów i -tej kolumny odpowiadających

elementów j -tej kolumny pomnożonych przez liczbę c

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

23 / 28

Macierz odwrotna

Definicja 8:

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n.

Macierzą odwrotną

do

macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A

−1

, która spełnia

warunek:

AA

−1

= A

−1

A = I

n

,

gdzie I

n

jest macierzą jednostkową stopnia n.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

24 / 28

Macierz odwrotna

Definicja 9:

Macierz kwadratową A nazywamy

macierzą osobliwą

, gdy

det A = 0.

W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.

Fakt:

Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det A 6= 0.

Wtedy A

−1

obliczamy ze wzoru

A

−1

=

1

det A

D

T

gdzie D jest macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

25 / 28

Macierz odwrotna

Definicja 9:

Macierz kwadratową A nazywamy

macierzą osobliwą

, gdy

det A = 0.

W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.

Fakt:

Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det A 6= 0.

Wtedy A

−1

obliczamy ze wzoru

A

−1

=

1

det A

D

T

gdzie D jest macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

25 / 28

Macierz odwrotna

Własności macierzy odwrotnych

1

det(A

−1

) = (det A)

−1

2

A

−1

−1

= A

3



A

T



−1

= A

−1

T

4

(AB)

−1

= B

−1

A

−1

5

(αA)

−1

=

1

α

A

−1

6

(A

n

)

−1

= A

−1

n

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

26 / 28

Macierz odwrotna

Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych

[A|I ]

−−−→

op.el .

h

I |A

−1

i

gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach.

Dozwolone operacje elementarne:

1

przestawić między sobą dwa dowolne wiersza;

2

dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera;

3

do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im
elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby.

Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

27 / 28

Macierz odwrotna

Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych

[A|I ]

−−−→

op.el .

h

I |A

−1

i

gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach.

Dozwolone operacje elementarne:

1

przestawić między sobą dwa dowolne wiersza;

2

dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera;

3

do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im
elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby.

Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

27 / 28

Macierz odwrotna

Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych

[A|I ]

−−−→

op.el .

h

I |A

−1

i

gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach.

Dozwolone operacje elementarne:

1

przestawić między sobą dwa dowolne wiersza;

2

dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera;

3

do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im
elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby.

Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

27 / 28

Macierz odwrotna

Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych

[A|I ]

−−−→

op.el .

h

I |A

−1

i

gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach.

Dozwolone operacje elementarne:

1

przestawić między sobą dwa dowolne wiersza;

2

dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera;

3

do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im
elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby.

Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

27 / 28

Macierz odwrotna

Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnych

[A|I ]

−−−→

op.el .

h

I |A

−1

i

gdzie op. el. oznacza operacje elementarne na wierszach.

Dozwolone operacje elementarne:

1

przestawić między sobą dwa dowolne wiersza;

2

dowolny wiersz pomnożyć przez stałą różną od zera;

3

do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im
elementów innych wierszy pomnozonych przez dowolne liczby.

Uwaga: analogiczne operacje można wykonywać na kolumnach.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

27 / 28

Macierz odwrotna

Algorytm Gaussa-Jordana pozwala wykonując operacje elementarne
uzyskać macierz jednostkową w dwóch krokach.

Krok I: Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej
przekątnej.

Krok II: Otrzymanie macierzy jednostkowej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

28 / 28

Macierz odwrotna

Algorytm Gaussa-Jordana pozwala wykonując operacje elementarne
uzyskać macierz jednostkową w dwóch krokach.

Krok I: Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej
przekątnej.

Krok II: Otrzymanie macierzy jednostkowej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

28 / 28

Macierz odwrotna

Algorytm Gaussa-Jordana pozwala wykonując operacje elementarne
uzyskać macierz jednostkową w dwóch krokach.

Krok I: Otrzymanie macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej
przekątnej.

Krok II: Otrzymanie macierzy jednostkowej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2013/14)

Matematyka 1

ELEKTROTECHNIKA

28 / 28